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equação de terceiro grau

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Este trabalho foi desenvolvido por alunos do primeiro ano de gradução em matematica. …

Este trabalho foi desenvolvido por alunos do primeiro ano de gradução em matematica.

Introdução

A escolha do tema se deu principalmente pelo fato da maioria dos alunos desconhecer o método de resolução de uma equação de terceiro grau. Desde a antiguidade, as dificuldades para se encontrar as raízes de tal equação motiva os matemáticos.
Fizemos uma reconstrução histórica, mais precisamente na antiguidade, com os babilônios até o Renascimento Italiano, onde o estudo das equações de terceiro grau atinge seu ápice. Neste período daremos enfoque nos principais personagens responsáveis pela descoberta das fórmulas gerais, em meio a disputas, brigas e traições. Entre eles estão Girolamo Cardano e Tartaglia.
O mundo conhece o método de resolução de uma equação cúbica no século XVI através de Cardano com a publicação de ARS MAGNA.
Objetivo:Mostrar a demonstração teórica do método de Cardano-Tartaglia.

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  • 1. Equações do 3º grau Grupo: Aline Dutra Guilherme Ponesi Renan Metzker Orientadora: Miriam Penteado Contato: renan_metzker_@hotmail.com
  • 2. Introdução
    • A escolha pelo tema se deu principalmente pelo fato da maioria dos alunos desconhecerem o método de resolução de uma equação de terceiro grau.
    • Fizemos um estudo histórico pesquisando os métodos de resolução de uma equação de terceiro grau desenvolvidos através dos tempos, enfatizando as necessidades que geraram sua descoberta e os principais matemáticos envolvidos no processo.
  • 3. Objetivos
    • Este trabalho tem por finalidade demonstrar a resolução de uma equação de terceiro grau utilizando o método Cardano-Tartaglia e relatar os principais fatos históricos relacionados ao tema.
  • 4. Processo Histórico Desenvolvimento Problemas gerados na Grécia Antiga Contribuições dos Matemáticos Árabes ... Renascimento Italiano ( Cardano e Tartaglia) Início na Babilônia (1800 a 1600 A.C.)
  • 5. Estudo das cúbicas na Babilônia
    • Os babilônios fazem tabelas de quadrados e cubos para auxiliar na resolução de uma equação cúbica da forma
    • Equações do tipo ax³+ bx²=c podem ser transformadas na forma conhecida dos babilônios se multiplicada por
    N N² N³ N²+N³ 1 1 1 2 2 4 8 12 3 9 27 36 4 16 64 80 5 25 125 150 6 36 216 252
  • 6. Estudo das cúbicas na Grécia e na Arábia.
    • Os problemas relacionados a volumes de sólidos levam os matemáticos ao estudo de equações de terceiro grau.O que teve mais destaque foi o problema da duplicação do cubo.
    • Transportando para Arábia , vemos um rico conhecimento matemático herdado dos gregos.O matemático Omar Khayyam inicia um estudo geométrico para a resolução de uma cúbica. Ele acreditava que era impossível resolver uma cúbica algebricamente.
  • 7. Nicoló Fontana(Tartaglia)
    • Nascido em Bréscia, em 1500, desde a infância teve a vida marcada pelo infortúnio, pelas lutas e dificuldades, morreu em 1557.
  • 8. Girolamo Cardano
  • 9. Demonstração caso geral
    • O método consiste em eliminar por meio de operações algébricas o termo de segundo grau, e obter uma equação do tipo:
    • Seja com a, b, c, d R a equação geral de uma equação de terceiro grau.
    • Substituindo a variável x por z+w na equação geral e agrupando os termos semelhantes teremos
    • Igualando o termo de segundo grau a zero obteremos:
  • 10.
    • Substituindo W na equação:
    • Agora iremos obter p e q em função de a,b,c,d comparando a equação obtida com a equação
    • Assim,chegamos que
    • Já se sabia na época que uma raiz da equação............................ poderia ser obtida a partir das raízes da seguinte equação de segundo grau
  • 11.
    • A maneira para se obter uma raiz da equação
    • seria a seguinte:
    • Resolvendo a equação do segundo grau
    • Substituindo:
  • 12.
    • Chamaremos q² + p³ de
    • Se for menor do que zero, a equação terá raízes complexas. Este caso não iremos demonstrar,pois não foi descoberto por Tartaglia. A forma obtida é válida para os casos que for maior ou igual a zero.
    • Para calcular as demais raízes basta dividirmos a equação geral (ax³+bx²+cx+d) por Assim,recairemos numa equação de grau 2, a qual podemos resolver.
    • Seja a equação que foi obtida a partir da divisão da equação geral por x-x1
    • Resolvendo a equação obteremos:
  • 13.
    • Estas raízes estão em função de a1,b1 e c1. Queremos deixá-las em função de a,b,c,d e x1.Para isto,usamos o dispositivo de Briot Ruffini
    • a b c d x1
    • a ax1+b (ax1+b)x1+c (ax1+b)x1+c)x1+d
    • A partir disto, concluímos que:
    • a1=a
    • b1= ax1+b
    • c1= (ax1+b)x1+c
    • (ax1+b)x1+c)x1+d é o resto da divisão que é 0.
    • Então: (ax1+b)x1+c)x1+d=0
    • d = -(ax1+b)x1+c)x1
  • 14.
    • Substituindo a1,b1,c1 em x2 e x3 obteremos:
  • 15. Referências
    • Garbi, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. São Paulo: Makron Books,1997.
    • Revista do Professor de Matemática, RPM-25.
    • Dissertação apresentada por Rosana Nogueira de Lima para obtenção de Mestre em Educação Matemática à PUC-SP,1999.