1. ESTRUCTURAS DE DATOS
UNIDAD 1 ANÁLISIS DE ALGORITMOS
COMPLEJIDAD DE ALGORITMOS
La teoría de complejidad de los algoritmos tiene que ver directamente con su eficiencia. La
Eficiencia de un algoritmo está determinada por la cantidad de recursos que consume un
programa durante su ejecución. A menor consumo de recursos (Tiempo/Espacio) será mayor
la eficiencia.
Los recursos son básicamente dos:
1) El tiempo de procesador o Complejidad Temporal: Se denota por “T” y expresa el
tiempo que tarda en ejecutarse un programa. Esto dependerá del número de
instrucciones elementales que ejecuta y la rapidez de cada una de las instrucciones.
2) Espacio en memoria o Complejidad Espacial: Se denota por la letra “E” y expresa la
cantidad de memoria que requiere un programa. Depende principalmente del número
de variables que utiliza y del espacio que cada variable ocupa.
Factores de los que depende la eficiencia de un programa.
Los factores que determinan la eficiencia de un programa son:
a) El algoritmo utilizado.
b) El tamaño de la entrada, que es una medida de la cantidad de datos que se deberán
procesar.
El tiempo de ejecución y el espacio en memoria requerida se expresan en función del tamaño
de los datos de entrada, denotado por “n”. De esta manera quien determina el consumo de los
recursos será la cantidad de datos procesados, de ahí que el tiempo y el espacio dependen de
‘n’, Tiempo en función de ‘n’ T( n) y Espacio en función de ‘n’ E(n).
La noción del tamaño de los datos de entrada tiene una definición para cada problema en
particular y una regla que suele funcionar es:
1) Si la entrada de datos es un solo entero, el tamaño para ‘n’ es el valor del entero.
2) Si la entrada es una secuencia de datos , el tamaño para ‘n’ es la cantidad de elementos
de la secuencia.
3) Si la entrada de datos es estructurada, el tamaño para ‘n’ es el número de elementos
del dato.
Formas para medir la complejidad de un programa
Existen dos formas de medición de la complejidad:
1) Prueba empírica: Consiste en implementar el programa y probarlo por medio de su
ejecución, midiendo el tiempo y el espacio en una máquina concreta y con datos específicos.
2) Análisis de Complejidad: Consiste en estimar el tiempo y el espacio a partir del análisis de
las instrucciones que componen el algoritmo.
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2. ESTRUCTURAS DE DATOS
La comparación de ambos métodos nos da el siguiente resultado:
Para la prueba empírica:
a) El resultado es dependiente de la máquina
b) Es poco informativo
c) Requiere implementar el algoritmo y ejecutarlo varias veces
d) Nos da valores exactos, como el tiempo en segundos y el espacio de memoria en bytes,
pero solo para una máquina determinada y datos concretos.
Para el análisis del algoritmo:
a) Es independiente de la máquina
b) Es más informativo
c) Se aplica sin necesidad de implementar el programa
d) Nos da valores aproximados
Notaciones Asintóticas
Las notaciones asintóticas son aquellas que permiten caracterizar el ritmo de crecimiento de
una función, en este caso las notaciones asintóticas nos permiten caracterizar el
comportamiento de T(n) y E(n). Las notaciones estudian el comportamiento de los algoritmos
para volúmenes de datos de gran tamaño que es justo cuando la eficiencia del algoritmo es
más crítica.
Con la notación asintótica no se pretende establecer el tiempo exacto de ejecución o el espacio
de memoria ocupado sino que simplemente se clasifica el algoritmo en función del tamaño de
los datos de entrada. Las notaciones Asintóticas más comunes son:
Notación Definición
O(f) Conjunto de funciones cuyo crecimiento es
menor o igual a f
Ω(f) Conjunto de funciones cuyo ritmo de
crecimiento es mayor o igual a f
Ѳ(f) Conjunto de funciones con el mismo ritmo de
crecimiento en E(n) y T(n)
ARITMÉTICA DE LA NOTACIÓN O
Ocupando el tamaño de la entrada como el tamaño o el parámetro que define el tiempo de
ejecución de un programa es posible describir por ejemplo a la función T(n)=n2+2n y esta
función proporciona la información necesaria para clasificarla en los diferentes algoritmos.
Reglas para el cálculo de una función de tiempo
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3. ESTRUCTURAS DE DATOS
1) Sentencias simples: Se refiere a sentencias de asignación, operaciones aritméticas,
entradas y salidas. Esta sentencia requiere un trabajo constante siendo su orden de
complejidad igual a 1.
Ejemplo:
Suma= 0 1
2) Ciclos: Su tiempo de ejecución es al menos el tiempo de ejecución de las instrucciones
dentro de él, multiplicado por el número de la iteraciones, sumándole los componentes del
ciclo.
Ejemplo
Suma= 0 1
For(i=0;i<n;i++) 1, n+1,n = 2n+2 T(n) = 4n+3 Esto es si n = 2
Suma+=i ; 2n *Es dos porque se está realizando una suma y una asignación
3) Ciclos anidados: Se analizan desde el ciclo interno hasta el más externo. Una vez que se
obtiene la complejidad del ciclo interno se multiplica por el número de iteraciones del ciclo
externo obteniendo la complejidad final para el ciclo externo de la misma forma que un ciclo
simple.
