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Aulas matematica

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  • 1. PROF.:THIAGO PACÍFICO Professor Thiago Pacífico – Matemática aulas 01 e 02 REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA "Agir com sabedoria assegura o sucesso”. “Sei que não da pra mudar o começo, mas se agente quiser dá pra mudar o final” GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas (A e B) são diretamente proporcionais quando, aumentando-se o valor de uma delas um certo número de vezes, o valor correspondente da outra também aumenta o mesmo número de vezes. Em símbolos, temos: coeficiente de A ∼ B ⇔ A = k ⋅ B , onde k = proporcionalidade Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então a razão de dois valores de uma das grandezas é igual à razão entre os dois valores a eles correspondentes na outra grandeza. A 1 = k . B 1  ⇔ A1 = B1 A 2 = k . B 2 A2 B2 GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas (A e B) são inversamente proporcionais quando, aumentando-se uma delas um certo número de vezes, o valor correspondente na outra diminui o mesmo número de vezes. Em símbolos, temos: 1 1 coeficient e de A~ ⇔ A = k ⋅ , onde k = B B proporcion alidade Se duas grandezas são inversamente proporcionais, então a razão entre os dois valores de uma das grandezas é igual ao inverso da razão entre os dois valores a eles correspondentes na outra grandeza.  1 A 1 = k ⋅ B 1  1 A 1 B1 A1 B 1 ⇔ A2 ⇔  = = 2 A = k ⋅ 1 A2 B1   2 B2 B2 Observação Se A ~ B e A ~ C , então A ~ B ⋅ C http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 1
  • 2. PROF.:THIAGO PACÍFICO REGRA DE TRÊS SIMPLES É uma regra prática que nos permite comparar duas grandezas proporcionais, A e B, relacionando dois valores de A e dois valores de B. Nos problemas, haverá um desses quatro valores que será desconhecido e deverá ser calculado com base nos três valores dados. Daí o nome regra de três. Dependendo das grandezas A e B, podemos ter: REGRA DE TRÊS DIRETA A e B são grandezas diretamente proporcionais. A1 B = 1 A2 B2 REGRA DE TRÊS INVERSA A e B são grandezas inversamente proporcionais. A1 B = 2 A2 B1 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Se uma dúzia de ovos custa R$ 1,40, então quanto deve custar uma bandeja com 30 ovos? Solução: Faça uma tabela relacionando a quantidade de ovos ao preço, e por meio de setas verifique se estas grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Quantidade de ovos Preço (R$) 12 1,40 30 x As setas têm o mesmo sentido porque as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, quanto mais ovos se quer comprar, mais dinheiro se tem que gastar. 12 1,40 30 . 1,40 Logo: = ⇒ x = ⇒ x = 3,50 30 x 12 Resposta: Uma bandeja com 30 ovos deve custar R$3,50. REGRA DE TRÊS COMPOSTA É uma regra prática utilizada na resolução de problemas que envolvem várias grandezas proporcionais. A regra de três composta é realizada da seguinte maneira. → 1º Passo: Montamos uma tabela colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza. → 2º Passo: Escolhemos uma grandeza para servir de referência. → 3º Passo: Comparamos esta grandeza de referência a cada uma das outras grandezas, isoladamente, identificando se há proporcionalidade direta (seta de mesmo sentido) ou inversa (setas invertidas). → 4º Passo: Colocamos a razão da grandeza de referência isolada no 1º membro e, no 2º membro, colocamos o produto das razões das outras grandezas, lembrando que se há proporcionalidade inversa em relação a uma grandeza, devemos inverter os elementos da respectiva coluna e escrever a razão inversa no produto. http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 2
  • 3. PROF.:THIAGO PACÍFICO EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Dezoito operários, trabalhando 7 horas por dia durante 12 dias, conseguem realizar um determinado serviço. Trabalhando 9 horas por dia, 12 operários farão o mesmo serviço em quantos dias? Solução 1: Montando a tabela e tomando a quantidade de dias como referência, temos: Operários Horas por dia Dias 18 7 12 12 9 x Logo: 12  12   9  =   .   ⇒ 18.7 = 9.x ⇒ x = 14 dias x  18   7  Resposta: São necessários 14 dias. Solução 2: Montando a tabela e tomando o no de operários como referência, temos: Operários Horas por dia Dias 18 7 12 12 9 x Logo: 18  9   x  =   .   ⇒ 18.7 = 9.x ⇒ x = 14 dias 12  7   12  Resposta: São necessários 14 dias. REGRA DE SOCIEDADE É justo que, em uma sociedade, os lucros e os prejuízos sejam distribuídos entre os vários sócios, proporcionalmente aos capitais empregados e ao tempo durante o qual estiveram empregados na constituição dessa sociedade. Lucro ~ Capital  Lucro ⇒ = cte Lucro ~ Tempo  Capital ⋅ Tempo É uma aplicação prática da divisão em partes diretamente proporcionais. http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 3
