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OS CAMPOS CONCEITUAIS COMO FUNDAMENTOS DA EDUCAÇÃO Atividade, metas, conceitos e razão Gérard Vergnaud
O QUE É QUE SE DESENVOLVE? Ao mesmo tempo, numa variedade de registros Gestos Competências científicas e técnicas Formas d...
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3  « A » é mais competente se tiver ao seu dispor um arsenal de recursos alternativos que permitam que ele adapte a sua co...
OS ESQUEMAS DA ENUMERAÇÃO Esquema elementar   - correspondência   biunívoca   - cardinal .  No estádio de Nantes   - parti...
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<ul><li>Tiago acabou de jogar 2 partidas de gude. Ele não se lembra mais do que aconteceu na primeira partida. Na segunda ...
Mudanças de sentido  <ul><li>Tiago acabou de jogar 2 partidas de gude.  </li></ul><ul><li>Ele não se lembra mais do que ac...
Mudanças de sentido  <ul><li>Tiago acabou de jogar 2 partidas de gude.  </li></ul><ul><li>Ele não se lembra mais do que ac...
Mudanças de sentido  <ul><li>  </li></ul><ul><li>Tiago acabou de jogar 2 partidas de gude.  </li></ul><ul><li>Ele não se l...
<ul><li>Tiago acabou de jogar 2 partidas de gude.  </li></ul><ul><li>Ele não se lembra mais do que aconteceu na primeira p...
Seis relações aditivas
VÁRIOS ESQUEMAS  PARA UMA MESMA SITUAÇÃO <ul><li>André jogou duas partidas de gude e ele tenta saber quantas bolinhas tinh...
Esquema 1:  partir da situação final, acrescentar o que ele perdeu e subtrair o que ele ganhou Esquema 2:  Formular uma hi...
Esquema 3:  compor as duas transformações para saber se,  no total, André perdeu ou ganhou bolinhas de gude, e quantas. Ap...
<ul><li>Si  F = T(I)  então  I = T -1  (F) </li></ul><ul><li>  </li></ul>COMO EXPRIMIR OS CONHECIMENTOS  UTILIZADOS NA AÇÃO?
MULTIPLICIDADE DE SENTIDOS DO SINAL DE « MENOS » <ul><li>Jorge tem 9 euros na sua carteira. Ele quer comprar um doce que c...
<ul><li>Maria acabou de ganhar 3 euros da sua avó. Agora, ela tem 9 euros. Quanto ela tinha antes de chegar na casa da avó...
A escrita convencional  9 – 3 =  não representa a diversidade dos raciocínios que as crianças devem efetuar para decidir q...
Piaget  Vygotski   <ul><li>esquema </li></ul><ul><li>Teoria da atividade </li></ul><ul><li>Invariante operatório  </li></u...
CAMPO CONCEITUAL <ul><li>Conjunto de situações cujo domínio progressivo demanda uma variedade de conceitos, de esquemas e ...
CONCEITOS ORGANIZADORES DAS ESTRUTURAS ADITIVAS <ul><li>Quantidades discretas e contínuas </li></ul><ul><li>Medida </li></...
<ul><li>Operação unária </li></ul><ul><li>Inversão </li></ul><ul><li>Número natural/número relativo </li></ul><ul><li>Posi...
PROPORCIONALIDADE SIMPLES (multiplicação, partição, cotição, quarta proporcional)
DOIS CASOS DE PROPORCIONALIDADE <ul><li>285  kg  de cortiça por 0,70 euros o kg  </li></ul><ul><li>Para calcular o custo t...
ANÁLISE CONCEITUAL DOS DOIS CASOS <ul><li>A escolha da operação correta poderá ser contestada pelo caráter crescente da fu...
<ul><li>  </li></ul><ul><li>  1  o,70 </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>285   custo  </li></ul></ul></ul></ul><ul><li>  </li><...
Conceito  =  ( S, I, L) <ul><li>conjunto de situações que dão sentido ao conceito </li></ul><ul><li>I  conjunto de invaria...
CONCEITOS E TEOREMAS ORGANIZADORES DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS Multiplicação/divisão; proporcionalidade; grandezas e di...
<ul><li>Teoremas-em-ato   </li></ul><ul><li>isomorfismos da função linear </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><ul><li>f(x + ...
