Métodos Matemáticos em Biologia de POpulações

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Quarta aula do curso de verão em métodos matemáticos em biologia de populações no IFT-UNESP em 2/2008. …

Quarta aula do curso de verão em métodos matemáticos em biologia de populações no IFT-UNESP em 2/2008.

Fourth lecture on Mathematical Methods in POpulation Biology ( in portuguese). Feb'08, given at the Institute for Theoretical Physics in São Paulo. Undergrads level.

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  • 1. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Métodos Matemáticos em Biologia de Glórias e Misérias Vegetação em Populações regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Roberto André Kraenkel Histerese Glóris e Misérias Instituto de Física Teórica-UNESP São Paulo http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel Aula IV
  • 2. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias 1 Epidemias Vegetação em Histórias... regiões Semi-áridas Modelos Regiões semi-áridas e áridas Glórias e Misérias Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 3. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias 1 Epidemias Vegetação em Histórias... regiões Semi-áridas Modelos Regiões semi-áridas e áridas Glórias e Misérias Modelo Histerese Glóris e Misérias 2 Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 4. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 5. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte.
  • 6. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada.
  • 7. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada. Pericles, inclusive.
  • 8. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada. Pericles, inclusive. • Não se sabe que doença foi a causadora da epidemia.
  • 9. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada. Pericles, inclusive. • Não se sabe que doença foi a causadora da epidemia.Tifo epidêmico é a mais provável. transmitida entre animais e o homem por meio de piolhos.
  • 10. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada. Pericles, inclusive. • Não se sabe que doença foi a causadora da epidemia.Tifo epidêmico é a mais provável. transmitida entre animais e o homem por meio de piolhos. • A epidemia aparentemente veio se alastrando a partir da África.
  • 11. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Parta logo, vá para longe e tarde em voltar. (Hipócrates). Epidemias Histórias... Modelos A Peste de Atenas. Glórias e Misérias • A peste de Atenas foi uma Vegetação em epidemia que grassou em regiões 430(AC) em Atenas, durante Semi-áridas a Guerra do Peloponeso. Regiões semi-áridas e áridas Modelo • Foi relatada por Tucídides: Histerese calores, sufocamento, Glóris e Misérias convulsões , necroses dos dedos, ..morte. • 1/3 da população foi dizimada. Pericles, inclusive. • Não se sabe que doença foi a causadora da epidemia.Tifo epidêmico é a mais provável. transmitida entre animais e o homem por meio de piolhos. • A epidemia aparentemente veio se alastrando a partir da África.
  • 12. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis. Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 13. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias
  • 14. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos.
  • 15. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos. • bubônica, inflamando os gânglios, transmitida por pulgas infectadas a aprtir de ratos.
  • 16. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos. • bubônica, inflamando os gânglios, transmitida por pulgas infectadas a aprtir de ratos. • septisêmica, espalhando para todos os órgãos pela corrente sangüínea.
  • 17. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos. • bubônica, inflamando os gânglios, transmitida por pulgas infectadas a aprtir de ratos. • septisêmica, espalhando para todos os órgãos pela corrente sangüínea. • Não tratadas, são fatais.
  • 18. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos. • bubônica, inflamando os gânglios, transmitida por pulgas infectadas a aprtir de ratos. • septisêmica, espalhando para todos os órgãos pela corrente sangüínea. • Não tratadas, são fatais.Antibióticos são eficientes contra a peste .
  • 19. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Dizem alguns que a única garantia contra os germes é a fuga. (Bocaccio, no Decameron). Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em • A peste é uma doença regiões Semi-áridas infecciosa causada pela Regiões semi-áridas e áridas bactéria Yersinia pestis.Há Modelo três formas; Histerese Glóris e Misérias • pneumônica, afetando os pulmões e sendo transmissível entre humanos. • bubônica, inflamando os gânglios, transmitida por pulgas infectadas a aprtir de ratos. • septisêmica, espalhando para todos os órgãos pela corrente sangüínea. • Não tratadas, são fatais.Antibióticos são eficientes contra a peste . • Devem ser ministrados em poucas horas...
  • 20. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 21. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 22. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea.
  • 23. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea. • A peste negra, (1347), entrando pela Sicília, matou 1/3 da população européia.
  • 24. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea. • A peste negra, (1347), entrando pela Sicília, matou 1/3 da população européia. • A terceira pandemia, começando na China em 1855 e matando 12 milhões de pessoas na China e Índia.
