2ºexame   1ºsemestre - 2009-2010
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2ºexame   1ºsemestre - 2009-2010 2ºexame 1ºsemestre - 2009-2010 Document Transcript

  • Instituto Superior T´cnico e Vers˜o 1 aDepartamento de Matem´tica a rubrica do aluno: ´ 2o EXAME DE ALGEBRA LINEAR 1o semestre 09/10 Cursos: LEGM, MEC 29 de Janeiro de 2010 Nome: N´mero: u Curso: Turma: Rubrique as p´ginas ´ a ımpares deste caderno Sala: O Exame que vai realizar tem a dura¸˜o de 3 horas e consiste de 13 problemas. Os 10 ca primeiros s˜o de escolha m´ltipla; cada resposta certa vale 1 valor, cada resposta em branco a u vale 0, e cada resposta errada vale -1/3 da cota¸˜o dessa pergunta. Os 3 ultimos problemas ca ´ n˜o s˜o de escolha m´ltipla e a sua cota¸˜o figura na ultima tabela desta p´gina. Nesta parte a a u ca ´ a deve justificar as suas respostas e apresentar todos os c´lculos que efectuar. Note que a sua a prova s´ ser´ considerada v´lida se obtiver pelo menos 2,5 valores nos 3 ultimos problemas. o a a ´ Para os 10 primeiros problemas, marque com × as suas escolhas na tabela seguinte. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A) B) C) D) Os quadros abaixo destinam-se ` correc¸˜o da prova. Por favor n˜o escreva nada. a ca a Escolha M´ltipla u Nota da Escolha M´ltipla u , N´mero de respostas certas u Prob. 11.1 0,75 Val , N´mero de respostas erradas u Prob. 11.2 0,75 Val , Prob. 11.3 0,75 Val , Prob. 11.4 0,75 Val , Prob. 12.1 0,75 Val , Prob. 12.2 0,75 Val , Prob. 12.3 0,75 Val , Prob. 12.4 0,75 Val , Prob. 13.1 1,00 Val , Prob. 13.2 0,75 Val , Prob. 13.3 0,75 Val , Prob. 13.4 0,75 Val , Prob. 13.5 0,75 Val , TOTAL , 1
  • Problema 1 (1 valor)Qual o valor do determinante da matriz   1 2 3  2 4 6 ? 3 6 9A) -1, B) 0, C) 1, D) 16.Problema 2 (1 valor)Sejam α um n´mero real, A e B duas matrizes quadradas da mesma ordem n ≥ 2, e At e B t uas respectivas transpostas. Considere as seguintes afirma¸˜es: coI. det(αA) = α det A, II. det(A + B) = det A + det B,III. det(AB) = (det A)(det B), IV. det(At B) = (det A)(det B).Qual ´ a lista completa das que s˜o verdadeiras para qualquer escalar α e quaisquer matrizes e aA e B nas condi¸˜es acima indicadas? coA) III e IV, B) II e III, C) I e II, D) I, III e IV.Problema 3 (1 valor)Considere a matriz   1 2 3 x A =  1 y 2 3 , 1 2 z wem que x, y, z e w s˜o n´meros reais que se pretendem escolher por forma que o n´cleo da a u umatriz A seja gerado pelo vector (1, 1, −1, −1).Qual das seguintes ´ a escolha acertada para o vector (x, y, z, w)? eA) (0, 3, 3, 0), B) (0, 4, 3, 0), C) (0, 4, 1, 2), D) (0, 4, 3, 1).Problema 4 (1 valor)Seja S o subespa¸o de P3 gerado pelos quatro polin´mios seguintes: c o P1 (t) = (1 − t)2 , P2 (t) = t(1 − t)2 , P3 (t) = (1 − t)(1 − t2 ), P4 (t) = (1 − t)3 , t ∈ R.Qual ´ a dimens˜o do subespa¸o S? e a cA) 1 B) 2 C) 3 D) 4.Problema 5 (1 valor)Considere a transforma¸˜o linear T : R3 → R3 que ´ representada em rela¸˜o ` base can´nica ca e ca a ode R3 pela matriz   1 3 1  1 1 3 . 