  • 4. PROF.:THIAGO PACÍFICO EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. João e Maria montaram uma lanchonete. João entrou com R$ 20.000,00 e Maria, com R$ 30.000,00. Se ao fim de um ano eles obtiveram um lucro de R$ 7.500,00, quanto vai caber a cada um? Solução: Utilizando a regra da sociedade, vemos que: lucro J M = = capital ⋅ tempo 20000 ⋅ 1 30000 ⋅ 1 onde J é o lucro que cabe ao João e M é o lucro que cabe à Maria. Simplificando a proporção, temos: J M J + M 7500 J = 3000 = = = = 1500 ⇒  2 3 2+3 5 M = 4500 Resposta: João lucrou R$ 3.000,00 e Maria lucrou R$ 4.500,00. 02. Três sócios lucraram juntamente R$ 21.500,00 após um certo investimento. Para tanto, o primeiro entrou com um capital de R$ 7.000,00, durante 1 ano, o segundo com R$ 8.500,00 durante 8 meses e o terceiro com R$ 9.000,00 durante 7 meses. Quanto lucrou cada um? Solução: Utilizando a regra da sociedade, vemos que: lucro x y z = = = capital ⋅ tempo 7000 ⋅ 12 8500 ⋅ 8 9000 ⋅ 7 onde x, y e z são as partes de cada um no lucro. Simplificando a proporção, temos: x y z = = ⇒ 70 ⋅ 12 85 ⋅ 8 90 ⋅ 7 x y z x + y + z 21500 = = = = = 10 ⇒ 840 680 630 2150 2150 x = 8400  ⇒ y = 6800 z = 6300  Resposta: O primeiro lucrou R$ 8.400,00; o segundo, R$ 6.800,00 e o terceiro, R$ 6.300,00. http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 4
  • 5. PROF.:THIAGO PACÍFICO QUESTÕES DE CONCURSOS 01. Uma máquina, funcionando durante 5 horas, enche 120 vasilhas de detergente. Quantas vasilhas ela encheria se funcionasse durante 8 horas? 02. Vinte homens fazem um determinado serviço em 10 dias. Para fazer o mesmo trabalho em 8 dias, quantos homens, com a mesma capacidade dos primeiros, seriam necessários? 03. A água do mar contém 2,5 g de sal para cada 100 g de água. Quantos gramas de sal teremos em 5 kg de água do mar? (Observação: você deve transformar 5 kg em gramas) 04. Usando telha francesa, precisamos de 15 telhas para cobrir 1,5 m² de telhado. Quantas telhas serão necessárias para cobrir 85 m² de telhado? 05. Sabemos que a carga máxima de um elevador é de 7 adultos com 80 kg cada um. Quantas crianças, pesando 35 kg cada uma, atingiriam a carga máxima desse elevador? 06. Em uma tecelagem, 12 teares produzem 600 m de tecido em 5 dias. Em quantos dias 15 teares deverão produzir 1200 m do mesmo tecido? http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 5
  • 6. PROF.:THIAGO PACÍFICO 07. Em 3 horas, 4 torneiras despejam 4200 litros de água. Em quantas horas 5 dessas torneiras despejam 7000 litros de água? 08. Uma pilha de 50 jornais iguais, com 30 páginas cada um, pesa 7,5 kg. Quantos quilogramas pesaria uma pilha de 100 jornais, com 20 páginas cada um? 09. Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para quantos dias? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 8 10. Se 10 operários trabalhando 6 horas por dia fazem determinado serviço em 20 dias, em quantos dias 15 operários, trabalhando 8 horas por dia, fazem o mesmo serviço. a) 6 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18 11. Um mecânico regula um automóvel modelo X em 40 minutos, enquanto seu auxiliar realiza o mesmo trabalho em duas horas. Trabalhando juntos, regularão 3 automóveis do mesmo modelo X em: a) 70 minutos b) 80 minutos c) 90 minutos d) 100 minutos http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 6
  • 7. PROF.:THIAGO PACÍFICO 12. Uma torneira enche um tanque em 6 horas, uma segunda torneira enche em 3 horas e uma válvula de escape seca o tanque em 12 horas. Se as duas torneiras e a válvula forem abertas no mesmo instante, em quanto tempo o tanque ficará cheio? a) em 1 hora e 30 minutos b) em 2 horas c) em 2 horas e 24 minutos d) o tanque nunca encherá 13. Para pintar um barco, 12 pessoas levam 8 dias de trabalho. Quantas pessoas, de mesma capacidade operacional, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias? a) 9 b) 13 c) 15 d) 16 e) 18 14. Um comprador de gado paga por cada animal um valor diretamente proporcional ao peso e inversamente proporcional à idade. Sabe-se que o valor de um animal de peso P1 e com 7 anos de idade é R$ 12.000,00. Qual é o valor de um animal com 5 anos de idade e de peso P2, com P1 3 = ? P2 5 a) 15.000 reais b) 18.000 reais c) 20.000 reais d) 24.000 reais e) 28.000 reais 15. Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia durante 10 dias, o número de peças produzidas seria: a) 1000 b) 2000 c) 4000 d) 5000 e) 8000 16. Uma fábrica produz normalmente 3000 peças em 2,5 dias de trabalho, operando com 6 máquinas de igual capacidade operacional. No momento, porém, com duas das máquinas sem funcionar, a fábrica deve atender a uma encomenda de 4000 peças. Quantos dias de trabalho serão necessários? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 7
  • 8. PROF.:THIAGO PACÍFICO 17. Trabalhando 10 horas, durante 15 dias, 8 pedreiros fizeram uma parede de concreto de 48m2• Se estivessem trabalhando 12 horas diárias e se o número de operários fosse reduzido de 2, quantos dias levariam para fazer outra parede cuja área fosse o dobro daquela? a) 33 dias b) 33 dias e 8 horas. c) 33 dias e 4 horas. d) 33 dias e 6 horas. e) 33 dias e 5 horas. 