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  • 1. MATEMÁTICA MATRIZES 1. DEFINIÇÃO Toda matriz identidade de ordem maior que 1 terá todos os elementos da diagonal principal iguais a Chama-se matriz do tipo m x n toda tabela de 1 e todos os demais elementos iguais a zero. números dispostos em m linhas e n colunas. Tal tabe- la pode ser representada entre parênteses ( ), entre Exemplo: colchetes [ ] ou entre barras duplas || ||.  1 0 0   I3 =  0 1 0  Exemplos:  0 0 1 9 4      a) A 3× 2 = 5 6  Matriz A do tipo 3 × 2 Matriz transposta  1 − 3 Se A é uma matriz de ordem m x n, denomi-   5 −4  namos transposta de A. A matriz de ordem n x m ob- b) B 2× 2 =   Matriz B do tipo 2 × 2 tida trocando-se ordenadamente as linhas pelas 3 − 6 colunas indica-se transposta de A por At. c) C1×3 = 4 − 1 5 Matriz C do tipo 1 × 3 2. REPRESENTAÇÃO GENÉRICA 3.4. Outras matrizes especiais Matriz linha: é uma matriz m x n onde m = Uma matriz qualquer do tipo m x n pode ser 1, ou seja, a matriz linha possui uma única representada da seguinte maneira: linha.  a11 a12  a13 K a1n   Matriz coluna: é uma matriz m x n onde n = a a22 a23 K a 2n  1, ou seja, a matriz coluna possui uma única A m×n =  21  M M M M   coluna. a  m1 am2 am 3 K amn  Matriz diagonal: é a matriz quadrada em Como o quadro A é bastante extenso, a matriz que todos os elementos não pertencentes à m x n será representada abreviadamente por: diagonal principal são nulos. Matriz triangular: é a matriz quadrada em ( ) A = aij que todos os elementos situados em um m ×n mesmo lado da diagonal principal são i- guais a zero. aij são os elementos da matriz A, onde i repre- Matriz nula: é uma matriz m x n onde todos senta a linha e j as colunas, às quais cada elemento aij os elementos são nulos. pertence. 4. IGUALDADE DE MATRIZES 3. MATRIZES ESPECIAIS Dadas duas matrizes do mesmo tipo, 3.1 Matriz quadrada A = (aij)m x n e B = (aij)m x n, dizemos que A = B se, e É toda matriz cujo número de linhas é igual ao somente se, todo elemento de A é igual ao seu cor- número de colunas. respondente em B. Diagonal secundária a11 a12 a13 5. OPERAÇÃO COM MATRIZES A= a21 a22 a23 a31 a32 a33 5.1. Adição de matrizes Dadas as matrizes A = (aij) m x n e B = (bij)m x n, Diagonal principal a soma de A com B é a matriz C = (cij)m x n, tal Numa matriz quadrada, de ordem n, os ele- que: cij=aij+bij para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. mentos aij, tais que i = j formam a diagonal principal da matriz, e os elementos aij, tais que i + j = n + 1 for- Indicamos essa operação por: C = A + B mam a diagonal secundária. Propriedades da Adição 3.2. Matriz identidade 1a A+ B = B + A (comutativa) Chama-se matriz identidade de ordem n, que se 2a (A + B) + C = A + (B + C) (associativa) indica por In , a matriz: 3a A+ 0 = A (elemento neutro) 4a A + (−A) = 0 (elemento oposto) 1, se i = j In = ( a ij )n × n , tal que aij =  . 0, se i ≠ j Editora Exato 1
  • 2. 5.2. Multiplicação de uma matriz por EXERCÍCIOS RESOLVIDOS um número real Dada a matriz A = (aij)m x n e o número real α , 1 Resolva: o produto de A por α é a matriz de B = (bij)m x n, tal  1 2    2 que: bij = aij . α para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. A = − 3 5 e A t = 1 − 3   2 0 2 5  0  2× 3  Exemplo:   3× 2  2 − 5   8 − 20  Resolução:    4 3 0  = 12 0   Podemos indicar At como: 1 6   4 A t = (b ji )n×m , tal que b ji = a ij , ∀i, j, 1 ≤ i ≤ m e    24  1 ≤ j ≤ n. 5.3. Multiplicação de