0
Jocs d’atzar Angel Corberán i Francisco Montes Departament d’Estadística i I. O. Universitat de València
Probabilitat i jocs d’atzar (1) La Probabilitat li ho deu tot als jocs d’atzar, p ot ser l’afirmació us semble una mica ex...
Probabilitat i jocs d’atzar (2) Parlarem doncs de jocs d’atzar, d’alguns d’ells és clar. En farem una mica d’història, obt...
Els origens.  El cavaller de Méré
Els origens. El Cavaller de Méré (1) L’any 1654 Antoine Gombauld, cavaller de Méré, va proposar a  P ascal dos famosos pro...
Els origens. El Cavaller de Méré (2) “ Un problema relatiu als jocs d’atzar, proposat a un auster janseniste per un home d...
Els origens. El Cavaller de Méré (3) Heus aquí als personatges: Blaise Pascal 1623-1662 Pierre Fermat 1601-1665
Els origens. El Cavaller de Méré (3) I heus aquí el lloc:
Els origens. El Cavaller de Méré (4) Pierre Remond de Montmort, al seu assaig sobre les jocs d’atzar conta l'hist ò ria i ...
Els origens. El Cavaller de Méré (5) “ En 1654 van proposar al Sr. Pascal aquests dos problemes. 1er. A dos jugadors els f...
Els origens. El Cavaller de Méré (6) Anem a pams. Parlem primer  del segon problema, de  la  seua  solució i dels comentar...
La paradoxa del cavaller de Méré (1) Del que es tractava era  de trobar  el número mínim de llançament de dos daus per tal...
La paradoxa del cavaller de Méré (2) La solució no li va agradar al cavaller de Méré. Llegiu el que conta Montmort al resp...
La paradoxa del cavaller de Méré (3) I no li va agradar perquè el bon cavaller pensava que la probabilitat devia seguir le...
La paradoxa del cavaller de Méré (4) El comentari final de Pascal és ... “ ... és un bon esperit, però no és Geòmetra; la ...
El problema dels punts (1) El 1er problema que de Mèrè proposa a Pascal està lligat, al seu torn, a un altre: com repartir...
El problema dels punts (2) Podem enunciar el problema de la següent manera: Dos jugadors  A  i  B  juguen a un joc consist...
El problema dels punts (3) Vejam la  solució  i una taula de com repartir-se l’aposta en funció de  p   i  r   i  els punt...
El joc del Tretze
El joc del Trezte (1)
El joc del Trezte (2) En essència el joc consisteix en que el jugador que per sorteig té la mà alça 13 cartes a l’atzar d’...
El joc del Trezte (3) Al seu assaig sobre el jocs d’atzar, Montmort estudia el joc del Trezte i planteja i resol diferents...
El joc del Trezte (4) Neutra.-  Probabilitat de que al permutar aleatòriament els  n  primers números cap d’ells coincidei...
El problema de les coincidències (1) <ul><li>Vegem les solucions i algunes curiositats relacionades amb el problema:  </li...
La Primitiva
La Primitiva (1) En què consisteix el joc? En endevinar total o parcialment els número de la  combinació guanyadora , cons...
La Primitiva (2) Els premis: Categoria Números encertats 1ª 6 2ª 5  + C 3ª 5 4ª 4 3ª 3
La Primitiva (3) Com de difícil és encertar alguns dels premis? Prou més del que ens agradaria com veure’m tot seguit. Veg...
La Primitiva (4) No cal dir que per a la resta de jocs de la família, Bonoloto i Gordo de La Primitiva, les probabilitats ...
La Primitiva (5) La gent juga perquè els premis son sucosos i perquè confia en el que el LAE diu:  “ el sorteig és a l’atz...
La Primitiva (6) La primera i més obvia és veure si els números apareixen com cal.   Es a dir, si les extraccions són de d...
La Primitiva (7) Si parlem de  “... les freqüències que caldria esperar”   és perquè sabem la probabilitat de que qualsevo...
