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Análisis de regresión lineal y correlación lineal

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  1. 1. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico HernándezAnálisis de regresión lineal y correlación linealEl objetivo primordial del análisis de regresión lineal es estimar el valor de unavariable aleatoria (la variable dependiente) dado que el valor de una variableasociada (la variable independiente) es conocido. La variable dependiente tambiénse llama variable de respuesta, mientras que la variable independiente también sellama variable de predicción. La ecuación de regresión es la formula algebraica porla cual se determina el valor estimado de la variable dependiente, o de respuesta.El termino análisis de regresión simple indica que el valor de una variabledependiente se estima con base a una variable independiente, o de predicción. Elanálisis de regresión múltiple, se ocupa de la estimación del valor de una variabledependiente con base en dos o más variables independientes.Diagrama de dispersiónUn diagrama de dispersión es una gráfica en la que cada punto trazado respeta unpar de valores observados de las variables independiente y dependiente. El valorde la variable independiente X se identifica respecto al eje horizontal, mientras queel valor de la variable dependiente Y se identifica respecto al eje vertical.La forma de la relación representada por el diagrama de dispersión puede sercurvilínea más que lineal. En el caso de las relaciones no lineales, un enfoqueconsiste en determinar un método de transformación de valores de una o ambasvariables a fin de que la relación de los valores transformados sea lineal.Si el diagrama de dispersión indica en general una relación lineal, se ajusta unalínea recta a los datos. La ubicación precisa de esta línea es determinada por elmétodo de mínimos cuadrados.Tal como se indica en el siguiente esquema, una linea de regresión con pendientepositiva indica una relación directa entre las variables, una pendiente negativaindica una relación inversa entre las variables y una pendiente de cero indica quelas variables no tienen relación entre sí. Además, el grado de dispersión vertical delos puntos trazados respecto de la línea de regresión indica el grado de relaciónentre las dos variables. 1
  2. 2. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico HernándezLa figura incluye varios diagramas de dispersión y sus líneas de regresiónasociadas en demostración de varios tipos de relaciones entre las variables.Método de mínimos cuadrados para el ajuste de un alinea de regresiónLa ecuación lineal que representa el modelo de regresión lineal simple es: Yi= α + βxi + εDonde:Yi = Valor de la variable dependiente en el iésimo ensayo, u observación.α = Primer parámetro de la ecuación de regresión, el cual indica el valor de Ycuando X=0.β = Segundo parámetro de la ecuación de regresión, el cual indica la pendiente dela línea de regresión.xi = El valor especifico de la variable independiente, en el iésimo ensayo uobservación.ε = Error del muestro aleatorio en ele iésimo ensayo u observación.Donde el error del modelo debe necesariamente tener una medida de cero. Cadaobservación (xi, yi) en la muestra satisface la ecuación. Yi= α + βxi + ε 2
