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GTC1_EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES
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GTC1_EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS REALES

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  • 1. 1. LOS NÚMEROS REALES (R) GT-1 El conjunto de los números reales corresponde al conjunto de todos los números que pueden escribirse como decimales. 1.1 HISTORIA Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. de C.; alrededor del 500 a. de C. el grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron inventados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, y no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó soluciones negativas para las ecuaciones porque lo consideraba irreal. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871. En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind). Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia no de manera espontánea, sino echando mano de todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass, por mencionar sólo a los más sobresalientes. En la actualidad, solamente los especialistas conocen con profundidad alguna o ambas teorías en relación a la construcción total de los números reales, lo cual no nos impide el trabajo con ellos. 1.2 CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES Los números no son un invento artificial destinado a fastidiar a los escolares de todos los tiempos, sino que han ido surgiendo como una necesidad. Los números reales son los que usamos para contar o medir: 1, 2, 3, 250, – 12, – 100, 1.85, 34.95, 3 , 9 , 20 , 5 4 3 8 , etc. No son números reales los siguientes: 1, 2, 3, etc. Observa que los números negativos que están dentro de raíces cuadradas NO son considerados números reales. Los números reales tienen subconjuntos de números que son conocidos por ti desde la escuela primaria o secundaria. Enseguida te los muestro: a. Números Naturales.- son los que usas cuando cuentas objetos, animales o personas: 1, 2, 3, 4, etc. Bajo esta definición el 0 NO es natural, porque cuando cuentas NUNCA empiezas con 0. Los naturales fueron los primeros números que usó el hombre, desde sus inicios, para resolver sus necesidades matemáticas cotidianas. Este conjunto de números se representa con N. Así pues,  = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}. Estos números también se conocen como enteros positivos. Dentro de este conjunto se encuentran los pares (2, 4, 6, 8, 10, 12, …) y los impares(1, 3, 5, 7, 9, 11, …). Otros números que también están dentro de los naturales son los números primos, aquéllos que sólo son divisibles por dos números diferentes (la unidad y ellos mismos): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc. El 9 NO es primo porque lo dividen tres números: 1, 3 y 9. El 1 tampoco es primo porque sólo lo divide un número: el 1. b. Números Enteros.- Son los números que usas para contar lo que tienes o lo que debes. Se aplican básicamente en actividades comerciales. Por ejemplo, si abres una cuenta en el banco y depositas $1000, se anota como un número con signo positivo: + 1000. Si haces un retiro de $600, se anota con signo negativo: – 600. Si tu balance es ( + ), significa que tienes dinero a tu favor; si tu balance es ( – ), significa que tú le debes dinero al banco. El conjunto de los números enteros se representa con la letra  (del alemán Zahlen, que significa números). Así pues,  = {…, –6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…}. Los enteros se representan gráficamente con una recta llamada eje numérico. EDERPAD Licmat 20.10
  • 2. c. Números Racionales.- son todos aquellos números que se puede escribir como una fracción común usando sólo 3 5 9 2 1 10 enteros. Ejemplo: , , , , , , etc. Este conjunto se representa con la letra . Observa que los 4 2 3 1 8 40 racionales comprenden tanto a los enteros como a las fracciones comunes, sean positivos o negativos. Los números decimales son racionales si la parte decimal tiene un grupo de dígitos que se repiten periódicamente. Por ejemplo, 1.45454545… es racional, porque los dígitos 45 se repiten indefinidamente. Este número es 16 . Otros ejemplos son 11 1.3333…, 0.777777…, .250, 1.4166666…, 0.725725725…, etc. Observa que en el primer ejemplo se repite el 3; en el segundo se repite el 7; en el tercero se repite el 0; en el cuarto, el 6; en el quinto, el 725. Los anteriores ejemplos son 4 7 1 17 725 las fracciones , , , , . Para indicar que un paquete de números se repiten indefinidamente, sobre él se 3 9 4 12 999 escribe un tilde horizontal. Ejemplo, 1.33333… se escribe 1. 3 ; 1.4166666… se escribe 1.416 ; 0.725725725 se escribe 0.725 d. Números Irracionales.- son todos aquellos números que NO se pueden expresar como una fracción común. En palabras sencillas son los números que resultan de sacar la raíz cuadrada o cúbica o cuarta, etc. y que no es exacta. Ejemplo: 2 , 3 , 5 , 6 , ... , 3 2 , 3 3 , 3 4 , 3 5 , 3 6 , ... . Este conjunto se representa con  o ’ . Otros números irracionales que vas a tratar frecuentemente o que ya usas, son (que indica las veces que la circunferencia es más grande que el diámetro, 3.14159265359…), e (que aparece en cualquier problema donde hay crecimiento continuo, y su valor es 2.71828182846…), (llamado número áureo (llamado así porque indica la relación perfecta que debe haber en lo que a los ojos se ve armonioso; su valor es 1 5 1.6180…) Para identificar un racional de un irracional 2 cuando se escriben en forma decimal, al final de la parte decimal del número irracional se escriben tres puntos decimales para indicar que