Apostila mat2
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  • 1. Pré-Vestibular Popular da UFF na Engenharia ibular UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Como: DISCIPLINA: MATEMÁTICA II PROFESSORA: JULIANA [d(P, R)]2 = | x1 - x2| 2 = (x1 - x2)2 Eixos Coordenados e Consideremos um plano e duas retas perpendiculares, [d(Q,R)] 2 = | y1 - y2| 2 = (y1 - y2)2 sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal será denominada Eixo das Abscissas (eixo OX) e a Vertical então será denominada Eixo das Ordenadas (eixo OY). Os pares ordenados de pontos do plano são indicados na forma P=(x,y) onde x será a abscissa do ponto P e y a ordenada do ponto P. Exemplos: A distância entre P=(2,3) e Q=(5,12) é: √(2-5)2 +(3-12)2 = √90 (raiz quadrada de 90) 90 A distância entre a origem O=(0,0) e um ponto P=(x,y) é dada por: Na verdade, x representa a distância entre as duas retas verticais indicadas no gráfico e y é a distância entre as duas retas horizontais indicadas no gráfico. O sistema de Coordenadas Ortogonais é conhecido por Sistema de Coordenadas Cartesianas e tal sistema possui quatro Ponto médio de um segmento regiões denominadas quadrantes. Aplicação: Dados os pares ordenados P=(x1,y1) e Distância entre dois pontos do plano cartesiano Q=(x2,y2), pode-se obter o Ponto Médio M=(xm,ym) que se está localizado entre P e Q. Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa a é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos b e c, isto é, a2=b2+c2. Dados P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), obtemos a distância entre P e O ponto médio é obtido com o uso da média aritmética, Q, traçando as projeções destes pontos sobre os eixos uma vez para as abscissas e outra vez para as ordenadas. coordenados, obtendo um triângulo retângulo e usando o Teorema de Pitágoras. xm = (x1 + x2)/2, ym = (y1 + y2)/2 Observação: O centro de gravidade(ou Baricentro) de um triângulo plano cujas coordenadas dos vértices são rdenadas A=(x1,y1), B=(x2,y2) e C=(x3,y3), é: G=((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3 ) O segmento PQ é a hipotenusa do triângulo retângulo PQR, o segmento PR é um cateto e o segmento QR é o outro Retas no plano cartesiano cateto, logo: Na Geometria Euclidiana, dados dois pontos P1=(x1,y1) e 2 2 [d(P,Q)] = [d(P,R)] + [d(Q,R)] 2 P2=(x2,y2) no plano cartesiano, existe uma única reta que passa por esses pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe a necessidade de duas informações e dois Matemática II 1
  • 2. Pré-Vestibular Popular da UFF na Engenharia ibular conceitos importantes são: o coeficiente angular da reta e o Dado o coeficiente angular k e o coeficiente linear w de coeficiente linear da reta. uma reta, então poderemos obter a equação da reta através de sua equação reduzida dada por: Coeficiente angular de uma reta: Dados os pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2), com x1 x2, o coeficiente angular y=kx+w k da reta que passa por estes pontos é o número real Exemplos 1. Se k=5 e w=-4, então a reta é dada por y=5x 4, y=5x-4. 2. Se k=1 e w=0, temos a reta (identidade) y=x. 3. Se k=0 e w=5, temos a reta y=5. Significado geométrico do coeficiente angular: O coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo alfa que a reta faz com o eixo das abscissas. 1. a) Reta que passa por um ponto e tem coeficiente angular dado: Uma reta que passa por um ponto P=(xo,yo) e tem coeficiente angular k, é dada por: te y - yo = k (x - xo) Exemplos 1. Se P=(1,5) pertence a uma reta que tem coeficiente Se o ângulo está no primeiro quadrante ou no terceiro e angular k=8, então a equação da reta é y=8(x y=8(x-1)+5. quadrante, o sinal do coeficiente angular é positivo e se o 2. Se uma reta passa pela origem e tem coeficiente ângulo está no segundo quadrante ou no quarto quadrante, angular k= -1, então a sua equação é dada por: y=- 1, o sinal do coeficiente angular é negativo. x. Coeficiente linear de uma reta: é a ordenad (altura) w do ordenada ponto (0,w) onde a reta cortou o eixo das ordenadas. 1. b)Reta que passa por dois pontos: Se dois pontos Reta (x1,y1) e (x2,y2) não estão alinhados verticalmente, podemos obter a equação da reta que passa por estes pontos com: Retas paralelas e perpendiculares Retas horizontais e verticais: Se uma reta é vertical ela Retas paralelas: Duas retas no plano são par paralelas se não possui coeficiente linear e coeficiente angular. Assim, ambas são verticais ou se têm os mesmos coeficientes a reta é indicada apenas por x=a, a abscissa do ponto onde angulares. a reta cortou o eixo OX. Se uma reta é horizontal, o seu coeficiente angular é nulo e a equação desta reta é dada por y=b, ordenada do ponto Exemplos onde está reta corta o eixo OY. 1. x=3 e x=7 são retas paralelas. 1)Equação reduzida da reta 2. As retas y=34 e y=0 são paralelas. Matemática II 2
