O documento introduz o Método dos Elementos Finitos (MEF) como uma técnica para resolver equações diferenciais através da aproximação da solução contínua por soluções discretas em elementos distribuídos. Explica as etapas do MEF, incluindo a modelagem, discretização, resolução do sistema algébrico e análise dos resultados. Apresenta exemplos de aplicação do MEF em diversos problemas de engenharia.
ATIVIDADE 1 - ESTRUTURA DE DADOS II - 52_2024.docx
Modelagem mef
1. Introdução ao Método dos
Elementos Finitos
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Métodos Computacionais
2. Definição
O objetivo do MEF é a resolução de equações
diferenciais, pela aproximação da solução contínua
por pequenas soluções discretas aproximadas em
elementos distribuídos na sua superfície
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3. Seja a eq. de Poisson, que é uma eq. dif. de 2ª ordem que
descreve uma gde variedade de fenômenos:
2 ∂2Φ(x, ∂2Φ(x,
y) y)
∇ Φ(x, =
y) + =0.
2 2
∂x ∂y
O MEF a transforma num sistema de equações algébricas
que podem resolvidas facilmente pelo computador:
[ A ]{X }= {B }
A ordem do sistema depende da malha adotada: do número de nós
e de graus de liberdade por nó.
As incógnitas podem ser temperatura, deslocamentos, tensões,
potencial elétrico, ....
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4. História
1909 – Surge o Método de Ritz em Cálculo Variacional.
1953 – Os computadores começam, a ser aplicados para
resolver problemas de Engenharia.
1956 e 1960 – Publicam-se aplicações de Métodos
Aproximados para Computadores Digitais.
1960 – Surge o termo “Elementos Finitos”.
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5. História II
1963 – Reconhece-se que os Métodos Aproximados
nada mais são do que uma variação do Método de Ritz.
1970 – Extensão do Método para outros tipos de
problemas, além do cálculo estrutural.
1980 – Com a popularização dos computadores, vem a
grande divulgação do Método.
1990 – Com a evolução dos PC´s, os “mainframes”
perdem força.
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6. Etapas na Análise
1. O usuário cria o modelo Físico
• Define a geometria, materiais, apoios e cargas.
• Gera a malha de nós e elementos
2. O programa efetua a análise
• Resolução das equações para cada nó
• Montagem do sistema
• Resolução do sistema
3. Pós-Processamento
1. Análise dos Resultados
2. Erro e precisão.
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8. Considerações Gerais sobre
Modelos Físicos
Um modelo é uma idealização da estrutura real
Supõe sempre uma aproximação: não existe o
“engastado” e o “simplesmente apoiado”, nem
cargas pontuais, etc.
Contudo, essa idealização deve supor uma boa
representação da estrutura real
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9. Etapas
• Definição da geometria, dos apoios
• Escolha do tipo de elemento a ser utilizado.
• Lançamento da malha: Nós e elementos
• Definição dos materiais.
• Aplicação das cargas e das condições de
contorno.
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11. 2. Tipos de
Elementos: Viga
Utiliza-se em geral em peças
cujo comprimento é muito
maior que a sua profundidade
e altura.
Cabos, tubulações,
parafusos, varas e hastes,
etc.
Dois nós, com 6 dof cada.
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12. Elemento Casca
Utiliza-se em geral em
superfícies onde uma
dimensão (espessura) é
muito menor que as outras.
Vasos de pressão, pás de
turbinas, cúpulas, etc.
Cada nó possui 5 dof.
Assume-se que não há
rotação no eixo z.
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13. Elemento 3D Sólido
Utiliza-se em
quaisquer peças onde
a espessura não é
desprezível.
Com este elemento
pode-se calcular as
tensões ao longo da
espessura.
Possui 8 nós com 3
dof cada
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14. Elemento Axissimétrico
Caso especial do
elemento sólido, contudo
é mais utilizado.
