Res teste2a 2-6-2012
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  • 1. Instituto Superior T´cnico e Departamento de Matem´tica a ca ´ Sec¸˜o de Algebra e An´lise a C´lculo Diferencial e Integral II a ˜ TESTE 2 - VERSAO A 2 de Junho de 2012 - das 9h00 `s 10h30 a Apresente e justifique todos os c´lculos a 1. Considere o conjunto S = {(x, y , z) ∈ R3 : z = 1 + xy }[2 v] (a) Mostre que S ´ uma variedade e calcule a sua dimens˜o. e a Resolu¸˜o: ca O conjunto S ´ o gr´fico da fun¸˜o f : R2 → R, de classe C 1 , definida por f (x, y ) = e a ca 1 + xy , logo S ´ uma variedade de dimens˜o 2. e a[1 v] (b) Determine o espa¸o normal a S no ponto (1, 1, 2). c Resolu¸˜o:ca S tamb´m pode ser descrito como o conjunto de n´ zero da fun¸˜o C 1 dada por e ıvel ca F (x, y , z) = 1 + xy − z. Como F (1, 1, 2) = (1, 1, −1), o espa¸o normal ´ c e (T(1,1,2) S)⊥ = {α(1, 1, −1) : α ∈ R} .[2 v] (c) Determine o ponto de S mais pr´ximo da origem. o Resolu¸˜o: ca Queremos determinar o ponto de m´ ınimo da fun¸˜o g (x, y , z) = x 2 + y 2 + z 2 sujeita ca ` restri¸˜o F (x, y , z) = 0 (onde F ´ a fun¸˜o definida na al´ a ca e ca ınea (b)). Pelo m´todo e dos multiplicadores de Lagrange, temos de resolver o sistema  2x = λy   g (x, y , z) = λ F (x, y , z) 2y = λx ⇐⇒ , F (x, y , z) = 0 2z = −λ    z = 1 + xy que tem uma unica solu¸˜o (x, y , z, λ) = (0, 0, 1, −2). Portanto, o ponto de S mais ´ ca pr´ximo da origem ´ (0, 0, 1). o e[3 v] 2. Mostre que a equa¸˜o ca sen(x + y ) + xy = 0 define y como fun¸˜o de x, ou seja y = f (x), numa vizinhan¸a do ponto (π, 0) e calcule ca c f (π). Resolu¸˜o: ca Seja F (x, y ) = sen(x + y ) + xy . A fun¸˜o F ´ de classe C 1 em R2 , o conjunto solu¸˜o ca e ca da equa¸˜o ´ o conjunto de n´ zero de F e F (π, 0) = 0, i.e., (π, 0) ´ uma solu¸˜o. ca e ıvel e ca
  • 2. As derivadas parciais de F s˜o a ∂F ∂F (x, y ) = cos(x + y ) + y e (x, y ) = cos(x + y ) + x . ∂x ∂y ∂F Como (π, 0) = −1 + π = 0, o Teorema da Fun¸˜o Impl´ ca ıcita garante que existe uma ∂y vizinhan¸a de (π, 0) tal que as solu¸oes da equa¸˜o s˜o da forma y = f (x), com f uma c c˜ ca a 1 fun¸˜o de classe C . ca Para calcular a derivada f (π) aplicamos a regra da derivada da fun¸˜o composta ` ca a ∂F ∂F equa¸˜o F (x, f (x)) = 0 e obtemos ca + f (x) = 0. Pondo x = π fica ∂x ∂y 1 −1 + (−1 + π)f (π) = 0 ⇐⇒ f (π) = . π−1 3. Considere o campo vectorial xz 2 yz 2 F (x, y , z) = + e x+y , + 2y e x+y , x2 + y2 − 1 x2 + y2 −1 x2 + y2 −1[1,5 v] (a) Mostre que F ´ gradiente no seu dom´ de defini¸˜o. Justifique a resposta. e ınio ca Resolu¸˜o: ca O dom´ de F ´ D = {(x, y , z) ∈ R3 : x 2 + y 2 > 1}. Claramente a fun¸˜o ınio e ca 2 ϕ(x, y , z) = z x 2 + y 2 − 1 + e x+y ´ de classe C 1 no conjunto D e ϕ = F , ou seja, ϕ ´ um potencial para F sendo, e e portanto, F um campo gradiente.