18. Thiago Pacífico e Rodrigo formaram uma sociedade. Thiago Pacífico fundou a empresa com o capital social de R$ 600 mil e admitiu Rodrigo, 4 meses depois, com a metade do seu capital. No fim de um ano de atividade, apurou-se um lucro de R$ 288 mil após o balanço. Que parte do lucro coube a Thiago Pacífico? a) 256mil b) 226mil c) 216mil d) 180mil e) 72mil 19. Dois sócios, ao constituírem uma sociedade, entraram, respectivamente, com os capitais de R$ 150.000,00 e R$ 120.000,00. Na divisão dos lucros, o primeiro recebeu R$ 54.000,00 a mais do que o segundo. Quanto recebeu o segundo? a) 256mil b) 226mil c) 216 mil d) 196 mil 20. Uma firma é constituída por 2 sócios A e B cujos capitais investidos são 200 e 350 mil reais respectivamente. Todo lucro ou prejuízo é dividido entre os dois, proporcionalmente ao capital investido. A firma acusou um prejuízo de 121 mil reais. As parcelas do prejuízo correspondentes a cada sócio são respectivamente: a) 20 e 101 mil reais. b) 40 e 70 mil reais. c) 44 e 77 mil reais. d) 79 e 72 mil reais. e) 100 e 21 mil reais. 21. Thiago Pacífico e Igor constituíram uma sociedade comercial, em que Thiago Pacífico entrou com R$ 2 milhões e Igor com R$ 2,5 milhões. Após 8 meses, Thiago Pacífico aumentou sua participação para R$ 3,5 milhões e Igor diminuiu seu capital para R$ 1,5 milhão. No fim de 1 ano e 6 meses, houve um lucro de R$ 344 mil. Qual foi a parte de Thiago Pacífico? a) R$ 140 mil b) R$ 144 mil c) R$ 184 mil d) R$ 204 mil e) R$ 224 mil http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 8
  • 9. PROF.:THIAGO PACÍFICO 22. O lucro de R$ 14.000,00 da empresa Concursos S/A, será dividido entre seus dois sócios. Thiago Pacífico aplicou na empresa R$2.000,00 por 6 meses e Rinaldo aplicou R$4.000,00 por 4 meses. Quanto, respectivamente, coube a cada um deles? a) R$ 4.000,00 e R$ 10.000,00 b) R$ 6.000,00 e R$ 8.000,00 c) R$ 7.000,00 e R$ 7.000,00 d) R$ 9.000,00 e R$ 5.000,00 23. Três sócios lucraram juntamente R$21.500,00. Para tanto, o primeiro entrou com um capital de R$7.000,00 durante 1 ano, o segundo com R$8.500,00 durante 8 meses e o terceiro com R$9.000,00 durante 7 meses. Quanto lucrou cada um? a) R$8400,00 para o 1o , R$6800,00 ao segundo e R$6300,00 ao outro b) R$9400,00 para o 1o , R$5500,00 ao segundo e R$6600,00 ao terceiro c) R$7500,00 para o primeiro, R$6500,00 ao segundo e R$7300,00 ao ultimo d) R$8000,00 para o 1o , R$7800,00 ao 2o e R$5100,00 ao 3o 24. Uma herança de R$ 90.000,00 deverá ser dividida entre os filhos do Sr. Ricardo, de tal modo que o valor que cada um receba seja diretamente proporcional ao número de netos dados ao pai e inversamente proporcional a sua idade. Julgue os itens abaixo com relação a quantia que coube a cada um dos filhos, sabendo que Agnaldo tem 20 anos e 5 filhos, Beto tem 30 anos e apenas 2 filhos e Carlos tem 40 anos e 4 filhos. Aponte o único item VERDADEIRO a seguir. a) A maior quantia coube ao filho mais velho. b) O filho mais novo recebeu mais que os outros dois juntos. c) O caçula recebeu 54% da herança. d) Os valores recebidos formam um progressão aritmética. 25. Suponha que x2 macacos comem x3 bananas em x minutos (onde x é um número natural dado). Em quanto tempo espera-se que 5 destes macacos comam 90 bananas? a) 11 minutos b) 18 minutos c) 16 minutos d) 13 minutos e) 15 minutos 26. Uma máquina que, trabalhando sem interrupção, fazia 90 fotocópias por minuto foi substituída por outra 50% mais veloz. Suponha que a nova máquina tenha que fazer o mesmo número de cópias que a antiga, em uma hora de trabalho ininterrupto, fazia. Para isso, a nova máquina vai gastar um tempo mínimo, em minutos, de: a) 25 b) 30 c) 35 d) 40 http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 9
  • 10. PROF.:THIAGO PACÍFICO 27. Três operários, trabalhando juntos, gastam três dias para executar uma tarefa. O primeiro, trabalhando sozinho, faz a mesma tarefa em seis dias e o segundo, em dez dias. Supondo-se que trabalhando em grupo ou individualmente os operários têm o mesmo rendimento, o tempo, em dias, que o terceiro operário gasta para cumprir a mesma tarefa, trabalhando sozinho, é: a) 12 b) 15 c) 16 d) 18 28. A média aritmética das notas dos alunos de uma turma formada por 25 meninas e 5 meninos é igual a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a 6, a média aritmética das notas das meninas é igual a: a) 6,5 b) 7,2 c) 7,4 d) 7,8 e) 8,0 29. No Banco Dimdim, em dias normais, na agência central, 10 caixas atendem 900 pessoas − trabalhando 6 horas diárias. Em uma segunda−feira chuvosa dois caixas faltaram por conta de uma virose e o gerente quer uma previsão de quantas pessoas poderão ser atendidas nas 2 horas iniciais, quando o nível de dificuldade é duas vezes maior. Podemos afirmar que o número de pessoas atendinas nesse intervalo é de aproximadamente: a) 240 b) 150 c) 120 d) 90 e) 60 30. Para construir uma ponte em 75 dias de 8 horas diárias de trabalho, foram contratados 100 operários. Como se deseja terminar a obra em 40 dias de 10 horas diárias de trabalho, determine quantos operários a mais devem ser contratados. a) 150 b) 125 c) 40 d) 50 31. Desenvolvendo uma velocidade média de 18km por hora, um pedestre correu durante 1h 20min. Se tivesse desenvolvido a velocidade média de 15km por hora, teria feito o mesmo percurso em quanto tempo? a) 1h 16min b) 1h 26min c) 1h 36min d) 1h 46min e) 1h 30min http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 10