Freqüències dels 49 números en els  5088  sorteigs de La Primitiva, Bonoloto i Gordo  (des de 17/10/1985 fins a 08/6/2003)
Sorteigs de La Primitiva, Bonoloto i Gordo (des de 17/10/1985 fins a 08/6/2003) 5088  sorteigs
La Primitiva (10) Una segona podiem dir-li  “ La comprovació del desconfiat ” És la d’aquell  que  juga sempre el mateixos...
La Primitiva (11)  Sumas Podríem també emprar  la suma del números  de la combinació guanyadora per a comprovar que el joc...
La Primitiva (12)   Sumas
La Primitiva (13)   Sumas
La Primitiva (14)   Sumas
La Primitiva (15) Però el joc dona també per a moltes curiositats, particularment aquells relacionades amb com juga la gen...
La Primitiva (16) Una estadística sobre els encertants de totes les categories  en els  5088  sorteigs
La Primitiva (17) …  i dels encerts dels 6 números
La Primitiva (18) I si la gent és capritxosa i una mica maniàtica a l’hora de jugar? Com són les combinacions amb molts en...
La Primitiva (19) Freqüència dels 49 números en les combinacions encertades
La Primitiva (20) …  i en les que no hi ha cap encertant
La Primitiva (21) Els més jugats Els menys jugats
La Primitiva (22) I les dates de naixement?
La Primitiva (23) Quant deuria costar una aposta de La Primitiva? El que s’ asigna  per  a premis  és  aproximadament el  ...
Jocs  de guerra No cal exgerar, digam-li Sorteigs per a la guerra
Excedentes de cupo del 98 en España (1) <ul><li>A finales de 1997 se celebró un sorteo para elegir a los llamados  exceden...
Excedentes de cupo del 98 en España (2) El sorteo <ul><li>Los mozos implicados eran  165.342  y  16.442  habían de ser dec...
Excedentes de cupo del 98 en España (3) Mecánica del sorteo
Excedentes de cupo del 98 en España (4) Probabilidades de extracción La tabla anterior sugiere establecer la partición sig...
Excedentes de cupo del 98 en España (5) Probabilidades de extracción
Excedentes de cupo del 98 en España (6) Probabilidades de extracción
Excedentes de cupo del 98 en España (7) Probabilidad de formar parte del excedente de cupo Un mozo cualquiera  n  será dec...
Excedentes de cupo del 98 en España (8) Probabilidad de formar parte del excedente de cupo
Excedentes de cupo del 98 en España (9) Probabilidad de formar parte del excedente de cupo
<ul><li>Las probabilidades obtenidas confirman lo que decíamos al principio y el diseño del sorteo hacía sospechar. </li><...
I per acabar ... La versió moderna del jugador professional
 
fin
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Jocs d'atzar

1,647

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
1,647
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
15
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Jocs d'atzar"

  1. 1. Jocs d’atzar Angel Corberán i Francisco Montes Departament d’Estadística i I. O. Universitat de València
  2. 2. Probabilitat i jocs d’atzar (1) La Probabilitat li ho deu tot als jocs d’atzar, p ot ser l’afirmació us semble una mica exagerada , però així és. Si el Cavaller de Meré no li hagués posat a Pascal aquells dos famosos problemes, tot seguit en parlem, i aquest no li hagués fes partícip a Fermat de l’assumpte ...
  3. 3. Probabilitat i jocs d’atzar (2) Parlarem doncs de jocs d’atzar, d’alguns d’ells és clar. En farem una mica d’història, obtindrem les probabilitats associades i, si cal, alguna anècdota.
  4. 4. Els origens. El cavaller de Méré
  5. 5. Els origens. El Cavaller de Méré (1) L’any 1654 Antoine Gombauld, cavaller de Méré, va proposar a P ascal dos famosos problemes. Varen donar lloc a una fructífera correspondència entre Pascal i Fermat que és per a molts autors l’origen del Càlcul de Probabilitats modern.