Ejemplo:
For(j=1;j<=n;j++) 1, n+1, n = 2n+2 + 4n2+2n T(n)= 4n2+4n+2
For(i=0;i<n;i++) 1, n+1,n = 2n+2 (4n+2)(n)= 4n2+2n
Suma+=i ; 2n
4) Condicionales: La comparación es de complejidad constante igual a 1 que se debe sumar
con el peor de los casos entre el verdadero y el falso.
Ejemplo:
If (n>i) 1+3 = 4
Suma+=i*j; 3
Else
Suma=i; 1
Para simplificar el estudio de la complejidad se han adoptado ciertas convenciones y una de
ellas es la del concepto de ORDEN, que indica el grado de Complejidad del algoritmo.
A partir de la función de tiempo, para determinar el orden el orden del algoritmo se eliminan
todos los términos excepto el de mayor grado, después se elimina el coeficiente del término.
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4. ESTRUCTURAS DE DATOS
El concepto de orden de complejidad indica el grado o clasificación de complejidad del
algoritmo, así para T(n)=7n 2+11n+6 tenemos que n2 es el orden de complejidad del
algoritmo, es decir O(n2).
Ordenes de Complejidad
Entre los principales órdenes de complejidad se encuentran los siguientes:
O (1) Orden Constante
O (log n) Orden Logarítmico
O(n) Orden lineal
O(n log n) Orden Cuasi-lineal
O (n2) Orden Cuadrático
O (n3) Orden cúbico
O (n a) Orden Polinomial
O (an) Orden Exponencial
O (n!) Orden Factorial
La complejidad constante: Indica cuando las instrucciones se ejecutan una sola vez.
Complejidad Logarítmica: Suele aparecer en determinados algoritmos y se considera un
caso especial pues en el doble de tiempo permiten resolver problemas notablemente mayores
y para resolver un problema doblemente mayor solo hace falta un poco más de tiempo pero
nunca el doble.
Complejidad Lineal: Es una complejidad buena y también muy usual su comportamiento es
más natural es decir con el doble de datos a procesar nos dará el doble de tiempo de
ejecución. Aparece en la evaluación de ciclos simples siempre que la complejidad de las
instrucciones anteriores sea constante.
Complejidad Cuasi-lineal: Se encuentra en algoritmos de tipo divide y vencerás como el
método de ordenación QuickSort. Se considera una buena complejidad si n se duplica el
tiempo de ejecución es ligeramente mayor de el doble.
Complejidad Cuadrática: Aparece en ciclos doblemente anidados y si n se duplica el tiempo
de ejecución puede aumentar hasta 4 veces.
Complejidad Cúbica: Se da en ciclos de triple anidación si n se duplica el tiempo de ejecución
se multiplica hasta 8 veces.
Complejidad Polinomial: Estos algoritmos se encuentran con dificultad a problemas de
tamaño creciente y se encuentran en el límite de lo tratado. La complejidad es bastante mala.
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5. ESTRUCTURAS DE DATOS
Complejidad Exponencial: Estos algoritmos no suelen ser muy útiles en la práctica por el
elevadísimo tiempo de ejecución. Se dan en programas recursivos que contienen dos o más
llamadas internas.
Ejemplo grafico de la comparación de Complejidad Cuadrática y Exponencial
1000
800
600
400
200
Dado un algoritmo se debe conocer su complejidad temporal clasificándolo en uno de los
órdenes de complejidad anteriores.
COMPLEJIDAD
Dado un algoritmo de debe conocer su complejidad Temporal por medio de alguna de las dos
formas de medirla, recomendándose siempre el Análisis del Algoritmo. La Complejidad
Espacial del algoritmo dependerá de la memoria que requiera, y puede ser para diferentes
conceptos:
a) Variables estáticas y Locales
b) Variables dinámicas
c) Parámetros de funcione y métodos
d) Indicadores de archivos
La cantidad de memoria que consume un programa durante su ejecución depende de las
variables que haya creando dinámicamente y además de la sucesión de llamadas a funciones
por lo que se puede complicar considerablemente el análisis.
El caso más sencillo de analizar será el de los algoritmos no recursivos que no utiliza memoria
dinámica y que siguen tres reglas para el cálculo de su complejidad espacial
1.- Una variable de tipo elemental ocupa una cantidad de espacio constante que será de
acuerdo a su tipo.
2.- Una variable de tipo tupla ocupa la suma de sus campos.
3.- Una variable de tipo tabla con n elementos ocupara n veces el espacio de cada elemento
SELECCIÓN DE UN ALGORITMO
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6. ESTRUCTURAS DE DATOS
El impacto relativo de los factores que determinan el consumo de recursos de un proceso
depende de la cantidad de datos a procesar y almacenar.
1.- Para un tamaño de datos de entrada pequeño el lenguaje, el compilador y el equipo tienen
un impacto considerable en el tiempo de ejecución. Esto se debe a que si la entrada de datos
es pequeña, el número de instrucciones que se ejecutan también será menor por lo que la
velocidad individual de cada instrucción elemental determinará en mayor medida el tiempo
de ejecución sobre todo al comparar el mismo algoritmo en un equipo diferente.
2:- Para un tamaño de datos de entrada grande, el lenguaje, el compilador y el equipo pierden
importancia y lo más importante pasa a ser el algoritmo, esto se debe a que un cambio en el
equipo afecta el tiempo de ejecución en un factor constante mientras que el cambio en el
algoritmo puede llegar a incrementar, duplicar, elevar al cuadrado, al cubo etc… el tiempo de
ejecución.
3.- La eficiencia es especialmente importante en: Aplicaciones Interactivas, Sistemas
operativos multiproceso, Aplicaciones que se usan reiteradamente.
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