El documento presenta una serie de ejercicios relacionados con vectores en espacios coordenados cartesianos. Los ejercicios involucran calcular componentes rectangulares, magnitudes, ángulos directores y operaciones entre vectores como suma, resta y producto vectorial. Se proponen problemas geométricos como hallar áreas de figuras formadas por vectores.

1. CAPÍTULO 2 EJERCICIOS PROPUESTOS VECTORES
Revisado por Felipe Aguilar. Enero del 2007.
Ejercicio 2.1.- Un vector situado en el a=(2,-1,7); b=(9,4,2)
plano XY tiene una magnitud de 25
c=(9,4,2); d=(2,-1,7)
unidades y forma un ángulo de 37º con la
abscisa. Determine sus componentes e=(0,0,0); f=(2,2,1)
rectangulares. Solución:
Solución: A X = 7; A y = 5; A z = −5; A = 9,9
θAx = 45,0º; θAy = 59,7º; θ Az = 120,3º;
A X = 20
A y = 15
B X = −7; B y = −5; Bz = 5; B = 9,9
θBx = 135,0º; θBy = 120,3º; θBz = 59,7º,
Ejercicio 2.2.- La componente x de un
C X = 2; C y = 2; Cz = 1; C == 3
vector que está en el plano XY es de 12
θCx = 48,2º; θCy = 48,2º; θCz = 70,5º
unidades, y la componente y es de 16
unidades. ¿Cuál es la magnitud y dirección
del vector?.
Ejercicio 2.4.- Un vector A tiene
Solución:
una magnitud de 9 [cm] y está dirigido
A = 20 hacia +X. Otro vector B tiene una
θx = 53,1º
magnitud de 6 [cm] y forma un ángulo de
45º respecto de la abscisa positiva. El
vector C tiene una magnitud de 15 [cm] y
Ejercicio 2.3.- Encuentre las componentes
forma un ángulo de 75º respecto del eje
rectangulares, las magnitudes y los ángulos
+X. Determine el vector resultante.
directores de los vectores A,B y C que
van desde el punto a hasta el punto b, Solución:
desde el punto c hasta el punto d y desde
el punto e hasta el punto f, R = 17,1i + 18,7ˆ
ˆ j
respectivamente, en el espacio coordenado
cartesiano:
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Ejercicio 2.5.- Dado el vector Ejercicio 2.7.- Hallar la resultante
A = 2i + 4ˆ - 4k , determine sus ángulos
ˆ j ˆ de los siguientes desplazamientos: 3 [m]
hacia el este; 12 [m] hacia el este 40º hacia
directores.
el norte y 7 [m] hacia el oeste 60º hacia el
Solución: sur.
θx = 70,5º; θy = 48,2º; θz = 131,8º
Solución:
R = 8,7i + 1,6ˆ
ˆ j
Ejercicio 2.6.- Dados los vectores:
Ejercicio 2.8.- Sumar dos vectores de
A = 10i + 5ˆ + 3k ;
ˆ j ˆ B = 3i - 4ˆ + 2k ;
ˆ j ˆ
magnitudes 8 y 5 que forman un ángulo de
C = 2i + 6ˆ - 4k
ˆ j ˆ 60º entre sí.
Encontrar: Y
A
a) A + B
60º X
b) A - B
B
C Solución:
c) 2A - 3B +
2
R = 9i + 6,9ˆ
ˆ j
d) A • 3CXB
e) Los ángulos directores de BXC Ejercicio 2.9.- Un barco se desplaza
sobre una superficie de agua tranquila a
Solución: ⎡ km ⎤
razón de 10 ⎢ ⎥ y entra en dirección O
⎣ h ⎦
a) A + B = 13i + ˆ + 5k
ˆ j ˆ
60º S en una corriente cuya dirección es E
y que se mueve con una velocidad de
b) A - B = 7i + 9ˆ + k
ˆ j ˆ
⎡ km ⎤
12 ⎢ ⎥. ¿Cuál será su velocidad
⎣ h ⎦
C
c) 2A - 3B + = 12i + 25ˆ − 2k
ˆ j ˆ resultante?
2
Solución:
d) A • 3CXB = -594
ˆ ( j )
⎡ km ⎤
R = 7i − 8,7ˆ ⎢
⎣ h ⎦
⎥
e) θx = 82,5º; θy = 58,7º; θz = 32,4º
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Ejercicio 2.10.- Un barco avanza Ejercicio 2.13.- Dados los vectores
hacia el norte 60 [km]; luego cambia de A = 3i - 2ˆ y B = ˆ - 2ˆ ,
ˆ j i j encontrar su
curso y navega en alguna dirección hacia el
producto vectorial y comprobar que ese
sureste (no necesariamente S 45º E) hasta
vector es perpendicular a A y a B .
llegar a una posición a 50 [km] de distancia
del punto de partida, en una dirección E Solución:
20,6º N respecto de dicho punto. Determine
A • AXB = 0 luego son perpendiculares
la longitud y el rumbo de la segunda parte B • AXB = 0 luego son perpendiculares
de la travesía.