DOS INVARIANTES OPERATÓRIOS AOS SABERES FORMALIZADOS (invariantes operatórios, conscientes,  explicitáveis, explícitos, sa...
Simetria ortogonal
Simetria ortogonal Quatro formas predicativas com diferentes níveis        1 -  A fortaleza é simétrica     2 -  O triângu...
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  1. 2. OS CAMPOS CONCEITUAIS COMO FUNDAMENTOS DA EDUCAÇÃO Atividade, metas, conceitos e razão Gérard Vergnaud
  2. 3. O QUE É QUE SE DESENVOLVE? Ao mesmo tempo, numa variedade de registros Gestos Competências científicas e técnicas Formas de interação com o outro Atividades de linguagem Afetividade
  3. 4. <ul><li>AO LONGO DA VIDA </li></ul><ul><li>No curto período de tempo de uma conscientização </li></ul><ul><li>No longo período de tempo da experiência. </li></ul><ul><li>NA INTERAÇÃO </li></ul><ul><li>Com as situações </li></ul><ul><li>Com o outro </li></ul>
  4. 5. DEFINIÇÕES DA COMPETÊNCIA 1 « A » é mais competente do que « B » se souber fazer algo que « B » não sabe fazer « A » é mais competente durante um período de tempo t' do que durante um tempo t se ele souber fazer algo que, antes, não sabia fazer. 2 « A » é mais competente se atuar da melhor maneira
  5. 6. 3 « A » é mais competente se tiver ao seu dispor um arsenal de recursos alternativos que permitam que ele adapte a sua conduta em função das diferentes circunstâncias que possam ocorrer 4 « A » é mais competente se estiver menos desmunido diante de uma situação
  6. 7. OS ESQUEMAS DA ENUMERAÇÃO Esquema elementar - correspondência biunívoca - cardinal . No estádio de Nantes - partilha Card (A U B) = Card(A) + Card(B) - escrita Escrita (soma) = escrita(a) +++ escrita(b) algoritmo da adição - Bloco retangular Card (F X C) = Card(F) * Card(C) X produto cartesiano * multiplicação aritmética Canto do estádio Média= (Nmax + Nmin)/2
  7. 8. CONCEITO, TEOREMA, REGRA <ul><li>Conceito-em-ato = conceito considerado pertinente na ação que está sendo executada </li></ul><ul><li>Teorema-em-ato = proposta considerada como verdadeira </li></ul><ul><li>Exemplos de regra: não contar duas vezes o mesmo objeto; contá-los todos </li></ul>
  8. 9. A MESMA OPERAÇÃO NUMÉRICA TRÊS PROBLEMAS COM DIFERENTES NÍVEIS <ul><li>Pedro tinha 7 bolinhas de gude. Ele ganhou 5. Quantas ele tem agora? </li></ul><ul><li>Roberto acabou de perder 5 bolinhas de gude; agora ele tem 7. Quantas bolinhas ele tinha antes de jogar? </li></ul>
  9. 10. <ul><li>Tiago acabou de jogar 2 partidas de gude. Ele não se lembra mais do que aconteceu na primeira partida. Na segunda partida, ele perdeu 7 bolinhas de gude. Fazendo as contas, ele percebeu que, no total, ele ficou com 5 bolinhas. O que é que aconteceu na primeira partida? </li></ul>
  10. 11. Mudanças de sentido <ul><li>Tiago acabou de jogar 2 partidas de gude. </li></ul><ul><li>Ele não se lembra mais do que aconteceu na primeira partida. </li></ul><ul><li>Na segunda partida ele bolinhas. </li></ul><ul><li>Fazendo as contas, ele percebeu que, no total, ele </li></ul><ul><li>bolinhas. </li></ul><ul><li>O que é que aconteceu na primeira partida? </li></ul>
  11. 12. Mudanças de sentido <ul><li>Tiago acabou de jogar 2 partidas de gude. </li></ul><ul><li>Ele não se lembra mais do que aconteceu na primeira partida. </li></ul><ul><li>Na segunda partida ele ganhou 7 bolinhas. </li></ul><ul><li>Fazendo as contas, ele percebeu que, no total, ele ganhou 15 bolinhas. </li></ul><ul><li>O que é que aconteceu na primeira partida? </li></ul>
