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Sistemas numéricos

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  1. Sistemas Numéricos
  2. Sistemas Numéricos• Existem diversos sistemas numéricos, o mais comum que utilizamos no dia-a-dia é o sistema decimal.• O sistema decimal é chamado assim por ser baseado em 10 dígitos (de 0 a 9). Diz-se de base 10.• Os outros sistemas numéricos são compostos de bases diferentes.
  3. Sistema Decimal• Para entender melhor outros sistemas numéricos, é necessário relembrar algumas regras do sistema decimal.• Um número no sistema decimal pode ser decomposto em um somatório de produtos de potências de base 10.• Exemplos: 1234 = 1 x 1000 + 2 x 100 + 3 x 10 + 4 x 1 1234 = 1 x 103 + 2 x 102 + 3 x 101 + 4 x 100 16920 = 1 x 104 + 6 x 103 + 9 x 102 + 2 x 101 + 0 x 100
  4. Sistema Decimal• Para somar 2 números decimais basta seguir os passos dos próximos slides. – Esses passos todos já viram no ensino básico.• Como exemplo vamos somar os números 1234 e 493.• Os mesmos passos são utilizados para outros sistemas numéricos.
  5. Somando 2 números decimais 1 2 3 4 + 4 9 3 Alinham-se os 2 números a direita, um abaixo do outro.
  6. Somando 2 números decimais 1 2 3 4 + 4 9 3 7 Da direita para a esquerda, somam-se os dígitos.
  7. Somando 2 números decimais 1 2 3 4 + 4 9 3 12 7 Se a soma resultar em 2 dígitos, o da direita fica, e o da esquerda sobe para o próximo dígito.
  8. Somando 2 números decimais 1 1 2 3 4 + 4 9 3 2 7 Se a soma resultar em 2 dígitos, o da direita fica, e o da esquerda sobe para o próximo dígito.
  9. Somando 2 números decimais 1 1 2 3 4 + 4 9 3 7 2 7 A soma continua incluindo os dígitos que vieram de somas anteriores.
  10. Somando 2 números decimais 1 1 2 3 4 + 4 9 3 1 7 2 7 Em alguns casos, um dos números não possui os dígitos mais a esquerda, é só considerar zero.
  11. Somando 2 números decimais 1 1 2 3 4 + 4 9 3 1 7 2 7 Após somar todos os dígitos, tem-se o resultado final da soma.
  12. Sistema Binário• Sistema de base 2, ou seja, 2 dígitos (0 e 1).• Sistema utilizado internamente pelos computadores. – Dígito 0 significa a ausência de corrente elétrica. – Dígito 1 significa a presença de corrente elétrica.• Assim como no sistema decimal, vários dígitos podem formar um número maior. – Exemplo: o número 11001011 em binário corresponde ao número 203 em decimal.
  13. Sistema Binário• Assim como os números decimais podem ser decompostos em potências de base 10, um número binário pode ser decomposto em potências de base 2.• Exemplos: 1110 = 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 1110 = 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14
  14. Sistema Binário• Tabela de alguns números binários: Decimal Binário Decimal Binário Decimal Binário 0 0 8 1000 16 10000 1 1 9 1001 17 10001 2 10 10 1010 18 10010 3 11 11 1011 19 10011 4 100 12 1100 20 10100 5 101 13 1101 21 10101 6 110 14 1110 22 10110 7 111 15 1111 23 10111
  15. Sistema Binário• Para converter um número de binário para decimal basta decompô-lo em suas bases: – Exemplo: 1101101=1x26+1x25+0x24+1x23+1x22+0x21+1x20 1101101=1x64+1x32+0x16+1x8+1x4+0x2+1x1 1101101=1x64+1x32+1x8+1x4+1x1 1101101=64+32+8+4+1 1101101=109
  16. Sistema Binário• Para converter um número de decimal para binário, é preciso encontrar quais as bases binárias que o formam.• Veremos os passos nos próximos slides.• Como exemplo vamos converter o número 233 para binário.
  17. Sistema Binário233 Base Binária Valor Decimal 20 1 21 2 22 4 23 8 24 16 25 32 26 64 27 128 28 256 Primeiro monta-se a tabela de bases binárias
  18. Sistema Binário233 Base Binária Valor Decimal 20 1128+105 21 2 22 4 23 8 24 16 25 32 26 64 27 128 28 256 Agora decompôe-se o resto do número (105) na maior base menor que ele. Neste caso a base escolhida é 128.
