Financeira
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  • 1. Matem´tica Financeira a Uma abordagem contextual Prof. PDE: Epaminondas Alves dos Santos Orientador (UEL): Prof. Dr. Ulysses Sodr´ e Trabalho desenvolvido junto ao PDE 1
  • 2. Programa de Desenvolvimento Educacional do Paran´ a Conte´ do u Introdu¸˜o ca 4 1 Juros 6 1.1 Juros Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Taxas de juros – Classifica¸˜o . . . . . . . . . . . . ca 7 1.1.2 F´rmula de Juros Simples . . . . . . . . . . . . . . o 8 1.1.3 F´rmulas derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 9 1.1.4 Montante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.5 Aplica¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 12 1.2 Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Demonstra¸˜o da f´rmula . . . . . . . . . . . . . . ca o 13 1.2.2 Exemplos de aplica¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . ca 14 1.2.3 C´lculo de taxas equivalentes . . . . . . . . . . . . a 15 2 Rendas Certas 16 2.1 Sistema francˆs de amortiza¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . e ca 17 2.1.1 Rendas antecipadas – Com entrada . . . . . . . . . 17 2.1.2 Rendas postecipadas – Sem entrada . . . . . . . . . 19 2.1.3 Rendas diferidas – Com carˆncia . . . . . . . . . . e 20 2.1.4 Observa¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 22 2.1.5 M´todo pr´tico: c´lculo do coeficiente de amortiza¸˜o 22 e a a ca 2.2 Sistema de Amortiza¸˜o Constante – SAC . . . . . . . . . ca 24 2.3 Capitaliza¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 25
  • 3. 3 Sugest˜es de Atividades o 28 3.1 Encaminhamento metodol´gico . . . . . . . . . . . . . . . o 28 3.2 Atividades com calculadora simples . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.1 Calculando potˆncias com a calculadora simples . . e 28 3.2.2 Explorando as teclas de mem´ria . . . . . . . . . . o 29 3.3 Atividades com o software Calc . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3.1 Calculando a taxa de juros de uma renda uniforme 31 3.3.2 Calculando a taxa de juros de uma renda n˜o uniforme 34 a 3
  • 4. Introdu¸˜o ca Grandes problemas enfrentados pelos professores de Matem´tica atual- a mente tais como a apatia, o desinteresse e, at´ mesmo, a indisciplina e por parte dos nossos alunos, s˜o provavelmente frutos de uma aparente a contradi¸˜o que existe entre a origem e desenvolvimento dos conte´dos ca u matem´ticos e a forma como eles s˜o disseminados pela escola. a a ´ E sabido de todos que a Matem´tica originou e se desenvolveu em fun¸˜o a ca das necessidades enfrentadas pelo homem nas suas rela¸˜es sociais e no co enfrentamento das dificuldades impostas pela natureza. Apesar disso, de- vido `s diversas transforma¸˜es ocorridas pelas pol´ a co ıticas educacionais, o que se vˆ hoje em dia ´ um ensino da Matem´tica pouco contextualizado, e e a contribuindo para a falta de est´ ımulo dos nossos alunos. Neste contexto, a Matem´tica Financeira se apresenta como uma exce- a lente alternativa para compor o curr´ ıculo do Ensino M´dio, visto que ela ´ e e contextual por excelˆncia, ´ atual e necess´ria para a forma¸˜o de um in- e e a ca div´ ıduo cr´ıtico, pois ela d´ subs´ a ıdios necess´rios para a tomada de decis˜es a o importantes para a sua vida. ´ E indiscut´ ıvel, nos dias atuais, a relevˆncia da Matem´tica Financeira a a no cotidiano das pessoas. O fato de vivermos num pa´ capitalista em ıs desenvolvimento e que sofre os efeitos da globaliza¸˜o da economia tornam ca essa importˆncia ainda maior. a Com a economia em fase de estabiliza¸˜o e crescimento, aumenta a oferta ca de cr´dito e as pessoas est˜o se endividando cada vez mais. Torna-se e a necess´rio que o cidad˜o tome conhecimento, pelo menos um pouco dos a a mecanismos que regem o sistema financeiro. Esse trabalho prop˜e atividades e discuss˜es no ˆmbito do Ensino M´dio, o o a e sobre as principais f´rmulas da Matem´tica Financeira e suas aplica¸˜es, o a co como, por exemplo, as que regem as amortiza¸˜es de d´ co ıvidas pelo Sistema Francˆs. Visando facilitar o entendimento, as demonstra¸˜es s˜o feitas e co a sem muito rigor matem´tico, com ˆnfase `s demonstra¸˜es mecˆnicas ou a e a co a visuais. Conhecer os conte´dos matem´ticos que est˜o envolvidos nas atividades u a a financeiras tais como os c´lculos dos juros simples e compostos, os de- a scontos, as capitaliza¸˜es e amortiza¸˜es de d´ co co ıvidas ´, sem d´vida, uma e u forma agrad´vel de dar significado a diversos conte´dos importantes da a u 4
  • 5. Matem´tica do Ensino Fundamental e M´dio, tais como: Raz˜es, Pro- a e o por¸˜es, Porcentagem, Fun¸˜es, Progress˜es Aritm´ticas e Geom´tricas, co co o e e entre outros. A Matem´tica Financeira fazia parte do curr´ a ıculo dos antigos cursos profis- sionalizantes da ´rea de contabilidade. Com a mudan¸a para o atual En- a c sino M´dio ela ficou relegada a um plano secund´rio, figurando apenas em e a algumas institui¸˜es como complemento de carga hor´ria, inserida como co a conte´do da parte diversificada. u O que esse trabalho prop˜e ´ a sua inser¸˜o definitiva na grade curricu- o e ca lar do Ensino M´dio, visto que a Matem´tica Financeira tem uma desta- e a cada importˆncia no cotidiano das pessoas. N˜o s˜o raras as situa¸˜es a a a co do dia-a-dia em que necessitamos de lan¸ar m˜o de algum conhecimento c a de Matem´tica Financeira para nos orientarmos na tomada de decis˜es a o importantes na nossa vida. Partindo de alguns conhecimentos b´sicos adquiridos pelos alunos no en- a sino fundamental, tais como as no¸˜es de proporcionalidade, juros simples co e a no¸˜o de fun¸˜es o professor pode, aos poucos, ir refor¸ando esses ca co c conceitos e lan¸ando as bases da Matem´tica Financeira, introduzindo os c a conceitos da capitaliza¸˜o composta, da equivalˆncia de capitais e dos sis- ca e temas de amortiza¸˜o de d´ ca ıvidas. Para esse prop´sito, o professor deve fazer um planejamento bastante cri- o terioso das suas a¸˜es tendo em vista as limita¸˜es de tempo e a disponi- co co bilidade de recursos tecnol´gicos da sua escola. o Quando poss´ıvel, o uso adequado de recursos computacionais pode ajudar a dar mais agilidade e melhorar a qualidade dos trabalhos desenvolvidos, mas na impossibilidade desses recursos, uma calculadora simples, usada de forma eficiente, pode ser um bom instrumento para se trabalhar a Matem´tica Financeira. a 5