  • 25. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea. • A peste negra, (1347), entrando pela Sicília, matou 1/3 da população européia. • A terceira pandemia, começando na China em 1855 e matando 12 milhões de pessoas na China e Índia. • Ainda existe a peste hoje em dia, mas não de forma epidêmica.
  • 26. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea. • A peste negra, (1347), entrando pela Sicília, matou 1/3 da população européia. • A terceira pandemia, começando na China em 1855 e matando 12 milhões de pessoas na China e Índia. • Ainda existe a peste hoje em dia, mas não de forma epidêmica. Entre 1987 e 2001 houve 2847 mortes por peste no mundo.
  • 27. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias. R.A. Kraenkel A chegada, o progresso e o resultado da doença, tudo era questão de meia-hora. Epidemias (E.A. Poe, em A Máscara da Morte Vermelha). Histórias... Modelos Glórias e Misérias A Peste. Vegetação em regiões • Houve três grandes Semi-áridas pandemias de peste; Regiões semi-áridas e áridas • A peste de Justiniano, (541 Modelo D.C.), espalhando-se a partir Histerese de Constantinopla e matando Glóris e Misérias 25% da população da região mediterrânea. • A peste negra, (1347), entrando pela Sicília, matou 1/3 da população européia. • A terceira pandemia, começando na China em 1855 e matando 12 milhões de pessoas na China e Índia. • Ainda existe a peste hoje em dia, mas não de forma epidêmica. Entre 1987 e 2001 houve 2847 mortes por peste no mundo.
  • 28. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Algumas Grandes Epidemias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houve seis mortes.
  • 29. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Algumas Grandes Epidemias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houve seis mortes.
  • 30. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Algumas Grandes Epidemias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005.
  • 31. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Algumas Grandes Epidemias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais.
  • 32. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Algumas Grandes Epidemias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: A peste no Brasil de 1980 a 2005. A maioria dos casos e dá em áreas rurais do Nordeste e de Minas Gerais. Entre 1980 e 2005, houve seis mortes.
  • 33. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 34. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 35. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese Glóris e Misérias
  • 36. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias
  • 37. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas.
  • 38. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa.
  • 39. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.
  • 40. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já definhava.
  • 41. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já definhava. • O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia!
  • 42. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já definhava. • O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia! • Fim da gripe espanhola.
  • 43. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já definhava. • O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia! • Fim da gripe espanhola. • Fim da Grande Guerra.
  • 44. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Epidemias: histórias R.A. Kraenkel Epidemias Aqueles dias, ninguém que os tenha vivido poderá jamais esquecê-los. (Pedro Histórias... Dantas). Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A Gripe Espanhola. regiões Semi-áridas • A gripe espanhola foi uma epidemia do virus da gripe Regiões semi-áridas e (influenza A) particularmente severa e mortífera. áridas Modelo • Ocorreu entre 1918 e 1919. Histerese • Atingiu praticamente todas as regiões do mundo. Glóris e Misérias • Ao redor de 50 milhões de pessoas morreram. 500 milhões (1/3 da população do mundo) foram infectadas. • A doença se transmite de pessoa para pessoa. • Em São Paulo, a primeira morte ocorreu em 21 de outubro de 1918.Em final de novembro, a epidemia já definhava. • O Carnaval de 1919 ficou famoso pela euforia! • Fim da gripe espanhola. • Fim da Grande Guerra. • Tudo de bom!.
  • 45. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 46. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 47. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias
  • 48. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo.
  • 49. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo. • Dividimos os indivíduos de nossa população em três categorias:
  • 50. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo. • Dividimos os indivíduos de nossa população em três categorias: • S susceptíveis;
  • 51. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo. • Dividimos os indivíduos de nossa população em três categorias: • S susceptíveis; • I infectados;
  • 52. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo. • Dividimos os indivíduos de nossa população em três categorias: • S susceptíveis; • I infectados; • R recuperados (imunes ou falecidos)
  • 53. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos Matemáticos R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelo Simples: hipóteses Modelos Glórias e Misérias • Para constrir um modelo matemático elementar para uma Vegetação em regiões epidemia vamos começar com algumas simplificações . Semi-áridas Regiões semi-áridas e • A população tem um número constante de indivíduos. áridas Modelo • A população é espacialmente homogênea. Histerese Glóris e Misérias • Com isto, definimos implicitamente estalas de tempo e de espaço para o nosso modelo. • Dividimos os indivíduos de nossa população em três categorias: • S susceptíveis; • I infectados; • R recuperados (imunes ou falecidos)
  • 54. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Kermack & R.A. Kraenkel McKendrick (1927) Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas A taxa de variação per capita dos susceptíveis é proporcional ao Modelo Histerese número de infectados: Glóris e Misérias dS = −rSI dt sendo r a taxa de infecção .