  • 3. Pré-Vestibular Popular da UFF na Engenharia ibular 3. As retas y=2x+5 e y=2x-7 são paralelas. 7 Retas perpendiculares: Duas retas no plano são perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é e vertical, ou, se elas têm coeficientes angulares k' e k" tal que k'k"=-1. Área de um triângulo no plano cartesiano Dado um ponto (x1,y1) localizado fora de uma reta que passa pelos pontos (x2,y2) e (x3,y3), pode-se calcular a área do triângulo cujos vértices são estes três pontos, bastando para isto determinar a medida da base do triângulo que é a distância entre (x2,y2) e (x3,y3) e a altura do triângulo que é a distância de (x1,y1) à reta que contém os outros dois Exemplos pontos. 1. As retas y=x+3 e y=-x+12 são perpendiculares, x+12 Como o processo é bastante complicado, apresentamos um pois k'=1, k"=-1 e k'k"=-1. procedimento equivalente muito bonito, simples e fácil de 2. As retas y=5x+10 e y=(-1/5)x-100 são 100 memorizar. perpendiculares, pois k'=5, k"=-1/5 e k'k"= 1/5 k'k"=-1. A área do triângulo é dada pela metade do valor absoluto Equação geral da reta do determinante da matriz indica pela expressão: Toda reta no plano cartesiano pode ser escrita pela sua equação geral: ax+by+c=0 Exemplos Exemplo: A área do triângulo cujos vértices são (1,2), 1. Se a=-1, b=1 e c=-1, tem-se a reta -x+y-1=0. se (3,4) e (9,2) é igual a 8, pois: 2. Se a=0, b=1 e c=0, tem-se a reta y=0. se 3. Se a=1 , b=0 e c=5 , tem-se a reta x+5=0. Distância de um ponto a uma reta no plano Seja um ponto P=(xo,yo) e uma reta r no plano definida por ax+by+c=0. Colinearidade de 3 pontos no plano: Três pontos no plano, (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) são colineares se pertencem à mesma reta. Um processo simples sugere que estes três pontos formem um triângulo de área nula, assim basta verificar que o determinante da matriz abaixo deve ser nulo. A distância d=d(P,r) do ponto P à reta r pode ser obtida pela fórmula abaixo: Exemplo: A distância de (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é: Exemplo: Os pontos (2,0), (1,1) e (0,2) são colineares pois: Matemática II 3
  • 4. Pré-Vestibular Popular da UFF na Engenharia ibular x2 + y2 - 4x - 6y - 51 = 0 Equação da circunferência com centro em um ponto e passando em outro: Dado o centro O=(a,b) da circunferência e um outro ponto Q=(xo,yo) que pertence à circunferência, pode-se obter o raio da mesma através da se distância entre O e Q e se utilizar a equação normal da IMPORTANTE: Podemos utilizar as características de circunferência para se obter a sua equação. três pontos colineares para encontrar a equação da reta que passa por dois pontos. Sendo os dois pontos A(x0, Exemplo: A circunferência centrada em (3,5) que passa em y0) e B(x1, y1) e C um ponto genérico(incógnitas da érico(incógnitas (8,16) tem raio tal que: equação) C (x,y), a fim de que esses três pontos sejam colineares devemos ter o determinante formado pelas r2 = (8-3)2 + (16-5)2 = 25+121 = 146 5+121 coordenadas de A,B e C nulo. logo, a sua equação é dada por: Circunferências no plano (x-3)2 + (y-5)2 = 146 Do ponto de vista da Geometria Euclidiana, uma circunferência com centro no ponto (a,b) de um plano e tendo raio r, é o lugar geométrico de todos os pontos (x,y) Posições entre ponto e circunferência no plano deste plano que estão localizados à mesma distância r do cartesiano centro (a,b). Dada uma circunferência no plano cartesiano de equação (x – a)² + (y – b)² = r², podemos dizer que o ponto em relação à circunferência dada é externo, interno ou tangente. ência Ponto externo à circunferência (dPC > r) A equação reduzida desta circunferência é dada por: (x - a)2 + (y - b)2 = r2 Disco circular é a região que contém a circunferência e todos os pontos contidos no interior da circunferência. Exemplo: A equação da circunferência com centro em (2,3) e raio igual a 8 é: (x - 2)2 + (y - 3)2 = 82 (x – a)² + (y – b)² – r² > 0 A equação da circunferência com centro na origem (0,0) e raio r, recebe o nome de forma canônica da circunferência Ponto tangente à circunferência (dPC = r) e é dada por: x2 + y2 = r2 Equação geral da circunferência: Dada a equação (x (x- a)2+(y-b)2=r2, podemos desenvolver a mesma para obter a forma geral da circunferência: x2 + y2 + A x + B y + C = 0 Exemplo: A equação geral da circunferência com centro (x – a)² + (y – b)² – r² = 0 em (2,3) e raio r=8 é: Matemática II 4
