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Serie de Taylor - R. Campillo

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Presentación que describe el desarrollo de la Serie de Taylor y su utilización para la aproximación de la primera y segunda derivada de una función.

Presentación que describe el desarrollo de la Serie de Taylor y su utilización para la aproximación de la primera y segunda derivada de una función.

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  • 1. Facultad de Ingeniería Mecánica Eléctrica, U.V., zona Xalapa Métodos NuméricosSerie de Taylor y la Valuación Numérica de Derivadas MC. Ing. Rafael Campillo Rodríguez Introducción Aproximación a f’(x)La Serie de Taylor Aproximación a f’’(x)
  • 2. IntroducciónBrook Taylor en su trabajo “MethodusIncrementorum Directa et Inversa”(1715) desarrolló lo que hoy se conocecomo cálculo de las diferencias finitas.El mismo tratado contenía la famosafórmula conocida como el Teorema deTaylor, cuya importancia sólo sereconoció hasta 1772, cuando Joseph-Louis Lagrange lo definió como “El Brook Taylor,fundamento principal del cálculo Reino Unido,diferencial". 1685 - 1731
  • 3. Introducción (Cont.)La Serie de Taylor es una herramienta matemática que sise usa apropiadamente facilita mucho los cálculos deaproximación de funciones.La idea fundamental detrás de la Serie de Taylor es la depoder aproximar los valores de una función f(x) paracualquier punto x, a partir de tener un punto de referenciaa situado a una distancia h del primero y todo esto apartir de la creación de un “polinomio” basado en unaserie de potencias infinita para la cual sea posible demanera sistemática calcular sus coeficientes.
  • 4. Introducción (Cont.)El polinomio: p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + .......... + an xnen el que los coeficientes ai son constantes, se llama“Polinomio de grado n”. En particular y=b+ax es unpolinomio de primer grado; de igual forma, y=c+bx+ax2es un polinomio de segundo grado.Los polinomios pueden considerarse las funciones mássencillas de todas. Son funciones continuas para todo x ytienen derivadas de cualquier orden.Recordemos que, la derivada de un polinomio de grado nes también un polinomio, de grado n-1; y sus derivadasde orden n+1 y superiores, son nulas.
  • 5. Introducción (Cont.)El objetivo a lograr es encontrar el mejor polinomio quepermita aproximar cualquier valor de f(x) para unafunción dada, con un valor casi exacto o teniendo un errormínimo.No todas las funciones pueden ser aproximadas usando unpolinomio y en particular por la Serie de Taylor, ya quepresentan alguna singularidad.Sin embargo, la mayoría de las funciones obtenidas en loscasos prácticos dentro del área de la ingeniería, si sonaproximables por este método.
  • 6. Introducción (Cont.)Algunos ejemplos de series de funciones matemáticasaproximables por la Serie de Taylor son, x xnExponencial: e , x n 0 n! ( 1)n 1 nLogaritmo Natural: ln(1 x) x , para x 1 n 1 n ( 1)n 2n 1Funciones Trigonométricas: sin( x) x , x n 0 (2n 1)! ( 1)n 2n cos( x) x , x n 0 (2n)!