  3. 3. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico HernándezLa ecuación anterior puede considerarse como el modelo para una solaobservación yi. De manera similar al utilizar la línea de regresión estimada oajustada: ŷ = a + b(x)Dependiendo del criterio matemático utilizado, para un diagrama de dispersióndado pueden desarrollarse varias ecuaciones lineales diferentes. De acuerdo conel criterio de mínimos cuadrados, la línea de regresión del mejor ajuste (y la mejorecuación) es aquella para el cual se reduce al mínimo la sima de las desviacionescuadradas entre los valores estimado y real de la variable dependiente parra losdatos muéstrales. La formulas de cálculos por las cuales pueden determinarse losvalores de a y b en la ecuación de regresión para la ecuación que satisface elcriterio de mínimos cuadrados son:Estimación de los coeficientes de regresión. Dada la muestra {(xi,yi), i=1,2,3…n}, las estimaciones de mínimos cuadrados a y b de los coeficientes deregresión se calculan por medio de las fórmulas: 3
  4. 4. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico HernándezEjemplo: uno de los problemas más desafiantes para el control de lacontaminación del agua lo presenta la industria del curtido de pieles. Los desechosde esta industria son químicamente complejos. Se caracterizan por valoreselevados de en la demanda de oxigeno bioquímico, los sólidos volátiles y otrasmediciones de contaminación. Considera los datos experimentales de la tabla, loscuales se obtuvieron de 33 muestras de desperdicios que se tratan químicamenteen el estudio “chemical Treatment on Spent Vegatable Tan Liquor”. Determine laecuación que establece la recta de regresión lineal, realice el diagrama dedispersión.Al usar la recta de regresión se podría pronosticar una reducción del 31% de lademanda química de oxigeno cuando la reducción total de sólidos es del 30%.Esta reducción del 31% puede interpretarse como una estimación de una nuevaestimación cuando la reducción total de sólidos es de 30%.Tales estimaciones, sin embargo están sujetas a un error. Aun cuando elexperimento este controlado de tal forma que la reducción total de sólidos sea de30%, es probable que no se mida una reducción de la demanda química deoxigeno exactamente igual a 31%. De hecho los datos registrados originalmentemuestran que las mediciones de 25% y 35% se obtuvieron para la reducción de lademanda química de oxigeno cuando la reducción total de los sólidos totales semantuvieron al 30% 4
  5. 5. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico Hernández (xi) (Yi) (Xi)(Yi) (Xi)^2 N= 33 3 5 15 9 7 11 77 49 11 21 231 121 15 16 240 225 b= 0.90364321 18 16 288 324 27 28 756 729 a= 3.8296332 29 27 783 841 30 25 750 900 Y= 6.54056283 30 35 1050 900 31 30 930 961 31 40 1240 961 32 32 1024 1024 33 34 1122 1089 33 32 1056 1089 34 34 1156 1156 36 37 1332 1296 36 38 1368 1296 36 34 1224 1296 37 36 1332 1369 38 38 1444 1444 39 37 1443 1521 39 36 1404 1521 39 45 1755 1521 40 39 1560 1600 41 41 1681 1681 42 40 1680 1764 42 44 1848 1764 43 37 1591 1849 44 44 1936 1936 45 46 2070 2025 46 46 2116 2116 47 49 2303 2209 50 51 2550 2500 1104 1124 41355 41086 5
  6. 6. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico Hernández Herná Línea de Regresión Ajustada 60 Demanda de Oxigeno Quimico % 50 y = 0.9036x + 3.8296 R² = 0.9129 40 30 20 Series1 10 0 0 10 20 30 40 50 60 Reducción de solidos %Ejercicio 2Las calificaciones de un grupo de estudiantes en su reporte de medio año (x) y enlos exámenes finales (y) fueron los siguientes. x 77 50 71 72 81 94 96 99 67 y 82 66 78 34 47 85 99 99 68 a) Estime la línea de regresión lineal b) Estime la calificación de examen final de un estudiante que obtuvo una calificación de 85 en el reporte de medio año. 6