  • 11. PROF.:THIAGO PACÍFICO 32. Antônio demora 1 hora e 30 min para pintar 10m2 de parede, enquanto seu auxiliar Baltazar demora 3 horas para executar o mesmo serviço. Quanto tempo os dois juntos pintam 20m2 de parede? a) 1 hora b) 1 hora e 30 min c) 2 horas d) 2 horas e 30 min 33. Para remoção das vítimas da enchente de uma cidade foram necessários 480 homens trabalhando durante 8 dias. Quantos homens seriam necessários para se fazer o mesmo trabalho em 6 dias? a) 720 b) 640 c) 580 d) 520 34. O lucro de R$ 14.000,00 da lanchonete WR, será dividido entre seus dois sócios. Wendel aplicou na empresa R$2.000,00 por 6 meses e Rinaldo aplicou R$4.000,00 por 4 meses. Quanto, respectivamente, coube a cada um deles? a) R$ 4.000,00 e R$ 10.000,00 b) R$ 6.000,00 e R$ 8.000,00 c) R$ 7.000,00 e R$ 7.000,00 d) R$ 9.000,00 e R$ 5.000,00 GABARITO 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 192 25 125 850 16 8 4 10 C B C C D E C A B C C C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 D B A B B D B B C D C C B B http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 11
  • 12. PROF.:THIAGO PACÍFICO NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA “Não se preocupe com a distância entre seus sonhos e a realidade. Se você pode sonhá- los você pode realizá-los”. "As únicas pessoas que nunca fracassam são as que nunca tentam”. “A persistência é o menor caminho do êxito”. PORCENTAGEM p p% = 100 Exemplos: 27% = 27/100 = 0,27 0,5% = 0,5/100 = 0,005 Observação p p‰ = 1000 Exemplos: 2 0 00 = 2/1000 = 0,002 29 0 00 = 29/1000 = 0,029 315 0 00 = 315/1000 = 0,315 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Um fichário tem 25 fichas numeradas, sendo que 52% dessas fichas estão etiquetadas com número par. Quantas fichas têm a etiqueta com número par? Solução: Representando por x o número de fichas que têm etiqueta com número par e lembrando que 52% = 52/100 = 0,52, temos: x = 52% de 25 x = 0,52 . 25 x = 13 Resposta: Nesse fichário há 13 fichas etiquetadas com número par. 02. No torneio pré-olímpico de basquete, realizado na Argentina em agosto de 1995, a seleção brasileira disputou 4 partidas na 1ª fase e venceu 3. Qual é a porcentagem de vitórias obtidas pelo Brasil nessa fase? Solução 1: Vamos indicar por x% o número que representa essa porcentagem. O problema pode, então, ser expresso por: x% de 4 é igual a 3 Isso resulta na equação: x ⋅ 4 = 3 ⇒ 4x = 300 ⇒ x = 75 100 http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 12
  • 13. PROF.:THIAGO PACÍFICO Solução 2: Do Enunciado temos: 3 75 = 0,75 = = 75% 4 100 Resposta: O Brasil venceu 75% dos jogos que disputou nessa fase. 03. Numa indústria trabalham 255 mulheres. Esse número corresponde a 42,5% do total de empregados. Quantas pessoas trabalham, ao todo, nessa indústria? Solução: Vamos representar por x o número total de empregados dessa indústria. Esse problema pode ser expresso por: 42,5% de x é igual a 255 42,5 Sabendo que 42,5% = = 0,425, podemos formar a equação: 100 0,425 . x = 255 255 x= ⇒ x = 600 0,425 Resposta: Nessa indústria trabalham, ao todo, 600 pessoas. 04. Ao comprar uma mercadoria, obtive um desconto de 8% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 690,00 pela mercadoria, qual o preço original dessa mercadoria? Solução: Se obtive 8% de desconto, o preço que paguei representa 100% − 8% = 92% do preço original. Representando o preço original da mercadoria por x, esse problema pode ser expresso por: 92% de x é igual a 690 92 Sabendo que 92% = = 0,92, podemos formar a equação: 100 0,92 . x = 690 ⇒ 0,92x = 690 690 x= ⇒ x = 750 0,92 Resposta: O preço original da mercadoria era R$ 750,00. 05. 40% de 20% corresponde a quantos por cento? Solução: Representando por x% a taxa de porcentagem procurada, o problema se reduz a: 40% de 20% é igual a x. Se 40% = 0,40 e 20% = 0,20, temos a equação: 8 0,40 . 0,20 = x ⇒ x = 0,08 ⇒ 0,08 = = 8% 100 Resposta: Assim, 40% de 20% corresponde a 8%. http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 13
  • 14. PROF.:THIAGO PACÍFICO 06. Uma geladeira, cujo preço à vista é de R$ 680,00 tem um acréscimo de 5% no seu preço se for paga em 3 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação? Solução: 5% de 680 = 0,05 . 680 = 34 (acréscimo) 680 + 34 = 714 (preço em 3 prestações iguais) 714 : 3 = 238 (valor de cada prestação) Resposta: Então, o valor de cada prestação é de R$ 238,00. 07. O salário de um trabalhador era de R$ 840,00 e passou a ser de R$ 966,00. Qual foi a porcentagem de aumento? Solução 1: 966 – 840 = 126 (aumento em reais) x% de 840 = 126 126 18 3 15 (aumento em = = = → 15% 840 120 20 100 porcentage m) Solução 2: x% de 840 = 966 (salário anterior mais aumento) 966 138 23 115 = = = → 115% → 100% + 15% 840 120 20 100 ↓ aument Resposta: Logo, a porcentagem de aumento foi de 15%. 08. Paulo gastou 40% do que tinha e ainda ficou com R$ 87,00. Quanto ele tinha e quanto gastou, em reais? Solução: Se ele gastou 40%, a quantia de R$ 87,00 corresponde a 60% do que possuía. Fazemos então 60% de ? = 87. 60 3 = ⇒ 87 / 3 = 29 ⇒ 29.5 = 145 (quanto ele tinha) 100 5 Quanto ele gastou: 145 – 87 = 58 ou 40% de 145 = 58 Resposta: Paulo tinha R$ 145,00 e gastou R$ 58,00. http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 14
