Fundamentos de Probabilidade Variáveis Aleatórias
Variável Aleatória <ul><li>Comentário </li></ul><ul><li>Ao usar a variável aleatória para calcular probabilidades, os mode...
Variável Aleatória Discreta <ul><li>Como foi visto, variável aleatória é a identificação de resultados de um experimento a...
Distribuições Discretas de Probabilidade <ul><li>O que é </li></ul><ul><li>São modelos matemáticos criados de forma coleti...
Distribuições Discretas de Probabilidade <ul><li>Comentário </li></ul><ul><li>No presente texto serão estudados os modelos...
Distribuições Discretas de Probabilidade <ul><li>Experimento de Bernoulli </li></ul><ul><li>É todo experimento no qual qua...
Experimento de Bernoulli Nota <ul><li>No experimento de Bernoulli, por ter exatamente dois resultados, não indica que ambo...
Experimento de Bernoulli Notação  <ul><li>Aqui denota-se: </li></ul><ul><li>Propriedade:  </li></ul><ul><li>p + q = 1  </l...
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Distribuição binomial Característica <ul><li>Repetir uma quantia fixa de vezes, denotada por n; </li></ul><ul><li>Estas re...
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Distribuição binomial Propriedades <ul><li>Se  X     b(n,p)  , então: </li></ul><ul><li>Cálculo de probabilidade – </li><...
Distribuição binomial Propriedades <ul><li>Detalhe: </li></ul>
Distribuição binomial Propriedades <ul><li>Fórmula da Combinação: </li></ul>
Distribuição binomial Propriedades <ul><li>Média: </li></ul><ul><li>Variância:  </li></ul><ul><li>Em que: </li></ul>
Distribuição binomial Exemplo 1 <ul><li>Ao jogar uma moeda cinco vezes de forma consecutiva, ache a probabilidade de que a...
Distribuição binomial Exemplo 1 - Solução <ul><li>Característica do experimento: </li></ul><ul><li>Jogar 5 vezes: Experime...
Exemplo 1   Característica do experimento <ul><li>Qualquer face que ocorra em uma repetição, na próxima a moeda permanece ...
Exemplo 1 Cálculo de Probabilidade <ul><li>Pela definição da variável aleatória, Sucesso é ocorrer Cara em um lançamento. ...
Exemplo 1 Cálculo de Probabilidade <ul><li>Cara duas vezes </li></ul><ul><li>Desenvolvendo: </li></ul>
Exemplo 1 Cálculo de Probabilidade <ul><li>Nenhuma Cara: </li></ul>
Exemplo 1   Resposta
Exemplo 1   Resposta <ul><li>Interpretação: </li></ul><ul><li>Existe 31,25% de chance de que ocorrerá face cara duas vezes...
Distribuição hipergeométrica   Condições Iniciais  <ul><li>Experimento ser realizado em repetições (repetitivo); </li></ul...
Distribuição hipergeométrica   Condições Iniciais  <ul><li>Ter uma variável aleatória, digamos X, cuja lei de formação é a...
Distribuição hipergeométrica   Condições Iniciais  <ul><li>Considere que no inicio (antes de efetuar a primeira repetição)...
Distribuição hipergeométrica   Propriedades. <ul><li>Com as condições iniciais acima citado, </li></ul><ul><li>Se  X     ...
Distribuição hipergeométrica   Propriedades. <ul><li>Média:  </li></ul><ul><li>Variância: </li></ul>
Distribuição hipergeométrica   Exemplo 1 <ul><li>Em um laboratório de análises clínicas foram realizados 54 exames de HIV,...
Distribuição hipergeométrica   Exemplo 1 - Solução <ul><li>      Pegar ao acaso 5 exames. </li></ul><ul><li>Característi...
Distribuição hipergeométrica   Exemplo 1 - Solução <ul><li>Característica do experimento: </li></ul><ul><li>A escolha é fe...
Distribuição hipergeométrica   Exemplo 1 - Solução <ul><li>Pela definição da variável aleatória, Sucesso é exame seleciona...
Distribuição hipergeométrica   Exemplo 1 - Solução . <ul><li>Com as condições iniciais acima citado, </li></ul><ul><li>X  ...
Distribuição hipergeométrica   Exemplo 1 - Solução . <ul><li>Cinco soropositivos </li></ul>
Distribuição de Poisson Característica <ul><li>Experimento ser realizado em repetições (repetitivo); </li></ul><ul><li>Em ...
