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    1teste v1-resolucao 1teste v1-resolucao Document Transcript

    • Instituto Superior T´cnico eDepartamento de Matem´tica a ´ 1o TESTE DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I (LMAC, MEBiom e MEFT) 1o Sem. 2010/11 13/Nov/2010 - v.1 Dura¸˜o: 1h30mn ca ¸˜ RESOLUCAO 1. (3,0 val.) a) (2,0 val.) Represente na forma de um intervalo ou de uma uni˜o disjunta de a intervalos os conjuntos seguintes: (i) A = x ∈ R : ex − e−x < 2 (ii) o dom´ ınio D da fun¸ao definida pela express˜o: c˜ a x+1 f (x) = log . x−1 Resolu¸˜o. ca A = x ∈ R : ex − e−x < 2 ex − e−x = x∈R: <1 2 = {x ∈ R : senh(x) < 1} = ]−∞, argsenh(1)[ onde se usou o facto de a fun¸ao seno hiperb´lico ser estritamente crescente e c˜ o limx→−∞ senh(x) = −∞. Como o dom´ ınio da fun¸˜o logaritmo ´ R+ , temos que: ca e x+1 D= x∈R: >0 x−1 = {x ∈ R : (x + 1 < 0 ∧ x − 1 < 0) ∨ (x + 1 > 0 ∧ x − 1 > 0)} = {x ∈ R : (x < −1 ∧ x < 1) ∨ (x > −1 ∧ x > 1)} = ]−∞, −1[ ∪ ]1, +∞[ b) (1,0 val.) Indique, caso existam em R, o supremo, ´ ınfimo, m´ximo e m´ a ınimo dos conjuntos seguintes: B = ]−∞, −1[ ∪ [2, +∞[ , C = ]−1, 2] e B∩C. 1
    • Resolu¸˜o. O conjunto B n˜o ´ minorado nem majorado, pelo que n˜o tem ´ ca a e a ınfimo nem supremo, n˜o tendo tamb´m m´ a e ınimo nem m´ximo. a O conjunto C tem inf C = −1 ∈ C, pelo que n˜o tem m´ / a ınimo, e tem sup C = 2 ∈ C, pelo que tem max C = 2. O conjunto B ∩ C = {2}, pelo que inf B ∩ C = min B ∩ C = 2 = max B ∩ C = sup B ∩ C .2. (4,0 val.) Calcule: x−2 sen((x − 1)2 ) cos (e2x + 1) x lim , lim , lim . x→1 x−1 x→+∞ x3 x→2+ x−2 Resolu¸˜o. ca sen((x − 1)2 ) sen((x − 1)2 ) lim = lim (x − 1) · = 0 · 1 = 0 . (1,0 val.) x→1 x−1 x→1 (x − 1)2 Sendo o coseno uma fun¸ao limitada entre −1 e 1, temos que c˜ 1 cos (e2x + 1) 1 − 3 ≤ 3 ≤ 3 , ∀x > 0 . x x x Como 1 1 3 lim − = 0 = lim 3 x→+∞ x x→+∞ x podemos concluir pelo princ´ ıpio do encaixe que cos (e2x + 1) lim = 0 . (1,0 val.) x→+∞ x3 Tendo em conta que x−2 x x x−2 = elog( x−2 ) = e(x−2)(log(x)−log(x−2)) , ∀x > 2 , x−2 temos que x−2 x lim = elimx→2+ (x−2)(log(x)−log(x−2)) . x→2+ x−2 Como lim (x − 2) log(x) = 0 · log(2) = 0 x→2+ 2