  • 55. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Kermack & R.A. Kraenkel McKendrick (1927) Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões A taxa de variação per capita dos infectados é proporcional ao Semi-áridas Regiões semi-áridas e número de infectados menos a taxa de remoção (recuperados áridas Modelo imunes ou mortos). Histerese Glóris e Misérias dS = −rSI dt dI = −rSI − aI dt
  • 56. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Kermack & R.A. Kraenkel McKendrick (1927) Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em A taxa de variação per capita dos recuperados é constante. regiões Semi-áridas dS Regiões semi-áridas e áridas = −rSI Modelo dt Histerese Glóris e Misérias dI = −rSI − aI dt dR = aI dt
  • 57. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Kermack & R.A. Kraenkel McKendrick (1927) Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Temos portanto três equações para três variáveis: Vegetação em regiões Semi-áridas dS Regiões semi-áridas e = −rSI áridas Modelo dt Histerese Glóris e Misérias dI = −rSI − aI dt dR = aI dt A NALISEMOS - LAS !
  • 58. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 59. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 60. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas =0 Modelo Histerese dt Glóris e Misérias
  • 61. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante.
  • 62. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar:
  • 63. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos:
  • 64. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 ,
  • 65. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e
  • 66. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e R(0) = 0 .
  • 67. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e R(0) = 0 . • Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de susceptíiveis (S0 ).
  • 68. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e R(0) = 0 . • Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de susceptíiveis (S0 ). • Dados r, a, S0 e I0 , queremos saber se haverá ou não uma epidemia.
  • 69. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e R(0) = 0 . • Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de susceptíiveis (S0 ). • Dados r, a, S0 e I0 , queremos saber se haverá ou não uma epidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
  • 70. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo I R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente notemos que, se somarmos as três equações Vegetação em regiões teremos: Semi-áridas Regiões semi-áridas e d(S + I + R) áridas = 0⇒S + I + R = N Modelo Histerese dt Glóris e Misérias onde N é a população total, constante. • Vamos ser mais precisos no problema que queremos analisar: • Inicialmente, em t = 0, temos: S(0) = S0 , I(0) = I0 e R(0) = 0 . • Ou seja, temos um certo núero de infectados (I0 ) e de susceptíiveis (S0 ). • Dados r, a, S0 e I0 , queremos saber se haverá ou não uma epidemia. Ou seja, se I(t) > I0 para algum tempo t.
  • 71. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 72. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 73. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 74. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese • Se S0 < a/r então Glóris e Misérias
  • 75. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias
  • 76. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então
  • 77. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então ˆ dI ˜ dt 0 >0
  • 78. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então ˆ dI ˜ dt 0 > 0 (Epidemia!)
  • 79. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0.
  • 80. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r
  • 81. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t
  • 82. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t dI = −rSI − aI = I(rS − a) < 0 dt
  • 83. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t dI = −rSI − aI = I(rS − a) < 0 dt e portanto I(t) < I0 e não há epidemia.
  • 84. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t dI = −rSI − aI = I(rS − a) < 0 dt e portanto I(t) < I0 e não há epidemia. • Se S0 > a/r haverá epidemia ( pois dI 0 > 0). ˆ ˜ dt
  • 85. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t dI = −rSI − aI = I(rS − a) < 0 dt e portanto I(t) < I0 e não há epidemia. • Se S0 > a/r haverá epidemia ( pois dI 0 > 0). Note porém que I(t) não ˆ ˜ dt cresce indefinidamente,
  • 86. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo II R.A. Kraenkel dS dI dR dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Epidemias Histórias... Modelos • Notemos inicialmente que em t = 0: Glórias e Misérias » – Vegetação em dI regiões = −rS0 I0 − aI0 = −I0 (rS0 − a) Semi-áridas dt 0 Regiões semi-áridas e áridas • Se S0 < a/r então Modelo ˆ dI ˜ Histerese dt 0 < 0. Glóris e Misérias • Se S0 > a/r então dI 0 > 0 (Epidemia!) ˆ ˜ dt • Por outro lado, S < S0 para todo t, pois dS/dt < 0. • Assim, se S0 < a/r então S(t) < a/r para todo t dI = −rSI − aI = I(rS − a) < 0 dt e portanto I(t) < I0 e não há epidemia. • Se S0 > a/r haverá epidemia ( pois dI 0 > 0). Note porém que I(t) não ˆ ˜ dt cresce indefinidamente, e depois de um certo tempo torna-se negativo.