Distribuição de Poisson Característica <ul><li>Ter uma variável aleatória, digamos X, cuja lei de formação é a quantia de ...
Distribuição de Poisson Nota – Cont. <ul><li>Por:  p    0,000  diz-se que a distribuição de Poisson é a distribuição de e...
Distribuição de Poisson Exemplo de Eventos Raros <ul><li>No caso de saúde, existe uma quantidade muito grande de eventos r...
Distribuição de Poisson Notações <ul><li>No caso da distribuição de Poisson, a média é denotada por:   , ao qual se compa...
Distribuição de Poisson Teorema: Se   X ~ Poisson (  ) <ul><li>Cálculo de probabilidade: </li></ul><ul><li>e = 2,71828 . ...
Distribuição de Poisson Teorema: Se   X ~ Poisson (  ) <ul><li>Cálculo da Média: </li></ul><ul><li>Cálculo da variância: ...
Distribuição de Poisson Exemplo 1 <ul><li>Em Angola, de cada 100 mil mulheres grávidas, 1 500 morrem devido à gravidez (OM...
Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>      Avaliar condições de saúde de 300 mulheres grávidas. </li></ul...
Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>Característica do experimento(cont.): </li></ul><ul><ul><li>Número de ...
Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>Característica do experimento(cont.):  </li></ul><ul><ul><li>Variável ...
Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>n = 300 (Número de Repetições); </li></ul><ul><li>Nota: Em uma pesquis...
Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>Devido aos valores de n e de p, esta variável aproxima de uma distribu...
Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>Nenhum óbito </li></ul><ul><li>3 Óbitos </li></ul><ul><li>Resposta: 0,...
Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>Nenhum óbito </li></ul>
Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>3 Óbitos </li></ul><ul><li>Resposta: 0,1687  </li></ul><ul><li>é equiv...
Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>5 óbitos </li></ul><ul><li>Resposta: 0,1708 (17,08%) </li></ul>
Variáveis Aleatórias <ul><li>FIM </li></ul><ul><li>Prof. Gercino Monteiro Filho </li></ul>
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Cap4 - Parte 6 - Distribuições Discretas Exercicios Resolvidos

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Cap4 - Parte 6 - Distribuições Discretas Exercicios Resolvidos

  1. 1. Fundamentos de Probabilidade Variáveis Aleatórias
  2. 2. Variável Aleatória <ul><li>Comentário </li></ul><ul><li>Ao usar a variável aleatória para calcular probabilidades, os modelos de análise são mais fáceis,são totalmente abrangentes com fins de pesquisas, alem de ser o objetivo de análise probabilística em uma pesquisa. </li></ul>
  3. 3. Variável Aleatória Discreta <ul><li>Como foi visto, variável aleatória é a identificação de resultados de um experimento aleatório, quando o espaço amostral que o identifica for numérico. </li></ul><ul><li>Caso Discreto </li></ul><ul><li>Quando os resultados são obtidos por “Contagem”. </li></ul>
  4. 4. Distribuições Discretas de Probabilidade <ul><li>O que é </li></ul><ul><li>São modelos matemáticos criados de forma coletiva no qual para o usuário, bastará interpretar o problema de forma qualitativa e definirá o modelo a usar de forma sucinta, e sem maiores dificuldades. </li></ul>
  5. 5. Distribuições Discretas de Probabilidade <ul><li>Comentário </li></ul><ul><li>No presente texto serão estudados os modelos de interesse de pesquisa em saúde, os modelos remanescentes para teoria de jogos e outros aspectos científicos não serão vistos. </li></ul>
  6. 6. Distribuições Discretas de Probabilidade <ul><li>Experimento de Bernoulli </li></ul><ul><li>É todo experimento no qual quando realizado possuirá exatamente dois resultados possíveis, batizados de SUCESSO e FRACASSO. </li></ul>