  • 7. La Serie de TaylorComencemos el desarrollo de Taylor suponiendo losiguiente:“Supongamos que f(x) es una función continua ycontinuamente diferenciable en el intervalo [a,x].Supondremos entonces que f ’(x), f ’’(x), f ’’’(x), … , f n(x)están definidas para dicho intervalo”Del “Teorema Fundamental del Cálculo” sabemos losiguiente: a h a h f ( x)dx f ( x) a a
  • 8. La Serie de Taylor (Cont.)O bien, a h f ( x)dx f (a h) f ( xa) aDe aquí que tengamos que: a h f (a h) f ( xa) f ( x)dx [1] a
  • 9. La Serie de Taylor (Cont.)Ahora, supongamos que el valor de la derivada encualquier punto x, f’(x), permanece constante a lo largodel intervalo [a,x] y con valor igual con f’(a), tendríamosque se cumple que: f ( x) f (a)Y entonces podríamos reescribir la ecuación [1], así: a h f (a h) f (a) f (a)dx a
  • 10. La Serie de Taylor (Cont.)Y como f’(a) es constante: a h f (a h) f (a) f (a) dx aResolviendo la integral: f (a h) f (a) f (a) h [2]
  • 11. La Serie de Taylor (Cont.)La ecuación resultante en [2] debe ser válida paracualquier valor de x y también para cualquier función.También sabemos que cualquier valor de x es igual cona+h; por lo tanto, se cumple lo siguiente: f ( x) f ( a ) f (a) ( x a) f ( x) f (a) f (a) ( x a) f ( x) f (a) f (a) ( x a) ⋮ f n 1 ( x) f n 1 (a) f n (a)( x a) [3]
  • 12. La Serie de Taylor (Cont.)Utilizando lo obtenido en [3] y sustituyendo en la ecuación[1], podemos desarrollar lo siguiente: a h a hf ( x) f ( a ) f ( x) dx f (a ) f (a) f (a) ( x a) dx a a a h a h f ( x) f ( a) f (a) dx f (a) ( x a) dx a a a h a h f ( x) f (a) f (a) dx f (a) ( x a) dx a a
  • 13. La Serie de Taylor (Cont.) a h a h a h f ( x) f ( a) f (a) dx f (a) x dx adx a a a h2 f ( x) f (a) f (a) h f (a) [4] 2Como se puede observar, la ecuación [4] nos muestra loque corresponde a la aproximación de segundo orden alvalor de f(x).
  • 14. La Serie de Taylor (Cont.)Si se repite este procedimiento n veces, suponiendo quelas derivadas de la función f(x) existen, se tendría laaproximación n–1 al valor de la función: h2 h3 ( n 1) h( n 1)f ( x) f (a) f (a) h f (a) f (a)  f (a ) Rn 2! 3! (n 1)!En donde el residuo o el error que se comete al truncar laserie infinita, para cualquier punto x es: hn Con: Rn n f ( x) a x a h (n)!
  • 15. La Serie de Taylor (Cont.)Finalmente, podemos concluir que la expansión de la Seriede Taylor nos proporciona una aproximación al valor deuna función en un punto x en términos del valor de lafunción y sus derivadas en un punto de referenciaconocido, denominado a.Dicha expansión se realiza en una serie del tipo “Serie dePotencias” en términos de la distancia h=x-a, entre elpunto x para el que se desea evaluar f(x) y el dereferencia a, donde se evalúan las derivadas.
  • 16. La Serie de Taylor (Cont.)En base a lo anterior, la forma más conocida derepresentar a la Serie de Taylor es: f i (a) i f ( x) h i 0 i!O también: f i (a) f ( x) ( x a) i [5] i 0 i!
  • 17. Aproximación a f’(x)Supongamos que se tiene una cierta función f(x), para lacuál se desea obtener el valor de la primera derivada enun cierto punto, que denotaremos como xi: f’(xi)=? f(x) xiLa cuestión es: ¿Y si no recordamos como derivar?
  • 18. Aproximación a f’(x)Podemos recurrir a lo siguiente: Del cálculo diferencial eintegral, y de la geometría analítica, recordemos que elvalor de la derivada en un punto xi es exactamente igual alvalor de la pendiente de la tangente a la curva en dichopunto. Es decir, en nuestro caso: f’(xi)=m f(x) xi
  • 19. Aproximación a f’(x)Sería posible que, sin saber cálculo, aproximáramos elvalor de dicha derivada si escogemos un par de puntos aambos lados de xi, equidistantes por una distancia a la quellamaremos h: f’(xi)=m  m = aproximación a f’(xi) f(x) h h xi
  • 20. Aproximación a f’(x)En la aproximación anterior tenemos un valor de errormuy significativo ya que h es grande. Si vamos acercandoambos puntos hacia xi, es decir haciendo h0, el errordisminuye y nos aproximaremos al valor exacto: f’(xi)=m  m = mejor aprox. a f’(xi) f(x) h0 xi
  • 21. Aproximación a f’(x)Como podemos notar, se tendrán que realizar una serie deaproximaciones sucesivas para ir convergiendo hacia elvalor exacto de f’(xi).Esto puede resultar en un proceso largo, tedioso y sobretodo muy factible de errores al efectuar los cálculos.Es aquí donde la Serie de Taylor resulta ser unaherramienta matemática muy valiosa, ya que nospermitirá obtener una fórmula única para evaluar cualquierprimera derivada de cualquier función en un punto dado,con tan sólo unos cálculos y sin existencia de iteraciones.
