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Capítulo 1(mayo 07)

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  • 1. MANUAL DE EJERCICIOS DE MATEMÁTICA PARA LA EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR PRIMERA PARTE INDICE 1. Sistematización sobre los conjuntos numéricos 1.1 Introducción 1.2 La ampliación de los conjuntos numéricos 1.3 Operaciones racionales con números reales 1.4 Operaciones irracionales con números reales: radicación y logaritmación 1.4.1 Radicación 1.4.2 Operaciones con radicales 1.4.3 Logaritmación 1.4.4 El trabajo con la calculadora 1.5 Ejercicios del capítulo 2. Ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales y cuadráticas 2.1 Introducción 2.2 Trabajo con variables 2.3 Ecuaciones, funciones e inecuaciones lineales 2.3.1 Ecuaciones lineales 2.3.2 Funciones lineales 2.3.3 Inecuaciones lineales 2.4 Ecuaciones, funciones e inecuaciones cuadráticas 2.4.1 Ecuaciones cuadráticas 2.4.2 Funciones cuadráticas. 2.4.3 Inecuaciones cuadráticas 2.5 Ejercicios del capítulo 3. Ecuaciones, funciones e inecuaciones racionales enteras y fraccionarias. Sistemas de ecuaciones. 3.1 Introducción 3.2 Ecuaciones, funciones e inecuaciones racionales enteras y fraccionarias 3.2.1 Ecuaciones racionales enteras y fraccionarias 3.2.2 Funciones racionales enteras y fraccionarias 3.2.3 Inecuaciones racionales enteras y fraccionarias 3.3 Sistemas de ecuaciones 3.3.1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables 3.3.2 Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres variables 1
  • 2. 3.3.3 Sistemas con ecuaciones no lineales 3.4 Ejercicios del capítulo 4. Geometría plana y elementos de trigonometría. Introducción 4 .2 Propiedades y relaciones entre las figuras geométricas elementales 4.2.1 Triángulos y cuadriláteros 4.2.2 Circunferencia y círculo 4.2.3 Algunas construcciones geométricas elementales. 4.3 Igualdad de figuras geométricas 4.4 Semejanza de figuras geométricas 4.4.1 Teorema de las transversales 4.4.2 Semejanza de triángulos 4.5 Grupo de teoremas de Pitágoras 4.6 Razones trigonométricas 4.7 Resolución de triángulos cualesquiera 4.8 Ejercicios del capítulo 2
  • 3. 1. Sistematización sobre los dominios numéricos 1.1 Introducción La Aritmética surge por la necesidad de contar, repartir, distribuir, intercambiar, realizar cálculos, en resumen, para desarrollar las actividades diarias. El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar los objetos. Inicialmente se contaba con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras, conos de abetos, etc. Por ejemplo calculus en su traducción del latín significa cuenta con piedras. Muchos procedimientos pueden ser considerados como manifestaciones de cálculo, pero es el cálculo aritmético el que ha merecido principal atención. Con la utilización de más y más números surgieron y se desarrollaron sus símbolos y los propios números formaron sistemas. Gradualmente se perfeccionaron y unificaron los sistemas de numeración. La escritura en el sistema decimal posicional con el cero apareció por primera vez en el año 500 a.n.e. en la India y fue introducida en Europa por los árabes a partir del siglo VIII por eso nuestras cifras se llaman indoarábigas. La cuestión sobre las relaciones y mutuas influencias de la Matemática de la India, Grecia, China y los países árabes aún no está suficientemente claro. En Matemática se considera indiscutible la procedencia hindú del sistema de numeración decimal y las reglas de cálculo. Es a través del Liber abaci de Leonardo de Pisa (1170 – 1240), que se difundió la representación decimal de los números, utilizando para ello las cifras o los guarismos arábigos. El sistema de numeración decimal o de base 10, es utilizado actualmente en todos los países, como el resultado de un largo proceso de desarrollo histórico. Existen otras bases, por ejemplo, en América los Incas tenían un sistema de numeración de base 20, los babilonios de base 60. Leibniz (filósofo, matemático y estadista alemán) en el siglo XVII descubre el sistema binario (base 2) y la posibilidad de infinitos sistemas de numeración. La base de nuestro sistema de numeración es 10 (decimal) consta de 10 dígitos, (0, 1, 2, 3, 4, 5, …..9) y con ellos podemos escribir todos los números. Este sistema se llama decimal y es posicional porque con cada 10 unidades de un orden se forma una unidad del orden inmediato superior. En la actualidad cuando mencionamos la palabra cálculo, la mayoría de las personas la asocian a la realización de las operaciones aritméticas fundamentales (adición, sustracción, multiplicación y división, entre otras). En el mundo de hoy, con el uso de las computadoras y otros medios auxiliares de cálculo, es posible realizar un número elevado de operaciones matemáticas con rapidez y seguridad. El uso adecuado y racional de estos medios (que es uno de los retos que debemos enfrentar) depende en gran medida del conocimiento de los conceptos, leyes y procedimientos matemáticos que seamos capaces de dominar. 3
  • 4. 1.2. La ampliación de los dominios numéricos. Conjuntos y sus relaciones Consideremos un conjunto como una colección de objetos. Los componentes individuales del conjunto se llaman elementos. Los conjuntos se denotan generalmente con letras mayúsculas del alfabeto latino, y sus elementos, con letras minúsculas. El cardinal de un conjunto A caracteriza el número de elementos de dicho conjunto y se denota con #A. La relación de pertenencia es la que se establece entre elementos y conjuntos y se utilizan los símbolos ∈ (pertenece) y ∉ (no pertenece). Un conjunto A es un subconjunto de un conjunto B si y solo si, cada elemento de A es un elemento de B. Se escribe A ⊂ B. Se dice que el conjunto A está incluido en el conjunto B. Dos conjuntos son iguales si y solo si, todo elemento de uno es elemento del otro. Si A y B son dos conjuntos iguales, entonces se escribe A = B y se cumple que A ⊂ B y B ⊂ A, entonces E = F y se dice que E es un subconjunto propio de F. Por ejemplo, si N es el conjunto de los números pares y M = {m ∈N : m = 2k, k ∈N} , entonces N ⊂ M y M ⊂ N y se cumple M = N. 0,2,4,… son elementos de estos conjuntos. En ocasiones se utiliza el símbolo ⊆ para denotar que un conjunto puede ser subconjunto propio o igual a otro. Los Diagramas de Venn permiten ilustrar las relaciones y las operaciones con conjuntos. Un diagrama tal puede ser cualquier figura geométrica plana que represente a un conjunto determinado, referido a un conjunto mayor que lo contiene al cual llamaremos Conjunto Universo (U). Representación gráfica de la inclusión de conjuntos. U P P=Q Q Intuitivamente un conjunto infinito es aquel en que no es posible contar sus elementos. Un conjunto infinito A es aquel en que se puede establecer una correspondencia 1 -1 o biunívoca de A en un subconjunto propio de este. Un conjunto es finito si y solo si no es infinito. Son ejemplos de conjuntos los siguientes: 4
  • 5. a) Los habitantes de un país. b) El número de rectas que pasan por un punto. d) Los países del Caribe con tres banderas. ¿Cuántos elementos tienen estos conjuntos?, ¿cuáles son finitos?, ¿cuáles infinitos? a) En este caso, en tiempo determinado es posible contar sus elementos, por ejemplo en Cuba los datos del último censo (realizado en el 2002) el número de habitantes es de 11 250 979(según el anuario estadístico del 2004), luego es un conjunto finito. b) Como debes recordar, por un punto pueden pasar infinitas rectas, entonces este conjunto es un conjunto infinito. c) Este conjunto no posee elementos, ninguno de los países del Caribe cumplen esta condición, entonces el conjunto es vacío o nulo y se denota con φ; también se puede representar con { }.♦ ■Escribe dos ejemplos de conjuntos finitos y dos ejemplo de conjuntos infinitos, que se relacionen con el entorno (la escuela, la familia la asignatura de física, química u otra) Un conjunto puede determinarse nombrando cada uno de los elementos que lo integran o por la propiedad que tienen los elementos que lo integran. Ejemplo 1 Dados los conjuntos M y N en notación tabular M = { 2, 7, 12, 17, 22,…} P = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,…} a) Escribe el conjunto M en notación descriptiva b) Expresa el conjunto P en notación constructiva. Resolución: a) ¿Qué relación existe entre sus elementos? Habrás observado que la diferencia entre ellos es 5, o sea, al primer elemento de este conjunto se le van adicionando los múltiplos de 5, es decir, son de la forma 5n +2(n ∈N) M : Conjunto de los números naturales de la forma 5n + 2 con n ∈N . b) P= { p∈N: p = 2n + 1, n∈N:} Se lee: El conjunto P está formado por los números naturales p, tales que p = 2n + 1 con n∈N. 5
  • 6. Operaciones con conjuntos Intersección de conjuntos: La intersección entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B. Se escribe A ∩ B. Unión de conjuntos: La unión entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, o a ambos. Se escribe A ∪ B Diferencia de conjuntos: La diferencia entre los conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B. Se escribe A B. Complemento de un conjunto: Sea U un conjunto universo y A, un subconjunto de U, el complemento de A al que llamaremos A C es el conjunto de elementos de U que no son elementos de A. Se escribe AC=UA. Ejemplo 2 Sean los conjuntos: A = {2,3,5,7,11…} B = {0,2,4,6,8,10...} C = {4,16, 36} a) Describe los conjuntos dados. b) Determina A∩ B, A ∪ By C B. c) Escribe un conjunto P que sea complemento de C. Resolución: a) A: Conjunto de los números primos B: Conjunto de los números pares C: Conjunto formado por tres cuadrados perfectos. b) Como al conjunto intersección pertenecen los elementos comunes de estos conjuntos, entonces: • A∩ B = {2} porque es el único número primo par Como al conjunto unión pertenecen todos los elementos de ambos conjuntos, tenemos: • A ∪ B = N {1} Como al conjunto diferencia pertenecen todos los elementos que están en C y no en B, entonces: • C B.= φ o bien C B = { }, es decir, la el conjunto diferencia es el conjunto vacío. 6
  • 7. Como el conjunto Universo (U) sería el de todos los cuadrados perfectos, al complemento de C le corresponden los elementos de U que no están en C, luego P = { 1; 49; 64; 81; 100…..} ♦ Ejemplo 3 En una entrevista a un grupo de médicos cubanos estos manifestaron que cada uno de ellos había participado al menos en una misión internacionalista en el continente africano o en América Latina. En los países de África cumplieron misión 26 de ellos, mientras que 23 cumplieron misión en América Latina. Si 19 de ellos participaron en ambos continentes, determina el número de médicos que solo ha participado en uno de los dos continentes y el total de médicos. Resolución: Los datos dados plantean que en África cumplieron misión 23 médicos y en Ámérica Latina, 26; si hay 19 que cumplieron misión en los dos continentes entonces tendremos: A: Conjunto de médicos que cumplieron misión en África B: Conjunto de médicos que cumplieron misión en América Latina #A = 23 #B = 26 #(A∩B) = 19 26 - 19 = 7 habían cumplido misión solo en A. Latina 23 -19 = 4 habían cumplido misión sólo en África A 4 19 7 B y el grupo entrevistado era de 30 médicos, pues 4+7+19=30. Otra posibilidad de averiguar esto hubiera sido adicionar 26 +23 y sustraer 19 al resultado. ♦ Ejemplo 4 En un grupo de 22 jóvenes se realizó una encuesta sobre sus preferencias para el empleo del tiempo libre, de la cual se obtuvo que 9 de ellos gustan del teatro, 13 de la televisión y 10 del cine. Sin embargo, solo gustan de la televisión 5 jóvenes, mientras que a tres les gustan las tres opciones, pero por otra parte, 4 de ellos gustan del teatro y de la TV y solo a dos les gusta el teatro y el cine. a) ¿A cuántos de estos jóvenes, solo les gusta el teatro? b) ¿A cuántos les gusta solamente la TV y el cine? c) ¿A cuántos jóvenes del grupo seleccionado no les gustan estas opciones recreativas? Resolución: 7
  • 8. En el texto del ejercicio se puede observar que hay estudiantes que participan en más de una actividad. Para ayudar a la comprensión del ejercicio vamos a realizar la modelación del mismo utilizando los conocidos diagramas de Venn: Sea: #T: cantidad de alumnos que gustan del teatro T 4 #C: conjunto de alumnos que gustan del cine 2 V 3 4 #V: conjunto de alumnos que prefieren la TV #T= 9, #C:=10, #V=13, 5 C #(T∩C)=2, #(T∩V)=4, #(T∩C∩V)=3 Además se da como información que a 5 les gusta nada más la televisión. Sustrayendo a las cantidades totales de cada actividad la cantidad de jóvenes que participan en más de una actividad, se puede dar respuesta a las preguntas realizadas: a) No existe ningún estudiante que participe solo en teatro, porque solo son 9 los que gustan del teatro, pero compartida con otra opción recreativa. b) Como #V=13, #(T∩V)=4, #(T∩C∩V)=3 y a 5 les gusta nada más la televisión, solo un joven gusta de la televisión y el cine. c) Como el total de estudiantes es 22, obtenemos: 22 - (5 + 4 + 3 + 1 + 2 + 4) = 22 – 19 = 3, lo cual quiere decir que solo hay 3 jóvenes que no gustan de ninguna de las opciones. ♦ Dominios numéricos En la práctica para resolver numerosas tareas requerimos trabajar con números. Digamos que necesitamos conocer la cantidad de personas que han asistido a una fiesta, campismo u otra actividad. Entonces recurrimos a los números naturales que sirven fundamentalmente para contar y para ordenar, pero que además permiten realizar las operaciones de adición y multiplicación sin restricciones. Si por ejemplo, necesitamos extraer de un almacén cierta cantidad de libretas para entregar a la matrícula completa de una escuela, ¿cuál es la primera condición necesaria para que podamos realizar esta acción con éxito? Es necesario saber si la cantidad de libretas existente en el almacén es igual o mayor a la matrícula de esa escuela, de lo contrario, no es posible cumplir con lo propuesto. Si se quisiera repartir el número de libretas existente en el almacén en partes iguales, suponiendo que la cantidad fuera mayor, entonces el dividendo (la 8