siguen más decimales pero que no podemos predecir cuáles son los siguientes. El concepto de número real se originó cuando se constató la existencia de los números irracionales. Así, el conjunto de los números reales que se le simboliza con la letra  se origina como la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los irracionales, es decir   , el nombre de número real se propuso como antónimo de número imaginario. Enseguida te presentamos mediante una gráfica todo el conjunto de los números reales y los conjuntos de números que los forman. Con los números pasa lo mismo que con las personas. Si naciste en Sincelejo, Sucre, tú eres sincelejano, más ampliamente eres sucreño y más genérico, eres colombiano. El número 15 es un número natural, pero en un nivel más alto es número real; el número – 8 es un entero negativo pero en un nivel más alto es número real; el número 1.25 es un número racional pero en un nivel más alto es número real; el número 1.4142… es un número irracional, pero en un nivel más alto es número real. Así pues, cuando te pidan que digas qué tipo de número es, fíjate si te lo piden en el nivel más bajo o en el nivel más alto o si te piden que digas todos los niveles. En conclusión, cuando escuches que hablan de números reales, en tu mente debes pensar en números enteros, sean positivos o negativos, en fracciones comunes o decimales, sean positivas o negativas; en números positivos dentro de raíz cuadrada. 1.3 OTRAS CONSIDERACIONES IMPORTANTES SOBRE LOS NÚMEROS REALES  Los números reales se definen de manera intuitiva como el conjunto de números que se encuentran en correspondencia biunívoca con los puntos de una recta infinita (continuum): la recta numérica.  Debido a que el conjunto de números reales contiene al conjunto de números racionales, y éste a su vez contiene a los enteros que a su vez contiene los números naturales, se sigue que el conjunto de los números reales contiene también a los números enteros y a los números naturales. Asimismo, el conjunto de números reales contiene al de los números irracionales. Por tanto, los números reales pueden ser racionales o irracionales, algebraicos o trascendentes; y positivos, negativos, o cero. EDERPAD Licmat 20.10
  • 3. Puede definirse un número real, en estos términos, como un número positivo o negativo que puede o no tener cifras de decimal finito o infinito y puede representarse mediante un punto en la recta de números reales. En este sentido, el teorema fundamental de la geometría analítica establece que a cada número real le corresponde un punto en la recta de los números reales y recíprocamente.  Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes: 1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, razón por la que existe otro conjunto de números donde estas operaciones están definidas: los imaginarios. 2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie, es decir, no existe la operación de dividir entre nada. Estas dos restricciones tienen repercusiones importantes en ramas más avanzadas de las matemáticas: existen asíntotas verticales en los lugares donde una función se indefine, es decir, en aquellos valores de la variable en los que se presenta una división entre cero, o no existe gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten números negativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcción de gráficas en geometría analítica.  La principal característica del conjunto de los números reales es la completitud, es decir, la existencia de límite para dada sucesión de Cauchy de números reales.  En el análisis matemático los números reales son objeto principal de estudio. Puede decirse que los números reales son la herramienta de trabajo de las matemáticas de la continuidad, como el cálculo y el análisis matemático, mientras que los números enteros lo son de las matemáticas discretas, en las que está ausente la continuidad. 1.4 APLICA 1. Escribe V si la afirmación es verdadera o F si es falsa. Si es falsa escribe un contraejemplo. a. No todos los enteros son racionales ( ). b. Algunos números irracionales son números enteros ( ). c. Los números racionales tienen expresión decimal periódica ( ). d. Los números naturales son números reales ( ). e. Los números reales forman un conjunto infinito ( ). f. Todo número racional es real ( ). g. Cualquier número decimal es irracional ( ). h. Ningún número entero es irracional ( ). i. Cualquier número real es racional o irracional ( ). j. 5 tiene infinitas cifras decimales no periódicas ( ). k. La raíz impar de un número negativo no es real ( ). 2. Completar la tabla con (PERTENECE) o (NO PERTENECE) - 21 11 5,4256… -11,252525… - 4,8 24 3 8 0 7 4 9 3 0,523 - 9 - 8 0 8       3. Escribir un número que cumpla cada condición. a. Es un entero pero no es racional. b. Es real pero no es racional. c. Es racional, entero y natural. d. Es real pero no irracional. e. Es real y natural. 4. Expresa en forma decimal e indica al frente si es periódico o no periódico: Clase de Clase de Fracción Expresión Decimal decimal Fracción Expresión Decimal decimal Infinito Infinito Finito Finito Periódico Periódico a. 5/4 d. 1/9 b. 7/3 e. 3/10 c. 3/7 f. 12/100 5. Expresa en forma de fracción irreducible (fracción que no se puede simplificar ya más):   a. 1,45 = b. 0,24 = c. 0, 3 = d. 2,34 = 6. Di el conjunto numérico más pequeño en el que las siguientes ecuaciones tienen solución: a. t + 1 = 3 _______ b. 2h = 5 _______ c. m + 8 = 2 _______ 2 2 2 d. s = 25 _______ e. b = 2 _______ f. k = -9 _______ 7. Desarrolla un mapa cronológico donde se evidencie el desarrollo histórico de los números reales. EDERPAD Licmat 20.10