  • 6. 1 Juros Quando se toma emprestado de algu´m por um certo tempo algum bem e ou dinheiro, ´ natural que se pague ao fim desse prazo, al´m do valor e e emprestado, alguma compensa¸˜o financeira, o aluguel, no caso de um ca bem ou os juros, no caso de dinheiro. Ao valor emprestado denominamos Principal, Capital Inicial ou simples- ` mente Capital. A soma dos juros com o Capital em um determinado per´ ıodo ´ dado o nome de Montante. e Constitui a base principal da Matem´tica Financeira os estudos dos mecan- a ismos que regem a forma¸˜o dos juros e a sua incorpora¸˜o ao Capital, ca ca tamb´m denominada Capitaliza¸˜o. O intervalo de tempo decorrente en- e ca tre cada capitaliza¸˜o ´ denominado Per´odo de Capitaliza¸˜o. ca e ı ca Quanto aos Sistemas ou Regimes de Capitaliza¸˜o, destacamos dois: ca • Juros Simples – Ao fim de cada per´ ıodo de capitaliza¸˜o s˜o incorpo- ca a rados os juros calculados sobre o Capital Inicial. • Juros Compostos – Ao fim de cada per´ ıodo de capitaliza¸˜o s˜o in- ca a corporados os juros calculados sobre o montante do per´ıodo anterior. 1.1 Juros Simples No regime de capitaliza¸˜o a Juros Simples, a compensa¸˜o financeira ca ca mencionada na se¸˜o anterior, ou seja, os (juros) s˜o diretamente propor- ca a cionais ao valor do capital emprestado (C), dentro de um per´ıodo unit´rio a de tempo (dia, mˆs, ano, etc.), e tamb´m diretamente proporcionais ` e e a quantidade de per´ ıodos em que o mesmo ficar emprestado. Para um per´ ıodo unit´rio, a parcela dos juros (combinada previamente a entre as partes), ´ dada por uma porcentagem do capital inicial, ou seja, e um valor r para cada 100 (cem) partes desse valor. r ´ denominada a taxa e de juros. Por exemplo se r = 5, escreve-se r = 5% e lˆ-se (cinco por cento). Pode-se e 5 escrever tamb´m r = e ou o que ´ equivalente r = 0, 05. e 100 r Sendo r% a taxa de juros, chamaremos = i de taxa unit´ria. a 100 6
  • 7. 1.1.1 Taxas de juros – Classifica¸˜o ca Uma taxa de juros ´ denominada taxa efetiva, quando o per´ e ıodo a que ela se refere coincide com o per´ ıodo de capitaliza¸˜o. ca Exemplo: 4% ao semestre capitalizados semestralmente. Uma taxa de juros ´ denominada taxa nominal, quando o per´ e ıodo a que ela se refere n˜o coincide com o per´ a ıodo de capitaliza¸˜o. ca Exemplo: 7% ao ano capitalizados mensalmente. Esse tipo de taxa n˜o ´ aplicavel aos juros simples uma vez que o per´ a e ıodo de referˆncia da taxa j´ determina o per´ e a ıodo de capitaliza¸˜o. No entanto ca ela ´ de extrema importˆncia para os juros compostos, dando origem aos e a conceitos de taxa proporcional e equivalente que ser˜o discutidas a seguir. a Duas taxas de juros s˜o proporcionais quando formam uma propor¸˜o a ca direta com os per´ ıodos de capitaliza¸˜o a elas referidos. ca Exemplo: A taxa de juros de 2% ao bimestre ´ proporcional a 6% ao e semestre, pois: 2 1 = 6 3 ´ E uma propor¸˜o direta, ou seja, a raz˜o entre as taxas ´ igual a raz˜o ca a e a entre os per´ ıodos a elas referidos. Na pr´tica, quando a rela¸˜o entre os a ca per´ ıodos ´ de 1 : n, basta multiplicar ou dividir uma taxa de um pe´ e ıodo por n para obter a taxa proporcional a ela relativa ao outro per´ıodo. Exemplos: 1. Para obter a taxa semestral proporcional a 10% ao ano, observamos que a rela¸˜o entre os per´ ca ıodos ´ de 1 : 2, ou seja, 1 ano = 2 semestres, e basta dividir 10 por 2, resultando na taxa semestral de 5%. 2. Para obter a taxa anual proporcional a 3% ao bimestre, lembramos que a rela¸˜o entre os per´ ca ıodos ´ de 1 : 6, isto ´, (1 ano = 6 bimestres). e e Multiplicamos ent˜o 3 por 6 e obtemos a taxa proporcional procurada a de 18% ao ano. Defini¸˜o: Duas taxas s˜o equivalentes quando se referindo a per´ ca a ıodos de capitaliza¸˜es diferentes, produzem os mesmos juros num determinado co per´ ıodo, quando aplicadas sobre um mesmo capital. 7
  • 8. No regime de capitaliza¸˜o a juros simples as taxas equivalentes para dois ca per´ıodos de capitaliza¸˜o distintos s˜o tamb´m proporcionais para esses ca a e mesmos per´ ıodos, pois a incidˆncia dos juros ocorre apenas sobre capital e inicial. Por´m no regime de capitaliza¸˜o a juros compostos essas duas taxas s˜o e ca a bastantes distintas, como ser´ visto na se¸˜o 1.2.3. a ca Outro conceito muito importante e que as pessoas em geral n˜o d´ muita a a aten¸˜o ´ o de taxa real de juros. Essa taxa exprime o ganho real de um ca e investimento em um per´ ıodo pois ela relaciona a taxa efetiva e a taxa de infla¸˜o (perda do valor do dinheiro) de um per´ ca ıodo de capitaliza¸˜o, da ca seguinte forma: 1 + taxa efetiva taxa real = −1 1 + taxa de inflac˜oa Em ´pocas de infla¸˜o alta, a n˜o observˆncia dessa taxa fez que muitas e ca a a pessoas perdessem as suas economias. As taxas de juros para investimento eram altas e as pessoas emprestavam e gastavam os rendimentos dos juros. Quando retiravam o montante do investimento, elas percebiam que haviam perdido consideravelmente o seu valor devido ` taxa de infla¸˜o. a ca Recomendamos aos professores de Matem´tica do Ensino M´dio n˜o dedicar a e a muito tempo das aulas no estudo dos juros simples, pois h´ muito tempo a j´ n˜o se pratica os juros simples em nossa economia, tamb´m porque ele a a e j´ figura na grade do ensino fundamental. O que sugerimos aqui ´ uma a e revis˜o r´pida e bem elaborada desse conte´do que tem sua importˆncia a a u a para facilitar o entendimento da capitaliza¸˜o composta. ca 1.1.2 F´rmula de Juros Simples o Se C ´ o capital emprestado ` taxa de r% ao mˆs, durante n meses, o e a e c´lculo dos juros produzidos, denotado por j, ´ dado pela f´rmula a e o r j=C· ·n 100 Demonstra¸˜o : Para calcular os juros em cada per´ ca ıodo (mˆs), multi- e r plicamos o valor C pela taxa percentual i = e para obter o total 100 dos juros dos n per´ ıodos, multiplica-se por n. Ou seja: r j=C· ·n 100 8
  • 9. O que ´ equivalente a e j =C ·i·n (1) 1.1.3 F´rmulas derivadas o A f´rmula 1 para o c´lculo da taxa de juros, tamb´m pode ser usada para o a e gerar o c´lculo do Capital C, do tempo n e da taxa i. Como esta f´rmula a o envolve quatro vari´veis, basta conhecer trˆs delas para gerar a vari´vel a e a desconhecida. Para calcular o capital, isolamos a inc´gnita C na f´rmula 1 para obter o o j C= (2) i·n Para obter o per´ ıodo n, temos j n= (3) C ·i Para calcular a taxa i, temos j i= (4) C ·n Observa¸˜o importante! A taxa r e o tempo n devem estar expressas ca coerentemente, ou seja, se a taxa for mensal, o tempo deve ser expresso em meses, caso contr´rio, deve-se transformar a taxa, usando-se uma taxa a proporcional (Ver subse¸˜o 1.2.3) ou o tempo, usando a rela¸˜o de propor- ca ca cionalidade entre os per´ ıodos. Aplica¸˜es co 1. Calcular os juros simples obtidos pela aplica¸˜o do capital R$ 1200,00, ca colocado ` taxa de 5% ao mˆs, durante 8 meses. a e Resolu¸˜o: ca 5 • i= = 0, 05 100 • C = 1200 • n=8 • j =? 9