Utiliza-se em eixos onde
a geometria não varia
com a circunferência
Pode-se transformar o
problema para 2D, e
aplicar estado plano de
tensão ou de
deformação, diminuindo
mais ainda as incógnitas
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15. Outros Tipos de Elementos
2D 3D
Mola-amortecedor Tubos
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16. 2.1 - Aplicação de Hipóteses
Simplificadoras
É possível reduzir de 3D para 2D?
Há alguma simetria?
Há alguma dimensão desprezível comparada às
outras?
Pode-se remover algum grau de liberdade?
Pode-se aplicar elemento axissimétrico?
Pode-se utilizar estado plano de Tensão ou de
deformação?
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17. Estado plano
de deformação
Assume-se que
a deformação
numa das
direções é zero.
Estruturas
compridas com
carregamento
uniforme
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18. Estado plano
de tensão
Assume-se que a
tensão numa das
direções é zero.
Estruturas muito
finas como lacas
ou cascas.
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19. 3. Regras para lançamento de malha
Deve-se ter uma idéia do Comportamento
Físico do problema
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20. 3.1 - Posicione os nós nos pontos de aplicação
das cargas, apoios e mudanças de seção.
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22. 3.3 - Utilize preferencialmente
elementos retangulares.
Use elementos triangulares só
para transições
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23. 3.4 - Não deforme excessivamente os
elementos
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30. Malha com uso de simetria
Calculo da ordem do sistema:
Total:
67*2 = 134
Conhecidos:
11 deslocs em X no plano de simetria
e 5 deslocs em Y e X no apoio
134 – 11 - 9 = 114
Quantos seriam com a simetria?
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31. Solução Tensões
Deformações
Raul PessolaniSimetria
Com - Métodos Sem simetria
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32. Análise da Saída
1. Os resultados são coerentes?
Há erros?
Novamente é necessário conhecer o comportamento físico.
Geometria incorreta
Erro na introdução das condições de contorno
Má discretização
Número insuficiente de nós.
Erro de posicionamento
Escolha inadequada do tipo de elemento
O computador não substitui o engenheiro!
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33. Análise da Saída
2. Há precisão e acuracidade?
A precisão cresce com o número de nós, mas há um
ponto ideal!
Estudo da variação dos resultados com vários
refinamentos de malha nas regiões mais criticas.
Há excessiva variação na resposta?
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34. Estudo da Região mais solicitada
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35. Q= 100 N/mm
Ex 2: Placa
Tracionada com
Furo
no centro
Q= 100 N/mm
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36. Malha Utilizada
Região A e B.
Nº Elementos: 1445
Nº nós: 1536
Carga escolhida:
P=100N/mm²
r=2,5mm e RA=25mm
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37. Pelo ANSYS:
Tração de tensão calculados e plotados pelo ANSYS:
Erro:
300 , 88 − 296 ,8
= 1,4
296 ,8
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38. Ex 3: Pressão causada pelo vento num edifício
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42. Ex 4. Análise de Tensões de um eixo de
propulsão
Esquema típico de uma linha de eixo
Carregamento
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43. Análise pelo MEF
•Tipo de malha: Sólida
•Gerador de malhas usado:Padrão
•Superfície lisa: Ativada
•Tamanho do elemento:128.149 mm
•Tolerância: 6.40744 mm
•Qualidade da malha: Alta
•Total de nós: 19724
•Total de elementos: 11210
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44. Análise da Linha de Eixos por Elementos Finitos
Esquema das cargas e restrições impostas ao
conjunto
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45. Tensões atuantes em toda a linha de eixo
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47. Escoamento transônico
compressível em um difusor
Discretização
Condições de contorno Inlet:
Pressão total = 19.50 psia
Temperatura Total = 500 R
Outlet:
Pressão: 14.10 psia
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48. Escoamento transônico
compressível em um difusor
Nítida formação da onda de choque durante a expansão do gás
A velocidade ultrapassa Mach=1 na região da garganta
Número de Mach máximo: 1,39
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