  12. 13. Mudanças de sentido <ul><li>  </li></ul><ul><li>Tiago acabou de jogar 2 partidas de gude. </li></ul><ul><li>Ele não se lembra mais do que aconteceu na primeira partida. Na segunda partida ele ganhou 15 bolinhas. </li></ul><ul><li>Fazendo as contas, ele percebeu que, no total, ele ganhou 7 bolinhas. </li></ul><ul><li>O que é que aconteceu na primeira partida? </li></ul>
  13. 14. <ul><li>Tiago acabou de jogar 2 partidas de gude. </li></ul><ul><li>Ele não se lembra mais do que aconteceu na primeira partida. Na segunda partida ele ganhou 15 bolinhas. </li></ul><ul><li>Fazendo as contas, ele percebeu que, no total, ele ganhou 7 bolinhas. </li></ul><ul><li>O que é que aconteceu na primeira partida? </li></ul>Mudanças de sentido
  14. 15. Seis relações aditivas
  15. 16. VÁRIOS ESQUEMAS PARA UMA MESMA SITUAÇÃO <ul><li>André jogou duas partidas de gude e ele tenta saber quantas bolinhas tinha antes de jogar; ao contá-las, ele constata ter 63 bolinhas de gude. </li></ul><ul><li>Ele se lembra que ganhou 16 bolinhas na primeira partida e perdeu 8 na segunda. </li></ul><ul><li>Quantas bolinhas ele tinha antes de começar a jogar? </li></ul>
  16. 17. Esquema 1: partir da situação final, acrescentar o que ele perdeu e subtrair o que ele ganhou Esquema 2: Formular uma hipótese em relação à situação inicial, aplicando as transformações sucessivas; comparar o resultado obtido com a situação final apresentada no enunciado; corrigir a hipótese em função da diferença entre as duas situações.
  17. 18. Esquema 3: compor as duas transformações para saber se, no total, André perdeu ou ganhou bolinhas de gude, e quantas. Aplicar à situação final a transformação recíproca dessa transformação composta.
  18. 19. <ul><li>Si F = T(I) então I = T -1 (F) </li></ul><ul><li>  </li></ul>COMO EXPRIMIR OS CONHECIMENTOS UTILIZADOS NA AÇÃO?
  19. 20. MULTIPLICIDADE DE SENTIDOS DO SINAL DE « MENOS » <ul><li>Jorge tem 9 euros na sua carteira. Ele quer comprar um doce que custa 3 euros. Quanto lhe sobrará? Ana Lucia tinha 9 euros. Sobraram-lhe 3 euros. Quanto ela gastou? </li></ul>
  20. 21. <ul><li>Maria acabou de ganhar 3 euros da sua avó. Agora, ela tem 9 euros. Quanto ela tinha antes de chegar na casa da avó? </li></ul><ul><li>Teresa convidou 9 crianças para o seu aniversário: meninas e meninos. Havia 3 meninos; quantas meninas havia? </li></ul>
  21. 22. A escrita convencional 9 – 3 = não representa a diversidade dos raciocínios que as crianças devem efetuar para decidir que é necessário subtrair 3 de 9
  22. 23. Piaget Vygotski   <ul><li>esquema </li></ul><ul><li>Teoria da atividade </li></ul><ul><li>Invariante operatório </li></ul><ul><li>Conceito cotidiano / conceito cientifico  </li></ul><ul><li>Função simbólica </li></ul><ul><li>linguagem e significado das palaras  </li></ul><ul><li>consciência e abstração reflectiva </li></ul><ul><li>consciência e metacognição  </li></ul><ul><li>interação sujeito / objeto </li></ul><ul><li>interção adulto / criança </li></ul><ul><li>Estados e equilibração </li></ul><ul><li>Zona de desenvolvimento proximal </li></ul><ul><li>Imitação e interiorização </li></ul><ul><li>internalização </li></ul>
  23. 24. CAMPO CONCEITUAL <ul><li>Conjunto de situações cujo domínio progressivo demanda uma variedade de conceitos, de esquemas e de representações simbólicas em estreita conexão </li></ul><ul><li>Conjunto de conceitos que contribuem para o domínio dessas situações </li></ul>
  24. 25. CONCEITOS ORGANIZADORES DAS ESTRUTURAS ADITIVAS <ul><li>Quantidades discretas e contínuas </li></ul><ul><li>Medida </li></ul><ul><li>parte/todo </li></ul><ul><li>Estado/transformação </li></ul><ul><li>Comparação referido/referente </li></ul><ul><li>Composição binária (medidas, transformações, relações) </li></ul>
