equação do terceiro grau

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Este trabalho foi desenvolvido por alunos do primeiro ano de gradução em matematica.

Introdução

A escolha do tema se deu principalmente pelo fato da maioria dos alunos desconhecer o método de resolução de uma equação de terceiro grau. Desde a antiguidade, as dificuldades para se encontrar as raízes de tal equação motiva os matemáticos.
Fizemos uma reconstrução histórica, mais precisamente na antiguidade, com os babilônios até o Renascimento Italiano, onde o estudo das equações de terceiro grau atinge seu ápice. Neste período daremos enfoque nos principais personagens responsáveis pela descoberta das fórmulas gerais, em meio a disputas, brigas e traições. Entre eles estão Girolamo Cardano e Tartaglia.
O mundo conhece o método de resolução de uma equação cúbica no século XVI através de Cardano com a publicação de ARS MAGNA.
Objetivo:Mostrar a demonstração teórica do método de Cardano-Tartaglia.

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equação do terceiro grau

  1. 1. Equações do 3º grau Grupo: Aline Dutra Guilherme Ponesi Renan Metzker Orientadora: Miriam Penteado Contato: renan_metzker_@hotmail.com
  2. 2. Introdução <ul><li>A escolha pelo tema se deu principalmente pelo fato da maioria dos alunos desconhecerem o método de resolução de uma equação de terceiro grau. </li></ul><ul><li>Fizemos um estudo histórico pesquisando os métodos de resolução de uma equação de terceiro grau desenvolvidos através dos tempos, enfatizando as necessidades que geraram sua descoberta e os principais matemáticos envolvidos no processo. </li></ul>
  3. 3. Objetivos <ul><li>Este trabalho tem por finalidade demonstrar a resolução de uma equação de terceiro grau utilizando o método Cardano-Tartaglia e relatar os principais fatos históricos relacionados ao tema. </li></ul>
  4. 4. Processo Histórico Desenvolvimento Problemas gerados na Grécia Antiga Contribuições dos Matemáticos Árabes ... Renascimento Italiano ( Cardano e Tartaglia) Início na Babilônia (1800 a 1600 A.C.)
  5. 5. Estudo das cúbicas na Babilônia <ul><li>Os babilônios fazem tabelas de quadrados e cubos para auxiliar na resolução de uma equação cúbica da forma </li></ul><ul><li>Equações do tipo ax³+ bx²=c podem ser transformadas na forma conhecida dos babilônios se multiplicada por </li></ul>N N² N³ N²+N³ 1 1 1 2 2 4 8 12 3 9 27 36 4 16 64 80 5 25 125 150 6 36 216 252
  6. 6. Estudo das cúbicas na Grécia e na Arábia. <ul><li>Os problemas relacionados a volumes de sólidos levam os matemáticos ao estudo de equações de terceiro grau.O que teve mais destaque foi o problema da duplicação do cubo. </li></ul><ul><li>Transportando para Arábia , vemos um rico conhecimento matemático herdado dos gregos.O matemático Omar Khayyam inicia um estudo geométrico para a resolução de uma cúbica. Ele acreditava que era impossível resolver uma cúbica algebricamente. </li></ul>
  7. 7. Tartaglia <ul><li>Nascido em Bréscia, em 1500, desde a infância teve a vida marcada pelo infortúnio, pelas lutas e dificuldades, morreu em 1557. </li></ul>
  8. 8. Cardano
  9. 9. Demonstração caso geral <ul><li>O método consiste em eliminar por meio de operações algébricas o termo de segundo grau, e obter uma equação do tipo: </li></ul><ul><li>Seja com a, b, c, d R a equação geral de uma equação de terceiro grau. </li></ul><ul><li>Substituindo a variável x por z+w na equação geral e agrupando os termos semelhantes teremos </li></ul><ul><li>Igualando o termo de segundo grau a zero obteremos: </li></ul>
  10. 10. <ul><li>Substituindo W na equação: </li></ul><ul><li>Agora iremos obter p e q em função de a,b,c,d comparando a equação obtida com a equação </li></ul><ul><li>(I) </li></ul><ul><li>Assim,chegamos que </li></ul><ul><li>Já se sabia na época que uma raiz da equação (I) poderia ser obtida a partir das raízes da seguinte equação de segundo grau </li></ul>
  11. 11. <ul><li>A maneira para se obter uma raiz da equação </li></ul><ul><li>seria a seguinte: </li></ul><ul><li>Resolvendo a equação do segundo grau </li></ul><ul><li>Substituindo: </li></ul>
  12. 12. <ul><li>Chamaremos q² + p³ de </li></ul><ul><li>Se for menor do que zero, a equação terá raízes complexas. Este caso não iremos demonstrar,pois não foi descoberto por Tartaglia. A forma obtida é válida para os casos que for maior ou igual a zero. </li></ul><ul><li>Para calcular as demais raízes basta dividirmos a equação geral (ax³+bx²+cx+d) por Assim,recairemos numa equação de grau 2, a qual podemos resolver. </li></ul><ul><li>Seja a equação que foi obtida a partir da divisão da equação geral por x-x1 </li></ul><ul><li>Resolvendo a equação obteremos: </li></ul>
  13. 13. <ul><li>Estas raízes estão em função de a1,b1 e c1. Queremos deixá-las em função de a,b,c,d e x1.Para isto,usamos o dispositivo de Briot Ruffini </li></ul><ul><li>a b c d x1 </li></ul><ul><li>a ax1+b (ax1+b)x1+c (ax1+b)x1+c)x1+d </li></ul><ul><li>A partir disto, concluímos que: </li></ul><ul><li>a1=a </li></ul><ul><li>b1= ax1+b </li></ul><ul><li>c1= (ax1+b)x1+c </li></ul><ul><li>(ax1+b)x1+c)x1+d é o resto da divisão que é 0. </li></ul><ul><li>Então: (ax1+b)x1+c)x1+d=0 </li></ul><ul><li>d = -(ax1+b)x1+c)x1 </li></ul>
  14. 14. <ul><li>Substituindo a1,b1,c1 em x2 e x3 obteremos: </li></ul>
  15. 15. Referências <ul><li>Garbi, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. São Paulo: Makron Books,1997. </li></ul><ul><li>Revista do Professor de Matemática, RPM-25. </li></ul><ul><li>Dissertação apresentada por Rosana Nogueira de Lima para obtenção de Mestre em Educação Matemática à PUC-SP,1999. </li></ul>

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