  • 5. Pré-Vestibular Popular da UFF na Engenharia ibular Para determinarmos a distância entre uma reta e uma Ponto interno à circunferência (dPC < r) circunferência e, ao mesmo tempo, a posição relativa entre elas, aplicamos a seguinte expressão: Reta externa à circunferência Reta tangente à circunferência (x – a)² + (y – b)² – r² < 0 Reta secante à circunferência Posições entre reta e circunferência no plano cartesiano Reta externa à circunferência Exemplo 1 Dada a circunferência (x – 2)² + (y – 1)² = 25 e reta r: 8x + 6y – 72 = 0, verifique sua posição perante a circunferência e a distância entre elas. Temos que a circunferência possui centro (2,1) e raio = 5. A reta possui coeficientes: a = 8, b = 6 e c = -72. Reta tangente à circunferência, pois o raio e a distância do Reta tangente à circunferência centro da circunferência até a reta são iguais. Determinando os pontos de interseção entre reta e circunferência Para determinar os pontos do plano Cartesiano que pertencem à uma dada reta e também à uma circunferência, a basta resolver o sistema formado por suas respectivas equações. Considerando o exemplo 1, teremos: (x – 2)² + (y – 1)² = 25 (1ª equação) r: 8x + 6y – 72 = 0 (2ª equação) Reta secante à circunferência Assim, substituindo y = -4/3x + 12, na 1ª equação, 4/3x obteremos: (x – 2)² + ((-4/3x +12) – 1)² = 25 ou seja, (x – 4/3x 2)² + (-4/3x +11) ² que é uma equação de 2º grau, podendo 4/3x ser resolvida facilmente utilizando a Fórmula de utilizando-se Bháskara. Lembrando que a quantidade de raízes de uma equação de 2º grau, pode ser descoberta por seu discriminante, teremos de uma equação do tipo Ax² + Bx +C = 0 com o discriminante ∆ = B² - 4.A.C, tal que: Matemática II 5
  • 6. Pré-Vestibular Popular da UFF na Engenharia ibular Se ∆ > 0, existem duas raízes e a reta é secante à ízes circunferência. Se ∆ = 0, existem apenas uma raiz e a reta é tangente à circunferência Se ∆ < 0, não existe raiz real e a reta é externa à ão circunferência. * As raízes encontradas para a equação, são as abscissas dos pontos de intercessão no plano. Relações importantes no plano cartesiano Uma relação em um plano é qualquer subco subconjunto deste onde o eixo A1A2 de medida 2a, é denominado eixo maior plano, mas as mais importantes relações, do ponto de vista da elipse e o eixo B1B2 de medida 2b, é denominado eixo prático, são as que podem ser representadas por linhas, menor da elipse. como: retas, parábolas, circunferências, elipses, hipérboles. Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, Muitos confundem os nomes das linhas que envolvem poderemos escrever: regiões planas com as próprias regiões. Iremos colorir om algumas regiões fechadas para dar mais destaque às curvas que as contém, que são as relações matemáticas. Observe que x – (-c) = x + c. Seções cônicas Quadrando a expressão acima, vem: o ELIPSE Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c  0, denomina- Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada , e fazendo a2 – c2 = b2 , a expressão acima depois de um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a desenvolvida e simplificada, chegará a: um valor constante 2a , onde a  c. b2.x2 + a2.y2 = a2.b2 Assim é que temos por definição: Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem PF1 + PF2 = 2 a finalmente: Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da elipse. O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse. Como, por definição, a  c, podemos afirm que a irmar que é a equação da elipse de eixo maior horizontal e centro excentricidade de uma elipse é um número positivo menor na origem (0,0). que a unidade. Caso a elipse possua seu eixo maior vertical Equação reduzida da elipse de eixo maior horizontal e quação centro na origem (0,0). Existe na elipse ainda uma relação entre seus semi semi-eixos e a distância entre o centro e um dos focos (c); sendo assim Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam numa elipse, sempre temos: F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante c,0) com c  a, como vimos acima, podemos es escrever: a2 = b2 + c2 , onde: PF1 + PF2 = 2.a a = semi eixo maior b = semi eixo menor c = distância entre o centro e um dos focos. Exercícios: Matemática II 6