  • 10. Aplicando a f´rmula 1, temos o j = 1200 · 0, 05 · 8 = 480 Resposta: Os juros obtidos foram de R$ 480,00. 2. Qual o capital, que emprestado a juros simples de 15% ao ano, produz em 5 anos juros no valor de R$ 210,00? Resolu¸˜o: ca 15 • i= = 0, 15 100 • C =? • n=5 • j = 210 Aplicando a f´rmula 2, obtemos o 210 C= = 280 0, 15 · 5 Resposta: O capital emprestado deve ser de R$ 280,00. 3. Durante quanto tempo o capital R$ 850,00 deve ficar emprestado, `a taxa de juros simples de 3% ao mˆs para gerar a renda R$ 76,50 de e juros? Resolu¸˜o: ca 3 • i= = 0, 03 100 • C = 850 • n =? • j = 76, 50 Aplicando a f´rmula 3, temos o 76, 50 n= =3 850 · 0, 03 Resposta: O capital deve ficar emprestado por 3 meses. 4. A que taxa de juros simples devemos emprestar R$ 2500,00, para que em 4 bimestres, possamos ter a renda R$ 180,00 de juros? Resolu¸˜o: ca 10
  • 11. • i =? • C = 2500 • n=4 • j = 180 Aplicando a f´rmula 4, obtemos o 180 i= = 0, 018 2500 · 4 Logo r = 0, 018 · 100 = 1, 8 Resposta: A taxa deve ser de 1, 8% ao bimestre. 1.1.4 Montante Montante (M ) ´ o nome dado ` soma do capital com os juros produzidos e a em um determinado per´ıodo, ou seja: M =C +j (5) ´ E poss´ ıvel calcular os juros ou o capital que comp˜em um montante, o quando se conhece, al´m do montante, apenas a taxa e o tempo. e Observe que este c´lculo ´ muito complicado para se realizar com o uso das a e f´rmulas anteriores, pois elas necessitam que se identifique que parcela do o montante corresponde aos juros, uma vez que o montante n˜o se apresenta a de forma expl´ ıcita nessas f´rmulas. o Substituindo o resultado da equa¸˜o 2 na equa¸˜o 5, segue que ca ca C +j =M ´ equivalente a e j j + =M i·n 1 que equivale a j+j·i·n =M i·n 11
  • 12. de onde segue que j(1 + i · n) M= i·n Isolando a inc´gnita j na ultima equa¸˜o, obtemos o ´ ca M ·i·n j= (6) 1 + in Para obter o capital, temos o desenvolvimento: M =C +j que ´ equivalente a e M =C +C ·i·n ou seja M = C(1 + i · n) Isolando a inc´gnita C na ultima equa¸˜o, obtemos o ´ ca M C= (7) 1+i·n 1.1.5 Aplica¸˜es co 1. Um certo capital ficou emprestado ` taxa de juros simples de 10% ao a ano, durante 8 anos. Qual ´ o valor dos juros produzidos, se ao fim e desse per´ ıodo o montante correspondia a R$ 900,00? Resolu¸˜o: ca 10 • i= = 0, 1 100 • M = 900 • n=8 • j =? Aplicando a f´rmula 6, obtemos: o 900 · 0, 1 · 8 j= = 400 1 + 0, 1 · 8 Resposta: Os juros produzidos foram de R$ 400,00. 12
  • 13. 2. Qual ´ o capital, que ficando emprestado por 5 meses, ` taxa de juros e a simples de 4% ao mˆs, produz o montante de R$ 5400,00? e Resolu¸˜o: ca 4 • i= = 0, 04 100 • M = 5400 • n=5 • C =? Aplicando a f´rmula 7, obtemos: o 5400 C= = 4500 1 + 0, 04 · 5 Resposta: O capital deve ser de R$ 4500,00. 1.2 Juros Compostos Denominamos capitaliza¸˜o composta ou capitaliza¸˜o com juros compos- ca ca tos ao regime de capitaliza¸˜o pelo qual os juros auferidos em cada per´ ca ıodo s˜o somados ao capital anterior, para render juros no per´ a ıodo seguinte. Esta pr´tica ´ denominada anatocismo ou, mais popularmente “juros so- a e bre juros”. Para saber mais sobre anatocismo, consulte as p´ginas abaixo: a http://www.direitonet.com.br/dicionario_juridico/x/33/88/338 http://forum.jus.uol.com.br/discussao/16999/legalidade-ilegal-do-anatocismo http://www.iesc.edu.br/pesquisa/arquivos/o_anatocismo_dos_sistemas_de_amortizacao. pdf 1.2.1 Demonstra¸˜o da f´rmula ca o Seja Cn o montante ao fim de n per´ ıodos de capitaliza¸˜o composta, C0 o capital no per´ ca ıodo 0 em que ocorreu o empr´stimo, i a taxa unit´ria e Jn , os juros do per´ e a ıodo n. Para calcular o montante C1 relativo ao primeiro per´ ıodo, ou seja C0 + J1 , devemos aplicar a taxa i de juros simples durante 1 per´ ıodo ao capital C0 , para obter: C1 = C0 + C0 · i = C0 (1 + i) = C0 (1 + i) = C0 (1 + i)1 C2 = C1 + C1 · i = C1 (1 + i) = C0 (1 + i)(1 + i) = C0 (1 + i)2 C3 = C2 + C2 · i = C2 (1 + i) = C0 (1 + i)2 (1 + i) = C0 (1 + i)3 E assim por diante. 13
  • 14. Podemos acreditar que, ao fim de n per´ ıodos, o montante Cn ser´ dado pela f´rmula: a o Cn = C0 (1 + i)n (8) Isolando C0 na equa¸˜o anterior, obtemos uma f´rmula que fornece o capital inicial, em fun¸˜o ca o ca do montante Cn , da taxa i e do tempo n. Cn C0 = (9) (1 + i)n 1.2.2 Exemplos de aplica¸˜o ca 1. Calcular o montante produzido pelo capital R$ 7800,00, aplicado a juros compostos de 5% ao mˆs, durante 6 meses. e Resolu¸˜o: ca • C6 =? • C0 = 7800 5 • i= = 0, 05 100 • n=6 Aplicando a f´rmula 8, obtemos o C6 = 7800(1 + 0, 05)6 = 7800(1, 05)6 ∼ 7800 · 1, 34009 = 10452, 70 = Resposta: O valor aproximado do montante produzido foi de R$ 10452,70. 2. Calcular o capital inicial necess´rio para que, a juros compostos de 4% ao mˆs, produza a e o montante de R$ 5600,00, durante 7 meses. Resolu¸˜o: ca • C7 = 5600 • C0 =? 4 • i= = 0, 04 100 • n=7 Aplicando a f´rmula 9, obtemos o 5600 5600 5600 C0 = 7 = 7 = = 4255, 54 (1 + 0, 04) (1, 04) 1, 315931 Resposta: O capital inicial deve ser de R$ 4255,54. Observa¸˜o importante: Para o c´lculo do tempo e da taxa no regime de capitaliza¸˜o ca a ca a juros compostos, h´ necessidade da aplica¸˜o de equa¸˜es exponenciais e de logaritmos, a ca co o que `s vezes pode obrigar o uso de calculadora cient´ a ıfica ou de t´buas de logaritmos. a 14
  • 15. 1.2.3 C´lculo de taxas equivalentes a Duas taxas s˜o equivalentes quando se referindo a per´ a ıodos de capitaliza¸˜es diferentes, pro- co duzem os mesmos juros num determinado per´ ıodo, quando aplicadas sobre um mesmo capital. Como j´ fora definido anteriormente, no regime de capitaliza¸˜o a juros composto os juros inci- a ca dem tamb´m sobre os juros do per´ e ıodo anterior. O que significa que quanto mais capitaliza¸˜es co o capital sofrer em um determinado per´ıodo, maior ser´ o seu rendimento. a Exemplos: Em juros compostos as taxas 21% ao ano ´ equivalente a 10% ao semestre. (Con- e fira!) Observe que a taxa proporcional ´ de 20% ao ano. e F´rmulas para o c´lculo das taxas equivalentes: Para facilitar a nomenclatura vamos o a denotar por i o valor da taxa correspondente ao menor per´ ıodo de capitaliza¸˜o e por I o valor ca da taxa do maior per´ ıodo de capitaliza¸˜o. ca A Figura 1 a seguir mostra a rela¸˜o entre duas taxas equivalentes aplicadas sobre um mesmo ca capital C0 . Observe que que o efeito de trˆs aplica¸˜es da taxa i ´ o mesmo de uma unica e co e ´ aplica¸˜o da taxa I e a rela¸˜o entre os per´ ca ca ıodos ´ de 1 : 3. e Figura 1: Taxas equivalentes. Supondo conhecida a taxa i do menor per´ ıodo, queremos obter a taxa I equivalente a i. Como o efeito dessas duas taxas sobre o capital C0 ´ o mesmo nesse per´ e ıodo, temos: C0 (1 + I) = C0 (1 + i)3 logo (1 + I) = (1 + i)3 e assim I = (1 + i)3 − 1 Se se o per´ ıodo maior fosse igual a n vezes o per´ ıodo menor, ter´ ıamos a f´rmula o I = (1 + i)n − 1 (10) Agora, suponhamos conhecida a taxa I do maior per´ ıodo e queremos conhecer a taxa i equiva- lente a I. Pelo mesmo racioc´ ınio usado na demonstra¸˜o anterior, temos que ca C0 (1 + i)3 = C0 (1 + I) 15