  • 9. cantidad de libretas), tendría que ser múltiplo del divisor (la cantidad de alumnos). Podríamos preguntarnos además, ¿qué ocurre si el número de libretas no es múltiplo de la cantidad de alumnos? Sucedería que la división no es exacta, quedaría un resto. ¿A qué conclusión podemos arribar? Los números naturales no bastan para resolver problemas matemáticos y prácticos; por ejemplo los problemas de distribución, de medición y otros nos dan una idea clara de la necesidad de ampliar sucesivamente los dominios numéricos. La insuficiencia del conjunto de los números naturales para resolver la división, determina la necesidad de ampliarlo. Surgen de este modo los números fraccionarios Q+ que pueden representarse como una fracción, a b es decir el cociente indicado de dos números naturales con b ≠ 0. Resulta evidente que en el caso de los números naturales basta tomar b = 1 para representarlos como una fracción, por tanto el conjunto de los números fraccionarios contiene a los naturales. La imposibilidad de efectuar la sustracción sin restricciones en el conjunto de los números naturales obliga a realizar una nueva ampliación, para ello se introduce el dominio de los números enteros. En particular al conjunto de los números naturales y sus opuestos se le denomina conjunto de los números enteros y se denota por Z: Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} Para resolver las limitaciones de los dominios mencionados anteriormente se p construyen los números racionales que pueden representarse de la forma q donde p y q son números enteros y q es distinto de cero. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q. Además, desde grados anteriores vimos la insuficiencia de resolver ecuaciones en el dominio de los números racionales, como las ecuaciones de la forma x2 – 2 = 0; de esta y otras insuficiencias, como la existencia de magnitudes inconmensurables, se obtuvo la necesidad de introducir los números irracionales, que se denotan por I. ¿Qué relación existe entre el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales? El conjunto de los números reales está conformado por la unión de los racionales e irracionales, simbólicamente: Q∪ Ι = ℜ Los conjuntos numéricos con las operaciones y relaciones definidas en ellos es lo que se conoce como dominios numéricos. En la construcción de un nuevo dominio hemos partido siempre de ciertas insuficiencias del dominio anterior, manteniendo las operaciones y relaciones definidas anteriormente (principio de permanencia). 9
  • 10. Te sugerimos completar el siguiente cuadro resumen: Dominios numéricos Operaciones realizables Restricciones o limitaciones de las operaciones ( sin limitaciones ) Naturales (N) Adición ,sustracción y multiplicación Adición, división multiplicación Racionales (Q) y Radicación de números que no tienen raíz exacta Radicación de índice par de números negativos Radicación de índice par de números negativos Analicemos en el siguiente diagrama de Venn las relaciones entre los dominios numéricos estudiados: ℜ Ζ Q Nℵ Q + Ι Como se observa en el diagrama, el dominio de los números naturales (N), es un subconjunto del dominio de los números enteros ( Ζ ), de los racionales (Q) y de los reales ( ℜ ). Simbólicamente: N⊂ Ζ ⊂ Q ⊂ ℜ. Los números naturales o los números enteros, se expresan en notación decimal como  2 = 2, 0 ( se lee: 2 coma período cero) o simplemente dos. Los números racionales se expresan en notación decimal como: 10
  • 11.  3 = 0,75 = 0,750 ( Se lee: cero coma siete cinco o cero coma siete cinco 4 período cero)  1 ≈ 0,16666... = 0,16 6 (Se lee: cero coma uno seis período seis) Observa que las expresiones decimales finitas se pueden considerar como expresiones decimales periódicas con período cero. ¿Qué tipo de expresiones decimales representan a los números irracionales? Veamos: π ≈ 3,141 592 653 509 793 238… 2 ≈1,41422135... 6 ≈ 2,4494897... Como puedes observar estas expresiones decimales no son periódicas, luego, ¿ a qué conclusión podemos llegar?  Toda expresión decimal periódica representa un número racional.  Toda expresión decimal no periódica representa un número irracional. Ejemplo 1 Ubica los números : -15; 10 4 ; 0,1 6 ;-2,5; 3 ; - 1,4267….en .el diagrama representado, teniendo en cuenta el conjunto numérico más restringido al cual pertenecen. Resolución: Con seguridad los has ubicado de la siguiente manera: -2,5 Ζ -15 Ι Q 104 ℵ ℜ 0,Q 6 1 3 + - 1,4267.. Para ello tuvimos que tener en cuenta la caracterización de cada dominio numérico. ♦ Ejemplo 2 Escribe, en los espacios en blanco, según convenga: ∈; ∉; ⊂; ⊄ a) 4 3 ____ b) ____ 11
  • 12. a) 15 ____ d) _____ Resolución: 4 3 a) ∈ b) ⊄ c) 15 ∉ d) ⊂ ♦ Para analizar el orden en el dominio de los números racionales o reales resulta conveniente definir qué se entiende por valor absoluto de un número a que se denota |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a –a si es negativo. En símbolos: si a ≥ 0, |a| = a si a < 0, |a| = –a Nótese que –a no es un número negativo. Por ejemplo: − 25 4, = 4,25. Ahora te recordaremos algunos aspectos importantes sobre los números reales:  A cada punto de una recta se le puede hacer corresponder de forma única un número real y viceversa.  Son positivos los números reales mayores que cero y negativos sus opuestos.  El cero no es ni positivo ni negativo, luego el opuesto del cero es el propio cero  Si al referirte al conjunto de los números reales positivos quieres incluir al cero entonces debes nombrarlo como los números reales no negativos. ¿Cómo denominarías al conjunto de números reales negativos que incluyen al cero?––––––––––––––––––––––––––––––––––  Para ordenar un grupo de números reales debes tener en cuenta que: - de dos números reales cualesquiera es menor el que esté más a la izquierda en la recta numérica; - de dos números reales positivos es mayor el que tiene mayor módulo. - de dos números reales negativos es mayor el que tiene menor módulo. - el cero es mayor que cualquier número negativo y menor que cualquier número positivo. Ejemplo 3 . Dados los números racionales siguientes: I. − 2; II. − 150; − 10; 0,7; 230; 0,6; −0,9; 0,1; − 0,5; − 2,7; 15,5; 130; − 329. − 1 . 4 a) ¿Cuál es el mayor? b) ¿Cuál es el menor? c) ¿Cuál es el que tiene mayor módulo? d) ¿Cuál es el que tiene menor módulo? 12
  • 13. Resolución: a) I. (230) II. (130) b) I. (- 329) c) I. ( -329) II. (-150) d) I. (0,1) II. (- 150)   1 4 II.  −  Ejemplo 4 Represente en la recta numérica los siguientes números racionales: − 3,5 ; − 1 8 ; 2,6 ; − . 5 2 Resolución: Para representar estos números racionales, primero trazamos una recta y situamos un punto al cual se le hace corresponder el cero; luego se determinan segmentos de igual longitud a la derecha y a la izquierda del cero. ♦ Ejemplo 5 En la siguiente recta están representados los números 0, a, b, c y d. (Todas las subdivisiones son iguales) a) Responde Verdadero (V) o Falso (F). –––– d > b –––– – 3c > – b –––– – d > a –––– 4 a < b b) Decide si es posible que se cumpla: –––– b = 2 a + c –––– d = c + a –––– b ≠ a – 3 –––– – c – d = 2 a + b Resolución: a) F, F, V, V. b) No, Sí, Sí, Sí ♦ Operaciones con intervalos. Anteriormente vimos que a cada número real le corresponde exactamente un punto de la recta y viceversa. Sin embargo, con los números racionales no 13
  • 14. sucede así. Si estos últimos los representáramos en la recta numérica existen puntos de ella a los que no les corresponde ningún número racional. Los intervalos son subconjuntos de números reales. Sean a y b dos números reales. Entonces: Un intervalo cerrado [a; b] de extremos a y b es un segmento en el que se incluyen estos extremos: [a; b] = {x ∈R: a ≤ x ≤ b} Un intervalo abierto (a; b) de extremos a y b: (a; b) = { x ∈R: a < x < b} Un intervalo semiabierto de extremos a y b puede ser (a, b] o [a, b): (a; b] = { x ∈R: a <x≤b} (se excluye a y se incluye b) [a; b) = {x ∈R: a ≤ x < b} (se incluye a y se excluye b) En particular: (-∞; b] = {x ∈R: x ≤ b}. Es el conjunto formado por todos los números reales menores o iguales que b. (-∞; b) = {x ∈R: x < b}. Es el conjunto formado por todos los números reales menores que b. (a; ∞) = {x ∈R: x > a}. Es el conjunto de todos los números reales mayores que a. [a; ∞) = {x ∈R: x ≥ a}. Es el conjunto formado por todos los números reales mayores o iguales que a. Ejemplo1 Representa los siguientes conjuntos usando la notación de intervalos: a) El intervalo que comprende los valores reales, mayores que –5 y menores que 7. b) El conjunto de valores mayores o iguales a – 4 y menores que cero. c) Los valores reales no negativos. Resolución: a) No se incluyen los extremos, luego su representación ( -5 ; 7) es la siguiente: Nota: Como notación para el intervalo abierto también se puede utilizar el 5 corchete hacia fuera, por ejemplo en este caso sería ]− ;7[ . b) En este caso, se incluye al -4, entonces el intervalo se representa como [−4;0 ) c) Son todos los valores reales positivos y el cero que no tiene signo, por eso se utiliza la expresión no negativa, además ese conjunto es ilimitado hacia la derecha, es decir, [0; ∞+ ) ♦ Ejemplo 2. Escribe en notación constructiva los siguientes intervalos: a) ( −3; +∞ ) b) [ − 1;5] ; c) (−∞2] 14
  • 15. Resolución: a) c) ( −3; +∞ ) 1 ={ x ∈ ℜ : x > – 3} b) [− ;5] = { x ∈ ℜ : -1 ≤ x ≤ 5 } (−∞2] = { x ∈ ℜ : x ≤ 2} ♦ ; Ejemplo 3 Expresa los siguientes conjuntos como intervalos b) { x ∈ ℜ : -6 ≤ x ≤ 1 } a) { x ∈ ℜ : x< -3 } c) { x ∈ ℜ : - 2 ≤ x <1} Resolución: ;− a) ( −∞ 3) b) [−6;1] c) `[ − 2;1 ) ♦ Ejemplo 4 Representa gráficamente los siguientes intervalos: 2 a) ( − ; 1) b) [−3;2] c) (−2; 3 ] Resolución: 2 a) ( − ; 1) En la recta no se incluyen los extremos, por eso estos puntos no se sombrean. -2 1 b) [−3;2] Recuerda que si en el intervalo, se gráficamente estos se sombrean -3 c) (−2; 3 incluyen los extremos, 2 ] En el intervalo no se incluye uno de los extremos. ♦ 3 -2 Ejemplo 5 2 Sean los intervalos A= ( − ; 1) , B= [−3;2] y C = a) Determina A∩ B, A ∪ B, (−2; 3 ] B A y C A. b) Escribe un conjunto P que sea complemento de C. Resolución: a) A∩ B =(–2;1) A ∪ B=B 2 1 B A = [−3;− ] ∪ [1; 2] C A = [ ; 3 ] Ejercicios (epígrafe 1.2) 1. Diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifica las falsas. a).-4,5 ∈ Q b).5 ∈ Z c).0,8 ∈ N d). ¼ ∉ Z e).N ⊂ Z f).Q ⊄ R g).Z ⊂ Q h).Q ⊂ N. 15
  • 16. 2. Completa utilizando los símbolos ∈, ∉, ⊂, ⊄, de forma tal que se obtenga una proposición verdadera. a).3 ½ ____ N b).-5,24 ____ Q e).Z ____ N `c). f).Q ____ Z 5 ____ R d).-8 ____ Z g).N ____ R h).R ____ Z. Fundamenta tu respuesta. 3. Coloque en el espacio en blanco el signo de relación correspondiente (<;= ; >). a) 0 g) c) 2 e) − 1,8 − 1,9 f) 2 3 − 1,6 h) 0,85 0,9 b) − 12 −3 d −5 3 1,6 0 i) − −1 3 4 15 10 −2 4. Dadas las siguientes listas de números: L1: − 1,75; L2: − 3; − 8; − 2,8; 1 ; 10 0,2; 1; −2 − 0,5; 1 ; 4 − − 1,6 3 ; 2 − π π a) Ordena L1 comenzando por el menor y L2 comenzando por el mayor. b) Representa cada lista de números en rectas numéricas diferentes. 5.. En un curso hay 25 alumnos que juegan fútbol, 20 que juegan baloncesto y 15 que no practican estos deportes. Si el curso tiene 50 alumnos, entonces los alumnos que juegan tanto fútbol como baloncesto son: ___15 ____ 10 ____ 5 ____ 20 ____ 35. 6. Escribe en notación tabular el conjunto M = {x ∈N -3,4 < x ≤ 8,286}. 8. Escribe en notación constructiva el conjunto T = {1, 3, 6, 10, 15}. 10. Escribe en notación descriptiva al conjunto de los números naturales pares, comprendidos entre 14 y 72 sin incluirlos. 11. Define en forma descriptiva el conjunto {1, 2, 4, 8, 16}. 12. Escribe los siguientes conjuntos en forma constructiva: a) Conjunto de todos las x tales que x es mayor que 5. b) Conjunto de todos las x tales que x sea igual a 5 ó mayor que 5. 16
  • 17. c) Conjunto de todos las x tales que x sea menor que -2 ó mayor que 4. 13. -Coloca el signo  ;  o según convenga si: a) ( 3;10 ) ___( 4; 12 ) = ( 3; 12) b) ( 3;5 ) ____ [3;5] = φ c) [7;10] ___ ( 7;10) = {7; 10} 3 d) [− ;1) ____( 1;2) = φ 14- Enlaza las operaciones de la columna A con las respuestas correctas en la columna B: A a) B ( 2;5 ) ∩( 3;8 ) (1; 4) b) ( −2;4 ) ∩ ( 0;6 ) [3; 5] c) [ 1;12 ) ∩ ( 1;4 ) φ d) ( 1;5]  [ 3;+∞ ) (0; 4) ; 1 e) ( −∞− )  [0;3] . (3; 5) 15.- Dados los conjuntos: M = {x ∈ R: x ≤ 12} , N = {x ∈ R: x ≥ 4} P = {x ∈ R: -4 ≤ x ≤ 5,6} Q: Conjunto de los números naturales impares. Determina: a). M ∩ N. b). M ∩ P. c). M ∩ Q. d). N ∩ P e). N ∩ Q. f). P ∩ Q. g). M ∩ N ∩ P. h)). M ∩ N ∩ Q. i). N ∩ Q ∩ P.. j). M ∪ N k). M ∪ P. l). M ∪ Q. m). N ∪ P. n). N ∪ Q. ñ). P ∪ Q. o). M ∪ N ∪ P. p). M N. q). M P. r). M Q. s). N P. t). N Q. u). P Q. v). Mc. w). Nc. x). Pc. y). Qc. z). (M ∩ N)c. 16. Apoyándote en un diagrama, ilustra que: a). A B = A (A ∩ B). b). A B = (A ∪ B) B. c) A B= A ∩ BC 17