  • 15. PROF.:THIAGO PACÍFICO 09. Laura gastou R$ 900,00 na compra de uma bicicleta, de um aparelho de som e de uma estante. A bicicleta custou R$ 60,00 a menos que a estante e o preço do aparelho de som corresponde a 80% do preço da bicicleta. Quanto custou cada uma das mercadorias? Solução: Preço da estante: x Preço da bicicleta: x – 60 4( x − 60 ) Preço do aparelho de som: 80% de ( x − 60) → 5 80 4 = 100 5 4( x − 60 ) 5 040 x + x – 60 + = 900 ⇒ 5x + 5x – 300 + 4x – 240 = 4 500 ⇒ 14x = 5 040 ⇒ x = = 360 5 14 Resposta: Logo, os preços foram: Estante: R$ 360,00 Bicicleta: R$ 300,00 (360 – 60) Aparelho de som: R$ 240,00 (80% de 300) JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTO CONCEITO A Matemática Financeira tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação / obtenção de recursos financeiros. CAPITAL É qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal. JUROS É o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro durante um certo tempo; é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por um certo período de tempo. TAXA DE JUROS É um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado. Exemplo: Capital Inicial: $ 100 Juros: $ 150 - $ 100 = $ 50 Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período Observação A taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc.) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária. http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 15
  • 16. PROF.:THIAGO PACÍFICO → Taxa de Juros unitária A taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na aplicação de fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira; para conseguirmos a taxa unitária (0.05) a partir da taxa percentual (5 %), basta dividirmos a taxa percentual por 100: 5 % / 100 = 0.05 MONTANTE Denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos). Capital Inicial = $ 100 + Juros = $ 50 = Montante = $ 150 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO Quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros: • Capitalização simples; • Capitalização composta; → Capitalização Simples Somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros → Capitalização Composta Os juros produzidos ao final de um período são somados ao montante do início do período seguinte e essa soma passa a render juros no período seguinte e assim sucessivamente. Observações • Comparando-se os 2 regimes de capitalização, podemos ver que para o primeiro período considerado, o montante e os juros são iguais, tanto para o regime de capitalização simples quanto para o regime de capitalização composto; • Salvo aviso em contrário, os juros devidos no fim de cada período (juros postecipados) a que se refere a taxa de juros. • No regime de capitalização simples, o montante evolui como uma progressão aritmética, ou seja, linearmente, enquanto que no regime de capitalização composta o montante evolui como uma progressão geométrica, ou seja, exponencialmente. http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 16
  • 17. PROF.:THIAGO PACÍFICO JUROS SIMPLES CONCEITO É aquele pago unicamente sobre o capital inicial ou principal J=Cxixn Onde: J = juros C = capital inicial i = taxa unitária de juros n = número de períodos que o capital ficou aplicado Observações • A taxa i e o número de períodos n devem referir-se à mesma unidade de tempo, isto é, se a taxa for anual, o tempo deverá ser expresso em anos; se for mensal, o tempo deverá ser expresso em meses, e assim sucessivamente; • Em todas as fórmulas matemáticas utiliza-se a taxa de juros na forma unitária (taxa percentual ou centesimal, dividida por 100). JURO COMERCIAL Para operações envolvendo valores elevados e períodos pequenos (1 dia ou alguns dias) pode haver diferença na escolha do tipo de juros a ser utilizado. O juro Comercial considera o ano comercial com 360 dias e o mês comercial com 30 dias. JURO EXATO No cálculo do juro exato, utiliza-se o ano civil, com 365 dias (ou 366 dias se o ano for bissexto) e os meses com o número real de dias. Observação Sempre que nada for especificado, considera-se a taxa de juros sob o conceito comercial. TAXA NOMINAL É a taxa usada na linguagem normal, expressa nos contratos ou informada nos exercícios; a taxa nominal é uma taxa de juros simples e se refere a um determinado período de capitalização. MONTANTE É o CAPITAL acrescido dos seus JUROS. M = C (1 + i x n) • A fórmula requer que a taxa i seja expressa na forma unitária; • A taxa de juros i e o período de aplicação n devem estar expressos na mesma unidade de tempo; http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 17
  • 18. PROF.:THIAGO PACÍFICO JUROS COMPOSTOS CONCEITO No regime de Juros Compostos, no fim de cada período de tempo a que se refere a taxa de juros considerada, os juros devidos ao capital inicial são incorporados a este capital. Diz-se que os juros são capitalizados, passando este montante, capital mais juros, a render novos juros no período seguinte. JUROS COMPOSTOS São aqueles em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial, acrescidos dos juros acumulados até o período anterior. CÁLCULO DO MONTANTE Vamos supor o cálculo do montante de um capital de $ 1.000, aplicado à taxa de 10 % a.m., durante 4 meses. Capital Juros Montante (C) (J) (M) 1º Mês 1.000 100 1.100 2º Mês 1.100 110 1.210 3º Mês 1.210 121 1.331 4º Mês 1.331 133 1.464 Pode-se constatar que a cada novo período de incidência de juros, a expressão (1 + i) é elevada à potência correspondente. M = C (1 + i)t Onde: M = Soma dos Montantes C = Principal ou Capital Inicial i = taxa de juros por período t = nº. de períodos considerados Observação A taxa de juros i e o período de aplicação t devem estar expressos na mesma unidade de tempo; http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 18