  7. 7. Experimento de Bernoulli Nota <ul><li>No experimento de Bernoulli, por ter exatamente dois resultados, não indica que ambos terão a mesma chance de ocorrência, ou seja, nem sempre são equiprováveis; </li></ul><ul><li>A quase totalidade dos experimentos, quando executado, transforma em Experimento de Bernoulli devido ao fato de ter para o idealizador o resultado que Satisfaz o desejado e o que Não-satisfaz. </li></ul>
  8. 8. Experimento de Bernoulli Notação <ul><li>Aqui denota-se: </li></ul><ul><li>Propriedade: </li></ul><ul><li>p + q = 1 </li></ul><ul><li>É equivalente a: q = 1 – p. </li></ul>
  9. 9. Distribuição binomial Característica <ul><li>Para que tenha distribuição binomial é necessário que: </li></ul><ul><li>Experimento ser realizado em repetições (repetitivo); </li></ul><ul><li>Em cada Repetição ser um Experimento de Bernoulli; </li></ul>
  10. 10. Distribuição binomial Característica <ul><li>Repetir uma quantia fixa de vezes, denotada por n; </li></ul><ul><li>Estas repetições serem independentes; </li></ul><ul><li>Ter uma variável aleatória, digamos X, cuja lei de formação é a quantia de sucessos nas n repetições. </li></ul>
  11. 11. Distribuição binomial Notação <ul><li>Nas condições acima diz ter: </li></ul><ul><li>“Uma distribuição binomial de parâmetros n e p ”, </li></ul><ul><li>Ao qual denota: X  b(n,p) </li></ul><ul><li>O símbolo: ~ lê-se: “Possui Distribuição” </li></ul>
  12. 12. Distribuição binomial Propriedades <ul><li>Se X  b(n,p) , então: </li></ul><ul><li>Cálculo de probabilidade – </li></ul><ul><li>Usa a Fórmula: </li></ul>
  13. 13. Distribuição binomial Propriedades <ul><li>Detalhe: </li></ul>
  14. 14. Distribuição binomial Propriedades <ul><li>Fórmula da Combinação: </li></ul>
  15. 15. Distribuição binomial Propriedades <ul><li>Média: </li></ul><ul><li>Variância: </li></ul><ul><li>Em que: </li></ul>
  16. 16. Distribuição binomial Exemplo 1 <ul><li>Ao jogar uma moeda cinco vezes de forma consecutiva, ache a probabilidade de que a face cara ocorra: </li></ul><ul><ul><li>Duas vezes; </li></ul></ul><ul><ul><li>Nenhuma vez. </li></ul></ul><ul><ul><li>Solução </li></ul></ul><ul><ul><li>  Jogar ao acaso uma moeda 5 vezes. </li></ul></ul>
  17. 17. Distribuição binomial Exemplo 1 - Solução <ul><li>Característica do experimento: </li></ul><ul><li>Jogar 5 vezes: Experimento Repetitivo; </li></ul><ul><li>Moeda possui 2 faces: </li></ul><ul><li>É Experimento de Bernoulli; </li></ul><ul><li>Número de Repetições 5: Quantia fixa; </li></ul>
  18. 18. Exemplo 1 Característica do experimento <ul><li>Qualquer face que ocorra em uma repetição, na próxima a moeda permanece nas mesmas características: Repetições Independentes; </li></ul><ul><li>Nota: As características acima designam um Experimento Binomial </li></ul><ul><li>Variável Aleatória X: “número de caras nas 5 repetições” </li></ul>
  19. 19. Exemplo 1 Cálculo de Probabilidade <ul><li>Pela definição da variável aleatória, Sucesso é ocorrer Cara em um lançamento. </li></ul><ul><li>Assim X  b(n,p) </li></ul><ul><li>onde n = 5 e </li></ul>
  20. 20. Exemplo 1 Cálculo de Probabilidade <ul><li>Cara duas vezes </li></ul><ul><li>Desenvolvendo: </li></ul>
  21. 21. Exemplo 1 Cálculo de Probabilidade <ul><li>Nenhuma Cara: </li></ul>
  22. 22. Exemplo 1 Resposta
  23. 23. Exemplo 1 Resposta <ul><li>Interpretação: </li></ul><ul><li>Existe 31,25% de chance de que ocorrerá face cara duas vezes; </li></ul><ul><li>Existe 3,125% de chance de que ocorrerá face cara em nenhuma vezes; </li></ul>
  24. 24. Distribuição hipergeométrica Condições Iniciais <ul><li>Experimento ser realizado em repetições (repetitivo); </li></ul><ul><li>Em cada Repetição ser um Experimento de Bernoulli; </li></ul><ul><li>Repetir uma quantia fixa de vezes, denotada por n; </li></ul><ul><li>Estas repetições sejam SEM Reposição; </li></ul>