  • 7. Pré-Vestibular Popular da UFF na Engenharia ibular 1 – Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 + 25y2 – 400 = 0. SOLUÇÃO: Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe qu a que equação da elipse não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então: Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4. Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando, que c = 3 Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60 Resposta: 3/5 ou 0,60. Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da hipérbole. 2 – CESCEA 1969 – Determine as coordenadas dos focos O quociente c/a é conhecido como excentricidade da da elipse de equação hipérbole. 9x2 + 25y2 = 225. Como, por definição, a  c, concluímos que a ,c excentricidade de uma hipérbole é um número positivo SOLUÇÃO: dividindo ambos os membros por 225, vem: maior que a unidade. A1A2 é denominado eixo real ou eixo transverso da hipérbole, enquanto que B1B2 é denominado eixo não transverso ou eixo conjugado da hipérbole. Observe na Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b figura acima que é válida a relação: = 3. c2 = a2 + b2 Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4. O ponto (0,0) é o centro da h hipérbole. Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0). 2 – Equação reduzida da hipérbole de eixo transverso 3 – Determine a distancia focal da elipse 9x2 +25y2 – 225 horizontal e centro na origem (0,0) =0. Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma hipérbole e sejam SOLUÇÃO: a elipse é a do problema anterior. Portanto a F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2.a o valor constante c,0) distancia focal ou seja, a distancia entre os focos da elipse com c  a, como vimos acim podemos escrever: ima, será:  PF1 - PF2  = 2 a D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento). Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever: 4 – Calcular a distancia focal e a excentricidade da elipse 25x2 + 169y2 = 4225. 5 – Determinar a equação da elipse com centro na origem, Observe que x – (-c) = x + c. que passa pelo ponto P(1,1) e tem um foco F( 6 /2, 0). F(- Quadrando a expressão acima, vem: HIPÉRBOLE Com bastante paciência e aplicando as propriedades Hipérbole de centro na origem (0,0) corretas, a expressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a: Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a b2.x2 - a2.y2 = a2.b2, onde b2 = c2 – a2 , conforme pode ser distancia entre estes pontos seja igual a 2c  0, denomina- verificado na figura acima. se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das , Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos finalmente: F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a  c. Assim é que temos por definição:  PF1 - PF2  = 2 a Obs: se o eixo transverso ou eixo real (A1A2) da hipérbole estiver no eixo dos y e o eixo não transverso ou eixo conjugado (B1B2) estiver no eixo dos x, a equação da hipérbole de centro na origem (0,0) passa a ser: Matemática II 7
  • 8. Pré-Vestibular Popular da UFF na Engenharia ibular Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma: (a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é o k k-ésimo termo, ... , an é o n- EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS ésimo termo. (Neste caso, k < n). 1 – Determine a excentricidade da hipérbole de equação Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) 25x2 - 16y2 – 400 = 0. podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc. SOLUÇÃO: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a São de particular interesse, as seqüências cujos termos equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível dividir ambos os membro por 400. Fica então: escrever uma relação matemática entre eles. screver Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5. por 3. Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c =  A lei de formação ou seja a expressão matemática que 41 relaciona entre si os termos da seqüên seqüência, é denominada Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a =  41 /4 termo geral. = 1,60 Resposta: 1,60. Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não 2 – Determine a distancia focal da hipérbole de equação nulo. 25x2 – 9y2 = 225 . Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o se termo an (n - ésimo termo) correspondente. SOLUÇÃO: Dividindo ambos os membros por 225, vem: Assim por exemplo, para n = 20, teremos r an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a 65. Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a Daí, vem que: a2=9 e b2=25, de onde vem imediatamente: seqüência S que seria: a=3 e b=5. S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ). Portanto, c2 = a2 + b2 = 9 + 25 = 34 e então c =  34. Logo, a distancia focal da hipérbole sendo igual a 2c , será Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil ma igual a 2 34. determiná-la. Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + OBSERVAÇÃO: Caso as cônicas não estejam centradas : 10, para n inteiro e positivo. na origem, basta localizar o ponto onde a mesma está gem, Nestas condições, podemos concluir que a seqüência centralizada no plano cartesiano e acrescentar as poderá ser escrita como: coordenadas antecedidas por um sinal de subtração após os (15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ). coeficientes quadráticos. Por exemplo: Exemplo: Para uma elipse com centro no ponto (2, de (2,-1) a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70. semi eixo maior horizontal = 5 e semi eixo menor vertical zontal igual a 3, teremos a seguinte equação: 2 - Conceito de Progressão Aritmética - PA (x -2) 2/25 + (y +1) 2/ 9 = 1 Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência se numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao SEQUÊNCIAS: anterior somado com um valor constante ddenominado razão. Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer se conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, Exemplos: por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , nado A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente) 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente) termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente. C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante) D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA Uma seqüência pode ser finita ou infinita. decrescente) O exemplo dado acima é de uma seqüência finita. Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita. 3 - Termo Geral de uma PA Matemática II 8
  • 9. Pré-Vestibular Popular da UFF na Engenharia ibular Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. 4 - Propriedades das Progressões Aritméticas De acordo com a definição podemos escrever: a2 = a1 + 1.r Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r aritmética dos termos vizinhos deste. a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r ..................................................... Exemplo: PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2 Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . r Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral Três números estão em PA, .. , a forma mais inteligente de ... da PA. resolver o problema é considerar que a PA é do tipo: Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n- (x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA. ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA. Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante. Exemplos: Exemplo: Qual o milésimo número ímpar positivo? PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000. Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever: problemas. a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999. Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar. 5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ? Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an). Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 calcular n. + an , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n segunda propriedade acima. - 1). (- 2) ; logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde Temos: conclui-se que - 80 = - 2n , Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos. É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como: Através de um tratamento simples e conveniente da Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1 fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza generaliza-la da seguinte forma: Somando membro a membro estas duas i igualdades, vem: 2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1) Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o ésimo termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos ésimo escrever a seguinte fórmula genérica: Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre aj = ak + (j - k).r parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que: Exemplos: 2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA. Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, Daí então, vem finalmente que: qual a razão? Temos a5 = 30 e a20 = 60. Pela fórmula anterior, poderemos escrever: a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ndo ; 60 - 30 = 15r ; logo, r = 2. Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o positivos. terceiro termo? Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) Temos r = 5, a20 = 8. Precisamos conhecer o valor de a200 . Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5 Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399 a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77. Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000 Matemática II 9