  • 16. logo (1 + i)3 = (1 + I) assim √ 3 (1 + i) = 1+I de onde segue √ 3 i= 1+I −1 Buscando generalizar o racioc´ ınio usado para gerar o resultado anterior, ´ f´cil perceber que se e a a taxa I do per´ ıodo maior fosse igual a n vezes a taxa i do per´ ıodo menor, ter´ıamos a f´rmula o √ i= n1+I −1 (11) Observa¸oes importantes: c˜ 1. Para trabalhar com as f´rmulas anteriores atrav´s de uma calculadora simples, quanto o e a o ` F´rmula 10, n˜o h´ problemas pois ser´ necess´rio o c´lculo de uma potˆncia. (Ver a a a a a e atividade 3.2.1). 2. Para o uso da F´rmula 11 ´ necess´rio o c´lculo de ra´ o e a a ızes. Neste caso, para que sejam poss´ ıveis os c´lculos, sugerimos que a rela¸˜o entre os per´ a ca ıodos de capitaliza¸˜o seja de ca 1 : 2, 1 : 4, 1 : 8, ... que s˜o poss´ a ıveis em uma calculadora simples com aplica¸˜es co sucessivas da raiz quadrada, pois, das propriedades da radicia¸˜o, temos: ca √ √ 4 a= a √ √ 8 a= a Caso contr´rio o c´lculo s´ ser´ poss´ com calculadora cient´ a a o a ıvel ıfica. 2 Rendas Certas Uma lista de quantias (usualmente denominadas presta¸˜es, pagamentos ou termos), referidas co a ´pocas diversas ´ denominada s´rie, anuidade ou ainda, renda certa. Se esses pagamentos e e e forem iguais e em intervalos de tempo iguais, a s´rie recebe o nome de uniforme. e Quanto ` sua finalidade, as rendas certas podem servir ao prop´sito de constituir um capital a o (capitaliza¸˜o) ou liquidar uma d´ ca ıvida (liquida¸˜o). ca S˜o exemplos de rendas certas as poupan¸as e capitaliza¸˜es programadas, os pagamentos de a c co alugu´is, impostos e as presta¸˜es de financiamentos em geral. e co Quanto `s amortiza¸˜es de d´ a co ıvidas, existem diversos sistemas de amortiza¸˜es, destacando-se o co francˆs, o sistema de amortiza¸˜o constante (SAC), o americano e o alem˜o, cada um com as e ca a suas peculiaridades. 16
  • 17. 2.1 Sistema francˆs de amortiza¸˜o e ca No sistema francˆs de amortiza¸˜o de d´ e ca ıvidas, o valor das presta¸˜es e o per´ co ıodo entre as presta¸˜es s˜o constantes. co a Esse ´ o sistema mais usado no com´rcio atualmente. Em geral, as presta¸˜es, s˜o pagas e e co a mensalmente. Quanto ao pagamento da primeira presta¸˜o, as rendas certas podem ser classificadas como: ca antecipadas, postecipadas ou diferidas. 2.1.1 Rendas antecipadas – Com entrada Nas rendas antecipadas, ou com entrada, o pagamento da primeira presta¸˜o se d´ na data ca a atual, ou seja, no momento da constitui¸˜o da d´ ca ıvida. Denotaremos esse momento de per´ ıodo 0. O exemplo mostrado na Figura 2 representa uma s´rie antecipada uniforme de n = 4 pagamentos e iguais a P para liquidar uma d´ ıvida D sujeita a uma taxa de juros i. ca ´ Observa¸˜o: E usual em Matem´tica Financeira indicar o coeficiente de capitaliza¸˜o 1 + i pela a ca letra u, ou seja u=1+i Figura 2: Esquema de pagamento antecipado. 17
  • 18. Como a d´ ıvida dever´ ser liquidada no fim do quarto per´ a ıodo, podemos estabelecer, nesse per´ ıodo uma equivalˆncia de capitais entre o valor da d´ e ıvida D e o somat´rio das presta¸˜es P , o co ou seja: Du4 = P + P u + P u2 + P u3 + P u4 (12) S5 Observe que a seq¨ˆncia (P, P u, P u2 , P u3 , P u4 ) dos montantes das presta¸˜es forma uma progress˜o ue co a geom´trica de n = 5 termos, de raz˜o q = u e primeiro termo a1 = P , assim, o segundo membro e a da equa¸˜o 12, ´ a soma dos n = 5 termos de uma PG. ca e A f´rmula geral para a soma dos termos uma progress˜o geom´trica finita ´ o a e e qn − 1 Sn = a1 q−1 Substituindo os valores conhecidos na f´rmula acima, obtemos o u5 − 1 S5 = P u−1 Como u = 1 + i, o denominador da ultima equa¸˜o fica u − 1 = 1 + i − 1 = i e realizando a ´ ca substitui¸˜o, resulta ca u5 − 1 S5 = P (13) i Comparando as express˜es 13 e 12, obtemos o u5 − 1 Du4 = P i Isolando o valor de P na f´rmula anterior, obtemos o u4 · i P =D· (14) u5 − 1 Observa¸˜es: co 1. O expoente (5) de u no denominador da f´rmula 14 est´ relacionado com o n´mero de o a u termos da renda. (Ver Figura 2) 2. O expoente (4) de u no numerador est´ relacionado com o n´mero de capitaliza¸˜es da a u co d´ ıvida. 3. Para uma renda antecipada, o n´mero de presta¸˜es ser´ sempre de uma unidade a mais u co a que o n´mero de capitaliza¸˜es da d´ u co ıvida. Com base nessas observa¸˜es, podemos, de modo intuitivo estabelecer uma generaliza¸˜o do co ca c´lculo anterior para um n´mero n qualquer de termos, do seguinte modo: a u Para calcular a presta¸˜o necess´ria para saldar uma d´ ca a ıvida D, a uma taxa i com uma renda antecipada de n per´ıodos com presta¸˜es iguais a P , podemos usar a seguinte f´rmula: co o un−1 · i P =D· (15) un − 1 18
  • 19. Isolando-se a inc´gnita D na f´rmula anterior, pode-se obter uma f´rmula que permite calcular o o o o valor da d´ ıvida que ser´ amortizada pagando-se n presta¸˜es iguais a P , sendo a primeira na a co ´poca 0: e un − 1 D=P · (16) un−1 · i 2.1.2 Rendas postecipadas – Sem entrada Na amortiza¸˜o postecipada, imediata ou sem entrada, a primeira presta¸˜o ou pagamento se ca ca d´ no fim do primeiro per´ a ıodo, ou seja, na ´poca 1. Vamos analisar a Figura 3 a seguir, que e representa uma renda postecipada de n = 4 termos ou presta¸˜es: co Figura 3: Esquema de pagamento postecipado. Pelo mesmo racioc´ınio usado na demonstra¸˜o da f´rmula anterior, aplicando a equivalˆncia de ca o e capitais no fim do quarto per´ıodo, temos: Du4 = P + P u + P u2 + P u3 (17) S4 onde o segundo membro representa a soma dos termos de uma PG de n = 4 termos. Calculando essa soma, obtemos: P (u4 − 1) S4 = u−1 ou seja P (u4 − 1) S4 = (18) i 19