  • 18. 17. A continuación aparece representado un diagrama de Venn. Con los datos que se presentan en él elabora un ejercicio de situaciones no matemáticas que debe ser analizado en el aula con el resto de tus compañeros. 4 2 1 3 1 2 6 8 3 18. Si sabes que los conjuntos K y L son tales que (K ∪ L) L = K. ¿Qué conclusión puedes obtener de esta información? 19. Para la filmación de unas aventuras juveniles se realiza una convocatoria, con las siguientes condiciones: - las muchachas deben tener de 18 a 25 años de edad y medir entre 1,25 m a 1,55 m. - los muchachos deben tenar de 20 a 25 años y medir de 1,55 metros a 1,60 metros. a) Traduce del lenguaje común al algebraico los intervalos indicados para cada sexo, en dicha convocatoria. Llámale “e” a los elementos de la edad y “m” a la estatura exigida 1.3 Operaciones racionales con números reales . En este epígrafe repasarás y profundizarás las operaciones fundamentales con números reales, así como sus propiedades para poder aplicarlas a la resolución de problemas de la práctica y de otras ciencias. Ejemplo 1 Realiza las operaciones indicadas, de ellas puedes afirmar que; A) las tres son iguales 2 1 (I) 0,75 –     2 ( : 3 5 − 8 6 2  1 (II) 0,75 –  2    ( (III) 0,75 – ): 2  1   2 B) las tres son desiguales 3 5 − 8 6 ) :( 3 5 − 8 6 C) solo (I) = (II) ) D) solo (I) = (III) E) solo (II) = (III) Resolución: 18
  • 19. 2 1 (I) 0,75 –     2 : : 3 5 − Debes recordar el orden de las operaciones 8 6 = 0,75 – 1 4 = 0,75 – 1 8 5 • – 4 3 6 = 0,75 – 2 5 – 3 6 = 3 5 − 8 6 (1. la potenciación) (2. la división y multiplicación) (3.la adición y sustracción) 3 2 5 9 − 8 − 10 9 3 =− – – = = − 4 3 6 12 12 4 (0,75 – (II) 2  1   2 ): 3 5 − 8 6 (1. los signos de agrupación ( 2. la potenciación) = ( 3 1 − 4 4 ): 3 5 − 8 6 = 1 8 5 • − 2 3 6 = (3. la división y multiplicación) 4 5 8−5 3 1 − = = = 3 6 6 6 2 (4. la adición y sustracción) Si tienes en cuenta lo explicado en (I) y (II) podrás efectuar (III) cuya respuesta es − 1 1 (¡compruébalo!) 12 La respuesta es la B) ya que (I) ≠ (II) ≠ (III) ♦ ¿Qué debes tener en cuenta para efectuar operaciones combinadas con números reales? Para efectuar operaciones combinadas con números reales: • Se efectúan las operaciones indicadas entre signos de agrupación ( paréntesis, corchetes, llaves) • Se realizan la potenciación y la radicación en el orden en que aparecen. • Se efectúan las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. • Se realizan las sumas algebraicas que resulten al final. Ejemplo 2. Vamos a suponer que Esther tiene un sobrepeso para su edad (212 libras) y debe realizar una dieta orientada por el médico, durante cuatro semanas. En la primera semana perdió 12,0 libras, en la segunda 3 1 más, pero la tercera 2 semana coincidió con las fiestas de fin de año y aumentó 8,75 libras .Si en la cuarta semana hace un esfuerzo y pierde 6 libras y 8 onzas ¿Cuál seria su 19
  • 20. peso en kilogramos, al terminar la dieta? Expresa el resultado con la mayor exactitud posible. Resolución: Debemos sustraer varias veces y en una de las ocasiones adicionar, luego estamos en presencia de una adición de números reales. ¡Cuidado! Las cantidades están expresadas en unidades de medida diferentes, por tanto es necesario convertir a una única unidad para realizar la suma. Conocemos que 1 libra contiene 16 onzas, tenemos que preguntarnos qué parte de una libra son 8 onzas. Es evidente que representa la mitad luego, 6 libras y 8 onzas, se puede expresar como 6,5 libras, luego la operación seria la siguiente: 212 –12– 3,5 + 8,75 – 6,5 Aplicando la propiedad asociativa se suman las cantidades con signos iguales y se coloca el mismo signo es decir: = ( 212 + 8,75 ) + ( –12 –3,5 – 6,5) = 220,75 – 22 = 198,75 Como la respuesta debe ser en kilogramos y 1 kilogramo equivale a 2,2 libras, entonces para determinar cuántos kilogramos de peso tiene ahora se divide esta cantidad por 2,2, es decir, 198, 75 : 2,2 = 90, 34 kg . Comprueba si el resultado que se obtiene es lógico y correcto. .Respuesta: Al terminar la dieta Esther pesará aproximadamente 90,3 kg♦ Para la adición de números reales debemos tener en cuenta: • Si tienen signos iguales: Se suman los módulos de ambos números y al resultado se le pone el mismo signo. Por ejemplo: a) 3,72 + 15,8 = 19,52 b) – 3,72 – 15,8 = – 19,52. • Si tienen signos diferentes: Se restan los módulos de ambos números y al resultado se le pone el signo del que tiene mayor módulo. Por ejemplo: a) 3,72 – 15,8 = –12,08 b) – 3,72 + 15,8 = 12,08 Si dos números son opuestos su suma es igual a cero. Para la adición de números reales se cumple: • Conmutatividad de la adición: a + b = b + a. • Asociatividad de la adición: (a + b) + c = a + (b + c)= a+b+c. • Hay un número y sólo uno (cero), tal que a + 0 = 0 + a = a, para cualquier valor de a (elemento neutro para la adición). • Para todo número a existe un único número que se denota por –a tal que a + (-a) = 0 (opuesto de a) La sustracción es la operación inversa de la adición. Para multiplicar dos números reales debes tener en cuenta: 20
  • 21. • Se multiplican sus módulos. • Si los factores tienen signos iguales, el producto es positivo y si los factores tienen signos diferentes, el producto es negativo. Por ejemplo: a) (– 2,5). (– 100 )= 250 b) 2,5. (– 100 ) = – 250. Para la multiplicación de números reales se cumple: • Conmutatividad de la multiplicación: a. b = b. a. • Asociatividad de la multiplicación: (a. b).c = a (b. c)=a. b.c. • Hay un número y sólo un número (uno), de modo que a. 1 = 1. a = a, para cualquier valor de a (elemento neutro para la multiplicación).. • Para todo número real a ≠ 0 existe un único número 1 1 tal que a. = 1. a a (recíproco de a ) • Distributividad de la multiplicación respecto a la adición: a (b + c) = a. b + a. c Para dividir dos números reales a y b con b ≠ 0: •Se halla el cociente de sus módulos. •Si el dividendo y el divisor tienen signos iguales, el cociente es positivo y si el dividendo y el divisor tienen signos diferentes, el cociente es negativo. La división de números racionales es la operación inversa a la multiplicación. Ejemplo 3 Halla el valor numérico de la expresión a −b.c 1 para a = – 2; b = – ; c = 16 d 4 y d=3 Resolución: ¿Qué significa hallar el valor numérico? Para hallar el valor numérico de una expresión, se sustituyen las variables que aparecen por los valores dados a −b.c ( −2) − ( − = d 3 1 )(16) (−2) − (−4) − 2 + 4 2 4 = = = ♦ 3 3 3 Ejemplo 4. Simplifica y calcula: { 912 – ( –412 . 2 – 4564 ) } : ( 1102 – 1002) Resolución: Para determinar la respuesta correcta deben calcularse las operaciones combinadas que aparecen en los signos de agrupación comenzando por la izquierda se resuelve el producto que aparece en el paréntesis 21
  • 22. (-412. 2 – 4564 ) = – 824 – 4564 = – 5388 Como esta precedido de un signo negativo resulta: 912 – ( –412 . 2 – 4564 ) = 912 + 5388 = 6300 esta cantidad hay que dividirla por el termino que está en el paréntesis de la derecha ( 1102 – 1002) ¿Cuál es la vía más racional para calcular esta diferencia? Si observas que es una diferencia de cuadrados procederías de la siguiente forma: (1102 – 1002) = (110 + 100)( 110-100) = 210.10 = 2100 finalmente resulta 6300: 2100 = 3 .♦ Los números fraccionarios posibilitan establecer relaciones de comparación mediante el llamado tanto por ciento, que significa cuántos tantos se toman de cada cien. Para denotar su significado se utiliza el símbolo %. Por ejemplo, el 1 % significa que se toma 1 de cada cien, así si la cantidad total de donde se toma el 1 % es 500 se tomarán 5, y si la cantidad total es 50, el 1% es 0,5. Para determinar tasas de natalidad, mortalidad, entre otros ejemplos que se pueden mencionar, se utiliza el tanto por mil, que se denota como % 0 Por ejemplo, el 3 % significa que se toma 1 de cada mil, así si la cantidad total de donde se toma el 3 % es 3000 se tomarán 9, y si la cantidad total es 1500, el 3 % es 4,5. 0 0 0 Ejemplo 5 Según transcurre el embarazo, la ganancia de peso de la mujer es el resultado del crecimiento del feto, la placenta, el líquido amniótico y los tejidos maternos. El feto representa aproximadamente el 25% de la ganancia total, la placenta alrededor del 5% y el líquido amniótico el 6 %. ¿Qué ganancia total de peso habrá tenido una embarazada que por concepto de tejido materno ha aumentado durante la etapa pregestacional 10,5 kg? Resolución: El crecimiento del feto, de la placenta y del líquido amniótico representan el 36% de la ganancia total (25% + 5% + 6%), luego el aumento del tejido materno (10,5kg) constituye el 64% de dicha ganancia. Debemos calcular la ganancia total (T) 64 T =10,5 100 10,5 T= .100 64 T ≈16,4 Respuesta: La ganancia total de peso que ha tenido la embarazada es de 16,4kg.♦ Potenciación 22
  • 23. Las propiedades de las potencias son muy utilizadas en Física y otras ciencias, 1 −n por ejemplo, n = a (a≠0; n∈N) se emplea en: a a) 1 m (velocidad) s b) 1 m s2 (aceleración) c) 1 kg.m (fuerza) s2 quedaría: a). 1m·s–1 b). 1m·s– 2 c) kg.m.s–2· Observa que el concepto potencia se fue generalizando durante los estudios de Secundaria Básica, tal como indica el diagrama siguiente: a0 = 1 a ∈R * 1 an a ∈ R * ,n ∈ N * a −n = n −1 a = a.a a ∈ R*, n ∈ N * n Teniendo en cuenta lo que conoces de las propiedades de las potencias enlaza un elemento de la columna A con su correspondiente en la columna B. Sean a, b, r y s (a > 0, b > 0) números reales cualesquiera, entonces se cumple: A B ar ⋅ as (a : b)r ar : as ars ar ⋅ br ar – s ar : br ar + s (ar)s (a ⋅ b)r Nota: Observa que estas propiedades se cumplen para las operaciones de multiplicación y división de potencias. Ejemplo 6 El mayor embalse del país es el Zaza, en la provincia de Sancti Spíritus, con 1020000000 m3. ¿.A cuántos litros equivale la capacidad del embalse? Resolución: Resulta más ventajoso expresar 1020000000 m3 en notación científica, es decir , de la forma N .10 K ( con 1≤ N < 10 y k ∈ Z) luego 1020000000 m3 = 1,02. 109 m3. Además debes recordar que 1 litro equivale a 1 dm3, entonces se debe convertir 23
  • 24. los metros cúbicos a decímetros cúbicos, aplicando las propiedades de la potencia ya conocidas, es decir, 1,02⋅109 m3 = 1,02⋅109. 10 3 dm3 = 1,02⋅1012 dm3 Respuesta: El embalse del Zaza tiene 1,02⋅1012 litros de capacidad.♦ El cálculo con potencias de exponente entero y sus propiedades, lo conoces desde grados anteriores, lo que recordaremos a través de algunos ejemplos. Ejemplo 7. Descomponer todas las potencias en factores: a). 133 b). 2b5 c). ( -4)3 d).b + c4 e). -24 Resolución: a) Aplicando la definición de potencia tenemos que: 13 3 = 13.13.13 b) 2b5 = 2. b.b.b.b.b ¿a quién afecta el exponente? sólo afecta a la b c) ( – 4)3 =( – 4) (–4) (– 4) d) b + c4 = b + c. c. c .c e) –24 = – 1(2.2.2.2) ¿a quién afecta el exponente? sólo al 2 el signo indica el opuesto ¿qué semejanza y diferencia existe entre el inciso c y e? ♦ Ejemplo 8 Indica sin efectuar, cuáles de las siguientes potencias son <; > ó = a cero: a). (– 4)53 b). ( – 4)42 c). – 442 Resolución: a) ( – 4)53 como la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es menor que cero, es decir ( – 4)53 < 0. b) ( – 4)42 la base es negativa pero de exponente par, luego ( – 4) 42 > 0 c) – 442 la base de la potencia es positiva y el exponente es par, pero se indica el opuesto de la potencia, luego – 4 42 < 0 .♦ Ejemplo 9 3 3 1  SI A = ( 25 : 5 )   5  2 2 y 2 − .8 2 + 19.2 0 B= entonces que relación existe 28 : 68 entre A y B Resolución: Se pide la relación que existe entre dos cantidades, representadas en este caso por A y B lo que significa determinar si son iguales o cuál de ellas es mayor o menor que la otra ,luego debemos efectuar las operaciones indicadas 24
  • 25. 3 1  5  A = ( 252 : 52)   en el primer paréntesis tenemos potencias de igual exponente luego se dividen las bases, y se mantiene el exponente, mientras que en el segundo aparece potencia de potencia, es decir, 3 1  A =( 25 : 5 )   5  2 2 = 52. 1 1 2 -3 –1 = 3 = 5 .5 = 5 5 5 3 −3 6 3 3 2 − .8 2 + 19.2 0 2 .2 +19 •1 = 2 + 19 = 27 = 3 = 311 B= = luego A< B♦ 1 : 38 3 −8 3 −8 ( 2 : 6) 8 28 : 68 Ejemplo 10 Calcula aplicando las propiedades de las potencias: b) a) 1202 4900 140 4 25 4 49 7 ·7 −4 c) − −8 125 2 1    7  2 1 16 2 ·40,5 : 43 d) 2 32 : 64 2 ·128 Resolución: a) 1202 = (12· 10)2 se descompone en factores convenientemente la base = 122· 102 se aplica la propiedad del producto de potencia de igual exponente. = 144· 100 = 14400 ( ) 4900 2 ( 49·100) 7 2 ·10 2 7 4 ·10 4 1 1 b) = = = 4 4 4 = 4 = 4 4 4 16 140 ( 2·7·10) 2 ·7 ·10 2 (14·10) 2 c) 25 4 125 2 − 497 ·7 −4 −8  1   7 = = (5 2 )4 (53 )2 58 56 − = 52 − − 2 (72 )7 ·7 −4 (7−1)−8 Se expresó cada base potencia convenientemente en 714 ·7−4 78 710 78 Se aplicó la potencia de potencia = 25 − 72 = 25 − 49 = −24 Se aplicó el cociente y el producto de potencia de igual base. 25