  • 10. Pré-Vestibular Popular da UFF na Engenharia ibular Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares 2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x positivos é igual a 40000. 2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0 3x + 4 – x2 = 0 Exercícios resolvidos e propostos: Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade 1) 1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar acima, fica: na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, x2 – 3x – 4 = 0 para que a soma seja negativa? Resolvendo a equação do segundo grau acima *a) 9 encontraremos x = 4 ou x = - 1. b) 8 c) 7 Assim, teremos: d)6 x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou e) 5 substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do SOLUÇÃO: triângulo (soma das medidas dos lados) será igua a igual Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = 5+8+11 = 24. -2/5. O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an: ésimo a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5) impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n/5 um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a 2n)/5 alternativa correta é a letra D. ativa A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista 4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo anteriormente será então: é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é ésimo Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2. Calcule a razão dessa progressão. 2n)/5].(n/2) Resp: r = -1 Sn = (16n – 2n2) / 10 SOLUÇÃO: Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem: Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo. (16n – 2n2) / 10 < 0 Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0. Como o denominador é positivo, para que a fração acima Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada. , seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter: 1 – Definição 16n – 2n2 < 0 Entenderemos por progressão geométrica - PG - como Portanto, n(16 – 2n ) < 0 qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, e positivo. Portanto, para que o produto acima seja multiplicado por uma constante denominada razão. negativo, deveremos ter: 16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8. Exemplos: Como n é um número inteiro positivo, deduzimos (1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2 imediatamente que n = 9. (5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1 Portanto, a alternativa correta é a letra A. (100,50,25, ... ) PG de razão 1/2 ,25, (2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3 54,162, 2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro 2 - Fórmula do termo geral do triângulo vale: a) 8 Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o b) 12 primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ésimo c) 15 ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos *d) 24 escrever: e) 33 a2 = a1 . q a3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2 SOLUÇÃO: a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3 Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos ................................................ escrever: ................................................ Matemática II 10
  • 11. Pré-Vestibular Popular da UFF na Engenharia ibular Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada Se substituirmos a n = a1 . qn-1 , obteremos uma nova 1 fórmula do termo geral da PG. apresentação para a fórmula da soma, ou seja: Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k Exemplos: a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo. se Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o Exemplo: décimo termo ou seja a10, vem pela fórmula: a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024 Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...) Temos: b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual se a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG? Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4 Então q4 =16 e portanto q = 2. Observe que neste caso a1 = 1. Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa 5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada como: (x/q, x, xq), onde q é a razão da PG. Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no 3 - Propriedades principais limite teremos an = 0. Substituin na fórmula anterior, Substituindo encontraremos: P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior. Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G) Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc. Exemplo: P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100 uma PG é constante. Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G) razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem: Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2 4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50 dos n primeiros termos Sn , vamos considerar o que segue: Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an 6 – Exercícios resolvidos e propostos s Multiplicando ambos os membros pela razão q ve vem: Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q . 