Solución:
( )
Ejercicio 2.14.- Dados los vectores
d2 = 46,8i - 42,4ˆ [km] O, lo que es igual,
ˆ j
navega 63,2 [km] en dirección E 42,2º S A = -3i + 2ˆ - k ;
ˆ j ˆ B en el plano XY de
módulo 10 y dirección 120º respecto de +X;
y C = -4ˆ . Determinar:
j
Ejercicio 2.11.- Demuestre que los
vectores A = ˆ - 3ˆ + 2k y B = -4i + 12ˆ - 8k
i j ˆ ˆ j ˆ a) La magnitud de A + B - C
son paralelos.
b) El ángulo que forma AXB con el eje Z
Solución:
c) Proyección de B - C en dirección de A
AXB = 0 ; es cierto
Solución:
Ejercicio 2.12.- Encontrar un vector a) A + B - C = 16,8
B que esté en el plano XY, que sea
perpendicular al vector A = ˆ + 3ˆ
i j b) θz = 147,9º
Solución: c) 10,8
B x + 3B y = 0 el que se satisface para
Bx=3a y By=-a, con a=cualquier número
real.
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Ejercicio 2.15.- A partir de los Ejercicio 2.17.- Hallar el área del
vectores que se muestran en la figura, en triángulo formado por los vectores
que los módulos de A , B y C son 10, 20 A = 3i + 2ˆ + k ;
ˆ j ˆ B = -i + 5ˆ - 4k
ˆ j ˆ y su
y 30 respectivamente, determine: diferencia.
a) Proyección de A en dirección de C - B Solución:
Area = 12,03
b) Un vector D tal que 2D + B − 2A = 0
Y
Ejercicio 2.18.- Dados los vectores:
C A = -i + 3ˆ + zk ;
ˆ j ˆ B = xi + 6ˆ - k
ˆ j ˆ y
60º
B
30º
X C = 2i - 4ˆ + 3k .
ˆ j ˆ
60º
A
a) Si A es paralelo a B encontrar los
Solución: valores de las incógnitas x, z.
a) A E = −9.2
b) Encontrar un vector unitario paralelo a
b) D = −10ˆ
j C.
c) Hallar un vector en el plano XY
Ejercicio 2.16.- Dados los vectores perpendicular a C y de módulo 5.
Solución:
A = 4i + 6ˆ y B = -6i - ˆ .
ˆ j ˆ j
Encontrar: 1
a) z = - ; x = -2
2
a) El ángulo formado por los vectores.
b) c = 0,37i - 0,74ˆ + 0,56k
ˆ ˆ j ˆ
b) Un vector unitario en la dirección del
c)
vector A - 2B .
A = 4,48i + 2,24ˆ o bien A = -4,48i - 2,24ˆ
ˆ j ˆ j
Solución:
a) θ = 133,2º Ejercicio 2.19.- Dados los vectores:
A =P-Q y B = P + Q . Determinar P • Q
b) u = 0,89i + 0,45ˆ
ˆ ˆ j
si B=6 y A=4.
Solución:
P•Q = 5
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Ejercicio 2.20.- Encontrar el área y Ejercicio 2.24.- Tres vectores
los ángulos interiores de un triángulo cuyos situados en un plano tienen 6, 5 y 4
vértices son las coordenadas: (3,-1,2), unidades de magnitud. El primero y el
(1,-1,-3) y (4,-3,1). segundo forman un ángulo de 50º mientras
que el segundo y el tercero forman un
Solución:
ángulo de 75º. Encontrar la magnitud del
vector resultante y su dirección respecto
Area = 6,4
del mayor.
α == 26,284º; β = 76,851º; γ = 76,851º
Solución:
R = 9,9; θx = 45,8º
Ejercicio 2.21.- Hallar el valor de r
tal que los vectores A = 2i + rj + k
ˆ ˆ ˆ y
E = 4i - 2ˆ - 2k sean perpendiculares.
ˆ j ˆ
Solución:
r=3
Ejercicio 2.22.- Hallar el área del
paralelogramo cuyas diagonales son:
E = 3i + ˆ - 2k y T = ˆ - 3ˆ + 4k
ˆ j ˆ i j ˆ
Solución:
Area = 8,7
Ejercicio 2.23.- Los vectores A y
B forman entre sí un ángulo de 45º y el
módulo de A vale 3. Encontrar el valor de
la magnitud de B para que la diferencia
A - B sea perpendicular a A .
Solución:
B = 4,2
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