  • 26. 1 16 2 ·40,5 : 43 d) 2 32 : 64 2 ·128 = (16·4) 0,5 : 4 3 2 7· ·(32 : 64) 2 64 0,5 : 4 3 ( 4 3 ) 0,5 : 4 3 41,5 : 4 3 4 −1,5 = = = 5 2 7 ·2 − 2 25 2 7 1 2 2 ·( ) 2 2 −1,5 (( 2) ) 2 −3 1 1 = = 5 = 2 −8 = 8 = 5 256 2 2 2 = En este ejemplo existen otras vías de solución. ¡Búscalas! ♦ Ejercicios (epígrafe 1.3) 1. Estima el lugar de la coma decimal en el resultado de las siguientes operaciones: a) 25,65.104,2 = 267273 b) 0,55.320,18 = 176099 c) 1300,55:12,5 = 1084 2. Sea A = ___ − 11 3 3. Sean P = ____ 0,9 4. 4 2 7 : yB=− entonces A + B es igual a: 3 9 3 ___. 3 2 3 ___ − 8 1 3 ___. 8 1 3 7 6 5 + ⋅ y Q = 4,8. Entonces P:Q es igual a: 3 5 2 ____ 3,5 ____ 10 9 ____ 47 10 Calcula el valor de : a) a + b. c para a = − 7 5 ,b= yc= 3 4 b) a2 – b:c, para a = 3 5. 1356,25:12,5=1085 1 2 0,64 b = 7,5 y C = En la expresión m = 4 a + 3b + 3 4 7 c Sustituye las variables a, b y c por 4 números naturales tales que obtenga para m un número: a) natural. 26
  • 27. b) entero negativo. c) fraccionario. 6. 100 g de un alimento reportan 300 calorías.¿Cuántas calorías reportan 30 g del mismo alimento? ___90 ___. 100 ___. 900 ___. 1000 Se tiene una placa metálica con un área de 3240 mm2, la que expresada 7. en cm2 es equivalente a: ___ 324,0 cm2 ___. 32 400 cm2 ___C. 324 000 cm2 ____ 32,40 cm2 8. El promedio de los 15 alumnos del grupo A en la comprobación de Matemática fue de 92 puntos y en el grupo B que tiene la misma cantidad de alumnos que el grupo A el promedio fue de 86 puntos. El promedio entre esos dos grupos fue de: ___ 87 ___ 90 ___89 ___ 92 9. Se dispone de un saco de frijoles cuyo peso es de 55 kg. Entonces el peso en g es: ___5,5 g ___55 000g ___550 000g Si A = (28⋅29):219, entonces A es igual a: 10. ___–4 11. ___¼ Si M = ___ 12. ___5 500 g 10 21 ___– ¼ ___ 4 3 24 ⋅ 7 24 , el valor numérico de M es: 2123 ___21 ___2147 ___2125 El producto de 34⋅10048, se expresa en notación científica como: ___34⋅1096 ___3,4⋅.10481 ___3,4⋅1051 ___3,4⋅1097 13. Si un médico de la familia recibe en su consultorio el resultado de un análisis de sangre de una de sus pacientes, con la presentación siguiente: Eritrocitos: 4 500 000 000 000 por Litros. Leucocitos: 11 000 000 000 por Litros. Nota: Para representar estos resultados es usual emplear la notación científica. a) Represente estos resultados en la forma usual. b) Investigue si los resultados son normales. 14. Calcular: a), 2,48 + 1,12:0,4 – (3,2)2 c). (0,4 + 1 2 12 ):(2,2 )+ - 20050 3 23 3 b). [(½ - 0,2):3 + (0,3)2 – 2-2]·102 d). 0,0075·[(0,1)-1]2 27
  • 28. 1 1 − 5 2 + 6( 6 − ) 16 10 3 2 − 2 ⋅ 32 e). 73   8,76 − 6,26  17 , 4 +  5   4 1 2 − 3 2 + 144 ⋅ 0,5 + (−2) 2 3 1 1 h). : 2 − 26 2 3 1 0,12 g). (-½)2 + 3 ⋅ + 0,0055·102 8 0,05 5,2 + 3,8 : ( −19) + i). 15. ( 0,000002 10 −3 ⋅ 10 −2 )  1 2 2  − −  ( −2) + 1  3 5 Calcula el valor de K en cada caso:  (0,0002) 36  − 1,36 + 37 a). K =  2 ⋅10 −145   2136 ⋅ 9 −18 35  5⋅7 c). K = 29,12:   16 2 2 - 0,75 + 2-1 3 3 f).  −  :   :3,5        (0,3)15  3  ⋅ 10 2 − 3,5 :  − 38 0  b). K =  12   (0,3)  5  181999 ⋅ 6 −44 1 + 2  :4,25 1998 652 3  3 ⋅ 216  d). K =   Hallar el valor numérico en cada caso: x17 ⋅ y 17 9,18 2 − para x = , y = 4,5 15 y 3 ( x ⋅ y) a). M = c). R = - b). N = (x5 )5 0,1 − 2 para x = 0,5 20 3 x ⋅x x a ( a ⋅ b) 30 para a = ¼ y b = -0,4 + b a 28 : b − 29 d). P = a ( a 2 b − b 2 a ) + (b – a)(b + a2b) para a = ½ y b = -2 e). S = 17. a). 2m 3 n 2 − 6m 2 n 3 + 12m 3 n para m = 3 y n = -1,5 6m 2 n 2 Halla el valor de a en cada uno de los siguientes casos: 2,5a 100 ⋅ 1,4a −52 35 300 ⋅ 7 −198 = 50a 47 25151 ⋅ 7100 b). ( 2a )120 ⋅ a 80 8 39 = 1,5 − 4a 201 18 Para la estimación del peso de un niño entre 3 y 12 meses se utiliza la fórmula siguiente: Peso (kg) = [Edad (meses) + 11] : 2,2. ¿Cuántas libras debe pesar un niño de 4 meses? 19. Existen diferentes fórmulas para el cálculo de la talla de un niño conocida su edad, entre las que se encuentra la fórmula de Weech utilizada para niños entre 2 y 14 años: Estatura (cm) = [(2,5 · edad en años) + 30] · 2,54 a) ¿Qué estatura aproximada debe tener un niño de 10 años? b) Un niño de 9 años mide 1,35 m. Compruebe si su estatura está acorde a su edad. 28
  • 29. 20. En una Secundaria Básica el 40% de los alumnos de un grupo de 15 alumnos practican ajedrez. ¿Cuántos alumnos de ese grupo no practican ajedrez? ___4 ___9 ___6 ___12 22. Se quiere cercar un terreno rectangular que mide 40 m de largo y 100 d m de ancho. ¿Cuántos metros de cerca hay que utilizar? ___50 m ___200 m ___100 m ___400 m2 23. A una persona le disminuyen sucesivamente el salario en un 10%, 5% y 15%. ¿Cuál es el porcentaje de disminución del salario original? ___27,3% ___14,4% ___15% ___40% 24. A una persona le aumentan sucesivamente el salario en un 20%, 25% y 55%. ¿Cuál es el porcentaje de aumento del salario original? ___33,3... ___27 ___132,5 ___135 25. Una caja de cartón en forma de cubo tiene una arista de 10 cm. Si se aumenta la longitud de cada arista en un 10%, ¿en cuánto aumenta su volumen? ___10 cm3 ___21 cm3 ___100 cm3 ___331 cm3 26 El 30% de las vacas de una vaquería fueron inseminadas el lunes. El martes se inseminaron 28, y aún quedó la mitad por inseminar. ¿Cuántas vacas se inseminaron el lunes? 27 El perímetro de un terreno rectangular es de 52,2 m y uno de sus lados excede al otro en 11,96 m. Halla las longitudes de los lados del terreno. 28 El promedio de las edades de 4 hombres es 48. Si ninguno de ellos tiene menos de 45 años. ¿Cuál es la máxima edad que puede tener uno cualquiera de ellos? 29 El radio de la base de un cilindro circular recto se aumenta en un 25%, mientras la altura se disminuye en un 20%. Determine en qué tanto por ciento varía el volumen del cilindro. 30 De una muestra de 121 pacientes asmáticos, se sabe que hay grupos de fumadores, no fumadores y ex fumadores. a) Si el 78 % corresponde a no fumadores.¿Cuántos pacientes son no fumadores? b) Qué porciento del total de pacientes representan los 21 fumadores? c) ¿Cuántos pacientes son ex -fumadores? 31. Dos pueblos A y B distan entre si 360 km. De A sale un automóvil hacia B a 65 km/h, en el mismo instante en que otro automóvil sale de B hacia A a 55 km/h. ¿Qué tiempo tardarán en encontrarse y a qué distancia de B se encontraran? 32 Alberto compra un producto y se lo vende a María con una ganancia del 10%. Pasado un tiempo María se lo vende nuevamente a Alberto perdiendo ella un 10%. ¿Qué porciento de ganancia tuvo Alberto en la venta? 29
  • 30. 33. El radio de las ruedas motrices de una locomotora mide 0,43 metros. ¿Cuántas revoluciones habrán dado para recorrer una distancia de 547 kilómetros? 33. Un cerdo para engordar, de 35 kilogramos en adelante, consume 40 kilogramos de maíz por cada 10 kilogramos que aumenta su peso. Al subir el precio del maíz en el mercado mundial de 2,5 dólares a 9 dólares los 100 kg, ¿en cuánto aumentará el precio de la ceba de los animales hasta 100 kg? 34. Una habitación de 6 metros de largo por 6 de ancho y 2 de alto, contiene una cantidad de aire que pesa 350 kilogramos en números redondos. ¿Qué peso de aire contendrá, en condiciones similares, un recinto de 24 metros de largo, 18 de ancho y 2,3 de alto? 35 Un obrero puede ejecutar en una jornada realiza solamente 3 de una tarea dada y otro 7 2 de la misma. ¿Qué tiempo demorarán en hacer la tarea 9 entre los dos juntos? 36. Un pintor se demora en pintar una casa 4 días, y otro lo hace en 5 días. El dueño de la casa necesita tenerla pintada en 2 días, ¿podrán cumplir con esa necesidad entre los dos pintores o necesitará otro? 37. Los accidentes del tránsito son una de las causas principales de muerte en nuestro país. El año pasado perdieron la vida por esta causa 8223 personas del total de 19354 personas lesionadas. ¿Qué tanto por ciento murieron por accidentes de tránsito? 39. Según las estadísticas de una cierta universidad, de 1000 estudiantes, 105 pretenden estudiar medicina; de ellos, 23 no se gradúan. ¿Qué tanto por ciento de estudiantes aspiran a ser médicos, y que por ciento de esos lo logran? 40. Un comerciante vendió dos artículos a $7.75 cada uno,, en uno de ellos perdió el 25% de lo que le había costado, y en el otro el 25%. En definitiva, ¿salió ganando o perdiendo en el negocio y en cuánto? 41. Se tienen tres llaves, la primera llena ¼ 1 segunda 8 del tanque en un minuto, la del tanque en un minuto y la tercera 1 9 del tanque en un minuto. a) ¿Qué parte del tanque llenan las tres llaves juntas en un minuto? b). Si la capacidad del tanque es de 864 litros y las tres llaves están abiertas durante dos minutos. ¿Cuántos cm3 le faltan por llenar al tanque? 42 Una granja agropecuaria tiene 40 hectáreas laborables, de ellas el 20% están cultivadas, la mitad de las restantes se dedica a pastos y el 25% de las restantes están dedicadas a un organopónico. ¿Cuántas hectáreas están sin cultivar? 43 En un control de matemática, realizado a un grupo de alumnos, todos los examinados aprobaron y sus resultados se comportaron de la siguiente forma, el 10 % obtuvo 8 puntos, el 40% obtuvo 9 puntos, el 20% obtuvo 7 y los 27 restantes obtuvieron 10 puntos. 30
  • 31. a). ¿Cuántos alumnos se examinaron? b). Representa en un gráfico los resultados. 44. Un alumno llevó al campismo 2 litros de pasta de mango concentrada con solo un 10% de agua. ¿Cuántos litros de agua deberá agregarle para que la mezcla tenga un 50% de agua? 45. En un almacén había guardado cierto número de sacos de arroz, el que se distribuyó de la siguiente forma, la tercera parte se envió a las provincias damnificadas por un ciclón, el 25% de los que quedaban se vendió a la población y las 2 3 partes de los restantes paso a la reserva del estado y aun quedan 100 sacos en el almacén. ¿Cuántos sacos había inicialmente en el almacén? 46. A una fiesta se invitó a cierto número de personas, entre adultos, niños y jóvenes, los niños que participaron representan 1 de los invitados, los 6 adultos representan el 20% de los invitados, los jóvenes representan el doble de los niños participantes. Si no asistieron a la fiesta 18 jóvenes y todos los niños y adultos invitados a la misma fueron. ¿Cuántas personas fueron invitadas a la fiesta? 47. Un tanque tiene una capacidad de 800 l de agua, una de sus llaves vierte 10 l l min y estuvo abierta durante una hora, la otra llave vierte 20 min y estuvo abierta 5 min. ¿Cuantos litros de agua quedan en el depósito ? 48. Un alpinista como parte de su entrenamiento tiene que escalar a la cima de una montaña de 1500 m de altura. En la subida recorre 5 de la distancia 9 en 25 minutos y para bajar necesita seis minutos más que el 20 % de lo que demoró en subir. ¿Qué tiempo demoró en subir y bajar la montaña si no se detuvo?. 49. En una pecera del Acuario Nacional de Cuba hay 144 peces de cuatro especies diferentes. La tercera parte son Golfish y las 3 del resto son 4 Colisables. Si se conoce que los Polinesios son el triplo de los Escalares. ¿Qué cantidad de peces de cada especie hay en esa pecera? 51. En una fiesta hay solo hombres y mujeres, ¼ de las mujeres fueron con sus esposos y las demás fueron solas. Si en la fiesta hay 10 matrimonios. ¿Cuántas personas hay en total? 52. El clobetasol es un medicamento que se encuentra entre los medicamentos dermatológicos. Cada 100 g de crema contiene 0, 05 g de propionato de clobetasol y se debe usar en tratamientos cortos para dermatosis inflamatorias, tales como la eczema. a) Si se tiene en un recipiente 355 g de crema. ¿Qué cantidad de gramos de propionato de clobetasol existe en el recipiente? 31
  • 32. b) Si para un adulto puede usarse 50 g a la semana y el tratamiento dura 14 días. ¿Qué cantidad de tubos necesita usar si cada tubo contiene 25 gramos? c) ¿Qué cantidad de propionato de clobetasol contiene un tubo? 53. De los 40 profesores que tiene un departamento de Matemática, el 20% de ellos sus edades se encuentran entre los 50 y los 55 años, el 50% de los otros, sus edades oscilan entre 35 y 45 años y. El 25% del resto son los más jóvenes. a)¿Cuántos trabajadores no están considerados en ninguno de los rangos? b)¿Qué por ciento representan los más jóvenes de la cantidad inicial? 54. En el año 2006, una brigada cafetalera recogió cierta cantidad de latas de café en tres días. El primer día recogió el 25% del total, el segundo día 2 del resto, quedando para el tercer día 80 latas de café por recoger. 3 a)¿Cuántas latas recogió los dos primeros días? b). Si con la cantidad recogida en esos tres días cumplieron la norma de la semana; qué cantidad de latas deberán recoger el resto de la semana para sobrecumplir en un 20%. 55. En los Juegos Olímpicos de Sydney 2000 en el medallero, Australia, Cuba y España ocuparon el 4to, 9no y 25to lugar por países respectivamente. Las medallas que alcanzó Cuba son la 1 partes de las 928 medallas que se 32 otorgaron en dichos Juegos y representan el 50% de las que obtuvo Australia. Si entre los tres países alcanzaron 98 medallas y el número de medallas de oro de Cuba es igual al número de medallas de plata que alcanzó e igual al número de preseas que ganó España. ¿Cuántas medallas de oro, plata y bronce obtuvo Cuba? 56. El costo del consumo eléctrico de una casa en un mes se desglosa de la siguiente manera: 30% por la cocina y el calentador eléctrico, 3 por los aires acondicionados, 5 $84.00 al año por la luz y demás equipos. a) ¿Cuál es el consumo eléctrico del mes si el consumo eléctrico es constante? b). Si en un mes se ahorra el 40%, ¿a cuánto asciende el costo del mes? 57. Un jardín de forma rectangular tiene un perímetro de 48 metros, que representan un 20% más que el perímetro de la base de un edificio de forma rectangular que tiene 12 metros de largo. Determina el ancho que tiene la base del edificio. 58. La capacidad máxima de un camión de carga es de 4,5 toneladas, pero por desperfectos mecánicos la misma disminuyó en un 40%. ¿Qué cantidad 32