  • 19. PROF.:THIAGO PACÍFICO EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01. Um investidor quer aplicar a quantia de $ 800 por 3 meses, a uma taxa de 8 % a.m., para retirar no final deste período. Quanto irá retirar? Solução: S=? 0 i = 8 % a.m. $ 800 t=3 Dados: C = $ 800 t = 3 meses i = 8 % a.m. = 0.08 a.m. Pede-se: M = ? M = P (1 + i) n M = 800 x (1 + 0.08) 3 M = 800 x (1.08) 3 M = $ 800 x 1.08 x 1.08 x 1.08 M = $ 1.007,79 VALOR ATUAL Considere-se que se deseja determinar a quantia C que deve ser investida à taxa de juros i para que se tenha o montante M, após t períodos, ou seja, calcular o valor atual de M. Basta aplicarmos a fórmula do Montante, ou Soma dos Montantes, para encontrarmos o valor atual. C = M / (1 + i)t Onde: M = Soma dos Montantes C = Principal (VALOR ATUAL) i = taxa de juros t = nº de períodos considerados http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 19
  • 20. PROF.:THIAGO PACÍFICO QUESTÕES DE CONCURSOS 01. O preço de um aparelho elétrico com um desconto de 40% é igual a R$ 36,00. Calcule, em reais, o preço deste aparelho elétrico, sem este desconto. 02. Uma pessoa pagou 18 dólares, de entrada, na compra de um rádio, restando pagar 75% do preço combinado. Determine, em dólares, o preço do rádio. 03. Se o salário de um metalúrgico sofre uma redução de 20%, de quanto deverá ser o aumento, em percentual, para ele readquirir exatamente o salário original? 04. Um produto sofreu um aumento de 25%. Em seguida, devido a variações no mercado, seu preço teve que ser reduzido também em 25%, passando a custar R$ 225,00. O preço desse produto, antes do aumento, era, em reais: a) 225,00 b) 240,00 c) 260,00 d) 300,00 05. José e João possuem uma empresa cujo capital é de R$ 150.000,00. José tem 40% de participação na sociedade e deseja aumentar a sua participação para 55%. Se João não deseja alterar o valor, em reais, de sua participação, o valor que José deve empregar na empresa é: a) R$ 110.000,00 b) R$ 170.000,00 c) R$ 82.500,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 20
  • 21. PROF.:THIAGO PACÍFICO 06. Numa competição, cada participante pode responder a um máximo de 1.000 perguntas. Num determinado momento, um dos participantes alcançou 80% de acerto nas 450 questões até então respondidas. Se a partir deste momento este participante conseguir acertar todas as perguntas que lhe forem formuladas e se o seu objetivo for elevar para 90% o índice de acertos entre as questões respondidas, quantas perguntas ele ainda terá que responder? a) 150 b) 250 c) 350 d) 450 07. Dos 3840 candidatos inscritos num Concurso, 15% não compareceram à prova (sendo, portanto, eliminados) e 1728 dos que compareceram foram reprovados. O percentual, com relação ao número de inscritos, dos candidatos aprovados foi: a) 35% b) 40% c) 45% d) 50% 08. Numa sala há 100 pessoas, das quais 97 são homens. Para que os homens representem 96% das pessoas contidas na sala, deverá sair que número de homens? a) 2 b) 5 c) 10 d) 15 e) 25 09. Das 1200 pessoas entrevistadas numa pesquisa eleitoral, 55% eram mulheres. Das mulheres, 35% eram casadas. O número de mulheres casadas participantes da pesquisa foi: a) 132 b) 231 c) 312 d) 321 10. Em uma sala de aula de 80 alunos, o número de mulheres é o triplo do número de homens. A seguir, aponte a única alternativa ERRADA. a) as mulheres representam mais 70% da sala. b) os homens representam 25% do total de alunos. c) o número de mulheres é 200% maior que o número de homens. d) o número de homens representa 25% do número de mulheres. 11. A razão entre a terça parte de 0,27 e o dobro de 0,2, nessa ordem, é x%, então calcule o valor de 2x. a) 40 b) 45 c) 50 d) 55 http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 21
  • 22. PROF.:THIAGO PACÍFICO 12. Uma pessoa gasta 15% do seu salário com aluguel. Se o aluguel aumenta 26% e o salário 5%, que percentagem do salário esta pessoa passará a gastar com aluguel? a) 15% b) 16% c) 18% d) 20% 13. Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de: a) 26% b) 44% c) 56% d) 50% 14. Dona Menina investiu 20% de suas economias comprando Euro e o restante comprando Dólar. Sabendo que o Euro valorizou 10% em 6 meses e o Dólar caiu 20% ao final do mesmo período, determine o que aconteceu com o investimento que ela fez. a) rendeu 10% b) reduziu 10% c) rendeu 14% d) reduziu 14% 15. Um comerciante resolve aumentar em 20% o preço de todos os produtos de sua loja, para em seguida, anunciar uma liquidação de 20% em todos os produtos dessa loja. Podemos afirmar que o novo em relação ao preço antes do aumento: a) sofre um aumento de 4%. b) sofre uma redução de 4%. c) dependerá do preço de cada produto. d) não sofreu alteração, portanto ele não ganha nem perde com isso. 13 16. Numa festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes é A porcentagem de 12 rapazes na festa é: a) 44 % b) 45 % c) 40 % d) 48 % e) 46 % 17. Numa loja, o preço de um produto tem um desconto de 15% se for pago à vista ou um acréscimo de 5% se for pago com cartão de crédito. Tendo optado pelo cartão, uma pessoa pagou R$ 80,00 de acréscimo em relação ao que pagaria, com desconto, à vista. Então a soma dos preços do produto à vista com desconto e no cartão é: a) R$ 700,00 b) R$ 740,00 c) R$ 760,00 d) R$ 720,00 e) R$ 780,00 http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 22