  7. 7. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico Hernández HernáSolución: (xi) (Yi) (Xi)(Yi) (Xi)^2 77 82 6314 5929 50 66 3300 2500 71 78 5538 5041 72 34 2448 5184 81 47 3807 6561 94 85 7990 8836 96 99 9504 9216 99 99 9801 9801 67 68 4556 4489 ∑=707 ∑= 658 ∑= 53258 ∑= 57557 N= 9 b= 0.7771416 a= 12.0623211 Y= 78.119357 Calificación final alumno con 85 en el parcial Línea de Regresión Ajustada 120 y = 0.777x + 12.06 100 R² = 0.314 Examen Final 80 60 40 Series1 20 Lineal (Series1) 0 0 20 40 60 80 100 120 Examen Parcial 7
  8. 8. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico HernándezEjercicio3Se llevó a cabo un estudio acerca de la cantidad de azúcar refinada mediante uncierto proceso a varias temperaturas diferentes. Los datos se codificaron y seregistraron en el cuadro siguiente. Temperatura, X Azúcar transformada, Y 1 8.1 1.1 7.8 1.2 8.5 1.3 9.8 1.4 9.5 1.5 8.9 1.6 8.6 1.7 10.2 1.8 9.3 1.9 9.2 2 10.5 a) Determine la ecuación de regresión lineal. b) Calcule la cantidad promedio de azúcar refinada que se produce cuando la temperatura codificada es 1.75. (xi) (Yi) (Xi)(Yi) (Xi)^2 1 8.1 8.1 1 1.1 7.8 8.58 1.21 N= 11 1.2 8.5 10.2 1.44 b= 1.80909091 1.3 9.8 12.74 1.69 a= 6.41363636 1.4 9.5 13.3 1.96 Y= 9.57954545 1.5 8.9 13.35 2.25 1.6 8.6 13.76 2.56 1.7 10.2 17.34 2.89 1.8 9.3 16.74 3.24 1.9 9.2 17.48 3.61 2 10.5 21 4 ∑=16.5 ∑= 100.4 ∑= 152.59 ∑= 25.85 Azúcar convertida a una temperatura de 1.75 8
  9. 9. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico Hernández Herná Línea de Regresión Ajustada 12 y = 1.809x + 6.413 10 R² = 0.499 Azucar Convertida 8 6 Series1 4 Lineal (Series1) 2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Temperatura del ProcesoEjercicio 4Un comerciante a menudeo llevó a cabo un estudio para determinar la relaciónentre los gastos de publicidad semanal y las ventas, se obtuvieron los siguientesdatos. Costos de publicidad ($) Ventas ($) 40 385 20 400 25 395 20 365 30 475 50 440 40 490 20 420 50 560 40 525 25 480 50 510 9
  10. 10. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico Hernández a) Dibuje el diagrama de dispersión. b) Encuentre la ecuación de la línea de regresión para pronosticar las ventas semanales resultantes de los gastos de publicidad. c) Estime las ventas semanales cuando los gastos de publicidad ascienden a $35. 600 500 400 300 200 Series1 100 0 0 20 40 60 (xi) (Yi) (Xi)(Yi) (Xi)^2 40 385 15400 1600 20 400 8000 400 25 395 9875 625 20 365 7300 400 30 475 14250 900 50 440 22000 2500 40 490 19600 1600 20 420 8400 400 50 560 28000 2500 40 525 21000 1600 25 480 12000 625 50 510 25500 2500 ∑= 410 ∑= 5445 ∑= 191325 ∑= 15650 N= 12 b= 3.22081218 a= 343.705584 Y= 456.43401 Donde los costos de publicidad sean $35 dólares 10
  11. 11. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico Hernández Herná Línea de Regresión Ajustada 600 y = 3.220x + 343.7 R² = 0.403 500 400 Ventas ($) 300 Series1 200 100 Lineal (Series1) 0 0 10 20 30 40 50 60 Costos de Publicidad ($)Ejercicio 5En un estudio acerca de la cantidad de precipitación pluvial y la cantidad decontaminación de aire eliminada, se obtuvieron los siguientes datos. Lluvia diaria, x Partículas eliminadas, y (0.01 cm) (migramos por metro cubico) 4.3 126 4.5 121 5.9 116 5.6 118 6.1 114 5.2 118 3.8 132 2.1 141 7.5 108 a) Determine la ecuación de línea de regresión para pronosticar las partículas removidas, a partir de la cantidad de precipitación pluvial diaria. b) Estime la cantidad de partículas removidas cuando la precipitación pluvial diaria es x = 4.8 unidades. 11