2 1 7Qual das express˜es seguintes ´ valida para todo o vector (x, y, z) ∈ R3 ? o eA) T (x, y, z) = (x + y + 2z, 3x + y + z, x + 3y + 7z),B) T (x, y, z) = (x + y + 2z, x + 3y + z, 3x + y + 7z),C) T (x, y, z) = (z + 3y + x, 3z + y + x, 7z + y + 2x),D) T (x, y, z) = (z + 3y + x, z + y + 3x, 7z + y + 2x). 2
  • (Rascunho) Vers˜o 1 a rubrica do aluno: 3
  • Problema 6 (1 valor)Considere a transforma¸˜o linear T : R3 → R3 definida por ca T (x, y, z) = (x + y + 2z, x + 2y + 3z, 2x + 3y + 5z), (x, y, z) ∈ R3 .Representando por N (T ) e I(T ) o n´cleo de T e a imagem (ou contradom´ u ınio) de T , respecti-vamente, qual das seguintes afirma¸˜es ´ verdadeira? co eA) (1, 1, −1) ∈ N (T ) e (0, 1, 2) ∈ I(T ), B) (1, 1, −1) ∈ N (T ) e (1, 5, 6) ∈ I(T ),C) (1, 1, −1) ∈ N (T ) e (1, 5, 5) ∈ I(T ), D) (1, −1, −1) ∈ N (T ) e (1, 5, 5) ∈ I(T ).Problema 7 (1 valor)Seja S o subespa¸o de R3 gerado pelos trˆs vectores seguintes: c e v1 = (1, 1, −1), v2 = (1, 2, 1), v3 = (1, 5, 7).Qual dos seguintes conjuntos ´ uma base ortogonal de S? eA) {(1, 1, −1), (1, 4, 5), (3, −2, 1)},B) {(1, 1, −1), (1, 4, 5), (−3, 2, 1)},C) {(1, 1, −1), (3, −2, 1)},D) {(1, 2, 1), (2, 1, −4)}.Problema 8 (1 valor)Seja S o subespa¸o definido no problema anterior. Qual ´ a distˆncia do vector (2, −3, 2) ao c e asubespa¸o S? c √ √ √ √A) 2, B) 7, C) 14, D) 21.Problema 9 (1 valor)Sejam 3 4 1 2 A1 = , A2 = 1 3 2 −2e QA1 , QA2 as formas quadr´ticas em R2 que lhes est˜o associadas, respectivamente. a aQual das seguintes ´ a afirma¸˜o verdadeira? e caA) QA1 e QA2 s˜o (ambas) definidas positivas, aB) QA1 e QA2 s˜o (ambas) indefinidas, aC) QA1 ´ definida positiva e QA2 ´ definida negativa, e eD) QA1 ´ definida positiva e QA2 ´ indefinida. e eProblema 10 (1 valor)Seja T : R2 → R2 uma transforma¸˜o linear, que tem {2, 3} como conjunto de valores pr´prios ca oe cujos espa¸os pr´prios associados s˜o, respectivamente, c o a E(2) = L({(1, 2)}), E(3) = L({(1, 3)}). e a ıtica de T , v´lida para qualquer par (x, y) ∈ R2 ?Qual das seguintes ´ a express˜o anal´ aA) T (x, y) = (y, −6x + 5y), B) T (x, y) = (−x + y, −6x + 5y),C) T (x, y) = (−6x + 5y, x), D) T (x, y) = (2x + y, −3x + 5y). 4
  • (Rascunho) Vers˜o 1 a rubrica do aluno: 5