  19. Sistema Binário233 Base Binária Valor Decimal 20 1128+105 21 2128+64+41 22 4 23 8 24 16 25 32 26 64 27 128 28 256 Nos próximos passos decompõe-se o número decimal na maior base binária menor que o número. Neste caso a base escolhida é 64.
  20. Sistema Binário233 Base Binária Valor Decimal 20 1128+105 21 2128+64+41 22 4128+64+32+9 23 8 24 16 25 32 26 64 27 128 28 256 A decomposição continua até que o número inicial seja totalmente decompostos em bases binárias.
  21. Sistema Binário233 Base Binária Valor Decimal 20 1128+105 21 2128+64+41 22 4128+64+32+9 23 8 24 16128+64+32+8+1 25 32 26 64 27 128 28 256 A decomposição continua até que o número inicial seja totalmente decompostos em bases binárias.
  22. Sistema Binário233 Base Binária Valor Decimal 20 1128+64+32+8+1 21 227+26+25+23+20 22 4 23 8 24 16 25 32 26 64 27 128 28 256 Após a decomposição, os valores são convertidos para suas potências de base 2.
  23. Sistema Binário233 Base Binária Valor Decimal 20 1128+64+32+8+1 21 227+26+25+23+20 22 41x27+1x26+1x25+1x23+1x20 23 8 24 16 25 32 26 64 27 128 28 256 Agora as potências utilizadas são multiplicadas por 1.
  24. Sistema Binário233 Base Binária Valor Decimal 20 1128+64+32+8+1 21 227+26+25+23+20 22 41x27+1x26+1x25+1x23+1x20 23 81x27+1x26+1x25+0x24+1x23+0x22+0x21+1x20 24 16 25 32 26 64 27 128 28 256 Neste caso, algumas potências como 24 e 22 não aparecem. As potências faltantes são inseridas sendo multiplicadas por zero.
  25. Sistema Binário233 Base Binária Valor Decimal 20 1128+64+32+8+1 21 227+26+25+23+20 22 41x27+1x26+1x25+1x23+1x20 23 81x27+1x26+1x25+0x24+1x23+0x22+0x21+1x20 24 1611101001 25 32 26 64 27 128 28 256 Terminada a decomposição em potências. Base separar os multiplicadores para obter o número binário.
  26. Somando dois números binários• Para somar dois número binários, utiliza-se o mesmo esquema de somar dois números decimais.• Como exemplo, vamos somar os números 10011010010 e 111101101.
  27. Somando dois números binários 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.
  28. Somando dois números binários 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.
  29. Somando dois números binários 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.
  30. Somando dois números binários 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.
  31. Somando dois números binários 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.
  32. Somando dois números binários 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.
  33. Somando dois números binários 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.
  34. Somando dois números binários 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1 10 1 1 1 1 1 1Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.
  35. Somando dois números binários 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.
  36. Somando dois números binários 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.
  37. Somando dois números binários 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.
  38. Somando dois números binários 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 Em alguns casos, um dos números não possui os dígitos mais a esquerda, é só considerar zero.
  39. Somando dois números binários 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
  40. Somando dois números binários 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 Após somar todos os dígitos, tem-se o resultado final da soma.
  41. Outros Sistemas Numéricos• Sistema Hexadecimal: – Base 16 – Dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F – Exemplo: A12C0D4 – Muito utilizado para ler números grandes de sistemas computacionais• Sistema Octal: – Base 8: – Dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7 – Exemplo: 705242 – Pouco utilizado na prática
  42. Outros Sistemas Numéricos• Se você tem um número qualquer, por exemplo, 1001, como saber em qual sistema numérico ele está? – No caso do 1001, ele pode pertencer a qualquer um dos 4 sistemas numéricos vistos, pois todos eles possuem os dígitos 0 e 1.• Para dizer explicitamente a base em que se encontra um número, é só adicionar o número da base do sistema numérico no final do número: – Binário: 10012 – Decimal: 100110 – Hexadecimal: 100116 – Octal: 10018• No caso dos números decimais, é comum não mostrar o número da base.

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