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  • Gestão de Stocks Exercício 1 – Enunciado Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão Uma empresa de construção civil mantém um stock de um dado material de construção B com que pretende satisfazer as necessidades de diversas obras que tem em curso. Estas necessidades rondam as 1000 unidades de B por dia e esta empresa tem vindo a adoptar como regra de gestão, colocar encomendas deste material de forma a que estas sejam recebidas de 15 em 15 dias. Cada unidade de B custa à empresa 1.46€, e manter em stock uma unidade de B durante um ano custa à empresa 5% do capital empregue na compra dessa unidade. O Luís, recém-licenciado pelo IST e contratado por esta empresa, apercebeu-se de que as técnicas de Gestão de Stocks poderiam contribuir para a melhoria da gestão do stock deste material. Analisando as contas da empresa, ele pôde estimar que a colocação, transporte e recepção de uma encomenda de B acarretam uma despesa fixa de 160€ independentemente da dimensão do lote. Se estivesse no lugar do Luís, que sugestões apresentaria à empresa para melhorar a gestão do stock de B? Procure quantificar os benefícios que resultariam da aceitação da sugestão e explique claramente os critérios em que se baseia e as hipóteses que admitiu. NOTA: Considere que 1 ano equivale a 365 dias. 1
  • Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Modelos determinísticos 2 Slide de aulas teóricas sobre Logística e Gestão de Stocks
  • Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Modelos determinísticos 3 Slide de aulas teóricas sobre Logística e Gestão de Stocks
  • Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Modelos determinísticos 4 Slide de aulas teóricas sobre Logística e Gestão de Stocks
  • Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Modelos determinísticos 5 Slide de aulas teóricas sobre Logística e Gestão de Stocks
  • Gestão de Stocks Exercício 1 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão Dados do problema (1 ano = 365 dias) Taxa de procura, Custo de encomenda, Custo de aquisição, Custo de posse, Período do ciclo, r A c1 c2 T = 1000 unidades/dia = 365000 unidades/ano = 160€/encomenda (ciclo) = 1.46€/unidade = 0.05 × 1.46 €/unidade/ano = 15 dias = 15/365 ano Hipóteses (aproximações) do modelo de reposição instantânea e penúria/rotura não permitida 1. Taxa de procura r constante; 2. Quantidade encomendada por ciclo, Q, para reposição do nível do stock/inventário, I(t), chega, sob a forma de um lote único, quando I(t) = 0; 3. Rotura do stock não é permitida. 4. Condição de equilíbrio dinâmico (ciclos estacionários): Tr = Q Função critério/objectivo a minimizar: Custos totais por unidade de tempo (€/ano): K(Q) 6
  • Gestão de Stocks Exercício 1 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão Custos totais por ciclo (€ / ciclo)  Q2  Q  Q  Q Q CT (Q) = A + c2  T  + c1Q = A + c2  T  + c1Q = A + c2   + c1Q  + c1Q = A + c2  2r  2  2  2 r  Número de ciclos por unidade de tempo (ciclos / ano) NCiclos = 1 r = T Q I(t) Tr = Q ⇒ T = Ciclo 1 Q r Ciclo 2 ... 1 Q r Função objectivo : Custos totais por unidade de tempo (€ / ano) K ( Q ) = CT (Q) × NCiclos 0 T T ... t   1  A Q A Ar Q  Q Q Q =  A + c2  T  + c1Q    = + c2   + c1 = + c2   + c1r = + c2   + c1r T Q Q 2  2 2 2   T  T   r K (Q ) = Ar Q + c2   + c1r Q 2 7
