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  • 1. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de CoahuilaESTADÍSTICA Procesos industriales Distribuciones de probabilidad Ejercicios Lic. Edgar Gerardo Mata OrtizJulio Alberto Ramírez Grado: 2 ¨A¨18 de Marzo del 2012 Torreón Coahuila DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
  • 2. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la probabilidad de sacar lacarta 9?° La probabilidad de que obtengamos la carta 9. P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9. P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.8882) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darles un premio, pero lamaestra los seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la probabilidad de que salga elalumno numero 16?° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16. P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16. P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.93753) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al momento de sacar alguno deellos ¿que probabilidad hay para que pueda salir premiado el boleto número 342?° La probabilidad de que saque el boleto número 342. P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342. P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 = 0.997074) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se considerarásacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.
  • 3. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de CoahuilaLa variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un lanzamiento", y sóloexistirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.° La probabilidad de obtener cruz. P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5° La probabilidad de no obtener cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5
  • 4. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila DISTRIBUCIÓN BINOMIALEjemplo 1:Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de que el número 3salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):Ejemplo 2:La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de queel 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos sonaficionados a la lectura:1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2personas?B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.22.¿Y cómo máximo 2?Ejemplo 3:
  • 5. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de CoahuilaUn agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad yque disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad deque una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese laprobabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:1. Las cinco personas.B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/32.Al menos tres personas.3.Exactamente dos personas.
  • 6. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de CoahuilaEjemplo 4: Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad deque salgan más caras que cruces.B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5Ejemplo 5:La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acier te exactamente en tresocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en unaocasión?B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4
  • 7. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila DISTRIBUCIÓN DE POISSONEjemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de contabilidad sonmuy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar5 de ellos sean muy inteligentesn= 100P=0.03 =100*0.03=3x=5Ejemplo2.- La producción de televisores en Samsung trae asociada unaprobabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores,obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos.n=85P=0.02P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746X=4 =1.7Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular laprobabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruson=20P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418X=3 =3Ejemplo4.-El 8% de los registros contables de una empresa presentan algúnproblema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿Calcular probabilidad deque existan 5 registros con problemas?n=40
  • 8. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793 =3.2 X=5Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen defecto de la vista sitomamos una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular Probabilidad que existan 5 registroscon problemas? n=40 P=0.08 =10 DISTRIBUCIÓN GAMMAEjercicio 1El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución dePoisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos deuna hora hasta la llegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada delsegundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).Solución:Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a p)a : Escala 60000p : Forma 20000Punto X 10000Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo pacientees 0,98.Ejercicio 2
  • 9. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de CoahuilaSuponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a unacierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetrosa=0,81 y p=7,81, calcúlese:1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.
  • 10. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila
  • 11. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila DISTRIBUCIÓN NORMAL 1.-Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14.0 µ = 80σ = 14z a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p (75 ≤ x ≤ 90) Probabilidad acumulada. z = 0.7611 z = 0.3594 p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017 b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor. p(x ≤ 75) Probabilidad acumulada. z 0.3594 p(x ≤ 75) = 0.3594
  • 12. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0 p (55 ≤ x ≤ 70) Probabilidad acumulada. z = 0.2389 z = 0.0367 p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022 2.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en Down River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de $70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:µ= $70,00σ =$20,0z a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior? p(x ≥80,000) Probabilidad – acumulada. z = 0.6915 p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085 70000 80000 μ b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000? p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) Probabilidad – acumulada. z = 0.6915 0.4013
  • 13. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila – z = 65000 70000 80000 μ p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902 c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior. p(x ≥65,000) Probabilidad – acumulada. z = 0.4013 p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.59873.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de más de 250,000habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajo es de 24.3 minutos. Eltiempo de viaje más largo pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el tiempomedio es de 38.3 minutos. Suponga que la distribución de los tiempos de viajeen la ciudad de Nueva York tiene una distribución de probabilidad normal y ladesviación estándar es de 7.5 minutos.µ = 38.3 min.σ = 7.5 min. z a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos? p( x≤30) Probabilidad – acumulada. z = 0.1335 p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? p(30 ≤ x ≤ 35) Probabilidad acumulada. 0.3300 0.1335
  • 14. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila – z = – z = 30 35 38.3 μ p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%µ = 1,200 c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entreσ = 225 30 y 40 minutos? Probabilidad p(30 ≤ x ≤ 40) z acumulada. Probabilidad 5% = .0500 acumulada. – z = 0.5910 – z = 0.1335 30 38.3 μ p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = 0.4575 = 45.75% 4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond, Virginia, tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y una desviación estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario? 1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65 z – 5% ó 0.0500 1.65 X= x = 1,571.25 1,571.25
  • 15. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila 5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y que la desviación estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad? z – 1.64 x = 27,462. DISTRIBUCIÓN T (DE STUDENT) Ejercicio 1 Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?: µ = 20,082 σ = 4,500 Probabilidad Valoracumulada. de z z 520 521 511 513 510 µ=500 h 95% = .9500 = 513 522 500 521 495 n=25 496 488 500 502 512 Nc=90% 510 510 475 505 521 X=505.36 506 503 487 493 500 S=12.07 SOLUCIÓN. t= x -μ SI n α = 1- Nc = 10%
  • 16. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuilav = n-1 = 24t = 2.22 Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.Ejercicio 2 El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10 días. Además, hacomprobado que uno de cada 10 días en los que pone el despertador acaba no levantándose atiempo de dar su primera clase, mientras que 2 de cada 10 días en los que olvida poner eldespertador, llega a tiempo adar su primera clase.(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su primera clase?Solución: En primer lugar conviene identificar el experimento aleatorio que estamos realizando.Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor Pérez y analizarlo en base a lossiguientes sucesos.(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertadorT ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos. A continuacióntraducimos en términos de probabilidad de los sucesos anteriores todos los datos que nos dan enel enunciado. P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos piden quecalculemos P(T¯). Puesto que {O, O}es un sistema completo de sucesos, podemos aplicar laformulas de la probabilidadtotal, de donde tenemos que: P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).
  • 17. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de CoahuilaEn la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando el enunciado, sinembargo no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos queP(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se puede escribircomo:P(T¯) = + =0.69Ejercicio 3La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media μ=10 mm ydesviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en una muestra de tamaño n=25, la longitudmedia del tornillo sea inferior a 20.5 mm:P(μ<20.5)Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertadT=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5P(μ<20.5) --> P(T<2.5) ~ t(24)P(T<2.5) = 0.9902P(μ<20.5)=0.9902La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5 mm es del99.02%Ejercicio 4 Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes casos:1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.Solución.1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica: S [W · w0=95] = 0=95Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.
  • 18. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso: 0=95=- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hasta cruzarnos en elpuntow0=95.Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será el valor: w0=95 = 2=3534Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la primera columna,llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente hacia la primera fila lallegaremos al valor 0.95 (probabilidad acumulada).Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas probabilísticas que vandesde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremos que realizar la siguienteconsideración: S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica: w0=25 = ¡w0=75Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]Por tanto, buscando en la tabla con los datos:Grados de libertad: 3Cola de probabilidad: 0.75Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=76492. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso anterior, pero buscandoen la fila 30 de la tabla. Resultando:w0=95 = 1=6973Yw0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828Ejercicio 5Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01Solución.Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de tener en cuenta que:
  • 19. Universidad Tecnológica de Torreón Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuiladf_1 = 8 (1dFila de la tabla)df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado. Por tanto: I9>7; 099 = 6=840