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  • 1. Instituto Superior T´cnico e Vers˜o 1 aDepartamento de Matem´tica a rubrica do aluno: ´ 1o EXAME DE ALGEBRA LINEAR 1o semestre 06/07 Cursos: LEC-MEC, LEGM, LET 4 de Janeiro de 2007 Nome: N´mero: u Curso: Turma: Rubrique as p´ginas ´ a ımpares deste caderno Sala: O Exame que vai realizar tem a dura¸˜o de 3 horas e consiste de 14 problemas. Os 10 ca primeiros s˜o de escolha m´ltipla; cada resposta certa vale 1 valor, cada resposta em branco vale a u 0, e cada resposta errada vale -1/3 da cota¸˜o dessa pergunta. Os quatro ultimos problemas ca ´ n˜o s˜o de escolha m´ltipla e a sua cota¸˜o figura na ultima tabela desta p´gina. Nesta parte a a u ca ´ a deve justificar as suas respostas e apresentar todos os c´lculos que efectuar. a Para os 10 primeiros problemas, marque com × as suas escolhas na tabela seguinte. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A) B) C) D) Os quadros abaixo destinam-se ` correc¸˜o da prova. Por favor n˜o escreva nada. a ca a Escolha M´ltipla u Nota da Escolha M´ltipla u N´mero de respostas certas u Prob. 11.a) 1,00 Val N´mero de respostas erradas u Prob. 11.b) 0,75 Val Prob. 11.c) 0.75 Val Prob. 12.1. 1,00 Val Prob. 12.2.a) 0,75 Val Prob. 12.2.b) 0,75 Val Prob. 13.a) 1,00 Val Prob. 13.b) 0,75 Val Prob. 13.c) 0,75 Val Prob. 14.1.a) 0,50 Val Prob. 14.1.b) 0,75 Val Prob. 14.2.a) 0,75 Val Prob. 14.2.b) 0,50 Val TOTAL 1
  • 2. Problema 1 (1 valor)Sejam A e B matrizes quadradas e invert´ıveis de ordem n ∈ N, represente por I a matriz identidadede ordem n e seja α um escalar n˜o nulo. Considere as seguintes igualdades: aI. A2 − B 2 = (A − B)(A + B),II. det(αA) = αn det A,III. (AB −1 )−1 = BA−1 ,IV. det(A + αB) = det A + αn det B.Qual a lista completa de igualdades que s˜o verdadeiras para quaisquer matrizes e qualquer escalar anas condi¸˜es indicadas? coA) Todas B) I e II C) II e III D) IIIProblema 2 (1 valor)     1 2 3 4A solu¸˜o geral do sistema de equa¸˜es  1 3 4  u =  5  ´ da forma ca co e 1 4 5 6 u = u1 + αu0 , α ∈ R,em que o par de vectores (u0 , u1 )) ´ dado por: eA) ((1,1,-1),(1,0,1)) B) ((1,1,-1),(1,1,1)) C) ((1,-1,-1),(1,1,1)) D) ((1,-1,-1),(1,0,1)) 2
  • 3. Problema 3 (1 valor) Vers˜o 1 a rubrica do aluno:Considere os seguintes vectores de R3 : v1 = (1, 2, 1), v2 = (1, 2, 3) e v3 = (1, 2, 2).Qual dos vectores a seguir indicados n˜o pertence ao subespa¸o de R3 gerado por {v1 , v2 , v3 }? a cA) (0,0,0) B) (0,0,1) C) (1,2,5) D) (0,1,0)Problema 4 (1 valor)Seja P2 o espa¸o real dos polin´mios definidos em R de grau menor ou igual a 2, considere os elementos c ode P2 definidos por: p1 (t) = 1, p2 (t) = (1 − t)(1 + t), p3 (t) = (1 − t)(1 + 2t), p4 (t) = t(1 − t), t ∈ R,e os seguintes subconjuntos de P2 : P1 = {p1 , p2 }, P2 = {p1 , p2 , p3 }, P3 = {p2 , p3 , p4 }, P4 = {p1 , p2 , p4 }.Qual a lista completa de conjuntos que constituem bases de P2 ?A) P1 e P2 B) P2 e P3 C) P2 e P4 D) P3 e P4 3
  • 4. Problema 5 (1 valor)seja v = (4, −4, 8) e considere a base ordenada B de R3 dada por B = ((1, 0, 1), (0, 2, 1), (1, 0, 3)) .Qual dos seguintes ´ o vector das componentes (ou coordenadas) de v na base B? eA) (1,2,3) B) (1,-2,3) C) (-1,2,3) D) (1,-2,-3)Problema 6 (1 valor)Seja T : R3 → R2 a transforma¸˜o linear definida por ca T (x, y, z) = (x + 2y + z, x + 3y + 2z), (x, y, z) ∈ R3e considere as seguintes afirma¸˜es: coI. T ´ injectiva, eII. T n˜o ´ sobrejectiva, a eIII. T n˜o ´ injectiva e (1, −1, 1) ∈ N (T ), a eIV. T ´ sobrejectiva e (1, −1, 1) ∈ N (T ), eonde N (T ) representa o n´cleo de T . uQual a lista completa de afirma¸˜es verdadeiras: coA) I B) I e II C) II e III D) III e IV 4