  • Problema 11 (3 valores)Seja T : R4 → R3 a transforma¸˜o linear definida por ca T (x, y, z, w) = (x − y + z, x − y + w, w − z), (x, y, z, w) ∈ R4 . 1. Comece por calcular as imagens por T dos vectores da base can´nica de R4 e use-as para o escrever a matriz que representa T em rela¸˜o `s bases can´nicas de R4 e R3 . ca a o 2. Indique uma base e a dimens˜o de N (T ) - o n´cleo ou espa¸o nulo de T ; a u c 3. Indique uma base e a dimens˜o de I(T ) - a imagem ou contradom´ a ınio de T ; 4. Indique um valor de α ∈ R para o qual a equa¸˜o ca T v = (1, 2, α) ´ poss´ e, para esse valor de α, determine as solu¸˜es daquela equa¸˜o. e ıvel co caNesta parte justifique todas as respostas e apresente os c´lculos que efectuar. a 6
  • Vers˜o 1 a rubrica do aluno:7
  • Problema 12 (3 valores)Seja S o subespa¸o (plano) de R3 formado pelos elementos (x, y, z) ∈ R3 que satisfazem a cequa¸˜o (cartesiana): ca 2x + y − z = 0.Determine sucessivamente: 1. Uma base de S ⊥ , o (complemento) ortogonal de S; 2. Uma base ortogonal de S; 3. A distˆncia de v = (1, 1, 1) ao subespa¸o S; a c 4. Uma equa¸˜o cartesiana do subespa¸o (plano) que ´ ortogonal a S e que cont´m o vector ca c e e (1, 1, 3).Nesta parte justifique todas as respostas e apresente os c´lculos que efectuar. a 8
  • Vers˜o 1 a rubrica do aluno:9
  • Problema 13 (4 valores)Seja A ∈ R3×3 a matriz definida por   1 0 0 A =  2 1 2 . 3 2 1 1. Determine os valores pr´prios de A e uma base para cada um dos espa¸os pr´prios (sub- o c o 3 espa¸os de R ) associados; c 2. Mostre que A ´ diagonaliz´vel. Indique uma base de R3 e uma matriz de mudan¸a de e a c base S tal que D = S −1 AS ´ diagonal. e 3. Escreva uma express˜o anal´ a ıtica da transforma¸˜o linear T : P2 → P2 que ´ representada ca e pela matriz A em rela¸˜o ` base can´nica de P2 ; Mais precisamente, sendo p(t) = a + ca a o 2 bt + ct , t ∈ R, escreva T p(t) = X + Y t + Zt2 , t ∈ R (onde X, Y e Z dependem dos coeficientes a, b, c ∈ R de p). 4. Indique uma base B de P2 em rela¸˜o ` qual T ´ representada por D (determinada em ca a e 2). 5. Resolva a equa¸˜o ca T p = p1 + p2 + p3 , em que B = (p1 , p2 , p3 ).Nesta parte justifique todas as respostas e apresente os c´lculos que efectuar. a 10
  • Vers˜o 1 a rubrica do aluno:11
  • (Rascunho) 12
  • ´ 2o EXAME DE ALGEBRA LINEAR 1o semestre 09/10 Cursos: LEGM, MEC 29 de Janeiro de 2010 Escolha M´ ltipla - Chave u Exame 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A) X XVers˜o 1 a B) X X X C) X X X D) X X Exame 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A) X XVers˜o 2 a B) X X C) X X X D) X X X Exame 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A) X XVers˜o 3 a B) X X X C) X X X X D) X Exame 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A) X XVers˜o 4 a B) X X X C) X D) X X X X