  25. 26. <ul><li>Operação unária </li></ul><ul><li>Inversão </li></ul><ul><li>Número natural/número relativo </li></ul><ul><li>Posição/abscissa/valor algébrico </li></ul>
  26. 27. PROPORCIONALIDADE SIMPLES (multiplicação, partição, cotição, quarta proporcional)
  27. 28. DOIS CASOS DE PROPORCIONALIDADE <ul><li>285 kg de cortiça por 0,70 euros o kg </li></ul><ul><li>Para calcular o custo total, é necessário fazer uma multiplicação ou uma divisão? </li></ul><ul><li>0,70 toneladas de concreto por 285 euros a tonelada </li></ul><ul><li>Para calcular o custo total, é necessário fazer uma multiplicação ou uma divisão? </li></ul>
  28. 29. ANÁLISE CONCEITUAL DOS DOIS CASOS <ul><li>A escolha da operação correta poderá ser contestada pelo caráter crescente da função </li></ul><ul><li>E pela falsa ideia de que a multiplicação fornece um resultado maior do que a divisão  </li></ul><ul><li>  </li></ul>
  29. 30. <ul><li>  </li></ul><ul><li> 1 o,70 </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>285 custo </li></ul></ul></ul></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>escalar maior que 1 285  1 f (285)  f (1) </li></ul><ul><li>  não há problema! </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>  1 285 </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>0,7 custo  </li></ul><ul><li>escalar menor que 1 0,7  1 f (0,7)  f (1) </li></ul><ul><li>Problema! </li></ul>
  30. 31. Conceito = ( S, I, L) <ul><li>conjunto de situações que dão sentido ao conceito </li></ul><ul><li>I conjunto de invariantes operatórios que fundamentam a operacionalidade dos esquemas </li></ul><ul><li>L conjunto de formas simbólicas e de linguagem que permitem que se tenha uma representação dos conceitos, das situações e das formas de tratamento </li></ul>
  31. 32. CONCEITOS E TEOREMAS ORGANIZADORES DAS ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS Multiplicação/divisão; proporcionalidade; grandezas e dimensões; função linear, bilinear, n-linear; escalar, produto e quociente de dimensões
  32. 33. <ul><li>Teoremas-em-ato   </li></ul><ul><li>isomorfismos da função linear </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><ul><li>f(x + x') = f(x) + f(x') </li></ul></ul><ul><ul><li>f(nx) = nf(x) </li></ul></ul><ul><ul><li>f(nx + n'x') = nf(x) + n'f(x') </li></ul></ul><ul><li>  </li></ul><ul><ul><li>f(n) = nf(1) Casos particulares </li></ul></ul><ul><ul><ul><li>f(1) = f(n)/n </li></ul></ul></ul><ul><ul><ul><li>n = f(n)/f(1) </li></ul></ul></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>coeficiente de proporcionalidade </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><ul><li>f(x) = ax x = 1/a f(x) </li></ul></ul><ul><li>  </li></ul><ul><li>produto cruzado e regra de três </li></ul><ul><li>  </li></ul><ul><ul><li>x' * f(x) = x * f(x’)  </li></ul></ul><ul><ul><li>f(x') = x' * f(x) / x </li></ul></ul><ul><li>dupla linearidade </li></ul><ul><ul><li>  f (n 1 x 1 , n 2 x 2 ) = n 1 n 2 f(x 1 , x 2 ) </li></ul></ul>
  33. 34. DOS INVARIANTES OPERATÓRIOS AOS SABERES FORMALIZADOS (invariantes operatórios, conscientes, explicitáveis, explícitos, saberes formalizados)  
  34. 35. Simetria ortogonal
  35. 36. Simetria ortogonal Quatro formas predicativas com diferentes níveis        1 - A fortaleza é simétrica     2 - O triângulo A'B'C' é simétrico ao triângulo ABC em relação à reta d     3 - A simetria mantém os comprimentos e os ângulos     4 - A simetria é uma isometria  
  36. 37. OBRIGADO
  1. A particular slide catching your eye?

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