  25. 25. Distribuição hipergeométrica Condições Iniciais <ul><li>Ter uma variável aleatória, digamos X, cuja lei de formação é a quantia de sucessos nas n repetições. </li></ul><ul><li>Nota </li></ul><ul><li>Por ser SEM reposição, indica que a cada repetição o original fica reduzido em uma unidade, devido a isto é necessário ter as Condições Iniciais para ter o ponto de partida do experimento. </li></ul>
  26. 26. Distribuição hipergeométrica Condições Iniciais <ul><li>Considere que no inicio (antes de efetuar a primeira repetição), a situação inicial é que tenha o seguinte diagrama: </li></ul>
  27. 27. Distribuição hipergeométrica Propriedades. <ul><li>Com as condições iniciais acima citado, </li></ul><ul><li>Se X  hipergeométrica : </li></ul><ul><li>Cálculo de Probabilidade: </li></ul>
  28. 28. Distribuição hipergeométrica Propriedades. <ul><li>Média: </li></ul><ul><li>Variância: </li></ul>
  29. 29. Distribuição hipergeométrica Exemplo 1 <ul><li>Em um laboratório de análises clínicas foram realizados 54 exames de HIV, das quais 14 deram soropositivos. Um inspetor irá pegar ao acaso 5 destes exames de forma casual. Ache a probabilidade de que o número de exames escolhidos que tenha soropositivo seja: </li></ul><ul><li>a. 2; b. 5 </li></ul>
  30. 30. Distribuição hipergeométrica Exemplo 1 - Solução <ul><li>  Pegar ao acaso 5 exames. </li></ul><ul><li>Característica do experimento: </li></ul><ul><li>Pegar cinco exames: Experimento Repetitivo; </li></ul><ul><li>Possui dois tipos, Soropositivo ou soronegativo: Experimento de Bernoulli; </li></ul><ul><li>Número de Repetições cinco: Quantia fixa; </li></ul>
  31. 31. Distribuição hipergeométrica Exemplo 1 - Solução <ul><li>Característica do experimento: </li></ul><ul><li>A escolha é feita SEM reposição; </li></ul><ul><li>Nota: As características acima designam um Experimento Hipergeométrico </li></ul><ul><li>Variável Aleatória X: “número de exames que deu soropositivo entre as 5 selecionadas” </li></ul>
  32. 32. Distribuição hipergeométrica Exemplo 1 - Solução <ul><li>Pela definição da variável aleatória, Sucesso é exame selecionado ser soropositivo. </li></ul><ul><li>Esta característica indica que X tem distribuição Hipergeométrica, com a situação inicial: </li></ul><ul><li>r = 14 (Número de sucessos) </li></ul><ul><li>k = 40 (Número de Fracasso) </li></ul>
  33. 33. Distribuição hipergeométrica Exemplo 1 - Solução . <ul><li>Com as condições iniciais acima citado, </li></ul><ul><li>X  hipergeométrica : </li></ul><ul><li>Dois soropositivo </li></ul>
  34. 34. Distribuição hipergeométrica Exemplo 1 - Solução . <ul><li>Cinco soropositivos </li></ul>
  35. 35. Distribuição de Poisson Característica <ul><li>Experimento ser realizado em repetições (repetitivo); </li></ul><ul><li>Em cada Repetição ser um Experimento de Bernoulli, com o detalhe de que P(sucesso) tende a ZERO; </li></ul><ul><li>Repetir uma quantia fixa de vezes, denotada por n, e que n tende a infinito; </li></ul><ul><li>repetições sejam independentes; </li></ul>
  36. 36. Distribuição de Poisson Característica <ul><li>Ter uma variável aleatória, digamos X, cuja lei de formação é a quantia de sucessos nas n repetições. </li></ul><ul><li>Nota </li></ul><ul><li>Pela característica da Poisson, percebe-se que são as mesmas da Binomial, com o detalhe é que: </li></ul><ul><li>i) p  0,000 ; </li></ul><ul><li>i i) n  ∞. </li></ul>
  37. 37. Distribuição de Poisson Nota – Cont. <ul><li>Por: p  0,000 diz-se que a distribuição de Poisson é a distribuição de eventos raros. </li></ul><ul><li>Na quase totalidade da Distribuição de Poisson, o valor de p depende da unidade do tempo, é preciso atentar para este fato para achar o seu valor. Por diz-se que a distribuição de Poisson é a distribuição de eventos raros. </li></ul>