  12. 12. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico Hernández Herná (xi) (Yi) (Xi)(Yi) (Xi)^2 4.3 126 541.8 18.49 4.5 121 544.5 20.25 5.9 116 684.4 34.81 5.6 118 660.8 31.36 6.1 114 695.4 37.21 5.2 118 613.6 27.04 3.8 132 501.6 14.44 2.1 141 296.1 4.41 7.5 108 810 56.25 ∑= 45 ∑= 1094 ∑= 5348.2 ∑= 244.26 N= 9 - b= 6.32398754 a= 153.175493 Y= 122.820353 Cantidad de partículas removidas a 4.8 Línea de Regresión Ajustada 160 Cantidad de Particulas Removidas 140 y = -6.324x + 153.1 6.324x 120 R² = 0.957 100 80 Series1 mg/m3 60 40 Lineal (Series1) 20 0 0 2 4 6 8 Cantidad de lluvia diaria 0.01 cm 12
  13. 13. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico HernándezEjercicio 6Se presentan datos muéstrales relativos al número de horas de estudio fuera declases durante un periodo de tres semanas de alumnos de un curso de estadísticaaplicada a la administración y a sus calificaciones en el examen final de eseperiodo. Elabore un diagrama de dispersión para estos datos y determine laecuación de regresión que establece su linealidad.Resp. ŷ = a + b(x) = ŷ = 40 + 1.5(x)Análisis de correlaciónAsí como el análisis de regresión permite obtener una fórmula que expresa larelación entre dos o más variables, el análisis de correlación obtiene un índice quemuestra el grado de relación entre dos o más variables.El coeficiente de correlación lineal, desarrollado por el matemático ingles KarlPearson (1857-1936) y conocido con la letra r, puede tomar valores desde -1hasta +1. Son estos extremos que manifiestan una relación lineal perfecta(negativa o positiva). Según se ejemplifican en los diagramas de dispersiónmostrados en el siguiente esquema: 13
  14. 14. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico HernándezProcedimiento de análisis de varianzaCon frecuencia el problema de analizar la calidad de una línea de regresiónestimada se maneja a través de un enfoque de análisis de varianza. Esto esmeramente un procedimiento por medio del cual la variación total de la variabledependiente se subdivide en componentes significativas que se observan y setratan en forma sistemática. El análisis de varianza es un poderosa herramienta enmuchas aplicaciones.Supóngase que se tiene n puntos de datos experimentales en la forma usual (xi,yi), y que se estima la línea de regresión . De tal forma que se ha logrado unaparticipación de la suma total corregida de los cuadrados de y, y en doscomponentes que deben reflejar el significado particular para el experimentador.Esta participación se indicara simbólicamente: SST=SSR+SSEEl primer componente de la derecha recibe el nombre de la suma de cuadradosde regresión y refleja la cantidad de variación de los valores de y explicados porel modelo, en este caso la línea recta postulada. El segundo componente es solola suma de cuadrados del error ya familiar, que refleja la variación alrededor de lalínea de regresión. 14
  15. 15. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico HernándezCorrelaciónPor ejemplo, si X y Y representa la longitud y la circunferencia de una claseparticular de hueso en el cuerpo de un adulto, se podría llevar a cabo un estudioantropológico para determinar si valores grandes de X se asocian con valoresgrandes de Y. Si X representa la antigüedad de un automóvil usado y Y su valoren libros, se esperaría que los valores grandes de X correspondieran a valorespequeños de Y, y que valores pequeños de X correspondieran a valores grandesde Y.El análisis