  6. 6. Els origens. El Cavaller de Méré (2) “ Un problema relatiu als jocs d’atzar, proposat a un auster janseniste per un home de món, ha estat l’origen del Càcul de Probabilitats.” (Poisson, Recherches sur la Probabilité , 1837)
  7. 7. Els origens. El Cavaller de Méré (3) Heus aquí als personatges: Blaise Pascal 1623-1662 Pierre Fermat 1601-1665
  8. 8. Els origens. El Cavaller de Méré (3) I heus aquí el lloc:
  9. 9. Els origens. El Cavaller de Méré (4) Pierre Remond de Montmort, al seu assaig sobre les jocs d’atzar conta l'hist ò ria i recull part de la correspondència entre Pascal i Fermat.
  10. 10. Els origens. El Cavaller de Méré (5) “ En 1654 van proposar al Sr. Pascal aquests dos problemes. 1er. A dos jugadors els falten un cert nombre de punts es volen conèixer les seus sorts. 2on. Es vols conèixer en quants llançaments de dos daus es pot aconseguir avantatge d’obtenir sonnés ” :
  11. 11. Els origens. El Cavaller de Méré (6) Anem a pams. Parlem primer del segon problema, de la seua solució i dels comentaris que Pascal i Fermat en creuaren . Aquest problema es també conegut en la literatura com la Paradoxa del cavaller de Méré . Veureu per què.
  12. 12. La paradoxa del cavaller de Méré (1) Del que es tractava era de trobar el número mínim de llançament de dos daus per tal que la probabilitat d’obtenir al menys un doble 6 ( sonnés ) siga més gran ( avantatge ) que la de no obtenir-ne cap. Es a dir, que siga superior a 0.5 solució
  13. 13. La paradoxa del cavaller de Méré (2) La solució no li va agradar al cavaller de Méré. Llegiu el que conta Montmort al respecte.
  14. 14. La paradoxa del cavaller de Méré (3) I no li va agradar perquè el bon cavaller pensava que la probabilitat devia seguir les regles de l’Aritmètica. Pascal li ho explica a Fermat en aquesta carta. Carta de Pascal a Fermat el 29 de juliol de 1654
  15. 15. La paradoxa del cavaller de Méré (4) El comentari final de Pascal és ... “ ... és un bon esperit, però no és Geòmetra; la qua l cosa és, com sabeu, un gran defecte.” Carta de Pascal a Fermat el 29 de juliol de 1654
  16. 16. El problema dels punts (1) El 1er problema que de Mèrè proposa a Pascal està lligat, al seu torn, a un altre: com repartir-se l’aposta quan el joc s’atura sense que cap dels jugadors haja assolit el nombre de punt necessaris per a guanyar. Proposa Pascal que la manera justa de repartir-se l’aposta és fer-ho proporcionalment a la probabilitat que cada jugador té de guanyar el joc si aquest es repr e n gués .
  17. 17. El problema dels punts (2) Podem enunciar el problema de la següent manera: Dos jugadors A i B juguen a un joc consistent en un número indeterminat de partides. La probabilitat de guanyar en cada partida es p per a A i 1-p per a B . Aquell dels dos que abans arriba a vencer en r partides guanya el joc i l’aposta que feren. Si el joc es interromput abans de finalitzar, com hauria de repartir-se l’aposta?
  18. 18. El problema dels punts (3) Vejam la solució i una taula de com repartir-se l’aposta en funció de p i r i els punts que li falten a cada jugador en interrompre’s el joc.
  19. 19. El joc del Tretze
  20. 20. El joc del Trezte (1)
  21. 21. El joc del Trezte (2) En essència el joc consisteix en que el jugador que per sorteig té la mà alça 13 cartes a l’atzar d’un baralla, una rere l’altra. Si en cap ocasió carta i ord r e coincideixen paga a la resta de jugadors el que cadascun haja apostat i passa la mà al de la seua dreta. En cas contrari, guanya les apostes dels altres i comença de nou el compte d’1 a 13.