  38. 38. Distribuição de Poisson Exemplo de Eventos Raros <ul><li>No caso de saúde, existe uma quantidade muito grande de eventos raros, aos quais pode ilustrar: </li></ul><ul><li>Ocorrer óbito, em mulheres grávidas devido à gestação; </li></ul><ul><li>Criança, no útero da mãe, sofrer uma anomalia grave; </li></ul><ul><li>Na sociedade, escolher um adolescente e ele ser usuário de cocaína; </li></ul><ul><li>Uma pessoa sofrer o mal de Parkinson; </li></ul><ul><li>Etc. </li></ul>
  39. 39. Distribuição de Poisson Notações <ul><li>No caso da distribuição de Poisson, a média é denotada por:  , ao qual se compara-la com a da binomial chega que: </li></ul><ul><li>Denota-se: X ~ Poisson (  ) </li></ul>
  40. 40. Distribuição de Poisson Teorema: Se X ~ Poisson (  ) <ul><li>Cálculo de probabilidade: </li></ul><ul><li>e = 2,71828 . . . (Número e, base do logaritmo natural) </li></ul>
  41. 41. Distribuição de Poisson Teorema: Se X ~ Poisson (  ) <ul><li>Cálculo da Média: </li></ul><ul><li>Cálculo da variância: </li></ul>
  42. 42. Distribuição de Poisson Exemplo 1 <ul><li>Em Angola, de cada 100 mil mulheres grávidas, 1 500 morrem devido à gravidez (OMS 09/04/2005). Numa comunidade Angolana em que houver 300 mulheres em estado de gravidez, ache a probabilidade de que morrerão: </li></ul><ul><ul><li>Nenhuma </li></ul></ul><ul><ul><li>3 delas </li></ul></ul><ul><ul><li>5 delas. </li></ul></ul>
  43. 43. Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>  Avaliar condições de saúde de 300 mulheres grávidas. </li></ul><ul><li>Característica do experimento: </li></ul><ul><ul><li>300 mulheres estarem grávidas: Experimento Repetitivo; </li></ul></ul><ul><ul><li>Possui dois tipos (sobreviver, não-sobreviver): Experimento de Bernoulli; </li></ul></ul>
  44. 44. Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>Característica do experimento(cont.): </li></ul><ul><ul><li>Número de Repetições 300: Quantia fixa; </li></ul></ul><ul><ul><li>Óbito de uma não influência na saúde da outra: Repetições Independentes; </li></ul></ul><ul><li>Nota: As características acima designam um Experimento Binomial. </li></ul>
  45. 45. Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>Característica do experimento(cont.): </li></ul><ul><ul><li>Variável Aleatória X: “número de óbitos entre as 300 grávidas” </li></ul></ul><ul><ul><li>(X possui distribuição binomial) </li></ul></ul><ul><li>Devido à definição da variável aleatória, Sucesso é ocorrer óbito, e assim: </li></ul>
  46. 46. Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>n = 300 (Número de Repetições); </li></ul><ul><li>Nota: Em uma pesquisa, este número é chamado de “Prevalência”. </li></ul><ul><li>Assim: X  b(300 ; 0,015) </li></ul>
  47. 47. Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>Devido aos valores de n e de p, esta variável aproxima de uma distribuição de Poisson com: </li></ul><ul><li> = 300x0,0015 = 4,5 </li></ul><ul><li>Este número indica que em 300 mulheres gestantes em Angola é de se esperar que 4,5 delas virão a óbito devido à gravidez. </li></ul>
  48. 48. Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>Nenhum óbito </li></ul><ul><li>3 Óbitos </li></ul><ul><li>Resposta: 0,1687 é equivalente a:16,87% </li></ul>
  49. 49. Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>Nenhum óbito </li></ul>
  50. 50. Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>3 Óbitos </li></ul><ul><li>Resposta: 0,1687 </li></ul><ul><li>é equivalente a : 16,87% </li></ul>
  51. 51. Distribuição de Poisson Exemplo 1 - Solução <ul><li>5 óbitos </li></ul><ul><li>Resposta: 0,1708 (17,08%) </li></ul>
  52. 52. Variáveis Aleatórias <ul><li>FIM </li></ul><ul><li>Prof. Gercino Monteiro Filho </li></ul>
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