  • Gestão de Stocks Exercício 1 - Resolução Modelos determinísticos Problema de optimização min. K ( Q ) = Gestão e Teoria da Decisão Q Ar Q + c2   + c1r Q 2 Condições suficientes para minimizador , Q* , da função K ( Q )  dK ( Q )  Ar c 2 Ar = 0 ⇒ − *2 + 2 = 0 ⇒ Q* = +   Q 2 c2  dQ  Q =Q*  2 2 Ar 2c  d K (Q )  > 0 ⇒ *3 = *2 > 0   dQ 2 Q Q  Q =Q*  Solução 2 Ar Q* 2A * Q =+ , T = = c2 r c2 r * Ar Q* K ( Q ) = * + c2 + c1r Q 2 * = 2 A2 r 2 c2 2 Arc2 + + c1r = 2 Ar 4c2 = 2 Arc2 + c1r Arc2 + 2 Arc2 Arc2 + c1r = 2 + c1r 2 2 8
  • Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Exercício 1 - Resolução Modelos determinísticos Cálculos 1. Política (solução) corrente 15 T = ano 365 15 Q =T ×r = × 365000 = 15000 unidades/ciclo (unidades/encomenda) 365 Ar Q K (Q ) = + c2 + c1r = 537341€/ano (c1r = 532900 €/ano) Q 2 2. Política (solução) optimal Q* = + 2 Ar 2 × 160 × 365000 =+ = 40000 unidades/encomenda 0.05 × 1.46 c2 Q* 40000 Ar Q* * T = = = 0.1096 ano = 40 dias, K ( Q ) = * + c2 + c1r = 535820 €/ano r 365000 Q 2 * 3.Melhoria ∆K ∆K = K ( Q* ) − K ( Q ) = 535820 − 537341 = − 1521 €/ano 9
  • Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Exercício 2 - Enunciado Modelos determinísticos Considere um estaleiro de construção metálica em que existem diversos equipamentos electromecânicos que incluem numerosos componentes de certo tipo XPTO, cujo custo unitário de aquisição é de 100 €. Estes componentes avariam-se com alguma frequência, estimando-se que o número de unidades avariadas semanalmente, que devem ser substituídas por outras novas, é aproximadamente constante e igual a 10 peças. O custo de rotura resultante de faltar um componente durante uma semana é de 150 €, enquanto o custo de posse semanal por peça é de cerca de 10€. O custo fixo de encomenda é estimado em 500 €. Formule o problema da gestão do stock dos componentes sobressalentes e calcule o intervalo de tempo óptimo entre encomendas, bem como a capacidade de armazenagem necessária. 10
  • Gestão de Stocks Exercício 2 - Resolução Modelos determinísticos Problema de reposição instantânea, penúria permitida. Gestão e Teoria da Decisão Dados do problema Taxa de procura, Custo de encomenda, Custo de aquisição, Custo de posse, Custo de rotura, r A c1 c2 c3 = 10 unidades/semana = 500€/encomenda (ciclo) = 100 €/unidade = 10 €/unidade/semana = 150 €/unidade/semana Hipóteses (aproximações) do modelo de reposição instantânea e penúria/rotura permitida 1. Taxa de procura r constante; 2. Quantidade encomendada por ciclo, Q, para reposição do nível do stock/inventário, I(t), chega, sob a forma de um lote único, quando I(t) = 0; 3. Rotura do stock é permitida com máximo de S encomendas em carteira a satisfazer imediatamente após recepção de nova encomenda. 4. Condição de equilíbrio dinâmico (ciclos estacionários): Tr = Q Função critério/objectivo a minimizar: Custos totais por unidade de tempo (€/ano): K(Q, S) 11