  • 2◦ Exame - Vers˜o 1 (29/01/2010) a Problema 11 (3 valores) Seja T : R4 → R3 a transforma¸˜o linear definida por ca T (x, y, z, w) = (x − y + z, x − y + w, w − z), (x, y, z, w) ∈ R4 . 1. Comece por calcular as imagens por T dos vectores da base can´nica de R4 e use-as para o escrever a matriz que representa T em rela¸˜o `s bases can´nicas de R4 e R3 . ca a o 2. Indique uma base e a dimens˜o de N (T ) - o n´cleo ou espa¸o nulo de T ; a u c 3. Indique uma base e a dimens˜o de I(T ) - a imagem ou contradom´ a ınio de T ; 4. Indique um valor de α ∈ R para o qual a equa¸˜o ca T v = (1, 2, α) ´ poss´ e, para esse valor de α, determine as solu¸˜es daquela equa¸˜o. e ıvel co ca Resolu¸˜o: ca 11.1 Sejam BR4 = (e1 , e2 , e3 , e4 ) e BR3 = (f1 , f2 , f3 ) as bases can´nicas de R4 e R3 , respec- otivamente, com e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1), f1 = (1, 0, 0), f2 = (0, 1, 0), f3 = (0, 0, 1).Pela defini¸˜o da transforma¸˜o T , tem-se ca ca T e1 = (1, 1, 0) = f1 + f2 ; T e2 = (−1, −1, 0) = −f1 − f2 ; T e3 = (1, 0, −1) = f1 − f3 ; T e4 = (0, 1, 1) = f2 + f3 .Por defini¸˜o, a matriz A ∈ R3×4 que representa T em rela¸˜o `s bases can´nicas de R4 e R3 ´ ca ca a o e 3aquela cuja coluna j(= 1, 2, 3, 4) cont´m as componentes (na base can´nica de R ) da imagem e opor T do vector ej . Assim, de acordo com os c´lculos anteriores, conclui-se que: a   1 −1 1 0 A =  1 −1 0 1  . 0 0 −1 1 11.2-11.3 O m´todo de elimina¸˜o de Gauss permite obter de uma s´ vez uma base para e ca oo n´cleo NA e uma base para o espa¸o das colunas CA de A. Usando a identifica¸˜o habitual u c ca nde representar os vectores de R (n ∈ N) como vectores colunas, os n´cleos de A e T coincidem ue tamb´m coincidem o espa¸o das colunas de A e a imagem (ou contradom´ e c ınio) de T . Apliquemos, pois, o m´todo de elimina¸˜o de Gauss a A: e ca     1 −1 1 0 1 −1 1 0 A −→  0 0 −1 1  −→  0 0 −1 1  = U. 0 0 −1 1 0 0 0 0Como U ´ uma matriz em escada de linhas (com 2 inc´gnitas livres, a segunda e a quarta) ´ e o ef´cil obter uma base para o n´cleo de U (que coincide com o n´cleo de A) e tem dimens˜o 2, a u u avindo BNA = {(1, 1, 0, 0), (−1, 0, 1, 1)} 1
  • sendo o primeiro elemento calculado dando ` segunda e quarta inc´gnitas os valores 1 e 0, a orespectivamente, e determinando as restantes componentes de forma a que o vector perten¸a ao cn´cleo de U . Analogamente o segundo elemento obt´m-se dando ` segunda e quarta inc´gnitas u e a oos valores 0 e 1, respectivamente, e determinando as restantes componentes de forma a que ovector perten¸a ao n´cleo de U . c u Relativamente ao espa¸o das colunas de A, este tem como base as colunas linearmente cindependentes de A, que s˜o a primeira e a terceira. Assim, este espa¸o tem dimens˜o 2 e uma a c abase ´ o conjunto e BCA = {(1, 1, 0), (1, 0, −1)}. 