  22. 22. El joc del Trezte (3) Al seu assaig sobre el jocs d’atzar, Montmort estudia el joc del Trezte i planteja i resol diferents problemes, que no són més que variants del jocs. Aquest joc ha donat lloc al que en la literatura actual anomemen problema de les coincidències i que té múltiples versions.
  23. 23. El joc del Trezte (4) Neutra.- Probabilitat de que al permutar aleatòriament els n primers números cap d’ells coincideisca amb el seu ordre natural. Laboral.- Una secretaria introdueix a l’atzar n cartes adreçades a n clients en n sobres que tenen escrites les adreçes, probabilitat de que cap d’elles arribe al seu destinatari. Lúdica.- En eixir d’una festa n convidats agafen els seus n barrets a l’atzar, probabilitat de que cap d’ells haja agafat el seu barret.
  24. 24. El problema de les coincidències (1) <ul><li>Vegem les solucions i algunes curiositats relacionades amb el problema: </li></ul><ul><ul><li>la que va proposar el propi Montmort </li></ul></ul><ul><ul><li>a partir del principi d’inclusió-exclusió </li></ul></ul><ul><ul><li>emprant probabilitats condicionades </li></ul></ul>
  25. 25. La Primitiva
  26. 26. La Primitiva (1) En què consisteix el joc? En endevinar total o parcialment els número de la combinació guanyadora , consistent en 6 números trets a l’atzar sense reemplaçament d’entre el 49 primers enters. Hi ha una també extracció d’un número complementari d’entre el s 43 que no formen part d e la combinació guanyadora.
  27. 27. La Primitiva (2) Els premis: Categoria Números encertats 1ª 6 2ª 5 + C 3ª 5 4ª 4 3ª 3
  28. 28. La Primitiva (3) Com de difícil és encertar alguns dels premis? Prou més del que ens agradaria com veure’m tot seguit. Vegem-ho .
  29. 29. La Primitiva (4) No cal dir que per a la resta de jocs de la família, Bonoloto i Gordo de La Primitiva, les probabilitats són les mateixes. Tots tres jocs són un pou sense fons a l’hora de proveir material d’estudi i exemples.
  30. 30. La Primitiva (5) La gent juga perquè els premis son sucosos i perquè confia en el que el LAE diu: “ el sorteig és a l’atzar” Pot ser el primer que caldria fer es comprovar-ho. Hi moltes maneres de fer-ho. Vegem-ne algunes.
  31. 31. La Primitiva (6) La primera i més obvia és veure si els números apareixen com cal. Es a dir, si les extraccions són de debò aleatòries. Quantes vegades han apareguts el 49 números en la combinació guanyadora al llarg del temps? Comprovem si les freqüències són les que caldria esperar.
  32. 32. La Primitiva (7) Si parlem de “... les freqüències que caldria esperar” és perquè sabem la probabilitat de que qualsevol del 49 números aparega en qualsevol de les 6 extraccions de cada sorteig. Tenim clar que aquesta probabilitat es 1/49? A partir d’aquí caldrà fer una mica d’Estadística amb les dades que segueixen.
  33. 33. Freqüències dels 49 números en els 5088 sorteigs de La Primitiva, Bonoloto i Gordo (des de 17/10/1985 fins a 08/6/2003)
  34. 34. Sorteigs de La Primitiva, Bonoloto i Gordo (des de 17/10/1985 fins a 08/6/2003) 5088 sorteigs
  35. 35. La Primitiva (10) Una segona podiem dir-li “ La comprovació del desconfiat ” És la d’aquell que juga sempre el mateixos 6 números i un bon dia se’n adona que fa un bon g r apat de setmanes que algun d’ells no ha eixit. D’aquí a la desconfiança del “... ja savia jo que això de que tots el números eixen per igual ...” no hi ha res. Vegem fins a quin punt en té motius.
  36. 36. La Primitiva (11) Sumas Podríem també emprar la suma del números de la combinació guanyadora per a comprovar que el joc és “correcte”.