  • 5. Problema 7 (1 valor) Vers˜o 1 a rubrica do aluno:Em R3 considere a base ordenada B = ((1, 0, 0), (1, −1, 0), (1, 1, 1)) e sejaT : R3 → R3 a transforma¸˜o linear que ´ representada nesta base pela matriz ca e   1 2 1 A =  1 1 2 . 2 3 3Qual ´ a imagem do vector (−1, 0, 1) pela transforma¸˜o T ? e caA) (0,0,0) B) (0,1,1) C) (1,0,1) D) (1,2,3)Problema 8 (1 valor)Em R3 com o produto interno usual, qual a melhor aproxima¸˜o do vector (7,7,3) por elementos do casubespa¸o gerado pelos vectores (1,-1,1) e (1,1,6)? cA) (-2,4,2) B) (0,2,5) C) (-3,5,2) D) (-3,-1,4) 5
  • 6. Problema 9 (1 valor)Qual das seguintes ´ uma equa¸˜o cartesiana do plano P de R3 que cont´m o ponto (1,1,1) e que ´ e ca e egerado pelos vectores (1,1,0) e (1,-1,1)?A) x-y-2z=-2 B) x-y+2z=-2 C) x-y-2z=2 D) -x+y+2z=-2Problema 10 (1 valor)Seja A ∈ R3×3 tal que os valores pr´prios de A s˜o -1, 0 e 1. Considere as seguintes afirma¸˜es, em o a coque I representa a matriz identidade de ordem 3:I. A ´ invert´ e ıvel;II. O espa¸o das colunas de A tem dimens˜o 2; c aIII. O n´cleo de A − I tem dimens˜o 1; u aIV. A − I ´ invert´ e ıvel.Qual ´ a lista completa de afirma¸˜es verdadeiras? e coA) II B) II e III C) I e IV D) II, III e IV 6
  • 7. Nesta parte justifique todas as respostas e apresente os c´lculos que efectuar. aProblema 11 (2,5 valores) Vers˜o 1 a rubrica do aluno:Considere uma matriz pertencente a R3×4 com a seguinte estrutura:   1 2  1 3 4 , 0 1em que representa um elemento n˜o especificado. a a) Indique uma matriz, designe-a por A, que se obt´m escolhendo os elementos n˜o especificados e a por forma a que o n´cleo de A seja gerado pelo vector (1,1,-1,-1). u b) Para a escolha efectuada na al´ ınea anterior, determine bases e indique as dimens˜es dos subes- o pa¸os de R3 e R4 , respectivamente, gerados pelas colunas e pelas linhas de A. c c) Continuando a usar a escolha efectuada em a), determine a solu¸˜o geral da equa¸˜o Au = b ca ca com b = (1, 1, 0)t . 7
  • 8. Nesta parte justifique todas as respostas e apresente os c´lculos que efectuar. aProblema 12 (2,5 valores)Sejam α ∈ R e Tα : R3 → R3 a transforma¸˜o linear definida por ca T (x, y, z) = (x + 2y − 3z, x + 3y + z, αy + α3 z), (x, y, z) ∈ R3 .1. Determine todos os valores de α para os quais Tα ´ invert´ e ıvel.2. Tomando α = 2,a) existe algum vector (a, b, c) ∈ R3 para o qual a equa¸˜o Tα (x, y, z) = (a, b, c) ´ imposs´ ca e ıvel?b) resolva a equa¸˜o Tα (x, y, z) = (1, 2, 2). ca 8
  • 9. Nesta parte justifique todas as respostas e apresente os c´lculos que efectuar. aProblema 13 (2,5 valores) Vers˜o 1 a rubrica do aluno:Considere o subespa¸o S e R3 gerado pelos trˆs vectores seguintes: c e v1 = (1, 1, 0), v2 = (2, 2, 1), v3 = (1, 1, 1). a) Determine uma base ortogonal de S e designe-a por A, b) Obtenha uma base ortogonal de R3 que contenha A e calcule as componentes do vector v = (1, 2, 3) nesta base. c) Indique uma equa¸˜o cartesiana da recta que ´ ortogonal ao plano S e que passa pela origem. ca e 9
  • 10. Nesta parte justifique todas as respostas e apresente os c´lculos que efectuar. aProblema 14 (2,5 valores)   α 1 0 1. Sejam α, β, γ ∈ R e Bα,β,γ =  β 0 1 . γ 0 0 a) Determine o polin´mio caracter´ o ıstico de Bα,β,γ e da´ conclua que Bα,β,γ ´ invert´ se e ı e ıvel s´ se γ = 0. o b) Tomando α = γ = 0 e β = 1, determine os valores pr´prios de B0,1,0 e os correspondentes o espa¸os pr´prios. B0,1,0 ´ diagonaliz´vel? c o e a 2. Sejam n ∈ N e A ∈ Rn×n tal que At A = I (I representa a matriz identidade de ordem n). a) Representando por < ., . > o produto interno usual de Rn , mostre que a fun¸˜o p definida ca por p(x, y) =< Ax, Ay >, x, y ∈ R n , define um produto interno em Rn que coincide com o produto interno usual, ou seja p(x, y) =< x, y > para quaisquer x, y ∈ Rn . b) Mostre que se λ ´ valor pr´prio (real ou complexo) de A ent˜o |λ| = 1. e o a 10