  • Gestão de Stocks Exercício 2 - Resolução Modelos determinísticos a) Função critério/objectivo a minimizar: Custos totais por unidade de tempo (€/semana): K(Q,S) I(t) Ciclo 2 1 Q-S T2 r = S r T1 c T2 0 Tr = Q ... Q c Gestão e Teoria da Decisão Ciclo 1 T1r = ( Q − S ) ⇒ T1 = ... S (Q − S ) r S r Q ⇒T = r ⇒ T2 = t T=T1+T2 1.Custo total por ciclo, CT ( Q, S ) 2  (Q − S )   (Q − S ) (Q − S )  (Q − S ) + c S 2 + c Q S  S S CT ( Q, S ) = A + c2  T1  + c3  T2  + c1Q = A + c2   + c3  3 1  + c1Q = A + c2 r 2r 2r 2  2 r  2   2  1 r 2.No. ciclos por unidade de tempo: NCiclos = = T Q 3.Custo total por unidade de tempo, K ( Q, S ) 2 2  ( Q − S ) + c S 2 + c Q  r = Ar + c ( Q − S ) + c S 2 + c r K ( Q, S ) = CT ( Q, S ) × NCiclos =  A + c2 3 1  2 3 1   2r 2r 2Q 2Q  Q Q 12
  • Gestão de Stocks Exercício 2 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão Problema de gestão de stocks - Problema de optimização :  ( Q − S )2  Ar S2 min. K (Q, S ) = + c2  +cr +c Q, S  2Q  3 2Q 1 Q   Condições suficientes para minimizador , ( Q* , S * ) , da função K ( Q, S )  ∂CT ( Q, S )  2  =0 Q* − S * )  ( cAr S *2 S*  − ∂Q =Q − c2 − c3 *2 + c3 * = 0  Q=S **  S   Q*2 Q 2Q*2 2Q  ⇒   ∂CT ( Q, S )   c2Q* − ( c2 + c3 ) S * =0 =0   − ∂S Q =Q* Q*  S =S *      Hessiana definida positiva 13
  • Gestão de Stocks Exercício 2 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão Problema de optimização  ( Q − S )2  Ar S2 min. K (Q, S ) = + c2  +cr +c Q, S  2Q  3 2Q 1 Q   Solução Q* = + 2 Ar  c2 + c3    c2  c3  S* = + 2 Ar  c2   c2  *   = Q c3  c2 + c3   c2 + c3  Q* Q* − S * S* * * T = , T1 = , T2 = r r r  ( Q* − S * )2  *2 Ar * *   + c3 S + c1r K (Q , S ) = * + c2  2Q*  Q 2Q*   * 14
  • Gestão de Stocks Exercício 2 - Resolução Modelos determinísticos Cálculos Gestão e Teoria da Decisão Q* = + 2 Ar  c2 + c3  2 × 500 × 10  10 + 150  =     = 32.66 unidades/encomenda (33) c2  c3  10 150   S* = + 2 Ar  c2  2 × 500 × 10  10   =   = 2.04 unidades em carteira/falta (máximo)/ciclo (2) 150 10 + 150  c3  c2 + c3   Q* 33 T = = = 3.3 semanas = 23 dias r 10  ( Q* − S * ) 2  Ar S *2 * *  + c3 K (Q , S ) = * + c2  + c1r *  2Q  Q 2Q*   *  312  500 × 10 22 ≅ + 10   + 150 + 100 × 10 =1306 € / semana 33 66  66  Capacidade de armazenagem: Q* − S * = 33 − 2 = 31 unidades 15
  • Gestão de Stocks Gestão e Teoria da Decisão Exercício 8 - Enunciado Modelos determinísticos A BetoNice recebe por transporte ferroviário, nas suas instalações, a areia que incorpora na sua produção de betão, com um consumo que ronda as 300 toneladas anuais. A BetoNice foi recentemente contactada por um novo fornecedor que lhe propôs o fornecimento de uma areia de primeira qualidade ao preço de 300€ a tonelada. Face a esta proposta, a Direcção Comercial decidiu avaliar os custos associados ao aprovisionamento e manutenção de stocks de areia. Para o efeito, é já conhecido o custo fixo associado a uma encomenda (400€), o custo anual de posse (266€ por tonelada) e os custos de transporte, de 1500€ por vagão necessário ao transporte (cada vagão transporta um máximo de 50 toneladas de areia). a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas. b) Face a este valor, a Direcção Comercial decidiu continuar as negociações com o novo fornecedor. Nestas, o fornecedor aceitou efectuar um desconto de 15% no preço da areia desde que fosse encomendado um mínimo de 100 ton de cada vez. Com estas novas condições que quantidade deve ser encomendada? 16