  37. 37. La Primitiva (12) Sumas
  38. 38. La Primitiva (13) Sumas
  39. 39. La Primitiva (14) Sumas
  40. 40. La Primitiva (15) Però el joc dona també per a moltes curiositats, particularment aquells relacionades amb com juga la gent. Trien els jugadors les seues apostes a l’atzar o ho fan deixant-se dur per Deu sap què?
  41. 41. La Primitiva (16) Una estadística sobre els encertants de totes les categories en els 5088 sorteigs
  42. 42. La Primitiva (17) … i dels encerts dels 6 números
  43. 43. La Primitiva (18) I si la gent és capritxosa i una mica maniàtica a l’hora de jugar? Com són les combinacions amb molts encertants? Heus aquí algunes d’elles.
  44. 44. La Primitiva (19) Freqüència dels 49 números en les combinacions encertades
  45. 45. La Primitiva (20) … i en les que no hi ha cap encertant
  46. 46. La Primitiva (21) Els més jugats Els menys jugats
  47. 47. La Primitiva (22) I les dates de naixement?
  48. 48. La Primitiva (23) Quant deuria costar una aposta de La Primitiva? El que s’ asigna per a premis és aproximadament el 61% de la recaudació
  49. 49. Jocs de guerra No cal exgerar, digam-li Sorteigs per a la guerra
  50. 50. Excedentes de cupo del 98 en España (1) <ul><li>A finales de 1997 se celebró un sorteo para elegir a los llamados excedentes de cupo del reemplazo del 98. </li></ul><ul><li>El sorteo no fue equiprobable y los mozos no gozaron de la garantía de igualdad de oportunidades exigible. </li></ul>
  51. 51. Excedentes de cupo del 98 en España (2) El sorteo <ul><li>Los mozos implicados eran 165.342 y 16.442 habían de ser declarados excedentes de cupo. </li></ul><ul><li>Se trataba de extraer un número entre el 1 (0) y el 165.342 (165.341) y designar excedentes a su poseedor y a los 16.441 siguientes (lista circular). </li></ul><ul><li>El sorteo se efectuó con 6 bombos que contenían bolas numeradas tal como se indica: </li></ul><ul><ul><li>B 1 ={0,1}, B k ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, k=2,…,6 </li></ul></ul>
  52. 52. Excedentes de cupo del 98 en España (3) Mecánica del sorteo
  53. 53. Excedentes de cupo del 98 en España (4) Probabilidades de extracción La tabla anterior sugiere establecer la partición siguiente, constituida por subconjuntos en los que sí hay equiprobabilidad
  54. 54. Excedentes de cupo del 98 en España (5) Probabilidades de extracción
  55. 55. Excedentes de cupo del 98 en España (6) Probabilidades de extracción
  56. 56. Excedentes de cupo del 98 en España (7) Probabilidad de formar parte del excedente de cupo Un mozo cualquiera n será declarado excedente de cupo si y solo si el número extraído pertenece al conjunto J n ={n-16.441, n}, con el extremo inferior igual a 165.341-|n-16.441| si n-16.441<0 , dado el carácter circular de la lista. Si mediante J n designamos también el suceso, el número extraído pertenece al conjunto J n , entonces P( n excedente )=P(J n )
  57. 57. Excedentes de cupo del 98 en España (8) Probabilidad de formar parte del excedente de cupo
  58. 58. Excedentes de cupo del 98 en España (9) Probabilidad de formar parte del excedente de cupo
  59. 59. <ul><li>Las probabilidades obtenidas confirman lo que decíamos al principio y el diseño del sorteo hacía sospechar. </li></ul><ul><li>Posibles alternativas hubieran podido ser: </li></ul>Excedentes de cupo del 98 en España (10) Conclusiones <ul><li>Declarar excedentes a los 16.442 primeros, puesto que la asignación de números había sido aleatoria </li></ul><ul><li>Efectuar extracciones de los bombos sin restricción alguna hasta conseguir un número inferior al 165.342 (la probabilidad de repetir la extracción es 0.17) </li></ul>
  60. 60. I per acabar ... La versió moderna del jugador professional
  61. 62. fin
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×