  • 33. de viajes deberá realizar como mínimo el camión para transportar 16,2 toneladas de mercancías desde un almacén a una tienda? 59 60. Según el pronóstico de crecimiento de la población mundial, para finales del 2005 dicha población creció a 6 500 millones de personas, de las cuales 5 266 millones vive en países subdesarrollados. a) ¿Qué por ciento representan las personas que viven en países subdesarrollados con respecto al total de las personas que vivieron en nuestro planeta al concluir el año 2005? b) Hoy existen en el mundo 852 millones de personas que viven en la extrema pobreza. ¿Qué por ciento representan estas personas con respecto al total de habitantes que hubo en el planeta al finalizar el año 2005? 33
  • 34. 1.4 Operaciones logaritmación. irracionales con números reales: radicación y 1.4.1. Radicación Conoces el cálculo con potencias de exponente entero y sus propiedades. También estudiaste que la radicación es una operación inversa de la potenciación. En la práctica existen problemas que para resolverlos debes ampliar tus conocimientos sobre las potencias, por ejemplo: Ejemplo 1 crecimiento de la levadura En un tipo de levadura, el factor de crecimiento cada 20 minutos es 3. En el momento de iniciar el control hay 30 células de levadura. Si la ecuación que describe el crecimiento de la número de células 25000 t 20 levadura es y = 3 ⋅ 30 ¿Qué número de células existirán a los 30 minutos de comenzada la medición? 20000 15000 10000 5000 12 0 10 0 80 60 40 20 0 0 tiem po m inutos Resolución: ¿Cómo resolver el problema? Con los conocimientos que posees hasta el momento, no puedes darle t 20 30 3 solución, ya que al sustituir t = 30, en el factor 3 resulta 3 20 = 3 2 que es una potencia de exponente racional, y su resultado es un número irracional. 3 Veamos a qué es igual 3 2 Se debe tener en cuenta que una potencia de exponente racional es una raíz, es decir, m n a = n a m (m; n ∈ Ζ ; n > 1) 3 luego, 3 2 = 3 3 = 27 ≈ 5,2. Como al iniciar el control hay 30 células de levadura, resulta que el número de t células a los 30 minutos se obtiene mediante la expresión y = 3 20 ⋅ 30 + 30 (I) sustituyendo en (I) obtenemos y = 3 2 3 • 30 + 30 ≈ 5,2. 30 + 30 =186 Respuesta: Existirán aproximadamente 186 células a los 30 minutos ♦ • ¡Elabora una tabla con los datos del ejemplo para las dos primeras horas de control ! 34
  • 35. En el ejemplo anterior calculamos n – ésima de “a ”? 27 , luego, en general ¿A qué llamamos raíz Se llama raíz n – ésima de a, a todo número real x que satisface la ecuación xn = a o (a∈R y n ∈ℵ, n >1). Si la ecuación no tiene solución, a no tiene raíz n – ésima. n a =x donde : n (índice), a: radicando, x : raíz Los números reales negativos no tienen raíz n- ésima cuando n es par. Si n es impar, todo número real a tiene raíz n- ésima del mismo signo que a. a = x , entonces por definición xn = a . Elevando ambos 1 1 1 miembros a la potencia , resulta que x = a n , por tanto n a = a n . En general: n Observa que si n m n a = n am a ∈ R,a > 0,m,n ∈ Z,n > 1 m n 0 = n 0m = 0 m,n ∈ Z,m > 0,n > 1 Nota que esta definición no niega la anterior de potencia. Es importante que analices por qué se hacen restricciones al dominio de definición del radicando y del índice de la raíz. Para cualquier número real a 0 para el cual n a0 tenga sentido resulta: n a0 n = a 0 .  En virtud de que ( ±a ) 2 n = a 2 n , al extraer una raíz de índice par se obtienen dos soluciones. Es por ello que se establece el convenio siguiente: Cuando se calcule la raíz de índice par de un número positivo, se tomará la raíz positiva o a =a . aritmética. En general: 2n k 2 kn En particular para m = n = 2 se tiene que: a2 = a porque: a2 = a si a ≥ 0, a 2 = −a si a < 0 Ejemplo 2 Escribe las potencias como raíces: a). 7 2 3 − b). 81 1 4 2  c).   9  1 2 Resolución: 35
  • 36. 2 a). 7 3 = 1 3 1 b) 81−4 = 7 2 = 3 49 2  c).   = 9  2 = 9 2 2 2 = 9 3 4 1 1 = 3 81 ♦ Ejemplo 3 Escribe las siguientes raíces como potencia: a). b). 5 3 c). 52 64 −3 Resolución: a). 5= 5 1 b). 2 3 2 52 = 5 3 c). 64 −3 = 64 3 −2 ♦ Ejemplo 4 Calcula aplicando propiedades de las potencias y escribe el resultado como raíces: 1 1 1 a) 5 2 • 2 2 d) ( −1) 2    1  ( 1 b) 20 3 : 4 3 1 2 c) 32 2 2 7 1 e). 60,5·360,25  ) 3 2 f) 3 4 ⋅ 3−0,8 ⋅ 3 4 ⋅ 3−0,2.3 3 Resolución: 1 1 1 1 1 a) 5 2 • 2 2 = ( 5 • 2) 2 = 10 2 = 10 ( c) 32 2 ) 2 7 [ = (2 5 ) 2 d) ( −1) 2    1   1 2 ] = [ 2 ] = [ 2] 2 7 2 10 7 1 = ( − 1) 4 = 4 1 1 1 b) 20 3 : 4 3 ( 20 : 4 ) 3 = 5 3 = 3 5 20 7 = 7 2 20 − 1 No tiene solución en ℜ, ya que el índice es par y el radicando negativo. e) 60,5·360,25 = 60,5·(62)0,25 = 60,5·60,50 = 1 3 2 6 . 6 = 62 = 6 2 f) 3 4 ⋅ 3−0,8 ⋅ 3 4 ⋅ 3−0,2.3 3 = 3 3 = 3 3 2 = 3 9 ♦ . Ejemplo 5 (Agricultura).- Un ejemplo de la utilización de estas propiedades en la vida práctica se muestra en el siguiente problema: 36
  • 37. En la figura se muestra un vertedor de agua que se utiliza con fines agrícolas FIGURA Canal Vertedor m3 ) s de un canal cuyo vertedor tiene un ancho l (dm) y una altura de agua h (dm). La ecuación Q = 1,83( l -0,2h ) h 2 3 permite calcular el caudal de agua Q ( ¿Cuál es el caudal de agua de un canal cuyo vertedor tiene 5,0 dm de ancho, si la altura del agua es de 8,0 dm? Resolución: 2 Q = 1,83( l -0,2h ) h 3 sustituyendo los valores 2 Q= 1,83( 5 – 0,2. 8) 8 3 Q=1,83 ( 5-1,6). 3 82 ( )2 = 1,83(3,4). 3 23 = 1,83.(3,4) 2 2 =1,83.3,4.4 ≈ 24,9 dm3 = 0,0249 m3 s s Respuesta: El caudal de agua es aproximadamente de 0,0249 m3 .♦ s  Escribe utilizando la terminología matemática las propiedades de los radicales. Para todos los números reales a y b (a >0, b>0) y todos los números enteros m y n (n >1 , m >1) se cumple que: 1. n a.n b = n a.b : La raíz n- ésima de un producto a. b es igual al producto de las raíces n – ésimas de los factores. 2. n a : n b = n a : b :_______________________________________________________________ ______________________________________________________ 3. ( a) n m = n am ___________________________________________________ _______________________________________________________________ _____ 4. m n a = n m a = nm a _______________________________________________ _______________________________________________________________ ______________ 37
  • 38. 5. kn akm = n am ____________________________________________________ _______________________________________________________________ __________________ Simplificación de radicales ¿Cuándo se pude decir que un radical está simplificado? Un radical está simplificado cuando: (1). Su índice no tiene factores comunes con el exponente del radicando. (2). Se han extraído del radical todos los factores que tienen raíces exactas. (3). Su radicando no es fraccionario. Ejemplo 6 Simplifica: a) 9 b) 76 20 32 c) 8.5 2 d) 5 37 Resolución: a) 9 7 6 Como el máximo común divisor de 6 y 9 es 3, se divide ambos por 3, 3 9 es decir, 7 6 = 7 2 = 3 49 b) 20 32 Descomponiendo en factores primos el 32, resulta 20 32 = 20 2 5 y como el máximo común divisor de 5 y 20 es 5, dividimos el índice y el exponente por 5, obteniéndose 20 2 5 = 4 2 Los incisos a) y b) corresponden al caso (1), observa que es importante para simplificar tener el radicando expresado en forma de potencia. c) 8.5 2 Descomponiendo en factores primos el 8, resulta 8.5 2 = 2 35 2 ¿Qué factores se pueden extraer?¿Por qué? Se pueden extraer del coeficiente 8 y de la variable, porque sus exponentes son iguales o mayores al índice, luego 8.5 2 = 2 35 2 = 2 2 5 2 . 2 = 10 2 d) 5 37 = 5 5 35 . 3 2 = 3 5 32 Los incisos c) y d) corresponden al caso (2) ♦ El caso (3) lo estudiaremos después de las operaciones con radicales. Ejemplo 7 Compara los siguientes radicales: 4 3 ; 6 5 y 3 2 Fundamenta. Resolución: a) Para compararlos debemos transformar todas las raíces a un índice común, Sería sugerente buscar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los índices, en este caso m.c.m (4; 3; 6) = 12. En cada caso se divide el m.c.m. por el índice de cada radical para obtener el factor por el cual hay que multiplicar tanto el índice como el exponente de la potencia que figura en el radicando. Luego: 38
  • 39. 4 3= 12 3 3 = 12 27 ; 6 5 = 12 5 2 = 12 25 ; 3 2 = 12 2 4 = 12 16 ¿Cuál de las raíces es la mayor? Evidentemente es ¿Cuál es la menor? 12 12 27 16 Fundamentación: Al tener igual índice comparamos los radicandos, es decir 27 >25>16, luego 12 27 > 12 25 > 12 16 ♦ Ejemplo 8 Compara los siguientes radicales: 6 3 b) 3  1  y  1      2 4 Fundamenta. Resolución: Si observamos las raíces con detenimiento nos percatamos que los radicandos 6 son iguales:  1  =  1      2 2 12 2. 3 2 1 =  4 3 . Pudiéramos pensar que entonces la raíz de índice 3 es menor que la de índice 2, pero no es cierto. Para verificarlo, transformemos las raíces para que tengan un índice común. Se obtendría: 3 1    6 2 =6 1   2 Es decir, m 3 1    4 p 1 1 =  = 4 2 3 9 18 3 y 1 = 6 1 = 6 1 =1 = 1 .         4 4 2 2 8 6 <3 1  .   2 Si n < q , entonces p m n <a q a para a>0 y p m n >a q a para 0<a<1. 1.4.2. Operaciones con radicales. Con los radicales podemos realizar las mismas operaciones que efectuamos con los números reales. Ejemplo 1.- Efectúa: a) 6 b) 2 + 2 3 −5 2 +8 3 + 2 300 + 20 − 3 75 + 2 108 + 2 80 Resolución: a) ¿Qué semejanzas y diferencias existen entre los términos de la suma? Debemos observar que todos los términos de la suma son raíces de índice 2, pero tienen diferentes radicandos. ¿Cómo deben ser los radicales para realizar la adición? Tienen que tener igual índice e igual radicando a los que se denominan radicales semejantes. Son radicales semejantes 6 2, − 5 2, 2 y 2 3,8 3 . 39
  • 40. Podemos adicionarlos como sigue: (6 ) ( ) 2 − 5 2 + 2 + 2 3 + 8 3 = 2 2 +10 3 . b) Si observamos cada uno de los radicales, tienen igual índice, pero los radicandos todos son diferentes y no están simplificados. Pasemos a simplificar aquellos radicales donde esto sea posible, para ver si hay radicales semejantes entre ellos y se pueden reducir. Descomponiendo en factores primos cada uno de los radicandos resulta: 10 2.3 + 2 2.5 − 3 5 2.3 + 2 2 2.3 3. + 2 2 4.5 =10 3 + 2 5 −3.5 3 + 2.2.3 3 + 2.4 5 = 10 3 + 2 5 −15 3 +12 3 + 8 5 = 7 3 + 10 5 ♦ Observemos que para realizar una adición (sustracción) de radicales una condición necesaria es que: los índices y los radicandos sean iguales, es decir, que los radicales sean radicales semejantes. ¿Cómo se realiza la multiplicación o división de radicales? Analicemos el siguiente ejemplo Ejemplo 2 Calcula: a) b) 2 3 9 .43 6 3. 5 c) 3 4 2 ⋅ 2 x (x≥0) d) 4 32 48 e) 4 x5 3 x2 (x>0) Resolución: a) 1 1 = 3 2 ⋅ 5 2 es un producto de potencias de igual exponente, por lo tanto, multiplicamos las bases y mantenemos el mismo exponente. 3. 5 1 15 2 = 15 ¿Cómo proceder de manera directa aplicando propiedades de los radicales? 3. 5 = 3.5 = 15 Como los radicales tienen el mismo índice, se multiplican los radicandos manteniendo el mismo índice. El resultado es un radical simplificado. b) ¿Qué característica tienen los factores?¿Cómo proceder? Los radicales tienen igual índice, por lo que se debe aplicar la misma propiedad que en el ejercicio anterior. 2 3 9 .43 6 = 2.4 3 9 ⋅ 6 = 83 54 En el resultado no se ha obtenido un radical simplificado, entonces al simplificar se obtiene 83 54 =83 33 ⋅ 2 =8 ⋅ 33 2 = 243 2 40
  • 41. c) ¿Qué diferencia hay entre este ejemplo y los anteriores? La diferencia es que los índices de los radicales son distintos, entonces, ¿cómo proceder para realizar el cálculo? Debemos transformarlos a un índice común. Como el mínimo común múltiplo de los índices es 6, tenemos que ampliar el índice de ambos radicales a 6: 6 4 6 3 2 3 4 ⋅ 2 x = 4 ⋅ ( 2 x) . Aplicando el mismo procedimiento que en los incisos a) y b), resulta: 6 ( 2 2 ) 4 ⋅ 6 2 3 x 3 = 6 2 8 ⋅ 6 2 3 x 3 = 6 211 x 3 = 26 2 5 x 3 = 26 32x 3 El resultado es un radical simplificado. d) ¿Qué características tienen el dividendo y el divisor?¿Cómo proceder? En este caso se trata de la división de dos radicales con el mismo índice. 4 32 1 1 1 1 1 = 32 4 : 8 4 = 4 4 = (2 2 ) 4 = 2 2 = 2 48 Aplicando índice, 4 la propiedad se dividen los radicandos manteniendo el mismo 32 32 4 = 4 , = 4 48 8 como el resultado no es un radical simplificado procedemos en consecuencia de la siguiente forma: se culmina el cálculo. e) 4 4 4 = 22 = 2 y con esto ¿Qué características tienen ahora el dividendo y el divisor? Se trata de radicales cuyos índices son diferentes, luego, es necesario transformarlos para llevarlos a un índice común. Como el mínimo común múltiplo de 4 y 3 es 12 , aplicando propiedades se obtiene: 4 3 x5 x2 = 12 15 x 12 x8 = 12 x 15 12 7 = x x8 Como es un radical simplificado se concluye el cálculo pedido.♦ Seguramente observaste que al calcular con radicales resulta ventajoso aplicar las propiedades y que la respuesta siempre debe ser un radical simplificado. Ejemplo 3. Calcula aplicando propiedades : a) 3 b) 5 b 5 b3 Resolución: a) ¿Qué propiedades de las potencias se pueden aplicar para realizar el cálculo pedido? Veamos: 3 = 1   2 (  3)   1 1  2  3 4 =4 3  =   . De manera análoga se puede proceder utilizando propiedades de los radicales: = 4 3 , es decir, se multiplican los índices de los radicales y se mantiene el radical. 3 41