  • Gestão de Stocks Exercício 8 - Resolução Modelos determinísticos a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas. Gestão e Teoria da Decisão Dados do problema Taxa de procura, r = 300 ton/ano Proposta de novo fornecedor Custo de aquisição, Custo de posse, Custo fixo de encomenda, Custo de transporte, c1 c2 A a = 300 €/ton = 266 €/ton/ano = 400€/encomenda (ciclo) = 1500 € /vagão, 1vagão = 50 ton. Hipóteses (aproximações) do modelo de reposição instantânea e penúria/rotura não permitida 1. Taxa de procura r constante; 2. Quantidade encomendada por ciclo, Q, para reposição do nível do stock/inventário, I(t), chega, sob a forma de um lote único, quando I(t) = 0; 3. Rotura do stock não é permitida. 4. Condição de equilíbrio dinâmico (ciclos estacionários): Tr = Q 17
  • Gestão de Stocks Exercício 8 - Resolução Modelos determinísticos a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas. Gestão e Teoria da Decisão Fixado o número, n (n=1,2,...), de vagões, o custo fixo, An, é igual a A + n × a, e a quantidade óptima a encomendar, Qn*, é a solução do seguinte problema de optimização com variável limitada: min. Q K ( Q; n ) = An r Q + c2 + c1r , onde An = A + n × a 2 Q sujeita a : 50 ( n − 1) < Q ≤ 50n Propriedades das funções K ( Q; n ) , vidé figura no slide seguinte : 1. K ( Q; n ) , ∀n ∈ ℕ, são funções convexas para todo o Q > 0 ( d 2 K dQ 2 > 0, ∀Q > 0); * 2. K ( Q; n ) , ∀n ∈ ℕ, têm minimizadores globais únicos não constrangidos, Qn = 2 An r ; c2 3. K ( Q; n1 ) < K ( Q; n2 ) , ∀Q > 0 ∧ ( n1 < n2 , n1 , n1 ∈ ℕ ) ; * * * * 4. K n1 < K n2 , ∀n1 < n2 , onde K n = K ( Qn ; n ) , o valor optimal da função K ( Q; n ) ; * * * 5. K ( Q; n ) > K ( Qn ; n ) , ∀Q ≠ Qn ( por definição de minimizador global único, Qn ) . 18
  • Gestão de Stocks Exercício 8 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas. n=3 n=2 Minimizador constrangido : min ( Q1* ,50 ) * Minimizadores não constrangidos : Qn = 2 ( A + na ) r c2 n =1 0 < Q ≤ 50 50 < Q ≤ 100 100 < Q ≤ 150 19
  • Gestão de Stocks Exercício 8 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas. Algoritmo Para n = 1,2,... Resolver problema de optimização com variável limitada min. Q K ( Q; n ) = ( A + n × a)r + c Q Q + c1r 2 2 sujeita a: 50 ( n − 1) < Q ≤ 50n Solução 2( A + n × a) r c2 * Qn = * * * Se 50 ( n − 1) < Qn ≤ 50n, K n = K ( Qn ; n ) = ( A + n × a)r + c * Qn * Qn + c1r , M = n, Terminar 2 2 Senão * * * Se Qn > 50n, Qn = 50n, Senão Qn = 50 ( n − 1) * * K n = K ( Qn ; n ) = ( caso Q * n ≤ 50 ( n − 1) ) , Fim ( A + n × a)r + c * Qn * Qn + c1r 2 2 Fim Fim de Para * n* =arg min (K n , n = 1,2,.., M ) n 20
  • Gestão de Stocks Exercício 8 - Resolução Modelos determinísticos a) Determine a quantidade óptima a encomendar ao novo fornecedor e o correspondente intervalo de tempo entre encomendas. Cálculos Gestão e Teoria da Decisão n = 1, Q1* = 2( A + a) r = 65 ton, Q1* > 50 c2 * n = 2, Q2 = 2 ( A + 2a ) r * * * = 87 ton, 50<Q2 ≤ 100 ⇒ Q2 = 87 ton, K 2 = ( 23295 + 90000 ) € / ano, (Terminar) c2 ⇒ Q1* = 50 ton, K1* = (18050 + 90000 ) € / ano Solução Q1* 50 1 n = arg min ( K , n = 1, 2 ) = 1, Q = 50 ton, K = (18050 + 90000 ) € / ano, T = = = ano (2meses ) r 300 6 * * n * 1 * 1 * N.B. constante c1r = 90000 21