    • e log(x − 2) −∞ lim (x − 2) log(x − 2) = lim 1 = x→2+ + x→2 x−2 +∞ 1 RC x−2 = lim 1 = lim −(x − 2) = 0 , + x→2 − (x−2)2 + x→2 podemos concluir que x−2 x lim = e0 = 1 . (2,0 val.) x→2 + x−23. (2,0 val.) Calcule a derivada das fun¸˜es definidas pelas seguintes express˜es: co o senh (1 + cosh(x/2)) a) log [cos(x) arctan (1 + ex )] ; b) √ . x Resolu¸˜o. ca (cos(x) arctan (1 + ex )) (log [cos(x) arctan (1 + ex )]) = cos(x) arctan (1 + ex ) (cos(x)) arctan (1 + ex ) + cos(x) (arctan (1 + ex )) = cos(x) arctan (1 + ex ) x − sen(x) arctan (1 + ex ) + cos(x) 1+(1+e) )2 (1+e x = cos(x) arctan (1 + ex ) ex − sen(x) arctan (1 + ex ) + cos(x) 1+(1+ex )2 = (1,0 val.) cos(x) arctan (1 + ex ) senh (1 + cosh(x/2)) √ x √ √ (senh (1 + cosh(x/2))) x − senh (1 + cosh(x/2)) ( x) = x √ 1 cosh (1 + cosh(x/2)) (1 + cosh(x/2)) x − senh (1 + cosh(x/2)) 2√x = √ x x 1 cosh (1 + cosh(x/2)) senh(x/2) 2 − senh (1 + cosh(x/2)) 2√x = (1,0 val.) x 3
    • 4. (2,0 val.) Recorrendo ao m´todo de indu¸˜o, mostre que e ca (log x)n lim = 0 para todo o n ∈ N. x→+∞ x Resolu¸˜o. [P (1)]. ca log x +∞ RC 1/x lim = = lim = 0. x→+∞ x +∞ x→+∞ 1 [P (n) ⇒ P (n + 1)]. Assumindo como verdadeira a hip´tese P (n), i.e. o (log x)n lim = 0 para um determinado n ∈ N, x→+∞ x h´ que mostrar a validade da tese P (n + 1), i.e. a (log x)n+1 lim = 0 para o mesmo determinado n ∈ N. x→+∞ x Isto pode ser feito da seguinte forma: (log x)n+1 +∞ RC (n + 1)(log x)n (1/x) lim = = lim x→+∞ x +∞ x→+∞ 1 n (log x) hip = (n + 1) · lim = (n + 1) · 0 = 0 . x→+∞ x5. (7,0 val.) Considere a fun¸ao f : R → R, cont´ c˜ ınua em todo o R e definida em R {0} por c + log (x + e) , se x > 0; f (x) = 2 e−x , se x < 0. onde c designa uma constante real.(a) (1,0 val.) Determine f (0) e o valor de c. Resolu¸˜o. Sendo f cont´ ca ınua em 0, temos que f (0) = lim f (x) . x→0 Como 2 lim f (x) = lim c + log (x + e) = c + 1 e + + lim f (x) = lim e−x = e0 = 1 , − − x→0 x→0 x→0 x→0 temos que c + 1 = 1 ⇒ c = 0 e f (0) = 1 . 4
    • (b) (1,0 val.) Mostre que f n˜o ´ diferenci´vel no ponto 0. a e a Resolu¸˜o. f ´ claramente diferenci´vel em R {0} e ca e a 1 x+e , se x > 0; f (x) = −x2 −2xe , se x < 0. Pelo corol´rio do teorema de Lagrange, temos ent˜o que a a 1 1 fd (0) = lim f (x) = lim = x→0+ + x→0 x+e e e 2 fe (0) = lim f (x) = lim −2xe−x = 0 · 1 = 0 . − − x→0 x→0 Como fe (0) = fd (0), podemos concluir que f n˜o ´ diferenci´vel no ponto 0. a e a(c) (3,0 val.) Determine os intervalos de monotonia, extremos, concavidades, inflex˜es e o contradom´ ınio de f . Resolu¸˜o. Temos que ca 1 2 x > 0 ⇒ f (x) = > 0 e x < 0 ⇒ f (x) = −2xe−x > 0 . x+e Logo, f ´ estritamente crescente em ]−∞, 0[ e ]0, +∞[. Sendo cont´ e ınua em 0, pode- mos concluir que f ´ estritamente crescente