Cdi exame 2010
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Cdi exame 2010 Cdi exame 2010 Document Transcript

  • Instituto Superior T´cnico eDepartamento de Matem´tica a ca ´ Sec¸˜o de Algebra e An´lise a C´lculo Diferencial e Integral I a MEBiom, LMAC, MEFT, MEEC 2o Teste/1o Exame - 11 de Janeiro de 2010 - 17h00m Problema 1 (— |1,5 val.) Seja A um subconjunto n˜o vazio de R. Diga se ´ verdadeira ou a e falsa cada uma das afirma¸˜es seguintes: co (a) Se A tem m´ximo ent˜o A tem supremo: Verdadeiro a a (b) Se A tem ´ınfimo ent˜o A tem m´ a ınimo. Falso (c) A ´ limitado se e s´ se A tem supremo e ´ e o ınfimo. Falso Problema 2 (— |1,5 val.) Prove por indu¸˜o matem´tica que a seguinte afirma¸˜o ´ ver- ca a ca e dadeira para qualquer n ∈ N: 1 2 n 1 + + ··· + =1− 2! 3! (n + 1)! (n + 1)! ¸˜ Resolucao: Definimos n k Sn = (k + 1)! k=0 Temos a provar que n k 1 Sn = =1− , para qualquer n ∈ N (k + 1)! (n + 1)! k=0 Para n = 0 temos: 0 k 0 1 S0 = = =0=1− (k + 1)! 1! (0 + 1)! k=0 Supondo a afirma¸˜o verdadeira para n, observamos que: ca n+1 1 n+1 n+2 n+1 1 Sn+1 = Sn + = 1− + =1− + =1− (n + 2)! (n + 1)! (n + 2)! (n + 2)! (n + 2)! (n + 2)! Problema 3 (— |1 val.) Seja A um subconjunto limitado e n˜o vazio de R e seja un uma a qualquer sucess˜o de termos em A. Diga se ´ verdadeira ou falsa cada uma das afirma¸˜es a e co seguintes: (a) Se un ´ mon´tona ent˜o un ´ convergente. Verdadeiro e o a e (b) Se un ´ estritamente crescente ent˜o lim un = sup A. Falso e a (c) un tem pelo menos uma subsucess˜o convergente. Verdadeiro a Problema 4 (4 |3 val.) Calcule a fun¸˜o derivada de cada uma das quatro fun¸˜es seguintes: ca co
  • 2 (a) (sen x)3 + sen(x3 ) (b) xearctan x ex √ 1 x2 sen( x ), se x = 0 (c) log(1 + t)dt (d) x2 0, se x = 0 ¸˜Resolucao: (a) 3(sen x)2 cos x + cos(x3 )3x2 2 arctan x2 arctan x2 1 arctan x2 2x2 earctan x (b) e + xe 2x = e + √ 1 + x4 √ 1 + x4 (c) log(1 + e x )ex − log(1 + x2 )2x = log(1 + ex/2 ) − log(1 + |x|)2x 1 1 −1 1 1 (d) Se x = 0 a derivada ´: 2x sen( ) + x2 cos( ) 2 = 2x sen( ) − cos( ). A derivada e x x x x x em x = 0 ´ dada por: e 1 x2 sen( x ) 1 lim = lim x sen( ) = 0 x→0 x x→0 xProblema 5 (3 |2 val.) Calcule os seguintes trˆs limites: e x 1 − cos x 0 arcsen tdt (a) lim (b) lim (c) lim (log x)log x x→0 x2 x→0 sen x x→1 ¸˜Resolucao: 1 − cos x sen x 1 sen x 1 (a) lim = lim = lim = x→0 x x2 x→0 2x 2 x→0 x 2 arcsen tdt arcsen x (b) lim 0 = lim =0 x→0 sen x x→0 cos x (c) Para calcular lim (log x)log x = lim elog x log(log x) , notamos que x→1 x→1 1 log (log x) x log x lim log x log (log x) = lim 1 = lim 1 = − lim log x = 0 x→1 x→1 x→1 − x→1 log x x log2 x Conclu´ ımos que lim (log x)log x = lim elog x log(log x) = e0 = 1 x→1 x→1Problema 6 (4 |3 val.) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes quatro fun¸˜es: co ex x 3 (a) x cos x (b) (c) √ (d) 4 + ex 1 + x2 4 + x2 ¸˜Resolucao: (a) x cos xdx = x sen x − sen xdx = x sen x + cos x ex 1 (b) u = 4 + ex , du = ex dx, x dx = du = log u = log(4 + ex ) 4+e u x 1 √ (c) v = 1 + x2 , dv = 2xdx, √ dx = √ dv = v = 1 + x2 1 + x2 2 v
  • (d) 2w = x, 2dw = dx, 3 3 3 1 3 3 2 dx = 2 2dw = 2 dw = arctan w = arctan(x/2) 4+x 4 + 4w 2 1+w 2 2Problema 7 (3 |1,5 val.) Calcule a ´rea da regi˜o plana delimitada pelos gr´ficos da fun¸˜es a a a co|x| − 1 e x2 − 3. ¸˜Resolucao: Os gr´ficos s˜o sim´tricos em rela¸˜o ao eixo dos yy. a a e ca 2 1 2 1 1 2 1 2 3 4Para encontrar os pontos de intersec¸˜o dos gr´ficos, calculamos a intersec¸˜o positiva. Os ca a cagr´ficos intersectam-se em x ≥ 0 se e s´ se x − 1 = x2 − 3, ou x2 − x − 2 = 0. a oEsta equa¸˜o tem ra´ ca ızes x = −1 e x = 2, das quais apenas x = 2 ´ relevante (a outra e ca e ´intersec¸˜o ´ naturalmente em x = −2, por simetria). E claro que y = |x| − 1 est´ sobre ay = x2 − 3 quando −2 ≤ x ≤ 2 (basta notar o que ocorre quando x = 0) pelo que a ´rea em acausa ´: e 2 2 x=2 2 2 2 2x3 16 20 |x| − 1 − x + 3 dx = 2 (x − x + 2)dx = x − + 4x =4− +8= −2 0 3 x=0 3 3Problema 8 (—|1,5 val.) Determine a unica fun¸˜o F : R{0} → R que satisfaz as seguintes ´ catrˆs condi¸˜es: e co 1 F ′ (x) = , F (−1) = π, F (1) = e x ¸˜Resolucao: Temos log x + C1 , se x > 0 F (x) = log(−x) + C2 , se x < 0Como F (1) = C1 = e e F (−1) = C2 = π, a fun¸˜o F ´ dada por ca e log x + e, se x > 0 F (x) = log(−x) + π, se x < 0Problema 9 (3 |1,5 val.) Seja f ∈ C 2 (R) uma fun¸˜o tal que f (0) = f ′ (0) = 0. ca (a) Sendo ψ : R → R dada por ψ(x) = f (arctan x), mostre que ψ ′ (0) = f ′ (0) e que ψ ′′ (0) = f ′′ (0). Resolucao: ¸˜ 1 1 • ψ ′ (x) = f ′ (arctan x) donde ψ ′ (0) = f ′ (arctan 0) 1+02 = f ′ (0) = 0. 1 + x2
  • 1 2x • ψ ′′ (x) = f ′′ (arctan x) 2 )2 − f ′ (arctan x) donde (1 + x (1 + x2 )2 1 2×0 ψ ′′ (0) = f ′′ (arctan 0) − f ′ (arctan 0) = f ′′ (0). (1 + 02 )2 (1 + 02 )2 (b) Sendo φ : R → R dada por φ(x) = arctan(f (x)), mostre que φ′ (0) = f ′ (0) e que φ′′ (0) = f ′′ (0). Resolucao: ¸˜ f ′ (x) f′ ′ • φ (x) = donde φ′ (0) = 1+f(0) 2 = f ′ (0) = 0. (0) 1 + f (x)2 f ′′ (x)(1 + f (x)2 ) − f ′ (x)2f (x)f ′ (x) • φ′′ (x) = donde (1 + f (x)2 )2 f ′′ (0)(1 + f (0)2 ) − 2f (0)f ′ (0)2 φ′′ (0) = = f ′′ (0). (1 + f (0)2 )2 (c) Supondo que f ′′ (0) > 0, justifique que todas as fun¸˜es f , ψ e φ tˆm um extremo co e local da mesma natureza no ponto x = 0. Resolucao: Temos φ′ (0) = ψ ′ (0) = f ′ (0) = 0 e φ′′ (0) = ψ ′′ (0) = f ′′ (0) > 0 de ¸˜ ´ acordo com a) e b). E portanto evidente que as trˆs fun¸˜es φ, ψ e f tˆm um m´ e co e ınimo local em x = 0.Problema 10 (3 |1,5 val.) Seja f ∈ C n+1 (R) e seja Pn o polin´mio de Taylor de ordem n orelativo ao ponto zero. (a) Supondo que f (n+1) (0) ≥ 0 e que f (n+1) ´ crescente em R, prove que temos para e qualquer x ∈ R+ que xn+1 (n+1) 0 ≤ f (x) − Pn (x) ≤ f (x) (n + 1)! ¸˜ Resolucao: Escrevemos o erro na forma de Lagrange: xn+1 (n+1) f (x) − Pn (x) = f (θ), com 0 < θ < x (n + 1)! Temos por hip´tese que a derivada f (n+1) ´ crescente, donde o e 0 ≤ f (n+1) (0) ≤ f (n+1) (θ) ≤ f (n+1) (x) Como x > 0 conclu´ ımos tamb´m que e xn+1 (n+1) xn+1 (n+1) 0≤ f (θ) ≤ f (x) (n + 1)! (n + 1)! Temos portanto xn+1 (n+1) 0 ≤ f (x) − Pn (x) ≤ f (x) (n + 1)!
  • (b) Sabendo que e ≤ 3 mostre que 6 1 1 0<e− < k! 1.680 k=0 ¸˜ Resolucao: Se f (x) = aex ent˜o f (n) (x) = ex para qualquer n ∈ N e em particular f (n) (0) = 1. A f´rmula de Taylor de ordem n para a fun¸˜o exponencial em a = 0 ´ o ca e portanto n xk xn+1 eθ ex = + k! (n + 1)! k=0 6 1 eθ ´ Em particular, tomando n = 6 e x = 1 temos e = + , com 0 < θ < 1. E claro k! 7! k=0 a ınea anterior) que 0 < 1 = e0 < eθ < e1 = e < 3. Temos assim que (analogamente ` al´ 6 1 3 3 1 0<e− < = = k! 7! 5.040 1.680 k=0Problema 11 (— |2 val.) Seja f : R+ → R uma fun¸˜o diferenci´vel em R+ tal que, para ca aqualquer n ∈ N, 1 1 f ( ) = n e f (n) = n n (a) Suponha que f (x) > 0 para qualquer x ∈ R+ e determine f (R+ ). Justifique a sua resposta. ¸˜ Resolucao: A fun¸˜o f ´ diferenci´vel e portanto cont´ ca e a ınua no intervalo R+ = + ) ´ um intervalo I. Desi- ]0, +∞[. Pelo teorema do valor interm´dio, a imagem f (R e e gnando os extremos do intervalo I por α ≤ β e notando que f (x) > 0 para qualquer x ∈ R+ ´ claro que e α = inf{f (x) : x ∈ R+ }, β = sup{f (x) : x ∈ R+ } e 0 ≤ α ≤ β ≤ +∞ 1 • Como f ( n ) = n quando n ∈ N ´ evidente que β ≥ n para qualquer n ∈ N, donde e β = +∞. 1 1 • Como f (n) = n quando n ∈ N ´ evidente que 0 ≤ α ≤ n para qualquer n ∈ N, e donde α = 0. A equa¸˜o f (x) = 0 n˜o tem solu¸˜o, por hip´tese, e conclu´ ca a ca o ımos que 0 ∈ I, ou seja, I ´ o intervalo aberto I = f (R+ ) =]0, +∞[= R+ . e (b) Poder´ existir e ser finito o lim f ′ (x)? Justifique a sua resposta. a x→0 1 1 ¸˜ Resolucao: N˜o. Basta aplicar o teorema de Lagrange no intervalo In = [ n+1 , n ] a para concluir que existe cn ∈ In tal que 1 1 f ( n ) − f ( n+1 ) n − (n + 1) −1 1 1 = f ′ (cn ) = 1 1 = n+1−n = −n(n + 1) n − n+1 n − n+1 n(n+1) ´ Quando n → +∞ temos cn → 0 e f ′ (cn ) = −n(n + 1) → −∞. E portanto claro que ′ lim f (x) n˜o pode existir e ser finito. a x→0