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Sesi贸n N掳2 L贸gica PPS Unimet
 

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Proposiciones y Conectivos de la Asignatura de L贸gica FBMM02 para PPS Julio de 2007

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    Sesi贸n N掳2 L贸gica PPS Unimet Sesi贸n N掳2 L贸gica PPS Unimet Presentation Transcript

    • L贸gica FBMM02 Profesionalizaci贸n en Servicio Profesor: Ricardo Escalante
    • Agenda
      • Proposiciones Simples
      • Conectivos y proposiciones compuestas.
      • Tablas de verdad
      • Construcci贸n de tablas de verdad para proposiciones compuestas
      • Formas derivadas del condicional
      • Simbolizaci贸n
    • Proposici贸n
      • Es un enunciado al cual se le puede asociar el concepto de verdadero o falso , pero no ambos .
      • Ejemplos:
      • La luna es cuadrada
      • 7 es un n煤mero primo
      • Las ara帽as son mam铆feros
      • 驴Son proposiciones?
      • 驴Qu茅 hora es?
      • Por favor, cierre la puerta
      • El 6 de abril de 1876 fue s谩bado
      • D ice el Presidente :
      • 鈥 Todos en este pa铆s son unos mentirosos y esto es verdad鈥
    • Proposiciones compuestas Conectivos
      • Si conocemos el valor de verdad de ciertas proposiciones, la l贸gica establece el valor de verdad de otras relacionadas con 茅stas.
      • A 茅stas proposiciones obtenidas de la composici贸n con las originales se les conoce como proposiciones compuestas
    • Negaci贸n
      • Si p es una proposici贸n, entonces 鈥 no p 鈥 es la negaci贸n de p y se denota por:
      • ~ p
      • Ejemplo:
      • p: Hoy es martes
      • ~ p: Hoy no es martes
      • 驴Qu茅 sucede con la negaci贸n de p, siendo p verdadero?
      • Es falsa
      • 驴Qu茅 sucede con la negaci贸n de p, siendo p falso?
      • Es verdadera
    • Negaci贸n
      • Esto lo podemos escribir de una manera 鈥渃ompacta鈥, utilizando una tabla
      • A esta tabla se le llama 鈥渢abla de certeza de la negaci贸n鈥
      p ~ p V F F V Posibilidades para la proposici贸n p
    • Conjunci贸n
      • Si p y q son proposiciones, se llama conjunci贸n de p y q a la proposici贸n compuesta 鈥減 y q 鈥 y se denota por:
      • p 飪 q
      • Ejemplos:
      • p: Hoy es martes
      • q: La luna es cuadrada
      • r: ma帽ana es mi茅rcoles
      • p 飪 q :Hoy es martes y la luna es cuadrada
      • p 飪 r :Hoy es martes y ma帽ana es mi茅rcoles
    • Conjunci贸n
      • Para construir la tabla de p 飪 q, debemos considerar las diferentes alternativas de valores de verdad para p y para q:
      • 驴Cu谩les son ?
        • Ambas verdaderas
        • una V y la otra F
        • ambas falsas
      p q p 飪 q V V V V F F F V F F F F
    • Disyunci贸n
      • Si p y q son proposiciones, se llama disyunci贸n de p y q a la proposici贸n compuesta 鈥減 o q鈥 y se denota por:
      • p 飪 q
      p q p 飪 q V V V V F V F V V F F F
    • Disyunci贸n
      • Ser 茅 cantante o futbolista
      • p: Ser 茅 cantante
      • q: Ser 茅 futbolista
      • Simbolizaci贸n:
      • p 飪 q
      p q p 飪 q V V V V F V F V V F F F
    • Condicional
      • Si p y q son proposiciones, se llama condicional de p y q a la proposici贸n compuesta 鈥渟i p, entonces q鈥 y se denota por:
      • p 飩 q
      • Ejemplos:
      • Si no llueve (entonces) iremos a la playa
      • Si me gano la loter铆a (entonces) me voy de viaje
      • Si no estudio (entonces) no aprobar茅 L贸gica
    • Condicional
      • Veamos la tabla del condicional:
      • p 飩 q
      • Conviene pensar en una 鈥減romesa鈥 ..... Si no llueve (entonces) iremos a la playa
      p q p 飩 q V V V V F F F V V F F V
    • Condicional
      • El condicional es falso, s贸lo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; es decir, cuando la 鈥減romesa鈥 no se cumple.
      p q p 飩 q V V V V F F F V V F F V
    • Condicional
      • El condicional es muy importante en matem谩ticas, porque los Teoremas se expresan en forma condicional.
      • Un Teorema ser谩 un condicional verdadero con hip贸tesis verdadera
      p q p 飩 q V V V
    • Condicional y Teoremas
      • En los Teoremas, al antecedente del condicional (p) se le llama Hip贸tesis y al consecuente (q) se le llama Tesis o Conclusi贸n
      • Los Teoremas requieren de una demostraci贸n; es decir, partiendo de una hip贸tesis verdadera, hay que demostrar que la Conclusi贸n es verdadera.
    • Tablas de verdad
      • Recordemos que el valor de certeza de una proposici贸n compuesta depende de los valores de certeza de las proposiciones simples que la componen