11.4 O vector (1, 2, α) pertence ` imagem de T (ou, ao espa¸o das colunas de A) se existirem a cn´meros reais c1 e c2 tais que u (1, 2, α) = c1 (1, 1, 0) + c2 (1, 0, −1) = (c1 + c2 , c1 , −c2 ).Conclui-se, pois, que s´ para α = 1 o vector (1, 2, α) pertence ` imagem de T e, nesse caso, o ac1 = 2 e c2 = −1. Consequentemente, apenas para α = 1 a equa¸˜o considerada ´ poss´ e, ca e ıvelnesse caso, como T e1 = (1, 1, 0) e T e3 = (1, 0, −1), tem-se T (2e1 − e3 ) = (1, 2, 1),pelo que vp = 2e1 − e3 = (2, 0, −1, 0) ´ uma solu¸˜o particular daquela equa¸˜o. Sendo T uma e ca catransforma¸˜o linear, a solu¸˜o geral v da equa¸˜o considerada ´ da forma ca ca ca e v = vp + vh , vh ∈ N (T ),ou seja, de acordo com as al´ ıneas anteriores, v = (2, 0, −1, 0) + a(1, 1, 0, 0) + b(−1, 0, 1, 1) = (2 + a − b, a, −1 + b, b), a, b ∈ R. Problema 12 (3 valores) Seja S o subespa¸o (plano) de R3 formado pelos elementos (x, y, z) ∈ R3 que satisfazem a cequa¸˜o (cartesiana): ca 2x + y − z = 0.Determine sucessivamente: 1. Uma base de S ⊥ , o (complemento) ortogonal de S; 2. Uma base ortogonal de S; 3. A distˆncia de v = (1, 1, 1) ao subespa¸o S; a c 4. Uma equa¸˜o cartesiana do subespa¸o (plano) que ´ ortogonal a S e que cont´m o vector ca c e e (1, 1, 3). Resolu¸˜o: ca 12.1 Sendo S um plano-2 (plano vulgar), pelo teorema da decomposi¸˜o ortogonal, tem-se ca 3 ⊥ ⊥ ⊥R = S ⊕ S , pelo que dim S = 1. Para obter uma base de S basta obter um vector que seja 2
  • ortogonal ao elementos de S. Ora, esse elemento pode ser identificado da equa¸˜o cartesiana cado plano, j´ que a   x 2 1 −1  y  = 0, zo que significa que o vector s⊥ = (2, 1, −1) ´ ortogonal aos elementos s = (x, y, z) ∈ S. Uma e ⊥base para S ´ pois e {(2, 1, −1)}.12.2 Uma base de S tamb´m pode ser obtida da equa¸˜o anterior. Efectivamenmte, aquela e caequa¸˜o diz-nos que os elementos de S s˜o precisamente os elementos do n´cleo da matriz ca a ulinha 2 1 −1 . Havendo duas inc´gnitas livres, uma base de S pode obter-se pelo processo odescrito na resolu¸˜o do problema 11, vindo ca BS = {s1 , s2 } com s1 = (−1, 2, 0), s2 = (1, 0, 2).Uma vez que s1 e s2 n˜o s˜o ortogonais, podemos usar o m´todo de ortogonaliza¸˜o de Gram- a a e caSchmidt para determinar uma base ortogonal O de S, obtendo-se O = {s1 , s2 } com s2 = (2, 1, 5). ˜ ˜12.3 Designando por P a projec¸˜o ortogonal de R3 sobre S, de acordo com o teorema da caprojec¸˜o ortogonal, a distˆncia de v a S ´ dada por ca a e d = d(v, S) = min ||v − s|| = ||v − P v|| = ||P ⊥ v||, s∈Sem que P ⊥ ´ a projec¸˜o complementar de P , ou seja, a projec¸˜o ortogonal de R3 sobre S ⊥ . e ca cauma vez que j´ dispomos de uma base ortogonal de S ⊥ , obt´m-se a e < v, s⊥ > 1 P ⊥v = 2 s⊥ = (2, 1, −1). ||s⊥ || 3Consequentemente 1√ 2 d= 6= . 3 3 12.3 Comecemos por notar que o vector u = (1, 1, 3) pertence a S. Consequentemente, osubespa¸o (plano) pretendido, designˆmo-lo por U , ´ gerado por u e pelo vector s⊥ = (2, 1, −1), c e euma vez que este ´ ortogonal a S. De acordo com o que vimos nas al´ e ıneas anteriores, a equa¸˜o cacartesiana deste plano ´ da forma e aX + bY + cZ = 0,em que o vector u⊥ = (a, b, c) ´ ortogonal aos vectores (X, Y, Z) ∈ U . Consequentemente, o evector u⊥ ´ ortogonal aos elementos da base ortogonal de U , formada pelos vectores u e s⊥ , ou eainda u⊥ pertence ao n´cleo da matriz u 1 1 3 . 2 1 −1Usando por exemplo o m´todo de elimina¸˜o de Gauss para obter o resultado, conclui-se que e ca u⊥ = (4, −7, 1), 3
