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Le codage de Hamming
"Que penserons-nous d'une mécanique... qui non seulement peut
calculer... mais encore confirmer la certitude mathématique de ses
opérations par la faculté de corriger les erreurs possibles?" ( Edgar
Allan Poe, le joueur d'échecs de Maelzel ) .

I Les codes linéaires : codage et restitution d'un mot
binaire
1 - Codage.
2 - Décodage, correction.
3 - Fiabilité du résultat.

II Phase expérimentale
1 - Programmation maple
2 - Résultats, interprétations.
3 - Cadre et limites d'utilisation.
TIPE - Code correcteur de Hamming, 2009
TIPE - Code correcteur de Hamming, 2009
TIPE - Code correcteur de Hamming, 2009
TIPE - Code correcteur de Hamming, 2009
II . 2 - Résultats, interprétations.

message émis

message reçu

message décodé

II. 3 - Cadre et limites d'utilisation.
Schéma de Bernoulli :
- la probabilité d'erreur est la même pour chaque bit.
- elles sont indépendantes les unes des autres.
Erreurs aléatoires si bruit de fond electromagnétique => satellites.
+ Permet la correction sans répétition => utile si les distances sont
importantes.
- Mais Taille des mots fixée => inutilisable pour internet.
 Erreurs en rafale et perte d'information possibles, exemple : rayure de CD.
Annexe A
Matrice de contrôle d'un code quelconque
On cherche S telle que ker S = C.
u C┴

Donc si G' est une matrice génératrice de C┴ alors elle est syndrome de C.
Une matrice de contrôle de C est la transposée d'une matrice génératrice
de C┴.
Probabilité d'exactitude du message décodé
Seuls sont exacts avant restitution de l'information :
 les messages transmis sans erreur,
 les messages n'ayant qu'une erreur.
Soit p la probabilité de mutation d'un bit, et q = 1 - p .
Donc pour Hamming (15,11) (ie n=15, r=11), avec p = 10-3
on trouve Pexa = 0,9999.
Sans correction, la probabilité d'exactitude serait
1/100 message est erroné sans correction,
1/10 000 message est erroné avec correction.

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  • 1. Le codage de Hamming "Que penserons-nous d'une mécanique... qui non seulement peut calculer... mais encore confirmer la certitude mathématique de ses opérations par la faculté de corriger les erreurs possibles?" ( Edgar Allan Poe, le joueur d'échecs de Maelzel ) . I Les codes linéaires : codage et restitution d'un mot binaire 1 - Codage. 2 - Décodage, correction. 3 - Fiabilité du résultat. II Phase expérimentale 1 - Programmation maple 2 - Résultats, interprétations. 3 - Cadre et limites d'utilisation.
  • 6. II . 2 - Résultats, interprétations. message émis message reçu message décodé II. 3 - Cadre et limites d'utilisation. Schéma de Bernoulli : - la probabilité d'erreur est la même pour chaque bit. - elles sont indépendantes les unes des autres. Erreurs aléatoires si bruit de fond electromagnétique => satellites. + Permet la correction sans répétition => utile si les distances sont importantes. - Mais Taille des mots fixée => inutilisable pour internet.  Erreurs en rafale et perte d'information possibles, exemple : rayure de CD.
  • 7. Annexe A Matrice de contrôle d'un code quelconque On cherche S telle que ker S = C. u C┴ Donc si G' est une matrice génératrice de C┴ alors elle est syndrome de C. Une matrice de contrôle de C est la transposée d'une matrice génératrice de C┴. Probabilité d'exactitude du message décodé Seuls sont exacts avant restitution de l'information :  les messages transmis sans erreur,  les messages n'ayant qu'une erreur. Soit p la probabilité de mutation d'un bit, et q = 1 - p . Donc pour Hamming (15,11) (ie n=15, r=11), avec p = 10-3 on trouve Pexa = 0,9999. Sans correction, la probabilité d'exactitude serait 1/100 message est erroné sans correction, 1/10 000 message est erroné avec correction.