  • 23. PROF.:THIAGO PACÍFICO 18. Em um grupo de pessoas, 70% não possuem curso superior e 30% possuem. O salário dos que não possuem curso superior é de R$ 500,00 e o salário dos que possuem é de R$ 1.500,00. O salário médio do grupo é de: a) R$ 800,00 b) R$ 866,00 c) R$ 900,00 d) R$ 1.000,00 e) R$ 1.200,00 19. Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preço de venda de uma mercadoria e, mesmo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preço que pagou pela mesma. Se o desconto não fosse dado, seu lucro, em porcentagem, seria: a) 40% b) 45% c) 50% d) 55% e) 60% 20. Thiago Pacífico comprou um carro que a vista custaria R$ 10.000,00, e combinou com o vendedor de pagar 40% de entrada e o restante em duas prestações. Cada prestação foi calculada da seguinte forma: juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor e este saldo corrigido foi dividido pelo número de prestações a pagar. No total, a pessoa que comprou o carro pagou (desprezando centavos): a) R$ 10.159,00 b) R$ 10.202,00 c) R$ 10.194,00 d) R$ 10.058,00 e) R$ 10.181,00 21. Se o seu salário subiu 56%, e os preços subiram 30%, de quanto aumentou o seu poder de compra? a) 20% b) 21% c) 23% d) 25% e) 26% 22. João recebeu um aumento salarial de 15% no início do mês de março e, no último dia do mesmo mês, recebeu um outro aumento de 20% sobre seu novo salário. Qual o percentual total de aumento que João recebeu em março? a) 32% b) 35% c) 38 % d) 135% http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 23
  • 24. PROF.:THIAGO PACÍFICO 23. Joãozinho gastou a metade do dinheiro que tinha com um presente que comprou para a sua mãe. Em seguida, gastou 30% do que lhe restou, na compra de um jogo, e ainda ficou com R$ 63,00. Quantos reais tinha Joãozinho antes das compras? a) 120 b) 150 c) 180 d) 200 e) 420 24. Um produto custava, em certa loja, R$ 200,00. Após dois aumentos consecutivos de 10%, foi colocado em promoção com 20% de desconto. Qual o novo preço do produto (em R$)? a) 176,00 b) 192,00 c) 193,60 d) 200,00 e) Nenhuma das respostas anteriores 25. Um vendedor ambulante vende seus produtos com um lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, qual o seu lucro, sobre o preço de custo? a) 50% b) 75% c) 100% d) 150% 26. O imposto sobre a venda de determinado bem é de 5%. Se o bem foi adquirido por 900 reais e teve um lucro de 10% sobre o preço de venda, qual o valor pago de imposto? a) 45 reais b) 50 reais c) 70 reais d) 90 reais 27. O preço de um aparelho é P reais. Como eu só possuo X reais, que correspondem a 70% de P, mesmo que me fosse concedido um abatimento de 12% no preço, ainda faltariam R$ 54,00 reais para que eu pudesse comprar esse aparelho. Nessas condições, a quantia que possuo: a) 210,00 b) 230,00 c) 250,00 d) 270,00 28. Thiago atrasou o pagamento de um boleto bancário de R$ 120,00, que venceu dia 12 de janeiro de 2007. Em caso de atraso será cobrada multa de 4% de juros simples de 3% a.m.. Quanto seria o total pago por ele no dia 21 de junho do mesmo ano? a) 139,20 b) 144,00 c) 153,00 d) 162,40 http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 24
  • 25. PROF.:THIAGO PACÍFICO 29. Em determinada data, uma pessoa aplica R$ 10.000,00 à taxa de juros simples de 2% ao mês. Decorridos 2 meses, outra pessoa aplica R$ 8.000,00 à taxa de juros simples de 4% ao mês. No momento em que o montante referente ao valor aplicado pela primeira pessoa for igual ao montante referente ao valor aplicado pela segunda pessoa, o total dos juros correspondente à aplicação da primeira pessoa será de: a) R$ 4.400,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.600,00 d) R$ 3.200,00 e) R$ 2.800,00 30. Determinado capital aplicado a juros simples durante 18 meses rendeu R$ 7.200,00. Sabe- se que, se o dobro deste capital fosse aplicado a juros simples com a mesma taxa anterior, geraria, ao final de dois anos, o montante de R$ 40.000,00. O valor do capital aplicado na primeira situação foi: a) R$ 24.000,00 b) R$ 20.800,00 c) R$ 15.200,00 d) R$ 12.500,00 e) R$ 10.400,00 31. Fátima aplicou R$ 1.000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês e por um prazo de 1 trimestre. Tendo sido as capitalizações mensais, qual será o valor de resgate? a) R$ 1.331,00 b) R$ 1.300,00 c) R$ 331,00 d) R$ 300,00 e) R$ 1.000,00 32. O preço de certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que o preço atual seja R$ 100,00, daqui a 3 anos o preço será: a) R$ 300,00 b) R$ 400,00 c) R$ 600,00 d) R$ 800,00 33. O capital que quadruplica em 2 meses, ao se utilizar de capitalização composta, deve estar vinculado a uma taxa mensal de: a) 50% b) 100% c) 150% d) 200% http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 25