  • 20. Comparando as express˜es 18 e 17, resulta: o P (u4 − 1) Du4 = i Isolando P , obtemos u4 · i P =D· (19) u4 − 1 Observa¸˜es: co 1. O expoente (4) de u no denominador da f´rmula 19 est´ relacionado com o n´mero de o a u termos da renda. (Ver Figura 3) 2. O expoente (4) de u no numerador est´ relacionado com o n´mero de capitaliza¸˜es da a u co d´ ıvida. 3. Para uma renda postecipada, o n´mero de presta¸˜es ser´ sempre de igual que o n´mero u co a u de capitaliza¸˜es da d´ co ıvida. Com base nessas observa¸˜es, podemos, de modo intuitivo estabelecer uma generaliza¸˜o do co ca c´lculo anterior para um n´mero n qualquer de termos, do seguinte modo: a u Para calcular o valor da presta¸˜o necess´ria para liquidar uma d´ ca a ıvida D a uma taxa i, em n pagamentos iguais a P , com a primeira presta¸˜o vencendo no fim do primeiro per´ ca ıodo, podemos utilizar a f´rmula: o un · i P =D· n (20) u −1 Isolando-se a inc´gnita D na f´rmula anterior, pode-se calcular o valor da d´ o o ıvida que ser´ a amortizada pagando-se n presta¸˜es iguais a P , sendo a primeira na ´poca 1: co e un − 1 D=P · (21) un · i 2.1.3 Rendas diferidas – Com carˆncia e Neste sistema, como nos anteriores, o per´ ıodo e as presta¸˜es s˜o constantes, sendo que a co a primeira presta¸˜o vence m per´ ca ıodos ap´s a ´poca 1, e, a este diferimento se d´ o nome de o e a carˆncia. A Figura 4 representa essa situa¸˜o, para o caso de n = 4 presta¸˜es e um diferimento e ca co de m = 2 per´ıodos: Fazendo a equivalˆncia de capitais na ´poca 6, obtemos: e e Du6 = P + P u + P u2 + P u3 (22) S4 Como o segundo termo corresponde ` soma dos termos de uma PG de 4 termos, obtemos: a u4 − 1 S4 = P u−1 ou seja u4 − 1 S4 = P (23) i 20
  • 21. Figura 4: Esquema de pagamento diferido de 2 per´ ıodos. Comparando as express˜es 23 e 22, obtemos: o u4 − 1 Du6 = P i Isolando P na ultima express˜o, resulta: ´ a u6 · i P =D· (24) u4 − 1 Observa¸˜es: co 1. O expoente (4) de u no denominador da f´rmula 24 est´ relacionado com o n´mero de o a u termos da renda. (Ver Figura 4) 2. O expoente (6) de u no numerador est´ relacionado com o n´mero de capitaliza¸˜es da a u co d´ ıvida. 3. Para uma renda diferida, o n´mero de capitaliza¸˜es da d´ u co ıvida ser´ sempre m unidades a a mais que o n´mero de presta¸˜es. u co Com base nessas observa¸˜es, podemos, de modo intuitivo estabelecer uma generaliza¸˜o do co ca c´lculo anterior para um n´mero n qualquer de termos e um per´ a u ıodo m qualquer de carˆncia, e do seguinte modo: Para calcular o valor P das n presta¸˜es necess´rias para saldar a d´ co a ıvida D, sujeita ` taxa i, a sendo que o vencimento da primeira presta¸˜o se d´ m per´ ca a ıodos ap´s a ´poca 1, pode se usar a o e seguinte f´rmula: o un+m · i P =D· n (25) u −1 21
  • 22. Isolando a inc´gnita D na f´rmula anterior, pode-se calcular o valor da d´ o o ıvida que ser´ amorti- a zada pagando-se n presta¸˜es iguais a P , sendo a primeira na ´poca m + 1: co e un − 1 D=P · (26) un+m · i 2.1.4 Observa¸˜es co 1. A condi¸˜o “m per´ ca ıodos ap´s a ´poca 1 ”, deve-se ao fato que sistema postecipado ou sem o e entrada ´ o sistema padr˜o utilizado atualmente. Quando n˜o se faz men¸˜o ao tipo, e a a ca subentende-se que ´ o tipo postecipado. e 2. Observando melhor f´rmulas 15, 20 e 25, demonstradas anteriormente, podemos perceber o que os denominadores s˜o iguais em todas elas e que o expoente de u no numerador varia a conforme o vencimento da primeira presta¸˜o: n − 1 para o per´ ca ıodo 0, n para o per´ ıodo 1, e n + m para uma carˆncia de m per´ e ıodos. Denotando por p esse expoente, denominamos coeficiente de amortiza¸˜o, as express˜es do tipo: ca o up · i un − 1 2.1.5 M´todo pr´tico para o c´lculo do coeficiente de amortiza¸˜o e a a ca Muitos professores n˜o gostam de trabalhar com a Matem´tica Financeira porque acreditam a a ser necess´rio o uso de calculadora financeira ou cient´ a ıfica para efetuar os c´lculos. a Isso n˜o ´ verdade, com um pouco de habilidade ´ poss´ se trabalhar esses c´lculos com o uso a e e ıvel a de uma calculadora comum. Bastando para isso usar os seus recursos de c´lculos constantes e a as teclas de mem´ria, indicadas na Figura 5 a seguir. o Figura 5: Uma calculadora padr˜o. a Exemplos 1. Para calcular a potˆncia 1, 0310 , em uma calculadora simples, seguir os seguintes passos: e (a) Digitar 1, 03; 22
  • 23. (b) Pressionar = 9 vezes. Observa¸˜o: Para elevar o n´mero dado a uma determinada potˆncia n, basta pres- ca u e sionar = n-1 vezes). 2. Fun¸˜es das teclas de mem´ria: co o • A tecla M+ adiciona o n´mero atual ` mem´ria. u a o • A tecla M– subtrai o n´mero atual da mem´ria. u o • A tecla MR ou a tecla MRC permite acessar o n´mero que est´ guardado na u a mem´ria. o 3. A Figura 6 a seguir mostra, passo a passo, como se pode calcular o coeficiente de amor- tiza¸˜o, para o caso de um pagamento postecipado, usando uma calculadora comum. ca • As setas vermelhas indicam a ordem das inser¸˜es de dados e das opera¸˜es; co co • Primeiro se calcula o denominador e memoriza o resultado; • Depois se calcula o numerador e por fim se faz a divis˜o pelo resultado guardado na a mem´ria. o Figura 6: M´todo pr´tico e a 4. Vamos ilustrar com um exemplo, como esse processo pode ser usado. Comprei uma geladeira no valor de R$ 1200,00, em n = 10 presta¸˜es mensais iguais co sem entrada. Se a taxa de juros da loja ´ de 3% ao mˆs, qual deve ser o valor de cada e e presta¸˜o? ca Resolu¸˜o: ca • r = 3% 3 • i= = 0, 03 100 • u = 1 + 0, 03 = 1, 03 • n = 10 (n´mero de presta¸˜es) u co • D = 1200 (d´ ıvida) 23
  • 24. • P =? Aplicando a f´rmula 20, obtemos o 1, 0310 · 0, 03 ∼ 1, 343916 · 0, 03 ∼ P = 1200 · 10 − 1 = 1200 · = 0, 11723 = 140, 67 1, 03 1, 343916 − 1 Resposta: O valor da presta¸˜o ser´ de R$ 140,67. ca a 5. Qual deve ser o valor de um produto a ser comprado, de modo que eu possa pag´-lo a totalmente em 6 presta¸˜es mensais de R$ 250,00, sem entrada, se a taxa de juros cobrada co pela loja ´ de 3, 5 % ao mˆs? e e Resolu¸˜o: ca • r = 3, 5% 3, 5 • i= = 0, 035 100 • u = 1 + 0, 035 = 1, 035 • n = 6 (n´mero de presta¸˜es) u co • D =? • P = 250 (valor de cada presta¸˜o) ca Aplicando a f´rmula 21, temos o 1, 0356 − 1 ∼ 1, 229255 − 1 ∼ D = 250 · 6 · 0, 035 = 250 · = 250 · 5, 328661 = 1332, 16 1, 035 1, 229255 · 0, 035 Resposta: O valor do produto a ser comprado deve ser de R$ 1332,16. 2.2 Sistema de Amortiza¸˜o Constante – SAC ca Esse ´ o sistema mais usado atualmente para financiamentos da casa pr´pria. Suas principais e o caracter´ ısticas s˜o: a 1. As parcelas de amortiza¸˜o s˜o constantes; ca a 2. O valor das presta¸˜es s˜o decrescentes. co a O valor P de cada presta¸˜o ´ composto de duas parcelas, os juros indicados por J, calculados ca e sobre o saldo devedor do per´ıodo anterior e a quota de amortiza¸˜o indicada por A, que ´ igual ca e D ao valor da d´ ıvida dividido pelo n´mero de presta¸˜es, isto ´: A = . u co e n Exemplo Elaborar a planilha te´rica de amortiza¸˜o para um empr´stimo de R$ 10.000,00, pelo sistema o ca e SAC, sendo r = 2% ao mˆs, a taxa de financiamento e n = 5 presta¸˜es mensais. e co 24