  • 42. b) Este ejercicio se puede hacer por dos vías distintas. La más racional consiste en tratar de introducir la variable b en la raíz interna, quedando 55 b5 ⋅ b3 = 55 b8 = 25 b8 .♦ Para realizar las operaciones con radicales debes tener en cuenta que: • En la adición los radicales tienen que ser semejantes. Para ello es necesario en ocasiones extraer o introducir factores en el radicando y simplificar o ampliar el índice del radical a los efectos de obtener radicales semejantes. • En la multiplicación y la división, si los índices son iguales, se aplican las propiedades n a.n b = n a.b y n a : n b = n a : b ; si los índices no son iguales, se transforman a uno común aplicando la propiedad m n kn km a = a . • En la extracción de una raíz de una raíz encuentra aplicación fundamentalmente la propiedad m n a = n m a = nm a Racionalización de denominadores. ¿Qué significa racionalizar un denominador? Racionalizar un denominador significa eliminar los radicales del denominador. En esta parte solamente vamos a trabajar con denominadores que sean monomios o binomios, en lo que aparecen radicales. Ejemplo 1. Racionaliza los denominadores siguientes: a) 2 3 b) 7 3 10 c) 5 3 2 d) 1 (a>0) 2a Resolución: a) En el denominador de la fracción aparece 3 , una raíz con índice dos, luego para eliminarla es necesario multiplicar numerador y denominador por 3 , de esta forma se igualan el índice y el exponente al que está elevado el número 3. Se procede entonces de la siguiente forma: 2. 3 3 3 = 2 3 3 2 = 2 3 • 3 3 = 2 3 3 42
  • 43. 7 b) en 3 10 7 10 3 10. 10 5 c) 3 = 70 3 102 este caso se procede de forma similar 70 observa que se amplia la fracción solo por la raíz. 30 = El índice de la raíz que aparece en el denominador es tres, luego para 2 eliminar la raíz del denominador se multiplica el numerador y el denominador por 3 53 2 2 53 4 53 4 = = 3 2 3 3 3 2 2• 2 2 2 , quedando 2 d) Una vía: 4 1 2a Otra vía sería : 4 = 2a 1 = 2a 4 2a • 2a = 4 2a 2 2a = 2a a 16 = 2a 8 = a 8 2 2 2 2 . a 2 2a = = = a a a a. a ♦ En el ejemplo anterior los denominadores contienen un solo radical, se trata de denominadores monomios que se racionalizan muy fácilmente. Veamos cómo simplificar cuando el denominador es un binomio y aparece al menos una raíz en el mismo. Para racionalizarlos se hace uso del concepto siguiente: La expresiones a+ b y a− b con a>0, b > 0 se llaman conjugadas. Ejemplo 2 Racionaliza: a) 1 3 −2 2 b) 5+ 3 c) 6 , a > −1 a +1 Resolución: ¿Qué diferencia existe en relación con el ejemplo anterior?¿ De qué forma debemos proceder si el denominador es un binomio?¿Por qué es posible proceder así? La diferencia es que en el denominador aparecen binomios con al menos una raíz. Si un denominador binomio se multiplica por su conjugada, se eliminan los radicales, dado que ( a + b )( a − b ) = = a – b a2 − b2 ( con a >0, b > 0) a) 1 3 −2 hay que ampliar la fracción multiplicando por la conjugada del denominador : 1.( 3 + 2) ( 3 − 2).( 3 + 2) b) 2 5+ 3 = 3 +2 2 ( 3 ) − ( 2) 2 = 3 +2 = 3−4 3 +2 = − 3 −2 −1 en este caso se procede de forma similar al ejercicio anterior: 43
  • 44. 2 ( 5 − 3) ( ( 5 + 3) 5 − ( )= 3) ( 5) − ( 3) 2 5− 3 = 2 2 10 − 6 10 − 6 10 6 = = − 5−3 2 2 2 6 para racionalizar este cociente es necesario ampliar la fracción a +1 c) multiplicando por a +1 , debe observarse bien la diferencia, estamos en presencia de la raíz de una suma y no de una suma de raíces, luego ( 6 ( a +1 a +1 )( ) a +1 = 6 ) ( ( a +1 a +1 ) ) = 6( 2 a +1 a +1 ) ♦ Ejemplo 3: Efectúa: 1 + 43 27 + 12 2+ 3 Ten en cuenta para la respuesta que 3 ≈ 1,73 Resolución: 1 + 43 27 + 12 2+ 3 = 2− 3 + 4 6 33 + 2 3 4−3 = 2− 3 +4 3 +2 3 = 2+5 3 ≈ 2 + 5(1,73) = 10,65 ≈ 10,7 Es importante que tengas en cuenta que: Para racionalizar un denominador que sea un binomio puede ocurrir que: I. Aparezca un término que sea un radical y uno que no lo sea. II. Aparezcan dos términos que sean radicales. En estos casos se multiplica y divide la fracción por un binomio que es el conjugado del denominador de la fracción dada, al realizar la multiplicación en el denominador aparecerá una diferencia de cuadrados por lo que se elimina el radical del denominador, y se resuelve hasta dejar simplificada totalmente la fracción. ¿Por qué término habrá que multiplicar el numerador y el denominador de la fracción A n a (a>0) para poder racionalizar su denominador?¿Por qué 44
  • 45. expresión habrá que multiplicar a A n n a± b A 3 3 a− b para este mismo fin? ¿Y ? 1.4.3 Logaritmación. Conocemos que la radicación es una operación inversa de la potenciación, pero ¿es la única operación inversa de la potenciación? Analicemos el siguiente ejemplo: Ejemplo 1 Halla el valor de x en: a) 53 = x b) x3 = 64 c) 2x = 32 Resolución: a) x = 125 ; porque 5 3 = 5⋅5.5 = 125 , (conocida la base y el exponente hallamos la potencia). b) x = 4 ; porque 4.4.4 = 64 , es decir, 4 3 = 64 (conocido el exponente y la potencia hallamos la base, luego, mediante la operación de radicación resulta que 3 64 = 4 c) x = 5 ; porque 2. 2. 2. 2. 2. = 32, entonces 2 5 = 32 (conocida la base y la potencia hallamos el exponente) ♦ Es sugerente preguntarse ¿La potenciación o la radicación nos permiten calcular el exponente de una potencia, conocida la base? No, es necesario por tanto definir una nueva operación, la logaritmación, que es también una operación inversa de la potenciación. Esta operación encuentra múltiples aplicaciones, por ejemplo, para medir el llamado pH, indicador del nivel de acidez de una disolución, que es igual al valor opuesto del logaritmo de la concentración de los iones hidronio en la disolución. También se usa para medir la diferencia de la intensidad de dos sonidos: Si IA e IB son las intensidades de dos sonidos A y B expresadas en IA watts/cm2, la expresión 10 log mide en la unidad llamada decibel (db) la IB diferencia de intensidad en los sonidos A y B. Estos y otros ejemplos atestiguan la importancia de poder realizar esta operación. Definición: Dada una base a > 0, a ≠1 y un número b > 0, se llama logaritmo de b en base a y se denota loga b al número c al cual hay que elevar la base para obtener el número: ac = b. Simbólicamente la definición anterior se escribe: loga b = c si y solo si ac = b Si sustituimos c = loga b en ac = b por tanto resulta que: a loga b = b ( Identidad fundamental logarítmica ) 45
  • 46. Podemos concluir que: La radicación y la logaritmación son operaciones inversas de la potenciación, lo cual se resume en el siguiente esquema. Ejemplo 1 Escribe en notación logarítmica las siguientes expresiones exponenciales: a) 25 = 32 1 b) 10–2 = 0,01 c) 5 3 = 3 5 d) 33,4 = 41,90 Resolución: a) log2 32 = 5 b) log10 0,01 = – 2 c) log5 3 5 = 1 d) log3 41,90 = 3,4 ♦ 3 Nota: En el caso de la base 10 (decimal) puede no escribirse, es decir, en el inciso b) resultaría log 0,01 = – 2. Ejemplo 2 Expresa en forma exponencial los siguientes logaritmos: a) log2 16 = 4 b) log 5 125 = 3 c) log 0,5 8 = – 3 d) log e) log77 = 1 f) log11 1= 0 3 3=2 Resolución: a) 24 = 16 b) 53 = 125 e) 71 = 7 f) 110 = 1 En general : c) (0,5)–3 = 8 d) 3 2 = 3 ♦ log a a = 1 (para a > 0, a ≠1) log a 1 = 0 (para a > 0) Ejemplo 3 Calcula aplicando la definición de logaritmo: a) log 2 128 b) log 3 3 c) log100 d) e) log 4 1 f) log 0,001 g) log5 0,2 h) log3 ( – 3) log 2 1 4 i) log–2 1 46
  • 47. Resolución: b) log3 3 =1; 31 = 3 a) log 2 128 = 7; 27 = 128 d) log 0,001 = f) log 2 −3; 10 –3 = 0,001 1 = – 2; 4 2– 2 = 1 4 c) log100 = 2; 102=100 e) log 4 1 = 0; 40 = 1 g) log5 0,2 = – 1; 5 –1 = 0,2 h) No existe, porque – 3 < 0 (el argumento tiene que ser positivo) i) No existe, porque – 2 < 0 (la base tiene que ser positiva y desigual de 1) ♦ Ejemplo 4 Para medir el nivel de acidez de una disolución se usa como medida el llamado ( pH = − logc H3O + ) . El pH compatible con la vida se encuentra entre 6,8 y 7,8. Si la disolución tiene un pH menor que 7, ¿se podrá clasificar como ácida o base? Halle el pH de una disolución en la cual la concentración de los iones hidronio es c(H30+)= 10– 3 mol · L– 1 Resolución: ( pH = − logc H3O + ) = − log10 −3 = − ( −3 ) = 3 . La disolución es ácida, pues el pH es menor que 7. ♦ Aclaración: Cuando el pH es menor que 7 la disolución es ácida, si es mayor que 7 es básica y si es igual a 7 se considera neutra. Esta es una de las aplicaciones de los logaritmos. Cuando el logaritmo es de base 10 se le denomina logaritmo común o vulgar y se omite la indicación de la base escribiendo simplemente log b en vez de log 10 b . Cuando la base del logaritmo es el número irracional e se le denomina logaritmo natural o neperiano en honor a John Napier, matemático escocés quien publicó en 1614 las primeras tablas para su cálculo. Se escribe ln b en lugar de loge b. Exceptuando los números que son potencias de exponente entero de la base, en los demás casos es difícil la determinación directa del logaritmo de un número dado. Por este motivo se emplean tablas con las cuales se pueden efectuar cálculos de logaritmos al menos de forma aproximada o se recurre al uso de la calculadora. 1.4.4 El trabajo con la calculadora 47
  • 48. La mayoría de nosotros utilizamos calculadoras, por ejemplo, al hacer uso de las incorporadas a las computadoras. A ellas accedemos cuando dentro del menú de la barra de Inicio pinchamos Programas, después Accesorios y por último Calculadora. Ellas tienen una historia muy antigua que se remonta aproximadamente al milenio III a.n.e. con el ábaco, la cual te sugerimos que investigues en Microsoft Encarta. Sin embargo, a veces no sabemos aprovechar todas las posibilidades que ellas nos brindan o trabajamos solo con la calculadora estándar en que se opera solo con números en notación decimal. Si en el menú de la calculadora pinchamos la opción Ver apreciaremos que tenemos acceso también a una calculadora científica. Esta permite no solo el cálculo de las operaciones básicas, sino también de potencias, de valores de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, entre otras facilidades. Algunas calculadoras científicas pueden programarse, realizar representaciones gráficas de funciones y hacer cálculos simbólicos. Con ellas se puede trabajar sobre la base de distintos sistemas de numeración: hexadecimal, decimal, octal, binario, entre otros. Un sistema de numeración de base m (m ≥ 2) permite representar todo número natural N ≥ 1 como N = anmn + an–1mn–1 + … + a0m0. El exponente n y los coeficientes ai (i=0,…n) están determinados de forma única por N y m, de modo que n ≥ 0, an ≠ 0 y 0 ≤ ai ≤ m –1(i=0,…n). Esta representación del número N se denomina m- ádica y se acostumbra a escribir también (an an–1… a0)m. En el sistema decimal omitimos los paréntesis y toda referencia a la base 10. Así el número 524=5. 10 2 + 2.10 + 1 se escribe simplemente 524 y no (524)10. 48
  • 49. Ejemplo 1: El sistema de numeración binario es de base 2 y permite representar todo número entero no negativo como: N = an2n + an–12n–1 + … + a020, donde los coeficientes solo pueden tomar los valores 1 ó 0. Así el número 10 se representa como (1010)2, pues 10 = 1.23 + 0.22 + 1.21 + 0.20 Las operaciones aritméticas con números en base 2 son muy sencillas. Las reglas básicas son: 1 + 1 = 10 y 1 × 1 = 1. El cero cumple las mismas propiedades que en el sistema decimal: 1 × 0 = 0 y 1 + 0 = 1. La adición, sustracción y multiplicación se realizan de manera similar a las del sistema decimal: El sistema de numeración octal es de base 8. ¿Cómo representarías el número 10 en este sistema de numeración? En el sistema hexadecimal, de base 16, los coeficientes a i (i =0,…15) son tales que 0 ≤ ai ≤ 15. Dado que solo contamos con los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 se acostumbra utilizar las letras A, B, C, D, E, F para el caso en que ai es igual a 10, 11, 12, 13, 14 ó 15 respectivamente. De modo que el número 10 se representa como (A)16. Esto lo puedes comprobar escribiendo en la calculadora el número 10 en el sistema decimal y después haciendo clic donde dice Hex para indicar hexadecimal. En los sistemas numéricos binario, octal y hexadecimal,, la calculadora presenta únicamente los dígitos inferiores de una respuesta cuando los resultados contienen más dígitos de los que permite el tamaño de presentación. Este comportamiento es similar a cómo se realizan los cálculos en los sistemas informáticos. Por eso cuando se trabaja en estos sistemas hay que tener en cuenta el tamaño de presentación, que puede ser de tipo Byte, Word, Dword y Qword que representan en 8, 16, 32 y 64 bits el número mostrado. En el menú de Ayuda de la calculadora de la computadora siguiente explicación: se ofrece la Para convertir un valor a otro sistema numérico: 1. En el menú Ver, haga clic en Científica. 2. Escriba el número que desea convertir. 3. Haga clic en el sistema numérico al que desea convertirlo. 4. Haga clic en el tamaño de presentación que desee utilizar. También en el menú de Ayuda de la calculadora de la computadora puedes encontrar la siguiente información para trabajar con números almacenados en memoria: • Para almacenar el número mostrado, haga clic en MS. 49