      • Para analizar los valores de certeza de una proposici贸n compuesta, representamos todas las posibilidades de valores de verdad de las proposiciones simples, en un arreglo de tabla
    • Ejemplo con 2 proposiciones simples
      • Construyamos la tabla de verdad para la siguiente proposici贸n : (p 飪 q) 飪 (p 飩 ~q)
      • 4 filas de posibilidades
      p q V V V F F V F F p 飪 q p 飩 ~q V F F V F V F V ~q F V F V (p 飪 q) 飪 (p 飩 ~q) F F F F
    • Ejemplo con 3 proposiciones simples
      • 驴Cu谩ntas posibilidades tendremos?
      8 p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
    • Ejemplo con 3 proposiciones simples Hacer la tabla de certeza para: (r 飪 p) 飪 ~(q 飪 p) p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F r 飪 p q 飪 p ~(q 飪 p) V V F V V F V V F V V F V V F F V F V F V F F V (r 飪 p) 飪 ~(q 飪 p) F F F F F F V F
    • En resumen
      • Una tabla de verdad para proposiciones compuestas que contienen:
      • 1 proposici贸n simple鈥 tendr谩 2 filas
      • 2 proposiciones simples
      • 3 proposiciones simples
      • 4 proposiciones simples
      • 鈥︹ razonando inductivamente鈥︹..
      • n proposiciones simples
      4 = 2 2 filas 8 = 2 3 filas 16= 2 4 filas 2 n filas
    • Formas de expresar un condicional鈥︹.
      • Si es caraque帽o , es venezolano ( p 飩 q )
      • Es venezolano , siempre que sea caraque帽o
      • Es venezolano si es caraque帽o
      • Es suficiente que sea caraque帽o para que sea venezolano
      • Siempre y cuando sea caraque帽o, ser谩 venezolano .
      • Es necesario que sea venezolano para ser caraque帽o
      • TODAS ESTAS EXPRESIONES SE SIMBOLIZAN COMO: p 飩 q
    • Partes de un condicional
      • p 飩 q
      antecedente Condici贸n suficiente consecuente Condici贸n necesaria
    • Formas derivadas del condicional
      • Dado el condicional directo: p 飩 q, el condicional ~ p 飩 ~q se llama contrario y lo expresar铆amos: 鈥 si no p, entonces no q鈥
      • Directo: p 飩 q
      • Si repruebo el examen, entonces me enojar茅 bastante
      • Contrario: ~ p 飩 ~q
      • Si no repruebo el examen, entonces no me enojar茅 bastante
    • Formas derivadas del condicional
      • Dado el condicional directo: p 飩 q, el condicional q 飩 p se llama rec铆proco y lo expresar铆amos:
      • 鈥 si q, entonces p鈥
      • Directo: p 飩 q
      • Si repruebo el examen, entonces me enojar茅 bastante
      • Rec铆proco: q 飩 p
      • Si me enojo bastante , entonces reprobar茅 el examen
    • Formas derivadas del condicional
      • Dado el condicional directo: p 飩 q, el condicional ~ q 飩 ~p se llama contrarrec铆proco y lo expresar铆amos: 鈥 si no q, entonces no p鈥
      • Directo: p 飩 q
      • Si repruebo el examen, entonces me enojar茅 bastante
      • Contrarrec铆proco: ~ q 飩 ~p
      • Si no me enojo bastante, entonces no repruebo el examen
    • Formas derivadas p q q p ~ p ~ q ~ q ~ p Directo Rec铆proco Contrario Contrarrec铆proco rec铆procos contrarios contrarrec铆procos
    • Ejemplo
      • Hallar las formas derivadas del siguiente condicional:
      • Si un n煤mero es par, entonces es m煤ltiplo de 4. 鈥︹︹︹︹︹︹︹︹︹︹︹︹︹. 驴V o F?
      • Falso (contraejemplo: 2)
      • Rec铆proco :
      • Si un n煤mero es m煤ltiplo de 4 entonces es par. 鈥︹︹︹︹︹︹︹︹︹︹︹︹..驴V o F?
      • Verdadero!
    • Ejemplo
      • Directo: p 飩 q
      • Si un n煤mero es par, entonces es m煤ltiplo de 4.
      • Contrario : ~ p 飩 ~ q
      • Si un n煤mero no es par, entonces no es m煤ltiplo de 4
      • Verdadero!
    • Ejemplo
      • Directo: p 飩 q
      • Si un n煤mero es par, entonces es m煤ltiplo de 4.
      • Contrarrec铆proco : ~ q 飩 ~ p
      • Si un n煤mero no es m煤ltiplo de 4, entonces no es par
      • Falso鈥.. 2 no es m煤ltiplo de cuatro y es par ( antecedente verdadero, consecuente falso )
    • Ejercicios
      • Escribir las formas derivadas para: a) ( r 飪 ~ q ) 飩 p.
        • b)Si yo digo s铆, ella dice no.
      • Construye una proposici贸n verdadera que incluya un condicional, una conjunci贸n, una disyunci贸n y una negaci贸n (no necesariamente en ese orden), que conste de las componentes p, q y r con todas ellas falsas.
    • Ejercicios
      • Escribe el rec铆proco, el inverso y el contrarrec铆proco de cada una de las proposiciones siguientes:
        • Si q, entonces r
        • ~ p 飩 (~ q )
        • ~p 飩 ~ (r 飪 q )
        • El sol brilla si est谩s feliz.
        • Si tu autom贸vil no tiene aire acondicionado, no tendr谩s amigos.