  • 25. Resolu¸˜o: Sejam D0 , D1 , D2 , ..., D5 , os saldos devedores nos per´ ca ıodos 0, 1, 2, ..., 5, respectiva- mente e Jn os juros do per´ıodo n, temos ent˜o a J1 = 10000 · 0, 02 = 200 J2 = 8000 · 0, 02 = 160 J3 = 6000 · 0, 02 = 120 J4 = 4000 · 0, 02 = 80 J5 = 2000 · 0, 02 = 40 Resultando na Tabela 1: n P J A D 0 - - - 10000 1 2200 200 2000 8000 2 2160 160 2000 6000 3 2120 120 2000 4000 4 2080 80 2000 2000 5 2040 40 2000 - Tabela 1: Planilha te´rica (SAC) o 2.3 Capitaliza¸˜o ca Quando se deseja constituir um Montante Mn ao longo de um certo tempo, podemos realizar n dep´sitos em uma institui¸˜o financeira, um mesmo valor ou termo indicado por T , periodica- o ca mente. Ao final desse per´ıodo, as somas dos montantes de cada um desses valores ir´ formar o Mon- a tante desejado. Todas estas aplica¸˜es recebem o nome dePlano de Capitaliza¸˜o ou Poupan¸a co ca c Programada. A Figura 7 a seguir d´ uma id´ia de como isso ocorre, para uma renda antecipada (primeiro a e dep´sito no per´ o ıodo 0 ) de 5 termos. Observe que a seq¨ˆncia (T, T u1 , T u2 , T u3 , T u4 ) dos montantes de cada termo T , ´ uma PG ue e de raz˜o u, primeiro termo T , com 5 termos. Para saber o valor do Montante M5 , no fim do a quarto per´ ıodo, basta calcular a soma dos 5 termos dessa PG. Assim. q5 − 1 S5 = a1 q−1 e desse modo u5 − 1 M5 = T u−1 que tamb´m pode ser escrita como e u5 − 1 M5 = T (27) i 25
  • 26. Figura 7: Esquema de capitaliza¸˜o antecipado. ca A partir de observa¸˜es cuidadosas na f´rmula 27 e na figura 7, podemos perceber que o n´mero co o u (5) do numerador da f´rmula est´ relacionado com o n´mero de termos da renda. Podemos o a u ent˜o, de forma intuitiva, estabelecer uma f´rmula que dˆ o montante para um n´mero n a o e u qualquer de termos, como a que se segue. ´ a E f´cil perceber que para uma renda de n termos iguais a T , sujeita a uma taxa i, o Montante Mn ao fim de n − 1 per´ ıodos pode ser calculado pela f´rmula: o un − 1 Mn = T · (28) i Isolando a inc´gnita T na equa¸˜o anterior, pode-se calcular o valor dos n dep´sitos iguais a T , o ca o necess´rios para se constituir o montante M . a i T =M· (29) un −1 Exemplos 1. Desejando constituir um capital, depositei mensalmente R$ 150,00, em uma poupan¸a c programada durante 12 meses. Se a taxa de juros foi de 1, 5 % ao mˆs, qual ´ o valor e e atual do montante? Resolu¸˜o: ca 1, 5 • i= = 0, 015 100 • u = 1 + 0, 15 = 1, 015 • M12 =? • n = 12 • T = 150 26
  • 27. Aplicando a f´rmula 28, obtemos: o 1, 01512 − 1 ∼ 1, 195618 − 1 ∼ M12 = 150 · = 150 · = 150 · 13, 0412 = 1956, 18 0, 015 0, 015 Resposta: O montante ao final desse per´ ıodo ser´ de aproximadamente R$ 1956,18. a 2. Que valor devo depositar mensalmente em uma poupan¸a programada que rende 1, 2 % c de juros ao mˆs, durante n = 8 meses, para que constitua ao fim desse per´ e ıodo um capital de R$ 5000,00? Resolu¸˜o: ca 1, 2 • i= = 0, 012 100 • u = 1 + 0, 12 = 1, 012 • M8 = 8000 • n=8 • T =? Aplicando a f´rmula 29, temos o 0, 012 0, 012 ∼ 8000 · 0, 119844 = 958, 75 T = 8000 · 8−1 = 8000 · = 1, 012 1, 100130 − 1 Resposta: Devo depositar durante 8 meses o valor R$ 958,75. 27
  • 28. 3 Sugest˜es de Atividades o 3.1 Encaminhamento metodol´gico o As atividades propostas neste trabalho s˜o indicadas para que sejam realizadas pelos alunos, a ap´s as demonstra¸˜es, por parte do professor, das principais f´rmulas da Matem´tica Finan- o co o a ceira e da resolu¸˜o de pelo menos alguns exerc´ ca ıcios exemplos para cada uma delas. As atividades 3.2.1 e 3.2.2 podem ser realizadas em sala de aula, pois foram preparadas para apresenta¸˜o com aux´ de calculadora simples. ca ılio As atividades 3.3.1 e 3.3.2 devem ser realizadas em um laborat´rio de inform´tica com um o a n´mero de computadores suficiente para atender aos alunos de uma turma, individualmente ou u em grupos pequenos. Uma boa parte dos estabelecimentos de ensino atualmente j´ possuem a esses laborat´rios. o Antes de levar os alunos ao laborat´rio, ´ muito importante que o professor, al´m da parte o e e te´rica, j´ tenha trabalhado com os alunos esses tipos de exerc´ o a ıcios com resolu¸˜es por outros co processos simples, com o uso de calculadora simples ou at´ mesmo pelos algoritmos operacionais. e 3.2 Atividades com calculadora simples 3.2.1 Calculando potˆncias com a calculadora simples e Pedir que os alunos calculem os valores de diversas potˆncias de expoentes naturais, especial- e mente aquelas com expoentes maiores e bases com n´meros decimais. u Inicialmente, deixem os alunos livremente para realizar os c´lculos, interferindo somente ao final a para mostrar as vantagens de m´todos pr´ticos que visam facilitar esses c´lculos, como aquele e a a que est´ descrito na seq¨ˆncia. Eles s˜o muito importantes para a Matem´tica como um todo, a ue a a especialmente para Matem´tica Financeira. a Objetivos pedag´gicos o • Mostrar que n˜o s˜o necess´rios aparatos sofisticados como as calculadoras cient´ a a a ıficas ou financeiras para se trabalhar c´lculos financeiros. a • Explorar ao m´ximo os recursos de uma calculadora simples. a • Facilitar o c´lculo de potˆncias que surgem naturalmente nas f´rmulas da Matem´tica a e o a Financeira. • Com a racionaliza¸˜o do tempo de c´lculo, aproveitar o tempo excedente para avan¸ar ca a c em novos conte´dos. u • Incentivar o uso das opera¸˜es constantes e das teclas de mem´ria das calculadoras. co o Material necess´rio a • Uma calculadora simples; • Material de anota¸˜o (l´pis, borracha, caneta e caderno). ca a 28