  • Gestão de Stocks Exercício 8 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão b) Face a este valor, a Direcção Comercial decidiu continuar as negociações com o novo fornecedor. Nestas, o fornecedor aceitou efectuar um desconto de 15% no preço da areia desde que fosse encomendado um mínimo de 100 ton de cada vez. Com estas novas condições que quantidade deve ser encomendada? Novo custo de aquisição, c1 = 0.85×300 €/ton = 255 €/ton, para Q ≥ 100 ton (n ≥ 2) Problema(s) de optimização Para n = 2,3,... min. Q K ( Q; n ) = ( A + n × a)r + c 2 Q Q + c1r 2 sujeita a: Q ≥ 100, 50 ( n − 1) ≤ Q ≤ 50n Solução 2( A + n × a) r c2 * Qn = Se Q ≥ 100, K = K ( Q ; n ) * n * n * n Senão Q = 100 * n ( caso Q * n ( A + n × a)r + c = * Qn + c1r , M = n, Terminar 2 2 * Qn < 100 ) , K = K ( Q ; n ) * n * n ( A + n × a)r + c = * Qn * Qn + c1r 2 2 Fim Fim de Para * n* =arg min (K n , n = 1,2,.., M ) n 22
  • Gestão de Stocks Exercício 8 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão b) Face a este valor, a Direcção Comercial decidiu continuar as negociações com o novo fornecedor. Nestas, o fornecedor aceitou.... Constrangimentos : n = 2 : Q ≥ 100, 50 < Q ≤ 100 ≡ Q = 100 n = 3; Q ≥ 100, 100 < Q ≤ 150 ≡ 100 < Q ≤ 150 n=3 * Minimizador constrangido : max (100,Q2 ) n=2 * Minimizadores não constrangidos : Qn = 100 < Q ≤ 150 2 ( A + na ) r c2 23
  • Gestão de Stocks Exercício 8 - Resolução Modelos determinísticos Gestão e Teoria da Decisão b) Face a este valor, a Direcção Comercial decidiu continuar as negociações com o novo fornecedor. Nestas, o fornecedor aceitou efectuar um desconto de 15% no preço da areia desde que fosse encomendado um mínimo de 100 ton de cada vez. Com estas novas condições que quantidade deve ser encomendada? Novo custo de aquisição, c1 = 0.85×300 €/ton = 255 €/ton, para Q ≥ 100 ton (n ≥ 2) Cálculos * n = 2, Q2 = 2 ( A + 2a ) r * * * = 87 ton, Q2 < 100 ⇒ Q2 = 100 ton, K 2 = ( 23500 + 76500 ) € / ano c2 * n = 3, Q3 = 2 ( A + 3a ) r * * * = 105 ton, Q3 > 100 ⇒ Q3 = 105 ton, K 3 = ( 23679 + 76500 ) € / ano, (Terminar) c2 Solução * * * n* = arg min ( K n , n = 2,3) = 2, Q2 = 100 ton, K 2 = ( 23500 + 76500 ) € / ano, T * = * Q2 100 1 = = ano (4 meses) r 300 3 N.B. constante c1r = 76500 Comparação com alínea a ) a ) c1 = 300 €/ton, Q1* = 50 ton, K1* = (18050 + 90000 ) € / ano * * b) c1 = 255 €/ton, Q2 = 100 ton, K 2 = ( 23500 + 76500 ) € / ano * ∆K = K 2 − K1* = −8050 € / ano(poupança com a solução b, desconto de 15% no custo de aquisição) 24
  • Gestão de Stocks Modelos determinísticos Anexo : Encomenda simultânea de dois artigos A e B Gestão e Teoria da Decisão Custos totais por ciclo (€ / ciclo) Q  Q  CT (QA , QB ) = A + c2 A  A T  + c2 B  B T  + c1 AQA + c1BQB  2   2  Q Q r T = A = B ⇒ QA = QB A rA rB rB Q r  r Q  CT (QB ) = A + c2 A  B A T  + c2 B  B T  + c1 AQB A + c1BQB rB  2   2rB  Número de ciclos por unidade de tempo (ciclos / ano) NCiclos = 1 r r = = B T Q QB Função objectivo : Custos totais por unidade de tempo (€ / ano) K ( QB ) = CT (QB ) × NCiclos = = Q r  r CT (QB ) A Q  c Q  = + c2 A  B A  + c2 B  B  + c1 AQB A +  1B B  T T rBT  T   2   2rB  Q r  c Q r  ArB r r Q  + c2 A  B A  + c2 B  B  + c1 AQB A B +  1B B B  QB rB QB  QB   2   2rB  K ( QB ) =  Q  ArB   rA  +  c2 A   + c2 B   B  + c1 ArA + c1B rB QB   rB   2  25