  • 50. • • • Para recuperar un número almacenado, haga clic en MR. Para borrar la memoria, haga clic en MC. Para sumar el número mostrado al número ya almacenado en memoria, haga clic en M+. Para ver el nuevo número, haga clic en MR. Cada vez que se ordene almacenar un número este remplazará al que se encuentre en la memoria. Ejemplo 2: Calcular 1.1622 +15.162. Podemos proceder pinchando las teclas siguientes: 16 x^y 22 = MS 15 * 16 x^y 2 = M+ MR En la pantalla aparecerá el número 309 485 009 821 345 068 724 784 896 (separado por comas), el cual podrás copiar y pegar en tu hoja de trabajo yendo a la opción Edición de la computadora. Su representación en notación hexadecimal es (1000000000000000000F00) 16. En la computadora aparece 00 en el tamaño de presentación de tipo Byte y F00 en los restantes. Es conveniente tener en cuenta lo que se expresa en el recuadro siguiente: • Cuando convierta un número decimal con posiciones decimales a otro sistema numérico, se eliminará la parte decimal del número, convirtiéndolo en un número entero. 50
  • 51. • Los números convertidos a decimales a partir de notación hexadecimal, octal o binaria se muestran como enteros positivos. Haciendo clic en el botón derecho del mouse podemos averiguar el cálculo que se puede efectuar con cada tecla. Ejemplo 3: Calcular 2,6 + 3. ln 24,5 Resolución: Comenzamos marcando Dec (decimal) y pinchamos las teclas en el orden siguiente: == 24,5 Ln 3 * + = 2,6 = Nótese que hemos escogido una vía racional que respeta el orden operacional. De otra forma hubiéramos tenido que utilizar la tecla para almacenar. En el ejemplo siguiente, apreciaremos cómo se utiliza la tecla Inv. para el cálculo de la raíz cuadrada. Se calcula primero la razón trigonométrica seno para un argumento en notación decimal y después para un argumento en notación sexagesimal y por último se adicionan. Ejemplo 4: Calcular sen 5 + π +sen 5300 Resolución: Observe que debajo de la columna de la memoria aparece una tecla que tiene escrito pi. Comenzamos entonces marcando Dec (decimal) y Radián y pinchamos las teclas en el orden siguiente: 5+pi = Inv x^2 sin MS Cambiamos entonces a Sexagesimal y continuamos 530 sin M+ MR Una expresión decimal, aún siendo finita, no puede ser representada por regla general como una expresión binaria finita, sino por una infinita. Lo mismo ocurre con los restantes sistemas de numeración. En las calculadoras de las computadoras que utilizamos hoy en día las operaciones tienen una precisión de 32 dígitos como mínimo. 1 La calculadora 1 Véase en la Ayuda de la calculadora de cualquier ordenador lo que aparece en relación con “descripción de la precisión extendida”. 51
  • 52. almacena los números racionales como fracciones para mantener esta precisión. Sin embargo, los errores se acumulan durante las operaciones repetidas sobre números irracionales. Por ejemplo, la calculadora truncará pi en 32 dígitos, de forma que las sucesivas operaciones efectuadas sobre pi perderán precisión a medida que aumente el número de operaciones. Para superar esta limitación se pueden representar los números en notación exponencial. Veamos cómo se pueden realizar cálculos estadísticos. Para realizar un cálculo estadístico: 1. En el menú Ver, haga clic en Científica. 2. Escriba el primer grupo de datos y haga clic en Sta para abrir el Cuadro de estadísticas. 3. Haga clic en RET para volver a la Calculadora y en Dat para guardar el valor. 4. Escriba el resto de los datos y haga clic en Dat después de escribir cada dato. 5. Haga clic en Ave (promedio de los valores guardados en el Cuadro de Estadísticas), en Sum (Suma de los valores) o en s (desviación estándar). Ejemplo 5: Determinar la media aritmética de los valores siguientes: 45, 47, 51, 44, 47, 46, 47, 47, 48, 44, 46, 48, 51, 49, 49 Después de teclear cada dato se pincha la tecla Dat. Haciendo clic en Ave obtenemos la media aritmética. Si queremos que aparezca el cuadro de estadísticas hacemos clic en Sta. Para eliminar un valor de la lista se puede hacer clic en CD o bien se pueden eliminar todos los valores haciendo clic en CAD. Al hacer clic en Cargar, el número mostrado en la pantalla de la Calculadora cambia por el número seleccionado en el Cuadro de estadísticas. Ejercicios (epígrafe 1.4) 1. Determina la veracidad o falsedad de las proposiciones siguientes: a) La operación de radicación se puede realizar de manera ilimitada en R. b) La operación de extracción de raíces de índice par de números positivos está determinada unívocamente. 52
  • 53. c) La operación de extracción de raíces de índice impar de números negativos está determinada unívocamente. d) La operación de elevar al cuadrado ambos miembros de una ecuación es una transformación equivalente. 2. De las siguientes igualdades diga cuáles son verdaderas y cuáles falsas. A.____ 3 6 =3 2 .3 3 a =5 a 5 7 =5 4 +5 3 C.____ 4 D.____ 54 2 3 = 4 40 3. 3 B.____ E.____ 7 3 4 = 3 7 Indica cuál de las afirmaciones siguientes es falsa. Escribe la igualdad para obtener una proposición verdadera. ____ ____ 18 = 3 2 4. 8 ; 6 3 3 2 ; 4 27 3 =3 2 2 ____ 3 − 16 = 23 − 2 ___ a 2 b = a ab Al ordenar de forma creciente los siguientes radicales 2 , se obtiene la siguiente lista: 3 A.____ 6 8 ; C.____ 6 8 ; 5. 3 ; 32 4 4 B.____ 23 23 ; 3 9 ; 3 D.____ 9 4 3 23 ; 9 ; 6 4 64 8 ; 6 23 Compara: a). 5 10 y 4 5 b). 6. 6 16 y 3 5 Simplifica los siguientes radicales. a) b) e) 4 729 3 40 c) 5 972 d) 6 448 f) 162 10 32 g) h) 12 256 7. 6 625 Compara los siguientes radicales. a) 2 y d) 5 g) y 3 y 3 b) 3 2 4 e) 3 5 1 2 y 7 y 4 4 8. c) f) 2,1 h) 2 1 5 5 , 3 2 y 6 4 3 1 y 3 y 5 5 3 1 2 32 Simplifica los siguientes radicales. a) 4 d) 144 3 2 3 b) 15 32a 5 e) ( a − b ) c) 12 729x 24 2 ( con a > b) a −b 53
  • 54. 9. El resultado de efectuar .____ −2 5 ____ 10 − 6 5 10. Al calcular: 20 − 6 5 ____ 4 5 a. + 9a obtiene es: ____ ____ 440 3. 11. a) 3 es: ; a ≥ 0 el resultado que se ____3 3a . ____ − 4 5 ____4 3a . a. Efectúa: 54.53 4 b) 5 16.5 8 c) 7 8.27 2.7 32 d) 9 58 12 53 e) 3 f) 5 75 : 9 3 g) 4 3 18 : i) 7 k) 4 12. :5 225 3: 3 h) 4 6 60 72 :6 5 :8 32 j) 3 2 : 3 2 5 4 Expresa simbólicamente qué propiedades de las potencias y/o las raíces se aplicaron en cada unos de los pasos de la resolución de los ejercicios siguientes: a) 10 + 3 4 100 = 10 + 3 10 = 4 10 ______________________________________________ −1 1 b) 3 4   − 2   2 2 __________________________________________________ = 34 2 − = 2 4 2 ________________________________________________________ 3 c) 2,5 3 3 3 6 = 15 3 15 15 ______________________________________________ = 1 _________________________________________________ 4 d) 4 0,35 = 0,3 = 4 4 0,35 0,32 ______________________________________________ 0,33 ______________________________________________________ 13. Efectúa las siguientes operaciones: a) c) 2 +5 2 −3 2 3 b) − 18 ⋅ 4 3 + 4 ⋅ 4 3 + 2 ⋅ 4 3 7 ⋅3 4 d) e) 3 14 : 3 7 f) 5 5 2 ⋅ 5 28 ⋅ 5 3 2 : 5 16 54
  • 55. 14. Calcula: a) c) 3 ( 2 ) +3 b) 3 18 : 3 3 + 2 ⋅ 3 6 2 27 : 4 3 ⋅ 4 2 4 d) 3 15 − 4 5 ⋅ 3 15. Calcular: a). 3 c). (3 + 4 ( e) . b). (8 + 4 2 )(2 - 6 ⋅ 2 12 ⋅ 4 10 3 )(4 20 + -3 12 3) ):( d). 3 12 ⋅ 3 200 ⋅ 216 5 + 16. 2) 3 ) Calcula: ( ) 2 a). 4 36 : 8 b). d). 2 x + 56 x 3 e). 18 + 54 4 17. Calcula y simplifica: 1 a). d). 3 g). 18 3 ) 1250 b). 72 : 2 2 ( 3 c). ⋅ 9 125 43 2 ⋅ 3 2 f). 81 − 18 − 3 24 + 10 32 3 c). 605 − 3 44 + 4 25 + 11 2 ⋅ 3 20 ( 4) 3 2 e). 3 ⋅ 4 18 + 4 1250 h). : 6 16 2 256 : 1 5 ⋅ ( 625) 3 f). j). (1 − 2 5 )( 5 − 2 ) 4 ⋅ 6 16 1 64 ⋅4 2 27 48 3 + k). (4 − 3 )(4 + 3 ) 18. ( 6) i). 2 2 Calcular: a). 18 + 50 c). 54 +2 150 e). 8a 2 y + g). 3 128 + 3 - b). 2 128 -3 8b 2 y 686 - 96 d). 50c 2 y f). 3 27 24 + 54 - 12 + 3 75 h). 5 54 - 3 75 96 - 2 27 72 + 3 18 - 50 19. Calcula, considerando como dominio de definición de las variables los números reales positivos. a) 192a - 75a + c) 4 3 + 7 1 ( x + y) 2 z e) g) 3 b) 12a 1 1 - 5 1 3 3 + ( x - y) 2 z 256 + 33 500 - 23 108 a + x2 d) f) 288 - h) 4 3 45a 3 + 5 20a 3 - 4 a y2 392 + 80a 3 a z2 450 625 - 33 40 20. Calcula: 55
  • 56. a). 2 b). 15 48 ⋅ ⋅ 18 ⋅ 3 6 27 ⋅ 6 3 c). 3 12 ⋅ 8 ⋅ 2 e). (7 d). )(2 7 -2 5 72 ⋅ 4 64 f). (4 3 - 3 5 )(2 3 + 5 ) 7 + 7 5 ). g). (8 + 15 )( 5 - 3 ) h). (x + x 21. 1 4 5 ⋅ 10 − 4 ⋅ 10 − 4 Simplifica la expresión 22. 1 6 5 4 3 + 1)(x 3 + 1) 5⋅4 6 . 4 3 Calcula: a). 3 b). 18 + 2 8 + 3 32 − 50 5 27 − 0,1 75 + 2 1 c) 3 127 − 3 6 e) ( 20 − ) 50 + 72 − 4 3 + 10 7 f) 0 h) 4 1 27 4 ⋅ 768 3 i) ) ( d) 45 +3 125 : 2 5 ( g) 12 −2 27 −3 48 + 2 75 +3 j) 108 3 + 108 ) 12 − 2 27 + 3 75 ⋅ 3 (4 ) 8 −2 18 : 3 2 243 +4 1,5 ⋅ 1 10 3 625 + 2 1 7 3 1715 − 43 32 23. Simplifica: a). 2 5 b). e). 2 6 f). i). l). 5 4 a 2b 3c (a, b, c > 0) 2 1+ 2 1 c). 6 5 2 5 5 2 j). g). 2 4 1 108a 24. El valor de a + b⋅c para a = 7,6 A.____ 8,8 3 B.____ 25. El valor de a – b⋅c para a = A.____ – 12,5 14,5 3 2 27 9 h). 3 x+y x+y k). , b = - 3, c = B.____ – 5,5 2 c= 4 3 36 (x + y )>0) 4 2− 3 1,2 3 C.____ 7,2 b=6 1 7 d). n). 6,4 3 3,5 6 4 (a > 0) 4 12 + 2 m). 3 3 2 es: 3 −3,2 D. ____ 4 es: C.____ 3,5 2 −9 D.____ 2 56 3
  • 57. 26. 24 para a>0 6 4a Al racionalizar y simplificar A.____ a B.____ 27. El resultado de calcular A.____ 13,1 2 2+ 2 4 a a C.____ 2 a a D.____ 4 + 43 8 + 50 es aproximadamente: B.____ 13,3 C.____ 15,5 D.____ 13 28Calcula: a). 3 ⋅ 40000 6 b). d). 2 ⋅ 3 20 e). 20 + ( 625 5 50 − 2 ) c). −6 : 3 1+ 3 2 30. Calcula: 5 + a). d). 3 20 - 2 1 5 5 3 6 ⋅ ⋅ 8 4 5 b). 2 1 3 3 ⋅ ⋅ 3 2 4 e). 3 c). 3 2 2 3 ⋅ ⋅ 3 5 3 7 4 25 3 3 ⋅ ⋅ 2 9 10 29. Exprese en notación logarítmica; a) 33 = 27 b) 26 = 64 c) 2-2= 0,25 f) 51= 5 g) 10-2= 0,01 h) 10 1,88997= 77,62 1 d) 60= 1 e) 7 2 = 7 i) 100,84135= 6,94 30. Exprese en notación exponencial: a ) log 10 = 1 b ) log 2 64 = 6 c ) log 4 256 = 4 d ) log 1 1 = 0 e ) log 100000 = 5 f ) log 4 2 = 0 ,5 h ) log 5 = 0 ,69897 i ) log 0 ,00001 = − 5 2 g ) log b y = m b > 0, b ≠ 1, y > 0 31. Calcular: a) log2 16 b) log3 1 27 1 c) log3 (-1) e) log10 100 − log10 1 000 g) log2 8 + d) log f) log15 1 + log2 2 2 + 9log 1 − log3 1 1 − log5 125 8 1 1 log5 5 5 32. Calcula aplicando la definición de logaritmo: a) log381 b) log1111 g) log3243 h) log7343 c) log20,5 d) log2512 e) log 0,1 f) log91 i) log 2 16 j) log927 k) 3 log3 1,5 l) 4 log2 7 57
  • 58. 33. Halle el valor de la variable en: 1 4 b) 2x = a) 13x = 169 e) 25x = d) 32 x = 27 1 125 c) 103 x = 1 000 f) 9x = 243 g) 8 2 x = 128 h) 2 x · 4 = 32 i) 3 2 x + 1 = 1 j) 7 x + 9 − 49 x = 0 k) 0,3 y = 0,3−3 l)3x+2.33=243. y m) 3 = 34. a) 1 27 n) 10 2x = 0,1 1 2 Calcula con auxilio de la calculadora: (ln 4,6)3 +3,5 b) log34,2+ c) 1 o) 4 −x = log 502 ln 0,25 +ln 327 l 1 1 d) log 3 569 − log − 0,00024 5 ln 0,4 e) ln 0,027 − ln 0,07 58
  • 59. 35. Dado el pH de una disolución, encuentre la concentración de sus iones Hidronio , sabiendo que: c (H30+) = 10− pH Calcula la concentración de iones Hidronio que contiene una disolución cuyo pH es 6. 36. En acústica se estudia que la percepción del sonido por el oído humano es proporcional al logaritmo de su intensidad. Si I A e IB son las intensidades de dos sonidos A y B expresadas en watts/cm 2, la IA expresión: 10 log mide, en la unidad llamada decibel (db), la IB I1 diferencia de intensidad en los sonidos A y B. Si la razón de las I2 intensidades empleadas en el habla es de 251, ¿cuál es la variación de intensidad de la palabra hablada? log 251 = 2,4. Nota: Se considera que un sordo necesita para escuchar algún mensaje 100 db. Una conversación normal se puede medir aproximadamente con una intensidad de 50 db, el murmullo en 20 db y la música rock en 120 db. 1.6 Ejercicios del Capítulo 1. Marca con una cruz la proposición verdadera: ___Las expresiones decimales periódicas son números irracionales. ___La operación de extracción de raíces de índice par de números positivos está determinada unívocamente. ___La operación de sustracción se puede realizar de manera ilimitada en el conjunto Z de los números enteros. ___El conjunto R de los números reales está formado por los números fraccionarios y sus opuestos. 2. Completa: 1 2 2 , después y luego, de la unidad . La parte que 3 5 15 queda es ––––– 2.1 Si se toma 2.2 La octava parte de 210 es: –––––––––––– 2.3 El valor de la expresión A = 3,75 – 0,5 : 1,25 + 11 es ––––– 2.4 Si 55 metros de un tipo de sutura utilizada en heridas superficiales cuesta $4,40, ¿cuánto cuestan 75 metros?–––––––––– 2.5 Un pomo de vegetales en conserva pesa 250 gramos, ¿cuántos kilogramos pesan cinco cajas, si en cada caja caben 100 pomos como estos? –––––––––– 3. Seleccione la respuesta correcta subrayando la misma. El promedio de M y N donde M = 64 – 18: __ 66 ___ 33 ____ 4 ó 36 4 y N= 5 33 + 4 12 es: ___ ninguna de los anteriores 59