  • ou um seu m´ltiplo n˜o nulo. Ent˜o uma equa¸˜o cartesiana do plano U ´ u a a ca e 4X − 7Y + Z = 0. Problema 13 (4 valores) Seja A ∈ R3×3 a matriz definida por   1 0 0 A =  2 1 2 . 3 2 1 1. Determine os valores pr´prios de A e uma base para cada um dos espa¸os pr´prios (sub- o c o espa¸os de R3 ) associados; c 2. Mostre que A ´ diagonaliz´vel. Indique uma base de R3 e uma matriz de mudan¸a de e a c −1 base S tal que D = S AS ´ diagonal. e 3. Escreva uma express˜o anal´ a ıtica da transforma¸˜o linear T : P2 → P2 que ´ representada ca e pela matriz A em rela¸˜o ` base can´nica de P2 ; Mais precisamente, sendo p(t) = a + ca a o bt + ct2 , t ∈ R, escreva T p(t) = X + Y t + Zt2 , t ∈ R (onde X, Y e Z dependem dos coeficientes a, b, c ∈ R de p). 4. Indique uma base B de P2 em rela¸˜o ` qual T ´ representada por D (determinada em ca a e 2). 5. Resolva a equa¸˜o ca T p = p1 + p2 + p3 , em que B = (p1 , p2 , p3 ). Resolu¸˜o: ca 13.1 Os valores pr´prios de A s˜o as ra´ (os zeros) do polin´mio caracter´ o a ızes o ıstico p definidopor 1−λ 0 0 p(λ) = det(A − λI) = 2 1−λ 2 . 3 2 1−λTem-se p(λ) = (1 − λ)[(λ − 1)2 − 22 ] = −(λ − 1)(λ − 3)(λ + 1),pelo que os valores pr´prios de A s˜o (por ordem crescente): o a λ1 = −1, λ2 = 1, λ3 = 3.Os espa¸os pr´prios associados a estes valores pr´prios s˜o, respectivamente, c o o a E(λ1 ) = NA−λ1 I , E(λ2 ) = NA−λ2 I , E(λ3 ) = NA−λ3 I ,Usemos o m´todo de elimina¸˜o e ca de Gauss para cada uma das matrizes A − λj I (j=1,2,3):       2 0 0 2 0 0 2 0 0 A+I = 2 2 2  −→  0 2 2  −→  0 2 2  3 2 2 0 2 2 0 0 0 4
  •       0 0 0 3 2 0 3 2 0 A−I =  2 0 2  −→  2 0 2  −→  0 −4/3 2  3 2 0 0 0 0 0 0 0       −2 0 0 −2 0 0 −2 0 0 A − 3I =  2 −2 2  −→  0 −2 2  −→  0 −2 2  3 2 −2 0 2 −2 0 0 0Cada um dos espa¸os pr´prios tem dimens˜o 1 e facilmente se obt´m uma base para cada um c o a edeles (usaremos Bλj para representar uma base de NA−λj I ): Bλ1 = {(0, −1, 1)}, Bλ2 = {(−2, 3, 2)}, Bλ3 = {(0, 1, 1)}.13.2 A ´ diagonaliz´vel se e s´ se existe uma base de R3 formada (exclusivamente) por vectores e a opr´prios (os elementos dos subespa¸os pr´prios) de A. Como a valores pr´prios distintos est˜o o c o o aassociados vectores pr´prios linearmente independentes e A tem 3 valores pr´prios distintos, o oconclui-se que existe uma base de R3 formada por vectores pr´prios, nomeadamente a base oordenada seguinte que usaremos adiante: BR3 = ((0, −1, 1), (−2, 3, 2), (0, 1, 1)) .A matriz diagonal D semelhante ` matriz A ´ a matriz dos valores pr´prios (que continuamos a e oa ordenar de forma crescente) D = diag {−1, 1, 3}e a matriz diagonalizante S, tal que D = S −1 AS, ´ e a matriz dos vectores pr´prios (mantendo oa ordem estabelecida):   0 −2 0 S=  −1 3 1 . 