em todo o R. e Assim, f n˜o tem extremos. a A segunda derivada de f ´ dada por e 1 1 x > 0 ⇒ f (x) = =− <0 x+e (x + e)2 e 2 2 2 2 x < 0 ⇒ f (x) = −2xe−x = −2e−x + 4x2 e−x = 2(2x2 − 1)e−x . Como √ √ 2x2 − 1 > 0 para x ∈ −∞, −1/ 2 e 2x2 − 1 < 0 para x ∈ −1/ 2, 0 , temos que √ √ f (x) < 0 para x ∈ −1/ 2, 0 ∪ ]0, +∞[ e f (x) > 0 para x ∈ −∞, −1/ 2 , sendo que √ f −1/ 2 = 0 . 5
    • √ Assim, f tem a concavidade voltada para baixo (cˆncava) nos intervalos −1/ 2, 0 e o √ ]0, +∞[, tem a concavidade voltada para cima (convexa) no intervalo −∞, −1/ 2 √ e tem uma inflex˜o no ponto −1/ 2. a Finalmente, tendo em conta que f ´ cont´ e ınua e estritamente crescente com 2 lim f (x) = lim e−x = 0+ e lim f (x) = lim log(x + e) = +∞ , x→−∞ x→−∞ x→+∞ x→+∞ podemos concluir pelo Teorema do Valor Interm´dio que o contradom´ e ınio de f ´ e f (R) = ]0, +∞[ .(d) (1,0 val.) Justifique que f admite inversa f −1 e identifique-a. Resolu¸˜o. Sendo f estritamente crescente em R, ´ necessariamente injectiva pelo ca e que admite inversa: f −1 : f (R) = ]0, +∞[ → R . Como log(x + e) = y ⇒ x + e = ey ⇒ x = ey − e , ∀ x > 0 , y > 1 , e 2 e−x = y ⇒ −x2 = log(y) ⇒ x2 = log(1/y) ⇒ x = − log(1/y) , ∀ x < 0 , 0 < y < 1 , temos que  ey − e ,  se y > 1; −1 f (y) = 0 , se y = 1;  − log(1/y) , se 0 < y < 1. (e) (1,0 val.) Seja g : R → R uma fun¸˜o diferenci´vel tal que g(2) = 1 e g (2) = 1 + e. ca a Calcule o valor de (f ◦ g) (2). Resolu¸˜o. Usando a f´rmula para a derivada de uma fun¸ao composta, temos que ca o c˜ (f ◦ g) (2) = f (g(2)) · g (2) = f (1) · (1 + e) . Como 1 f (1) = 1+e podemos concluir que 1 (f ◦ g) (2) = · (1 + e) = 1 . 1+e 6
    • 6. (2,0 val.) Suponha que f : R → R satisfaz: |f (x) − f (y)| ≤ |x − y|n , ∀x, y ∈ R, onde 1 < n ∈ N. Mostre que f ´ constante. e Resolu¸˜o. Para mostrar que f ´ constante ´ suficiente provar que f ´ diferenci´vel ca e e e a em R e f (a) = 0 para todo o a ∈ R. Observe-se que f (x) − f (a) f (x) − f (a) f (a) = lim = lim n · (x − a)n−1 . x→a x−a x→a (x − a) Como f (x) − f (a) |f (x) − f (a)| n = ≤ 1 , ∀x = a (pela hip´tese do enunciado) o (x − a) |x − a|n tem-se que f (x) − f (a) −|x − a|n−1 ≤ · (x − a)n−1 ≤ |x − a|n−1 , ∀x = a . (x − a)n Tendo em conta que lim |x − a|n−1 = 0 , ∀a ∈ R (porque n > 1) x→a podemos concluir pelo princ´ ıpio do encaixe que f (x) − f (a) lim n · (x − a)n−1 = 0 , ∀a ∈ R , x→a (x − a) e portanto f ´ de facto diferenci´vel em R com f (a) = 0 para todo o a ∈ R. e a 7