  • 22. Aproximación a f’(x)Veamos ahora la solución por Serie de Taylor.Supongamos el mismo caso anterior, pero, ahora hacemosuna traslación de la f(x) de tal forma que el punto xicoincida con el origen (x=0) y con una h de valor muypequeño (v.gr. 10-6): f(x) -h +h xi=0Por lo que los puntos adicionales quedarán en –h y +h.
  • 23. Aproximación a f’(x) (Cont.)Tomemos la ecuación obtenida en [5] de la parte anteriory desarrollemos la Serie de Taylor hasta sus tres primerostérminos, considerando al punto +h con respecto al puntoxi; es decir, como si xi fuese el punto a y +h el punto x.Se tiene que: xi +h (h 0)2 f ( h) f (0) f (0)( h 0) f (0) 2! h2 [a] f ( h) f (0) f (0) h f (0) 2
  • 24. Aproximación a f’(x) (Cont.)Hagamos lo mismo, pero ahora, considerando al punto -hcon respecto al punto xi; es decir, como si xi fuese el puntoa y -h el punto x.Se tiene que: -h xi ( h 0)2 f ( h) f (0) f (0)( h 0) f (0) 2! h2 f ( h) f (0) f (0) h f (0) [b] 2
  • 25. Aproximación a f’(x) (Cont.)Restando término a término las ecuaciones [a] y [b]obtenemos lo siguiente: h2 f ( h) f (0) f (0) h f (0) 2 h2 f ( h) f (0) f (0) h f (0) 2 f (h) f ( h) 2 f (0) hDe aquí: f ( h) f ( h) f (0) [c] 2h
  • 26. Aproximación a f’(x) (Cont.)A manera de conclusión:Si deseamos evaluar una derivada de una función f(x) encualquier punto x (y sin saber derivar !!!), bastará condefinir un cierto “Error permisible” ( ) muy pequeño (en elrango de 10-5 a 10-8) y, basados en la fórmula obtenida en[c], calcular: f (x ) f (x ) f ( x) 2
  • 27. Aproximación a f’’(x)El proceso para la obtención de la segunda derivada en unpunto cualquiera x de cualquier función f(x) es muy similara lo estudiado anteriormente para la aplicación de la Seriede Taylor para la primera derivada.Vamos a utilizar las mismas ecuaciones [a] y [b] obtenidasen el apartado anterior: h2 f ( h) f (0) f (0) h f (0) [a] 2 h2 f ( h) f (0) f (0) h f (0) [b] 2
  • 28. Aproximación a f’’(x) (Cont.)Pero ahora vamos a sumar dichas ecuaciones [a] y [b]término a término con lo que obtenemos: h2 f ( h) f (0) f (0) h f (0) 2 h2 f ( h) f (0) f (0) h f (0) 2 f (h) f ( h) 2 f (0) f (0) h 2De aquí: f ( h) 2 f (0) f ( h) f (0) [d] h2
  • 29. Aproximación a f’’(x) (Cont.)Finalmente:Si deseamos evaluar la segunda derivada de una funciónf(x) en cualquier punto x (y también, sin saber derivar!!!), bastará con definir un cierto “Error permisible” ( )muy pequeño (en el rango de 10-5 a 10-8) y, basados en lafórmula obtenida en [d], calcular: f (x ) 2 f ( x) f (x ) f ( x) 2

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