1 2 1 13.3 Sendo A a matriz que representa T em rela¸˜o ` base can´nica Bc = (ˆ t, t2 ) de P2 , ca a o 1, ˆ ˆem que ˆ = 1, t(t) = t, t2 (t) = t2 , t ∈ R, 1(t) ˆ ˆtal significa que, para qualquer t ∈ R, T ˆ = (1, 2, 3)Bc = ˆ + 2t + 3t2 , 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ T t = (0, 1, 2)Bc = t + 2t2 , ˆ ˆ ˆ T t2 = (0, 2, 1)Bc 2t + t2 .ou, equivalentemente, (T ˆ 1)(t) = 1 + 2t + 3t2 , ˆ (T t)(t) = t + 2t2 , ˆ T t2 (t) = 2t + t2 , t ∈ R.Como T ´ linear, sendo p = aˆ + bt + ct2 (ou p(t) = a + bt + ct2 , t ∈ R), tem-se e 1 ˆ ˆ T p = a(ˆ + 2t + 3t2 ) + b(t + 2t2 ) + c(2t + t2 ) 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = a + (2a + b + 2c)t + (3a + 2b + c)t2 ˆou, o que ´ equivalente, e (T p)(t) = a(1 + 2t + 3t2 ) + b(t + 2t2 ) + c(2t + t2 ) = a + (2a + b + 2c)t + (3a + 2b + c)t2 t ∈ R, 5
  • pelo que ´ v´lida a f´rmula no enunciado, com e a o X = a, Y = 2a + b + 2c, Z = 3a + 2b + c. 13.4 Sendo A a matriz que representa T em rela¸˜o ` base can´nica de P2 , a matriz A que ca a orepresenta T em rela¸˜o a uma nova base B de P2 ´ tal que ca e A = U −1 AU,em que U ´ a matriz de mudan¸a da base Bc para a base B. Como prendemos tomar A = D e e c ıneas anteriores que D = S −1 AS, ent˜o basta tomar U = S. Consequentemente,sabemos das al´ a   0 −2 0 U = S =  −1 3 1  , 1 2 1sendo a base B aquela formada pelos vectores cujas componentes figuram nas colunas da matrizS, nomeadamente B = (p1 , p2 , p3 ), com p1 (t) = −t + t2 , p2 (t) = −2 + 3t + 2t2 , p3 (t) = t + t2 , t ∈ R. 13.5 Os valores pr´prios de T s˜o tamb´m os valores pr´prios de qualquer matriz que a o a e orepresente (em rela¸˜o a uma base de P2 ). Portanto, T tem 3 valores pr´prios distintos que s˜o ca o a λ1 = −1, λ2 = 1, λ3 = 3.Como sabemos que T ´ representada pela matriz diagonal D em rela¸˜o ` base B, ent˜o e ca a a T p1 = −p1 , T p2 = p 2 , T p3 = 3p3 .Como T ´ linear e λ = 0 n˜o ´ valor pr´prio de T , ent˜o T ´ injectiva (e tamb´m sobrejectiva) e a e o a e ee, portanto, para qualquer q ∈ P2 , em particular para q = p1 + p2 + p3 , a equa¸˜o linear ca Tp = qtem uma unica solu¸˜o. Ora, resulta do que escrevemos acima que ´ ca 1 T (−p1 + p2 + p3 ) = p1 + p2 + p3 , 3pelo que 1 p = −p1 + p2 + p3 3´ a unica solu¸˜o da equ¸˜o considerada: T p = p1 + p2 + p3 . Podemos escrever o polin´mio pe ´ ca ca ona base can´nica: para qualquer t ∈ R, tem-se o 1 13 4 p(t) = −(−t + t2 ) + (−2 + 3t + 2t2 ) + (t + t2 ) = −2 + t + t2 . 3 3 3 6