matrizes Dadas as matrizes A = (aik)mxk e B = (bkj)kxn o produto de A por B é a matriz C = (cij)mxn, tal que ca- 2 Some as matrizes seguintes: da elemento cij é igual ao produto da linha i de A pela Resolução: coluna j de B.  1 4 3   2 3 5  + = Propriedades:  6 8 −5   4 −3 7  Para qualquer matriz Amxn, quaisquer matrizes  3 7 8 B e C (convenientes) e qualquer número real α , va-   10 5 2  lem as propriedades: 1ª (AB)C = A(BC) (associativa) 3 Multiplique as matrizes: 2ª C(A+B)= CA + CB (distributiva à es- querda) 9 7  1 2 3 0 8 ⋅  4 5 6 =     3ª (A+B)C = AC +BC (distributiva à direi-     ta) 4ª A . In = In . A = A (elemento neutro) Resolução: 5ª ( α . A)B = A . ( α . B) = α ( A . B) 6ª (A.B)t = At . Bt  9 ⋅ 1 + 7 ⋅ 4 9 ⋅ 2 + 7 ⋅ 5 9 ⋅ 3 + 7 ⋅ 6 =  0 ⋅ 1 + 8 ⋅ 4 0 ⋅ 2 + 8 ⋅ 5 0 ⋅ 3 + 8 ⋅ 6  O número de colunas de A deve ser igual ao   número de linhas de B. A multiplicação de matrizes não é necessaria-  37 53 69  mente comutativa, ou seja, nem sempre A ⋅ B = B ⋅ A . =  32 40 48     Se o produto A ⋅ B é nulo, isto não significa necessariamente que A ou B sejam nulos. Na multiplicação de matrizes, se C é uma ma-  −1 3   1 0 triz não nula AC = BC, isto não significa necessaria- 4 Dadas as matrizes A =  e B= , o va-  4 0  -1 4  mente que A = B. lor de 2A–3B é: 6. MATRIZ INVERSA Resolução: Calcule 2ª – 3B Dada a matriz A quadrada de ordem n, se e- xistir uma matriz A-1, tal que A-1 . A = In e A . A- 1 =In, ela será chamada matriz inversa de A. ( ) ( ) 2. -1 3 4 0 1 0 -3 -1 4 7. MATRIZ SIMÉTRICA Sendo A = (aij) uma matriz quadrada de ordem ( ) ( ) -2 6 8 0 + -3 0 3 -12  -5 6  n, A é simétrica se At = A, ou seja, se aij = aji, para 1   ≤i≤n e 1 ≤ j ≤ n. 11 -12  Editora Exato 2
  • 3. EXERCÍCIOS  4 3 e)   6 2  1 2   1 (UFRN) Dadas as matrizes A = 3 4 e 5 6 5 (UFPR) Seja M=(aij), uma matriz de ordem 3x2   2(i − j), se i=j  −1 3 2  tal que aij =  . A matriz M é: B=  então a matriz A–1Bt é: 2i + j, se i ≠ j  2 0 1 0 2   0 -1   a)   a) 2 0 1 4   -4 0    2 0 0 6 b)  0 4   3 5  b)  6 0       8 10     2 0 3 c)  ] 0 4  0 4 5 c)  5 0     2 1 7 8  d)      -1 4  0 5 7 0 0 d)    4 0 8 e)  0 4    3 5 0 6 8   e)    6 0 10  2 (UFRN) A solução da equação matrici-  2 -1 1 0   -1 2   x+1 x+4  6 Se A =   e B= , então o produto AB é: al  2 =  é um número:  3 2 1 -4   x x -2   3x+4 2  2 1 a) maior que –1. a)   b) menor que –1.  -1 4 c) maior que 1. 1 4 b)   d) entre –1 e 1. 5 -8  e) ente 0 e 3. 0 -1  c)   2 5 3 (PUC) Da equação matricial 2 0 d)    x 1   2 y   3 2 3 -8   + =  resulta: 1 2   0 -1  z t  2 -1 e)   a) x=y=z=t=1 3 0 b) x=1, y=1, z=3, t=2 3 c) x= , y=2, z=0, t=–2 7 (FGV-SP) Dadas as matrizes 2 d) x=1, y=2, z=t=0 x y x 6 4 x+y  A=  .B =   e C=  , e sendo e) x=2, y=0, z=2, t=3 z w   -1 2w   z+w 3  3A=B+C, então: a) x+y+z+w=11 4 (UEL-PR) – A matriz quadrada A = (aij ) , de or- b) x+y+z+w=10 i + j, para i ≥ j c) x+y–z–w=0 dem 2, tal que aij =  é: 3j, para i<j d) x+y–z–w=11 2 3 e) x+y+z+w>11 a)   3 6  4 6  b)   3 2  3 6  c)    2 4 2 6  d)   3 4 Editora Exato 3
  • 4. 3 0 8 (PUC) Dadas as matrizes A= e 1 -4  2 1 B= , então AB–BA é igual a:  -1 0  0 0 a)   0 0  2 -3  b)   5 0   -3 1  c)   2 7 1 0  d)    0 1  -1 7  e)   9 1  1 -1 9 (OSEC-SP) Dadas as matrizes A =   e 2 3  0 1 B=  então, calculando-se (A+B)2, obtém-  3 8 se:  1 0  a)    60 121  1 0  b)    25 121 1 0  c)    4 8 1 60  d)   1 121 1 1 e)   1 1 GABARITO 1 B 2 B 3 A 4 D 5 C 6 B 7 B 8 E 9 A Editora Exato 4

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