  • 26. PROF.:THIAGO PACÍFICO 34. Uma aplicação de R$ 3.000,00 rendeu R$ 2.370,00 em 10 meses. Qual a taxa mensal composta de juros dessa operação? a) 2% b) 4% c) 6% d) 8% 35. Por quanto tempo deve ser aplicado um capital de R$ 5.000,00, em regime de juros compostos e taxa de 6% a.t., para gerar um montante de R$ 7.518,00? a) 7 anos b) 2 anos e 1 mês c) 1 ano e 9 meses d) 1 ano e 3 meses 36. Carlos recebeu R$240 000,00 pela venda de um imóvel. Gastou metade dessa quantia na compra de um apartamento no litoral e investiu o dinheiro que restou em fundos de investimentos de três instituições financeiras: 40% no Banco A, 30% no Banco B e 30% no Banco C. Após um ano, vendeu o apartamento do litoral por R$144 000,00 e resgatou as aplicações, cujos rendimentos anuais foram de +20%, −10% e +30%, respectivamente, nos Bancos A, B e C. É correto afirmar que, em um ano, Carlos aumentou o capital de R$240 000,00, recebido inicialmente, em: a) 80% b) 36% c) 20% d) 18,50% e) 17% 37. O preço à vista de uma mercadoria é de R$ 130,00. O comprador pode pagar 20% de entrada no ato da compra e o restante em uma única parcela de R$ 128,96, vencível em 3 meses. Admitindo-se o regime de juros simples comerciais, a taxa de juros anual cobrada na venda a prazo é de: a) 94% b) 96% c) 98% d) 100% 38. Thiago Pacífico devia, em seu cartão de crédito, R$ 1.000,00. Como não conseguiu pagar, em dois meses essa dívida aumentou para R$ 1.440,00. Nesse caso, qual foi a taxa de juros simples cobrada mensalmente pelo cartão de crédito? a) 7,2% b) 14,4% c) 20% d) 22% e) 44% http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 26
  • 27. PROF.:THIAGO PACÍFICO 39. José emprestou R$ 500,00 a João por 5 meses, no sistema de juros simples, a uma taxa de juros fixa e mensal. Se no final dos 5 meses José recebeu um total de R$ 600,00, então a taxa fixa mensal aplicada foi de: a) 0,2%. b) 0,4%. c) 2%. d) 4%. e) 6%. 40. Nas compras à vista, um comerciante oferece 10% de desconto sobre o preço de etiqueta e, a prazo, divide o preço de etiqueta em dois pagamentos iguais sem acréscimo: uma entrada e um pagamento em 30 dias. Na verdade, o comerciante está embutindo nessa transação uma taxa mensal de juros de: a) 10% b) 15% c) 20% d) 25% e) 30% 41. O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preço de custo) e passou a revende-lo com um lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo, a) prejuízo de 10% b) prejuízo de 5% c) lucro de 20% d) lucro de 25% 42. Certa pessoa tomou um empréstimo de R$12 000,00 a juros compostos de 5% ao mês. Dois meses depois, pagou R$7 230,00 desse empréstimo e, dois meses após esse primeiro pagamento, liquidou todo seu débito. O valor desse segundo pagamento, em reais, foi: a) 5000,40 b) 5200,00 c) 6208,80 d) 6615,00 43. Um certo capital foi aplicado por 5 meses. Ao fim desse prazo, só de juros simples, o aplicador recebeu o triplo do dinheiro. Qual é a taxa mensal dessa aplicação? a) 0,72%. b) 72%. c) 0,6%. d) 60%. http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 27
  • 28. PROF.:THIAGO PACÍFICO 44. Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães. Sabendo- se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é: a) 50 b) 10 c) 20 d) 40 e) 70 GABARITO 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 60 72 25% B E D B E B D B C B D B D C A C E A C 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 C C C B A B A E A D B C C E B D D D C D D E FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL ÚNICO (1 + i)n ni 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 1 1,0100 1,0200 1,0300 1,0400 1,0500 1,0600 1,0700 1,0800 1,0900 1,1000 1,1100 1,1200 2 1,0201 1,0404 1,0609 1,0816 1,1025 1,1236 1,1449 1,1664 1,1881 1,2100 1,2321 1,2544 3 1,0303 1,0612 1,0927 1,1249 1,1576 1,1910 1,2250 1,2597 1,2950 1,3310 1,3676 1,4049 4 1,0406 1,0824 1,1255 1,1699 1,2155 1,2625 1,3108 1,3605 1,4116 1,4641 1,5181 1,5735 5 1,0510 1,1041 1,1593 1,2167 1,2763 1,3382 1,4026 1,4693 1,5386 1,6105 1,6851 1,7623 6 1,0615 1,1262 1,1941 1,2653 1,3401 1,4185 1,5007 1,5869 1,6771 1,7716 1,8704 1,9738 7 1,0721 1,1487 1,2299 1,3159 1,4071 1,5036 1,6058 1,7138 1,8280 1,9487 2,0762 2,2107 8 1,0829 1,1717 1,2668 1,3686 1,4775 1,5938 1,7182 1,8509 1,9926 2,1436 2,3045 2,4760 9 1,0937 1,1951 1,3048 1,4233 1,5513 1,6895 1,8385 1,9990 2,1719 2,3579 2,5580 2,7731 10 1,1046 1,2190 1,3439 1,4802 1,6289 1,7908 1,9672 2,1589 2,3674 2,5937 2,8394 3,1058 11 1,1157 1,2434 1,3842 1,5395 1,7103 1,8983 2,1049 2,3316 2,5804 2,8531 3,1518 3,4785 12 1,1268 1,2682 1,4258 1,6010 1,7959 2,0122 2,2522 2,5182 2,8127 3,1384 3,4985 3,8960 13 1,1381 1,2936 1,4685 1,6651 1,8856 2,1329 2,4098 2,7196 3,0658 3,4523 3,8833 4,3635 14 1,1495 1,3195 1,5126 1,7317 1,9799 2,2609 2,5785 2,9372 3,3417 3,7975 4,3104 4,8871 15 1,1610 1,3459 1,5580 1,8009 2,0789 2,3966 2,7590 3,1722 3,6425 4,1772 4,7846 5,4736 16 1,1726 1,3728 1,6047 1,8730 2,1829 2,5404 2,9522 3,4259 3,9703 4,5950 5,3109 6,1304 17 1,1843 1,4002 1,6528 1,9479 2,2920 2,6928 3,1588 3,7000 4,3276 5,0545 5,8951 6,8660 18 1,1961 1,4282 1,7024 2,0258 2,4066 2,8543 3,3799 3,9960 4,7171 5,5599 6,5436 7,6900 http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você? Página 28