  • 29. Regra pr´tica para o c´lculo de potˆncias a a e Em uma calculadora simples, pode-se calcular o valor da potˆncia an , onde n ´ um n´mero e e u natural, obedecendo as seguintes etapas: 1. Digitar o n´mero que representa a base a da potˆncia; u e 2. Pressionar a tecla X ; 3. Pressionar a tecla = (n-1) vezes. Explorando essa atividade • Pedir que cada aluno explique porque se deve apertar a tecla = (n-1) vezes se o expoente da potˆncia ´ n. e e • Aplicar o m´todo mostrado acima para calcular o montante nos juros compostos, em cuja e f´rmula aparece potˆncias com expoentes naturais. o e Sugest˜o: Montar uma lista de atividades nas quais figurem essas potˆncias. a e • Mostrar aos alunos as vantagens de se usar o m´todo pr´tico descrito anteriormente e a e a sua real necessidade para a Matem´tica Financeira. a • Explorar com alunos outras opera¸˜es constantes das calculadoras comuns, como: soma, co subtra¸˜o, divis˜o e raiz quadrada, tentando descobrir poss´ ca a ıveis aplica¸˜es. co • Pedir que cada aluno mostre alguma outra situa¸˜o dentro da Matem´tica ou mesmo em ca a outra ciˆncia onde esse m´todo pode ser util. e e ´ 3.2.2 Explorando as teclas de mem´ria o Muitos usu´rios de calculadoras simples n˜o conhecem as fun¸˜es das teclas de mem´ria M , a a co o M+ , MRC ou MR das calculadoras, ou quando sabem, n˜o as usam pois n˜o se d˜o conta a a a da sua real importˆncia para o c´lculo de f´rmulas matem´ticas. a a o a Nesta atividade o professor dever´ explicar as fun¸˜es dessas teclas (Ver 2.1.5) e montar uma a co lista de exerc´ ıcios de Matem´tica Financeira que envolvam f´rmulas cujos c´lculos podem ser a o a facilitados com o uso dessas calculadoras. Ver as subse¸˜es 2.1 e 2.3. Inicialmente, os alunos devem ser deixados ` vontade para resolver co a os exerc´ ıcios do jeito que quiserem, mas o professor deve intervir em seguida para introduzir o m´todo pr´tico mostrado abaixo, incentivando o seu uso. e a Objetivos pedag´gicos o • Mostrar aos alunos a importˆncia de saber realizar c´lculos financeiros para o cotidiano a a da pessoas. • Auxiliar no processo de forma¸˜o de indiv´ ca ıduos cr´ ıticos. • Incentivar o uso das teclas de mem´ria das calculadoras. o 29
  • 30. • Discutir com os alunos sobre as vantagens de se usar as teclas de mem´ria das calculadoras o e da sua real necessidade para a Matem´tica Financeira. a • Aplicar o m´todo pr´tico exposto nesta atividade para se calcular os coeficientes de amor- e a tiza¸˜o de d´ ca ıvidas e de capitaliza¸˜o. ca Sugest˜o: Montar uma lista de atividades; a Material necess´rio a • Uma calculadora simples; • Material de anota¸˜o (l´pis, borracha, caneta e caderno). ca a M´todo pr´tico e a Para calcular o coeficiente de amortiza¸˜o do pagamento postecipado (sem entrada), cuja f´rmula ca o ´ dada a seguir, onde n representa o n´mero de pagamentos, i ´ a taxa unit´ria e u = 1 + i, e u e a devemos proceder da seguinte forma: un · i un − 1 1. Digitar o n´mero u e pressionar a tecla = (n-1) vezes; u 2. Pressionar em seq¨ˆncia, a tecla – , a tecla 1 e a tecla = ; ue 3. Pressionar a tecla M+ para guardar o resultado atual (denominador da f´rmula) na o mem´ria da m´quina; o a 4. Pressionar, ou a tecla MR ou a tecla MRC para acessar o valor que est´ guardado a na mem´ria da m´quina. o a 5. Pressionar a tecla + , depois a tecla 1 e a tecla = para restituir o valor da potˆncia e un , que ´ necess´ria ao c´lculo do numerador. e a a 6. Pressionar a tecla X , digitar o n´mero i e pressionar = para obter no visor da m´quina u a o resultado do numerador; 7. Pressionar ÷ , pressionar, ou MR ou MRC e finalmente pressionar a tecla = para obter o resultado final. Explorando essa atividade • Estabelecer uma discuss˜o com os alunos a respeito da eficiˆncia e da real necessidade a e desse m´todo para a Matem´tica Financeira; e a • Pedir aos alunos que tentem fazer adapta¸˜es do m´todo para calcular os outros coefi- co e cientes (pagamento antecipado e diferido). • Discutir com os alunos sobre a validade do uso deste m´todo. e • Pedir aos alunos que descubram outras aplica¸˜es para este m´todo dentro da Matem´tica co e a ou at´ mesmo em outras ciˆncias como a F´ e e ısica. 30
  • 31. 3.3 Atividades com o software Calc As atividades para esta se¸˜o visam utilizar o software Calc, uma planilha eletrˆnica que integra ca o o pacote de aplicativos BrOffice.Org, um software livre que pode ser baixado gratuitamente no link http://www.broffice.org/download. O seu layout e funcionalidade s˜o semelhantes a ao Microsoft Excel e as atividades podem ser facilmente adaptadas do Excel para esse software. 3.3.1 Calculando a taxa de juros de uma renda uniforme Inicialmente, o professor deve demonstrar aos alunos a dificuldade de se efetuar certos c´lculos a financeiros, particularmente os que visam encontrar o valor da taxa em problemas de rendas certas, pois a vari´vel i, em quest˜o se apresenta de modo impl´ a a ıcito, ou seja n˜o pode ser a isolada facilmente por meio de uma equa¸˜o, necessitando muitas vezes de m´todos num´ricos ca e e de aproxima¸˜o. ca O professor deve pedir aos alunos que tragam, para a aula seguinte, folhetos com ofertas de financiamentos de produtos, desses que as empresas distribuem contendo o pre¸o ` vista, o valor c a e a quantidade das presta¸˜es e a forma de pagamento, que neste caso deve ser sem entrada e co com o valor das presta¸˜es iguais. co Depois de uma breve introdu¸˜o sobre o software Calc na sala de aula e do m´todo que ser´ ca e a utilizado, o professor dever´ pedir aos alunos que montem uma lista de atividades, auxiliando-os a se necess´rio, na escrita dos enunciados. a Em seguida, o professor dever´ conduzir os alunos ao laborat´rio de inform´tica para a resolu¸˜o a o a ca dos exerc´ ıcios. Observa¸˜o: Algumas empresas cobram a TAC, que ´ uma tarifa para abertura de cr´dito. ca e e Neste caso, o valor dessa taxa deve ser acrescido ao valor da d´ ıvida. Devemos acrescentar tamb´m o valor do IOF, imposto cobrado sobre opera¸˜es financeiras, caso este seja repassado e co ao consumidor. Pesquisar o valor dessa tarifa. Objetivos pedag´gicos o • Resolver problemas de Matem´tica Financeira de dif´ solu¸˜o por m´todos simples, a ıcil ca e como os que visam o c´lculo da taxa em uma renda uniforme; a • Mostrar que a Matem´tica Financeira, at´ mesmo nos seus c´lculos mais complexos pode a e a ser acess´ aos nossos alunos; ıvel • Incentivar o uso da tecnologia computacional na resolu¸˜o de problemas; ca • Auxiliar no processo de forma¸˜o de indiv´ ca ıduos cr´ ıticos. Material necess´rio a • Um computador pessoal com o software Calc instalado; • Material de anota¸˜o (l´pis, borracha, caneta e caderno). ca a 31
  • 32. Procedimentos Os procedimentos a seguir podem ser realizados individualmente ou em pequenos grupos, con- forme a disponibilidade de computadores no laborat´rio: o 1. Abrir uma planilha do Calc; (Ver Figura 8) Figura 8: Abrindo uma planilha no Calc 2. Na c´lula B2, escrever N´mero de presta¸~es e na c´lula C2, escrever o valor correspon- e u co e dente ao N´mero de presta¸˜es; u co 3. Na c´lula B3, escrever Valor da presta¸~o e na c´lula C3, escrever o valor correspon- e ca e dente ao Valor da presta¸˜o com o sinal negativo; ca 4. Na c´lula B4, escrever Valor da d´vida e na c´lula C4, escrever o valor correspondente e ı e ao Valor da d´ ıvida; 5. Na c´lula B5, escrever Taxa. e 6. Ajustar a largura da coluna B para caber estes textos; 7. Deixe a c´lula C5 vazia. e 8. Selecionar a c´lula C5 e clicar no Assistente de fun¸˜es, cujo ´ e co ıcone ´ [ f(x) ]; e 9. Na guia Fun¸˜es, em categoria escolha financeiro e em fun¸˜o escolha TAXA, clicando co ca em pr´ximo; (Ver Figura 9) o 10. Nas caixas NPER, Pgto, VP, n˜o digitar nada. Para inserir cada um desses dados, clique a sobre o bot˜o ` direita de cada uma delas para minimizar o assistente e visualizar os a a dados anteriormente inseridos. 32