de correlación intenta mediar la fuerza de tales relaciones entre dosvariables por medio de un simple número que recibe el nombre de coeficiente decorrelación.Coeficiente de correlaciónLa constate (rho) ó r2 recibe el nombre de coeficiente de correlación. Esimportante la interpretación física del coeficiente de correlación y la distinción entrecorrelación y regresión. El valor de r es cero cuando no hay regresión lineal, estoes, la línea de regresión es horizontal y cualquier conocimiento de X no es deutilidad para predecir Y. -1 ≤ r ≤ 1. Los valores de r = 1sólo ocurren cuando s2=0,en cuyo caso se tiene una relación lineal perfecta entre las dos variables.Entonces un valor de r = 1 implica una relación lineal perfecta con una pendientepositiva. Mientras que un valor de r = -1 indica una relación lineal perfecta conpendiente negativa. Se podría decir que estimaciones muéstrales de r (rho)cercanas a la unidad en magnitud implican buena correlación entre X y Y, mientrasque valores cercanos a cero indican poco o ninguna correlación. Es comúnreferirse a r como momento de pearson. 15
  16. 16. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico HernándezCoeficiente de DeterminaciónPara valores de r entre – 1 y + 1 se debe ser cuidadoso en su interpretación. Porejemplo, valores de r iguales que 0.3 y 0.6 significan únicamente que se tienendos correlaciones positivas, un algo mayor que la otra. Es un error concluir que r =0.6 indica una relación lineal de dos veces mayor que la indicada por el valor r =0.3.Nota: SSR = SST óEntonces r2, a la que comúnmente se le llama coeficiente de determinación,representa la proporción de la variación de Syy explicada por la regresión de Y enx, es decir, SRR. Esto es r2 expresa la proporción de la variación total de losvalores de la variable Y que se pueden contabilizar o explicar por una relaciónlineal con los valores de la variable aleatoria X.Entonces una correlación de 0.6 significa que 0.36 o 36% de la variación totalde los valores de Y en la muestra se deben a una relación lineal con losvalores de X. 16
  17. 17. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico HernándezEn el ejemplo siguiente se muestra cómo calcular el coeficiente o índice decorrelación lineal para un conjunto de datos. Tomando de base el ejemplo sobre lademanda bioquímica de oxigeno. 17
  18. 18. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico Hernández SSE SST MEDIA Y VARIANZA DE LOS ESTIMADORES ŷi=a+b(x) ℓi=yi-ŷi (ℓi)^2 (Y Media) yi-y media (yi-y media)^2 (X Media) (Xi-XMedia) (Xi-XMedia)^26.540562829 -1.540562829 2.373333831 34.06060606 -29.06060606 844.5188246 33.45454545 -30.45454545 927.479338810.15513567 0.844864328 0.713795733 34.06060606 -23.06060606 531.7915519 33.45454545 -26.45454545 699.842975213.76970851 7.230291486 52.27711497 34.06060606 -13.06060606 170.5794307 33.45454545 -22.45454545 504.206611617.38428136 -1.384281356 1.916234873 34.06060606 -18.06060606 326.1854913 33.45454545 -18.45454545 340.570247920.09521099 -4.095210988 16.77075304 34.06060606 -18.06060606 326.1854913 33.45454545 -15.45454545 238.842975228.22799988 -0.227999883 0.051983947 34.06060606 -6.060606061 36.73094582 33.45454545 -6.454545455 41.6611570230.0352863 -3.035286304 9.21296295 34.06060606 -7.060606061 49.85215794 33.45454545 -4.454545455 19.8429752130.93892951 -5.938929515 35.27088378 34.06060606 -9.060606061 82.09458219 33.45454545 -3.454545455 11.933884330.93892951 4.061070485 16.49229348 34.06060606 0.939393939 0.882460973 33.45454545 -3.454545455 11.933884331.84257273 -1.842572726 3.395074249 34.06060606 -4.060606061 16.48852158 33.45454545 -2.454545455 6.02479338831.84257273 8.157427274 66.54361974 34.06060606 5.939393939 35.27640037 33.45454545 -2.454545455 6.02479338832.74621594 -0.746215936 0.556838223 34.06060606 -2.060606061 4.246097337 33.45454545 -1.454545455 2.11570247933.64985915 0.350140853 0.122598617 34.06060606 -0.060606061 0.003673095 33.45454545 -0.454545455 0.2066115733.64985915 -1.649859147 2.722035204 34.06060606 -2.060606061 4.246097337 33.45454545 -0.454545455 0.2066115734.55350236 -0.553502357 0.30636486 34.06060606 -0.060606061 0.003673095 33.45454545 0.545454545 0.29752066136.36078878 0.639211222 0.408590986 34.06060606 2.939393939 8.640036731 33.45454545 2.545454545 6.47933884336.36078878 1.639211222 2.687013429 34.06060606 3.939393939 15.51882461 33.45454545 2.545454545 6.47933884336.36078878 -2.360788778 5.573323656 34.06060606 -0.060606061 0.003673095 33.45454545 2.545454545 6.47933884337.26443199 -1.264431989 1.598788255 34.06060606 1.939393939 3.761248852 33.45454545 3.545454545 12.5702479338.1680752 -0.1680752 0.028249273 34.06060606 3.939393939 15.51882461 33.45454545 4.545454545 20.6611570239.07171841 -2.07171841 4.292017171 34.06060606 2.939393939 8.640036731 33.45454545 5.545454545 30.7520661239.07171841 -3.07171841 9.435453991 34.06060606 1.939393939 3.761248852 33.45454545 5.545454545 30.7520661239.07171841 5.92828159 35.14452261 34.06060606 10.93939394 119.6703398 33.45454545 5.545454545 30.7520661239.97536162 -0.975361621 0.951330291 34.06060606 4.939393939 24.39761249 33.45454545 6.545454545 42.8429752140.87900483 0.120995169 0.014639831 34.06060606 6.939393939 48.15518825 33.45454545 7.545454545 56.933884341.78264804 -1.782648042 3.177834041 34.06060606 5.939393939 35.27640037 33.45454545 8.545454545 73.0247933941.78264804 2.217351958 4.916649706 34.06060606 9.939393939 98.79155188 33.45454545 8.545454545 73.0247933942.68629125 -5.686291252 32.33390821 34.06060606 2.939393939 8.640036731 33.45454545 9.545454545 91.1157024843.58993446 0.410065537 0.168153745 34.06060606 9.939393939 98.79155188 33.45454545 10.54545455 111.206611644.49357767 1.506422326 2.269308225 34.06060606 11.93939394 142.5491276 33.45454545 11.54545455 133.297520745.39722088 0.602779116 0.363342662 34.06060606 11.93939394 142.5491276 33.45454545 12.54545455 157.388429846.30086409 2.699135905 7.285334635 34.06060606 14.93939394 223.1854913 33.45454545 13.54545455 183.479338849.01179373 1.988206273 3.952964186 34.06060606 16.93939394 286.943067 33.45454545 16.54545455 273.7520661 Syy= SST= Σ(yi Sxx=Σ(Xi- Σ( ŷi ) SSE= Σ(yi - ŷi) VARIACION TOTAL -YMedia)^2 XMedia)^2 1124 323.3273124 3713.878788 4152.181818 18
  19. 19. Regresión Lineal Simple Ing. Luis Pedro Rico Hernández 1. Variación no explicada (SSE) Sxy= Σ(Xi-XMedia)(Yi- 2. Variación total (Syy) YMedia) 3. Variación explicada (Syy= SST-SSE) 885.0275482 4. Coeficiente de determinación (R2) 610.0578512 5. Coeficiente de correlación (r) 293.2699725 333.3002755 6. sxx 279.1184573 7. sxy 39.1184573 31.45179063 31.30027548 -3.245179063 9.966942149 -14.5785124 2.997245179 0.027548209 0.936639118 -0.033057851 7.482093664 10.02754821 -0.154269972 6.876033058 17.90633609 El 91.29% existe de relación entre las variables 16.30027548 10.75482094 60.66391185 32.33057851 52.36088154 50.75482094 84.93663912 28.05785124 104.815427 137.84573 149.785124 202.3608815 280.2699725 3752.090909 19

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