6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a, b e c os tres primeiros termos , pede calcular o valor de a2 + pede-se Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a b2 + c 2 . expressão acima como: Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q Solução: Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, Sendo q a razão da PG, poderemos es escrever a sua forma substituindo, vem: genérica: (x/q, x, xq). Sn . q = Sn - a1 + an . q Como o produto dos 3 termos vale 729, vem: x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que: Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9. seguinte fórmula da soma: Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo: 9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0 Matemática II 11
  • 12. Pré-Vestibular Popular da UFF na Engenharia ibular Multiplicando ambos os membros por q, fica: 9 + 9q2 – 30q = 0 Dividindo por 3 e ordenando, fica: 3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau. PENGE 1 Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3. 1 .Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ se Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar onde X(2,5), Y(-4,6), responda: 4,6), apenas o valor a) Quais as coordenadas do vértice Z do triângulo ) q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente. XYZ? Portanto, a PG é: 9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3. b) Qual o comprimento do segmento BZ? ) O problema pede a soma dos quadrados, logo: a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819 2. Seja a reta y = -2x, determine: 2x, 6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 se a) As coordenadas do ponto P que está no segundo onde a última parcela contém n algarismos. Nestas quadrante, sobre a reta r e cuja distância ao ponto condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é: (0,-1) é √10 unidades; 10 A)1 b) As coordenadas do ponto Q, sobre a reta r, que esestá *B) 10 mais próximo do ponto (0,(0,-1). C) 100 D) -1 E) -10 PENGE 2 Solução: 1-Sendo o ponto P(r - 12, 4r - 6) pertencente a bissetriz dos quadrantes ímpares e P’(s-12, 4s 12, 4s-13) pertencente a bissetriz Observe que podemos escrever a soma S como: rve dos quadrantes ímpares, determine: S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10n – 1) a) O valor da distância entre P e P’. S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1) b) Qual dos pontos está mais próximo da origem. ntos Como existem n parcelas, observe que o número ( 1) é (– somado n vezes, 2. Considere o gráfico: resultando em n(-1) = - n. Logo, poderemos escrever: S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n , que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo an = 10n . Teremos: Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10) / 9 Substituindo em S, vem: S = [(10n+1 – 10) / 9] – n Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n) Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9 a) Obtenha uma equação da reta r Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica: 10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – b) Obtenha uma equação da reta s que passa por P e é 10) = 10 perpendicular a r. Matemática II 12
  • 13. Pré-Vestibular Popular da UFF na Engenharia ibular c) Determine o ponto A de interseção de r com a reta s obtida no item b PENGE 3 Questão 2 Verifique se o ponto P está mais próximo da reta r ou da reta s, considerando a figura abaixo. PENGE 5 1)Sejam os pontos M(6,4) e N(4,8). Se C1 é a circunferência que tem os segmentos MN com um diâmetro, então a equação de C1 é? 2)Dada a circunferência de equação x2+y2 = 5. Determine a posição relativa à circunferência dos pontos : A) (3, 1); B (1/2, 1) e C (1,2). Além disso determine se os pontos A,B e C são ou não colineares. Em caso negativo, determine a área do triângulo formado. PENGE 4 PENGE 6 Questão 1 Matemática II 13
  • 14. Pré-Vestibular Popular da UFF na Engenharia ibular 1)Identifique se representam e quais são as cônicas a partir de suas equações, determinando: No caso de circunferência, o centro e o raio. No caso de elipse ou hipérbole, os eixos e os focos. No caso de não representar uma cônica, justificar o porquê. a) 25x2 - 16y2 = 400. b) (x2/100) + (y2/36) =1 c) 9x2 + 5y2 − 45 = 0. d) x 2 + y 2 − 4 x − 8 y + 19 = 0 e) x 2 + y 2 − 10 x − 4 y + 30 = 0 2)Faça o que se pede em cada item: a)Sendo a elipse x2/36 + y2/64 = 1, determine as coordenadas seus eixos (maior e menor) e seus foco. b)Sendo a circunferência (x-1)2 + (y-2)2 = 16 e a reta r: y = 2x-3, determine a posição relativa entre elas. 3, PENGE 7 Questão 3) Determine o(s) valore(s) de K(definido no conjuntos dos reais) para que o ponto A(-2,K) pertença à 2,K) elipse 9x2+4y2+18x-8y-23= 0 Questão 4) Matemática II 14