  • 60. 4. Completa la siguiente tabla: A B C A .• C : B B – C : A C – 3A : 2B C 7 −5 −3 − 0,6 −3,5 − −4 2 5 − 5 8 0,3 5. 0,15 2,34 − 1 4 Completa el cuadro siguiente realizando las operaciones indicadas. 1 2 · –4 − · 0,9 24 10 + : – 10 60
  • 61. 6. Sustituye y calcule: 3 |a|+ 5 |b| − |c|; para a = − 2; b = −1; c = − 8 7. El valor numérico de la expresión n – p :q para n = – 0,02, p = – 2 es: 0,52 8. – 0,12 0,46 1 yq= 4 0,48 1 2 El valor numérico de la expresión a – b : c para a = 1, b = 3,2 y c = es: – 4, 4 5,6 – 5,4 0,6 9. Determine el conjunto numérico más restringido al cual pertenecen los números obtenidos al calcular los valores de a y b si: a = − 4,72 – 6,8 × 7,1 + 4,8 : 0,2 y b=3 1 4 3 4 – :6 – + 0,7 3 5 3 5 Fundamenta tu respuesta. 10. El valor numérico de la expresión m − n •p q para m = – 2, n = – 1 , 4 p = 16 y q = 3 es: ___ 11. 28 3 ___ 2 3 ___– . El valor numérico de la expresión a − 28 3 ___– 2 b•c 1 para a = – 1, b = ,c=8 2 d y d = – 2 es: ___ −3 ___ − 6 ___ 1 ___ − 1 12. Representa gráficamente los conjuntos siguientes y escríbalos en notación de intervalo: a) A ={x ∈ R :–5 <x<7} b) B ={x ∈ R : x ≤ 2 } c) C ={x ∈ R : – d) D ={x ∈ R : e) 13. E= {x ∈ R : x >2} x ≤1} Realiza las siguientes operaciones entre los conjuntos que se indican: a) [2;7]  (3;5) c) [4;+∞] (1;4) 14. 1 <x ≤ 3,5} 4 b) [–2;–0,5] [0;+∞] d) (2; 3,5)  [–1;6] e) [–2;3]  [0;4,6) Verifica si las siguientes igualdades son verdaderas: 61
  • 62. a) (–5)2 : (–5)5 = − 15 −3 b) (0,75)2 = 4 c) (−4)2 + (−4)3 = (−4)5 − 35 =9 27 3 1 1 1 d)   .   = 5 5  5  g) 9 16 1  1 e)  −  = 64  4 9 −2 = 81 9 −4 f) − 32 1 + − 4 = 810 −4 3 3 h) 20 10 : 20 7 + 9 2.9 ≈ -4, 16 2 − 13 2 −12 2 ( i) ) 85 15. Selecciona en cada caso la respuesta correcta: a) Al simplificar la fracción 2 3 ⋅5 3 ⋅ 3 2 6 ⋅5 4 10 3 ⋅ 3 se obtiene la fracción irreducible: 4 3 ⋅ 25 2 3 2 ⋅5 3 40 5 No se puede simplificar porque los factores que intervienen son distintos. 10 6 −10 ⋅10 5 b) El resultado de calcular es igual a: 10 2 10 −2 c) Al simplificar la fracción ( 0 3 8 ⋅ 2 2 −3 8 se obtiene: 3 37 ⋅ 22 − 37 38 16. 1 100 10 0 ) 22 3 0 Halle el valor de x para que se cumpla: a) x 2 = 16 3 c) x = − 1 27 e) 8 x = 256 2 b) x = 1 49 d) x 4 = 3 f) 12 x = 144 17. El diámetro de la Luna es aproximadamente 0,34 ⋅10 7 m , y el de la Tierra es 12,7 ⋅10 6 m . Escriba los datos en notación científica. ¿Cuántas veces mayor es el diámetro de la Tierra que el de la Luna? 18. Si calculamos el valor numérico de: 62
  • 63. 987 :1 4 , a) A = 2 −62 ⋅5 −62 y lo expresamos en notación científica, obtenemos: 7,5 · 1060 b) M = 7,05 · 1060 760 : 2,5 19. 7,05 · 1064 y lo expresamos en notación científica, obtenemos: 10 −43 ⋅10 −15 34. 1060 7,5 · 1062 3,04. 1058 3,04. 1060 3,4 . 10–58 ¿Cuántos dígitos tiene el número N si N = 2 12 · 58 ? 20. Racionaliza las expresiones siguientes: 2 3 3 4 - 5 a). b). 3 c). d). 6 2 + 2 2 + 3 4 f). 3 3 + 21. e). 14 5 + 3 2 2 Simplifica los radicales siguientes: a). 3 c). + e). 3⋅ 3 2 6 54 b). 5 3- 2 d). 9 6 7 + 40 4 - 10 12 +11 2 3+ 2 23 + 10 5 2 + 5 128 3 1458 - f). 22. 12 - 2 4 12 108 48 a 2 −12a + 36 . 8 + 10 ⋅ 5 Simplifica la expresión A = 23. + 3 12 + Calcula 24. 19 + 8 3 . 4+ 3 3 + 54 − 150 Simplifica: 3+2 2 25. Racionaliza los siguientes radicales. 5 3 2 a) b) 3 c) 5 3 2 3 3 2 +1 d) e) Racionaliza : 8 25 a). 4 3 125 −4 3 −2 f) 2 3− 2 26. 27. b). 2 2 n 2 n −1 c). 1 2− 1 Prueba que: 63
  • 64. a) 3 3 13 5 + 6= 4 3 6 c) 4 (9 −4 5 ) 3 5 +2 6 b) 6 8 +2 ( 2 3 − 5 5 −4 5 2 − 2 ) 4 1 = 2 3 = 0 28. Efectúa considerando el dominio de definición de las variables el conjunto de los números reales positivos. 2 a) 5ab ⋅ 3 15a b) ( a − 2 5b ) c) ( m − 3 5 )( m + 3 5 ) 29. e). 10 5x 3 + 20 ⋅ x 3 3 2 Hallar el valor de x en cada caso: a). 3x = ( c).    30. 1 3 m2n 4 5 + n m d). 5 x b). 2 = 3 ) 2    8 d). 3 = 2 x 18 ⋅3 32 1 2 2 = 7x 3 Halla el valor numérico de A si: 1 a) A = log749 – ( 5 log5 10 0,5 - 25 ) c) A = 2 log0,5 2 · 8 log2 5 31. log 8 8 - d) A = log3 81 3 3 1 + log5 125 log2 4 + log3 3 Determina el valor de x y expresa el resultado como un radical en: 1 2 b) 240,5 : x = 120,5 a) x · t 3 = t 5 32. b) A = 9 c) x : 23,5 = 53,5 d) 110,4 · x0,4 = 1210,4 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x3 − 8 = 0 b) x2 − 625 = 0 c) x3 − 512 = 0 d) 2x = 128 e) 8x = 512 x f) 7 = 1 49 g) 10 x = 4 1 000 h) 2 2 x = 8 1 2 x +1 = 0, 2 i) 4 16 x j) 9 2 = log 10 9 k) 33 000 x 1 999 x 9 = 3 81 64
  • 65. 33. Si A = log 9 3 y B = log 34. 1 3 2A − B = − 4 2 Calcula: 3 81 Prueba que: 16 2 log 4 256 − : 81 3 log 9 729 a) b) 1 1 3 2 000 ⋅ 251 000 − log 7 ⋅ 5 49 15 2 001 c) 3 d) 3 125 ⋅10 358 1 + log 4 −2 179 358 256 5 ⋅ 25 ⋅ 2 e) f) − 8 + log 2 16 − 3 2 000 ⋅ 7 2 000 1 000 49 ⋅9 1 000 5 2 006 ⋅ 2 2 006 10 2 005 − log 2 3 16 log 5 625 ⋅1016 − 0,814 0,00214 g) log 2 4 8 − log 3 3 9 − h) − log 0,0001 : log 5 1015 ⋅ 5 35 216 ⋅ 5 50 1 212 006 ⋅ 7 −2 007 + 25 3 2 005 35. En el año 2005 el número de personas infectadas por el VIH asciende a 3, 94. 106, nivel record en la historia. En el año 2004 fueron infectados 4,9. 105 personas de acuerdo con los datos de la OMS. En ese año la enfermedad del SIDA causó la muerte a 3,1 · 10 5 personas. a) Determine la razón entre los infectados por el virus en los años 2005 y 2004. b) ¿Qué significado tiene esta razón? c) Si al finalizar el 2005 la población fue de alrededor de 6, 5 · 10 9 personas y suponiendo que no aumentan las personas con el SIDA; ¿cada cuántas personas aproximadamente existirá una con SIDA mundialmente? 36. Para el tratamiento de la urticaria se usan los antialérgicos y entre estos medicamentos se encuentra la ciproheptadina clorhidrato en tabletas, donde cada tableta tiene una masa de 4 mg. a) ¿Qué cantidad de tabletas diarias debe tomar un niño con esta afección si se le debe suministrar 1 mg por kg de peso al día, conociendo que el 4 niño pesa 24 kg? b) Si la urticaria le duró tres días y 12 h. ¿Cuántas tabletas se empleron para su tratamiento? 65
  • 66. 37. Un deportista debe mantener su peso en 58 kg con vista a una importante competencia. Para ello debe correr 10 pistas diarias durante 20 días con el fin de eliminar el equivalente a 3 500 mL de líquido. Consideremos que el peso especifico del líquido es igual al del agua, o sea, 1kg/dm3 y que la pista es de 400 m. a) ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido al cabo de los 20 días? b) ¿Cuál era el peso en kilogramos del atleta antes de comenzar el entrenamiento? 38. Un tanque lleno de agua posee dos desagües, uno grande y otro pequeño. Si se abre el grande, el tanque se vacía en una hora; si se abre el pequeño, en tres horas. Bajo la condición de que a intervalos iguales de tiempo fluyen hacia afuera masas iguales de agua, ¿en qué tiempo se vacía el tanque si se abren los dos desagües simultáneamente? 39. Algunos científicos del siglo XX aseguraron que el agua dulce será el recurso natural más disputado del planeta. El agua contaminada y su insuficiente saneamiento cobra cada año 12 millones de vidas. Conociendo que la población mundial es de aproximadamente 6055 millones de habitantes. a) Calcule el por ciento de personas que muere por insuficiente saneamiento del agua. b) Diga algunos procedimientos para hacer el agua apta para el consumo humano. 40. La superficie terrestre está distribuida del modo siguiente: Regiones km2 (miles) África 30 000 América 42 000 Antártica 13 000 Asia 44 000 Australia y Oceanía 9 000 Europa 10 000 Determina qué porcentaje representa cada región de la superficie terrestre. 41. . El insomnio es el trastorno del sueño más frecuente, reportándose tasas que oscilan entre el 23 % y el 51 % de la población en diferentes países. Este trastorno, constituye un problema serio de salud para el 17 % de los que lo padecen. a) ¿Cuántos cubanos podrían estar afectados por el insomnio? b) ¿Para cuántos cubanos podría ser este trastorno un problema serio de salud? El número de habitantes de Cuba es de 11 250 979 (según el anuario estadístico del 2004) 66
  • 67. 42. La masa total de un recipiente lleno de agua (masa del recipiente y del agua) es de 2000 g. Si se vierte el 20 % del agua, la masa total disminuye a un 88%. ¿Cuál es la masa del recipiente vacío? 38. Una disolución al 15 % contiene 45 g de soluto. a) ¿Cuántos gramos de disolución se tienen? b) Si se añaden a la disolución 0,055 kg de solvente, ¿cuál será ahora el tanto por ciento de soluto en la disolución? c) Si a partir de la disolución inicial se quiere obtener una disolución al 20 %, ¿cuántos gramos de soluto se deben añadir a la disolución? 43. En el diagrama a continuación se describe cómo se distribuyeron las horas totales de emisión por televisión en el año 2002, atendiendo a las siguientes categorías: Programas nacionales (sin incluir Universidad para Todos y Tele - clases), Programas extranjeros, Universidad para Todos y Tele - clases. Marque con una cruz la proposición verdadera: 1) ____En el año 2002 hubo un total de 23 881 horas de emisiones televisivas. 2) ____Los programas nacionales representaron aproximadamente un 76 % del total de horas de emisiones televisivas. 3) ____Diariamente se emitieron como promedio más de 80 horas por televisión. 4) ____Las horas de Universidad para Todos y de Tele – clases representaron ese año menos del 10 % del total de emisiones televisivas. 44. En el siguiente gráfico de pastel se ha descrito el comportamiento de la flora amenazada en nuestro país por categorías, según el Anuario Estadístico de Cuba del año 2004, página 47: 67
  • 68. Flora amenazada (Número de especies amenazadas por categoría) Extintas, 25 Otras, 400 Raras, 154 En peligro, 306 Vulnerables, 289 Marque con una cruz la proposición falsa: ____El 26% aproximadamente de la flora amenazada se considera en peligro. ____Aproximadamente una de cada cuatro especies amenazadas se considera vulnerable. ____El número de especies amenazadas sobrepasa las once centenas. ____ La cantidad de especies extintas y en peligro representa más de un tercio del total de especies amenazadas. 45. En el año 2004 en Cuba ocurrieron 127 077 nacimientos y hubo una tasa de mortalidad infantil de 5,8 por cada 1 000 niños nacidos vivos, ¿cuántos niños sobrevivieron a su nacimiento? 46. La gráfica muestra el comportamiento de determinados grupos de riesgo entre los que se encuentra la obesidad, el tabaquismo, el alcoholismo y las ETS, en un universo poblacional de 62 700 personas. a) ¿Qué tanto por ciento representa la población sin riesgo? b) Representa los datos en una tabla que contenga la frecuencia absoluta, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa porcentual. c) ¿Qué cantidad de personas se encuentran expuestas a riesgo de hipertensión por exceso de peso corporal? d) ¿Cuántos de cada 100 personas del universo poblacional ETS? tiene una e) ¿Cuál es la tasa de alcohólicos por cada 1 000 personas del universo poblacional? 68
  • 69. 47. En la siguiente tabla se refleja la distribución de la fuerza laboral femenina por categoría ocupacional en el 2002 según el anuario estadístico de ese propio año: Categoría Obreros Ténicos Administrativos De Servicios Dirigentes Total Miles de trabajadores 362,9 577,2 125,2 349,2 101,3 1 515,8 ¿Qué conclusiones se pueden extraer de esta tabla? 48. Una finca dedicada a la siembra de cítricos tiene una extensión de 853 hectáreas. Por cada m² se cosechan como promedio 205 toronjas para la exportación y se desechan 9 de cada ciento. ¿Cuántas unidades se comercializan? 49. Un auto parte de la ciudad A a las 8:00 A.M. y llega a la ciudad B a las 11:A.M. A las 12:00 M. parte de regreso a la cuidad A y se encuentra a la 1:00 P.M. con otro auto, que partió a las 11:30 A.M de la ciudad A. La velocidad promedio del segundo auto es de 64 km/h. Supongamos que ambos autos han mantenido una velocidad constante. a) Determina la distancia entre el punto de encuentro y la ciudad A. b) Averigua la distancia entre las ciudades A y B. c) ¿Cuál es la velocidad promedio del primer auto? d) ¿cuál es la hora de llegada del segundo auto a la ciudad B? 50. Tres bombas de agua A, B, C trabajan con potencias diferentes. Si las tres trabajan simultáneamente llenan un depósito de agua en una hora. Una mañana se ponen las tres bombas en marcha a las 8:00 A. M.; a las 8:30 A. M. era desconectada la bomba A, de modo que las bombas B y C demoran hasta las 9:20 A. M. en llenar juntas el depósito. Al día siguiente el depósito debe ser llenado solo con la bomba A. ¿Cuánto durará el llenado? 51. Se dispone de 200g de una disolución salina compuesta de 150 g de agua y 50 g de sal, así como de una balanza y de suficiente cantidad de agua y sal. Es posible modificar la disolución solo de las dos maneras siguientes: • Pesando previamente una cantidad de agua o de sal que después se añade a la disolución o, • Extrayendo una cantidad determinada de disolución que se puede pesar con la balanza. ¿Cómo es posible obtener, a partir de la disolución original, 200 g de una disolución salina que contenga exactamente 40 g (60 g) de sal? 69

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