[1,5 v] (b) Calcule o trabalho realizado pelo campo F ao longo do caminho g (t) = (1 + t 2 , 1 + t 6 , t 2012 ) , t ∈ [0, 1]. Justifique detalhadamente a resposta. Resolu¸˜o: ca Como F ´ um campo gradiente com potencial ϕ, pelo Teorema Fundamental do e C´lculo para integrais de linha, temos que a √ F · dg = ϕ(g (1)) − ϕ(g (0)) = ϕ(2, 2, 1) − ϕ(1, 1, 0) = 7 + e6 − e2 . C 4. Considere a superf´ ıcie S = (x, y , z) ∈ R3 : x 2 = y 2 + z 2 ; 1 < x < 2 orientada com a normal unit´ria n = (nx , ny , nz ) tal que nx > 0. Seja G (x, y , z) = a (2x, −y , −z). Calcule o fluxo S G · n: 2
  • 3. [3 v] (a) pela defini¸˜o; ca Resolu¸˜o: ca A superf´ S ´ uma sec¸˜o de um cone tendo por eixo de simetria o eixo dos ıcie e ca xx. Recorrendo `s coordenadas cil´ a ındricas (ρ, θ, x) em torno do eixo dos xx, onde ρ= y 2 + z 2 , obtemos a parametriza¸˜o ca g (ρ, θ) = (ρ, ρ cos(θ), ρ sen θ) com θ ∈]0, 2π[, ρ ∈]1, 2[ . Como ∂g ∂g = (1, cos θ, sen θ) e = (0, −ρ sen θ, ρ cos θ) ∂ρ ∂θ o vector normal ∂g ∂g × = (ρ, −ρ cos θ, −ρ sen θ) ∂ρ ∂θ tem o mesmo sentido de n. Logo, pela defini¸˜o de fluxo ca 2 2π ∂g ∂g G ·n =+ G (g (ρ, θ)) · × dθ dρ S 1 0 ∂θ ∂θ 2 2π = 3p 2 dθ dρ = 14π . 1 0[3 v] (b) usando o Teorema da Divergˆncia. e Resolu¸˜o: ca Seja T1 = {(x, y , z) ∈ R3 : x = 1, y 2 + z 2 ≤ 1} com normal unit´ria nT1 = a (−1, 0, 0), T2 = {(x, y , z) ∈ R3 : x = 2, y 2 + z 2 ≤ 4} com normal unit´ria a nT2 = (1, 0, 0) e seja D o s´lido limitado por S e pelos discos T1 e T2 . Portanto o ∂D = S ∪ T1 ∪ T2 , as normais nT1 e nT2 s˜o exteriores e a normal n ´ interior. Pelo a e Teorema da Divergˆncia, e div(G ) = − G ·n+ G · nT1 + G · nT2 . D S T1 T2 Dado que div(G ) = 0, fica G ·n = G · nT1 + G · nT2 S T1 T2 = (−2x) + (2x) = − 2+ 4 = −2π + 16π = 14π. T1 T2 T1 T2[3 v] 5. Seja D ⊂ R3 um dom´ regular. Sejam φ e ψ campos escalares definidos num aberto ınio ¯ ⊂ A), tais que φ, ψ ∈ C 2 (A). Mostre que: A (com D (φ ∆ψ + φ· ψ) = φ ψ·n D ∂D ∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ onde n ´ a normal unit´ria exterior a ∂D e onde ∆ψ = e a + + 2. ∂x 2 ∂y 2 ∂z 3
  • 4. Resolu¸˜o: caSeja F = φ ψ. Como ψ ´ de classe C 2 em A, ψ e, portanto, F s˜o de classe C 1 em e aA. Como ∂F1 ∂ ∂ψ ∂φ ∂ψ ∂ 2ψ = φ = +φ , ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂xpor simetria obt´m-se e ∂F1 ∂F2 ∂F3 div(F ) = + + ∂x ∂y ∂z 2 ∂φ ∂ψ ∂ ψ ∂φ ∂ψ ∂ 2ψ ∂φ ∂ψ ∂ 2ψ = +φ + +φ + +φ ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y ∂z ∂z ∂z 2 2 2 ∂φ ∂ψ ∂φ ∂ψ ∂φ ∂ψ ∂ ψ ∂ ψ ∂ ψ = + + +φ + + ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x ∂y ∂z = φ · ψ + φ∆ψ .Aplicando o Teorema da Divergˆncia ao dom´ e ınio regular D e ao campo vectorial F ,obt´m-se a igualdade pedida, uma vez que n ´ a normal unit´ria exterior. e e a 4