  • 33. Figura 9: Inserindo os dados 11. Com o prompt em cada uma dessas caixas selecionar respectivamente os valores da planilha correspondentes do N´mero de presta¸~es para NPER, Valor da presta¸~o u co ca para Pgto, Valor da d´vida para VP. ı 12. Na caixa Tipo, digitar o n´mero 1 e deixar as demais caixas deixar em branco. u 13. Clicar em OK e o valor da taxa aparecer´ na c´lula B4. (Ver Figura 10) a e Figura 10: Trabalhando no assistente de fun¸˜o ca 33
  • 34. Explorando esta atividade • Pedir aos alunos que confiram a taxa obtida nos c´lculos com a taxa declarada pela em- a presa (em geral, no rodap´ do an´ncio e em letras menores) e verifiquem se elas coincidem. e u • Pedir que cada aluno aumente o N´mero de presta¸˜es e responda `s quest˜es: u co a o – O valor da taxa se altera? Para mais ou para menos? Por que isso ocorre? • Pedir que cada aluno diminua o Valor das presta¸˜es e responda `s perguntas: co a – O valor da taxa se altera? Para mais ou para menos? Por que isso ocorre? • Em seguida, pedir para que cada aluno ajuste o Valor das presta¸˜es de modo que a Taxa co esteja pr´xima de 0 e responda `s seguintes perguntas: o a – Quando ocorre a taxa 0? A a taxa pode ser negativa? Quando isso ocorre? Se a taxa ´ negativa, quem estaria pagando essa taxa? O cliente ou a empresa? O caso e da taxa negativa tem a ver com a realidade? Por que? • Pedir aos alunos que pesquisem sobre as taxas cobradas no com´rcio local e com as taxas e calculadas na atividade anterior, pedir aos alunos que fa¸am a prova real dos c´lculos, ou c a seja, usem estas taxas nas f´rmulas para o c´lculo das presta¸˜es e verifiquem se os valores o a co coincidem. Se a resposta for negativa, sugerir que refa¸am os c´lculos para detectar o c a erro. 3.3.2 Calculando a taxa de juros de uma renda n˜o uniforme a Para essa atividade, deve-se seguir os mesmos passos da atividade anterior, diferindo apenas na etapa seguinte: O professor pedir´ aos alunos que tragam folhetos com ofertas de financiamentos de produtos, a desses que as empresas distribuem contendo o pre¸o ` vista, o valor, o n´mero de presta¸˜es e a c a u co forma de pagamento, n˜o importando se a opera¸˜o ser´ realizada com entrada ou sem entrada. a ca a Observa¸˜o: Para essa atividade as presta¸˜es n˜o necessariamente precisam ser iguais. ca co a Objetivos pedag´gicos o 1. Resolver problemas de Matem´tica Financeira de dif´ solu¸˜o por m´todos simples; a ıcil ca e 2. Mostrar que a Matem´tica Financeira, mesmo nos seus c´lculos mais complexos pode ser a a acess´ para os nossos alunos; ıvel 3. Incentivar o uso da tecnologia computacional na resolu¸˜o de problemas; ca 4. Auxiliar no processo de forma¸˜o de indiv´ ca ıduos cr´ ıticos. Material necess´rio a • Computador com o software Calc instalado; • Material de anota¸˜o (l´pis, borracha, caneta e caderno). ca a 34
  • 35. Procedimentos Para as atividades seguintes, sugerimos que sejam realizadas individualmente ou em pequenos grupos, conforme a disponibilidade de computadores no laborat´rio: o 1. Abrir uma nova planilha no Calc; (Ver Figura 8) 2. Na c´lula B2 escrever D e na c´lula C2 digitar o Valor da d´ e e ıvida. 3. Na c´lula B3 escrever E e na c´lula C3 digitar o Valor da entrada, caso o plano seja com e e entrada. Se o plano for sem entrada, escrever 0. 4. Na c´lula B4 escrever D-E e na c´lula C4, calcular o valor do Saldo devedor, isto ´, a e e e diferen¸a entre a D´ c ıvida e o Valor da entrada; 5. Nas c´lulas B5 e C5 n˜o escrever nada; e a 6. Na c´lula B6 escrever Saldo Devedor e na c´lula C6 digitar o valor do Saldo devedor; e e 7. Na c´lula B7 escrever Presta¸~o 1 e na c´lula C7 digitar o valor da Presta¸˜o 1 (com e ca e ca sinal negativo); 8. Na c´lula B8 escrever Presta¸~o 2 e na c´lula C8 digitar o valor da Presta¸˜o 2 (com e ca e ca sinal negativo); 9. Na c´lula B9 escrever Presta¸~o 3 e na c´lula C9 digitar o valor da Presta¸˜o 3 (com e ca e ca sinal negativo); Observa¸˜o: O valor da d´ ca ıvida deve ser menor que o valor da soma das presta¸˜es tomadas em valor absoluto. co 10. Na c´lula B10 escrever Taxa; e 11. Selecionar a c´lula C10 e clicar no Assistente de fun¸˜es, cujo ´ e co ıcone ´ [f(x)]; e 12. Na guia Fun¸~es, em Categoria escolher financeiro e em Fun¸~o escolher TIR e clicar co ca em pr´ximo; (Ver Figura 11) o Figura 11: Inserindo os dados 35
  • 36. 13. Na caixa Valores n˜o digitar nada. Com o prompt nessa caixa, clicar no bot˜o ` direita a a a (Indicado com uma seta na Figura 12) para minimizar o Assistente. Selecionar apenas o intervalo (de C6 a C9), da coluna dos valores e retornar ao Assistente, clicando no mesmo bot˜o para maximiz´-lo. Clique em OK. O valor da taxa ir´ aparecer na c´lula B10 da a a a e planilha. (Ver Figura 12) Figura 12: Trabalhando no assistente de fun¸˜o ca Explorando esta atividade • Pedir que cada aluno aumente o valor de uma ou mais presta¸˜es e responda `s seguintes co a quest˜es: o – O que acontece com a taxa? – Por que isso ocorre? • Pedir que cada aluno diminua o valor de uma ou mais presta¸˜es e responda `s quest˜es: co a o – O que acontece com a taxa? – Por que isso ocorre? – Ela pode se tornar negativa? Em que situa¸˜o? ca – Nesse caso quem estar´ pagando essa taxa? Essa situa¸˜o pode ocorrer na realidade? a ca Estabele¸a uma discuss˜o sobre este assunto. c a 36
  • 37. Referˆncias e [1] D’Ambr´sio, Nicolau e Ubiratan, Matem´tica Comercial e Financeira, Companhia Editora o a Nacional, 29a edi¸˜o, S˜o Paulo, 1983. ca a [2] Lima, Elon Lages, et al, Temas e Problemas, Cole¸˜o do Professor de Matem´tica, SBM, ca a Rio de Janeiro, 2001. [3] Faria, Rog´rio G. de, Matem´tica Comercial e Financeira, Makron Books, 5a edi¸˜o, S˜o e a ca a Paulo, 2000. [4] Sobrinho, J. D. Vieira, Manual de Aplica¸˜es Financeiras – HP-12C, Atlas, 2a edi¸˜o, S˜o co ca a Paulo, 1985. Conte´ dos dispon´ u ıveis na Internet http://www.mat.uel.br/matessencial/financeira/financeira.htm (acessado em 29 de novembro de 2007). http://pa.esalq.usp.br/desr/dum/node2.html (acessado em 30 de novembro de 2007). http://www.iesc.edu.br/pesquisa/arquivos/o_anatocismo_dos_sistemas_de_amortizacao. pdf (acessado em 20 de dezembro de 2007). 37