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05 anlise combinatria

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  • 1. MATEMÁTICA ANÁLISE COMBINATÓRIA 1. PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTA- 5. PERMUTAÇÃO COM ELEMENTOS RE- GEM (PFC) PETIDOS Se um experimento A1 apresenta n1 resultados Considere um conjunto A com n elementos, distintos e um experimento A2 apresenta n2 resultados dentre os quais os elementos N1,N2 ,...,Nn aparecem distintos, e, assim sucessivamente, até um experi- α1, α 2 ,..., αn . O numero total de permutações usando mento An com nn resultados distintos, então o expe- os n elementos do conjunto A é dado por: rimento composto A1, A2, ..., An, nessa ordem, apresenta n1.n2.n3 ... nn resultados distintos. n! Pnα1, α2 ,..., αn = . 2. FATORIAL α1 ! α 2 !...αn Denomina-se fatorial de um número qualquer 6. COMBINAÇÃO SIMPLES “P” (P e ℵ) o produto desse número “P” por todos os seus antecedentes inteiros até chegar a 1. Considere um conjunto A com n elementos Exemplos: distintos. Define-se como combinação simples de n 2! = 2.1 = 2 elementos tomados p a p a todo subconjunto de A 3! = 3.1 = 3 com p elementos. São agrupamentos que diferem 4! = 4 . 3.2.1=24 somente pela natureza de seus elementos. P! = P.(P-1).(P-2). ... .1 6.1. Número de Combinações Simples O número total de combinações simples de n P! – lê-se P fatorial n  elementos tomados p a p, indicado por   = Cn,p , é 0! = 1 p 1! = 1 dado por: 3. ARRANJO SIMPLES n  n!   = Cn,p = . São agrupados que diferem pela ordem e pela p (n − p ) !p! natureza de seus elementos. O arranjo simples de n elementos, tomados p a p, simboliza todos os agru- EXERCÍCIOS RESOLVIDOS pamentos simples. 3.1. Número de Arranjos simples 1 Calcule o número de anagramas da palavra O número de arranjos simples de n elementos, tomados p a p, é calculado pela relação AMOR. n! A n,p = . { (n − p)! Resolução: repre sen tação usual Lembre-se de que anagramas de AMOR são palavras, com sentido ou não, formadas com todas as 4. PERMUTAÇÃO SIMPLES letras A, M, O e R. Considere um conjunto A com n elementos O número de anagramas representa a permuta- distintos. Define-se como permutações simples de n ção das letras. elementos de A o arranjo de n elementos, tomados n P4=4! = 4.3.2.1=24. a n. 4.1. Número total de permutações 2 Determine o número de anagramas da palavra O número total de permutações de n elemen- tos, indicado por Pn, é dado por: ARARA. n! Pn = An,n ⇒ Pn = ⇒ P = n! . Resolução: { (n − n ) ! n arranjo Número de elementos: 5. R aparece 2 vezes Letras  .  A aparece 3 vezes Total de anagramas Editora Exato 14
  • 2. MATEMÁTICA  ARARA 2 Resolvendo a equação ( x + 4) ! = 120 , então x va-  ARAAR  le:  ARRAA a) 5.   AAARR b) 6. 5! 5.4  AARAR  c) 7. 2,3 P5 = = = 10  2!3! 2  AARRA d) 8. RAAAR e) 9.  RAARA RARAA  3 Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre, RRAAA  passando por São Paulo. Sabendo que há 5 rotei- ros diferentes para chegar a São Paulo, partindo de Recife, e 4 roteiros diferentes para chegar a 3 Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4} , determine todas as Porto Alegre, partindo de São Paulo, de quantas combinações simples de 2 elementos. maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Resolução: Recife a Porto Alegre? {1, 2} , {1,3} , {1, 4} , {2, 3} , {2, 4} e {3, 4} . a) 15. b) 20. c) 25. 4 Determine o número de retas distintas que podem d) 30. ser determinadas por 7 pontos pertencentes a uma e) 9. circunferência. Resolução: 4 Num restaurante há 2 tipos de salada, 3 tipos de A pratos quentes e 3 tipos de sobremesa. Quantas possibilidades temos de fazer uma refeição com G B uma salada, um prato quente e uma sobremesa? a) 8. C b) 12. F c) 14. d) 16. D e) 18. E Observe que a reta AB e a reta BA são iguais, 5 Quantos números de dois algarismos distintos ou seja, a ordem não influencia no resultado. podemos escrever com os algarismos: Para formar uma reta, precisamos de 2 pontos dentre os sete existentes. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? 7  7! 7.6.5! C7,2 = = = = 21 .  2  (7 − 2) !2! 5!2.1 a) 72. b) 71. c) 70. EXERCÍCIOS d) 69. e) 68. 1 Calcule: 8! a) 6 Quantos números pares e de quatro algarismos 6! distintos podemos formar com os algarismos: 100! 1, 3, 4, 5, 6, 7? b) 98! a) 100. 5! b) 110. c) c) 120. 3!+ 2! d) 130. e) 140. Editora Exato 15
  • 3. MATEMÁTICA 7 Você e mais 5 colegas pretendem formar comis- sões de 3 pessoas. Quantas comissões são possí- veis? a) 08. b) 10. c) 15. d) 20. e) 25. 8 Em uma circunferência foram marcados 7 pontos distintos. Quantas retas podem ser traçadas, pas- sando cada uma por dois desses pontos? a) 20. b) 21. c) 22. d) 23. e) 24. 9 Sobre uma reta, marcam-se 8 pontos e sobre uma reta paralela à primeira, marcam-se 5 pontos. Quantos triângulos obtemos unindo 3 quaisquer desses pontos? a) 220. b) 210. c) 200. d) 100. e) 13. GABARITO 1 a) 56 b) 9.900 c) 10 2 E 3 B 4 E 5 A 6 C 7 D 8 B 9 A Editora Exato 16

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