  • 87. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo III R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Em resumo... Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 88. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo III R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Em resumo... Vegetação em regiões • Se S0 > a/r há epidemia, Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 89. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo III R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Em resumo... Vegetação em regiões • Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há. Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 90. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo III R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Em resumo... Vegetação em regiões • Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há. Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas • Ou: Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 91. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo III R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Em resumo... Vegetação em regiões • Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há. Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Ou: áridas S0 r Modelo Histerese R0 ≡ >1 Glóris e Misérias a
  • 92. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo III R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Em resumo... Vegetação em regiões • Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há. Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Ou: áridas S0 r Modelo Histerese R0 ≡ >1 Glóris e Misérias a é a condição de existência de uma epidemia.
  • 93. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo III R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Em resumo... Vegetação em regiões • Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há. Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Ou: áridas S0 r Modelo Histerese R0 ≡ >1 Glóris e Misérias a é a condição de existência de uma epidemia. • R0 é chamada de
  • 94. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo III R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Em resumo... Vegetação em regiões • Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há. Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Ou: áridas S0 r Modelo Histerese R0 ≡ >1 Glóris e Misérias a é a condição de existência de uma epidemia. • R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica.
  • 95. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo III R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Em resumo... Vegetação em regiões • Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há. Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Ou: áridas S0 r Modelo Histerese R0 ≡ >1 Glóris e Misérias a é a condição de existência de uma epidemia. • R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica. • Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um parâmetro análogo.
  • 96. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo III R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Em resumo... Vegetação em regiões • Se S0 > a/r há epidemia,e se S0 < a/r, não há. Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Ou: áridas S0 r Modelo Histerese R0 ≡ >1 Glóris e Misérias a é a condição de existência de uma epidemia. • R0 é chamada de Razão Reprodutiva Básica. • Mesmo em modelos mais completos, podemos definir um parâmetro análogo.
  • 97. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias Histórias... dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 98. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias Histórias... dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Modelos Glórias e Misérias Fazendo sentido de R0 > 1. Vegetação em S0 r regiões • O que nos diz a condição R0 ≡ a > 1? Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 99. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias Histórias... dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Modelos Glórias e Misérias Fazendo sentido de R0 > 1. Vegetação em S0 r regiões • O que nos diz a condição R0 ≡ a > 1? Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Passo a passo: áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 100. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias Histórias... dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Modelos Glórias e Misérias Fazendo sentido de R0 > 1. Vegetação em S0 r regiões • O que nos diz a condição R0 ≡ a > 1? Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Passo a passo: áridas Modelo • a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. Histerese Glóris e Misérias
  • 101. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias Histórias... dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Modelos Glórias e Misérias Fazendo sentido de R0 > 1. Vegetação em S0 r regiões • O que nos diz a condição R0 ≡ a > 1? Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Passo a passo: áridas Modelo • a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a Histerese pode ser visto como o tempo característico da infecção . Glóris e Misérias
  • 102. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias Histórias... dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Modelos Glórias e Misérias Fazendo sentido de R0 > 1. Vegetação em S0 r regiões • O que nos diz a condição R0 ≡ a > 1? Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Passo a passo: áridas Modelo • a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a Histerese pode ser visto como o tempo característico da infecção . Glóris e Misérias • Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente tem-se uma epidemia.
  • 103. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias Histórias... dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Modelos Glórias e Misérias Fazendo sentido de R0 > 1. Vegetação em S0 r regiões • O que nos diz a condição R0 ≡ a > 1? Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Passo a passo: áridas Modelo • a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a Histerese pode ser visto como o tempo característico da infecção . Glóris e Misérias • Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente tem-se uma epidemia. Faz sentido.
  • 104. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias Histórias... dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Modelos Glórias e Misérias Fazendo sentido de R0 > 1. Vegetação em S0 r regiões • O que nos diz a condição R0 ≡ a > 1? Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Passo a passo: áridas Modelo • a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a Histerese pode ser visto como o tempo característico da infecção . Glóris e Misérias • Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente tem-se uma epidemia. Faz sentido. • O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde pública.
  • 105. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias Histórias... dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Modelos Glórias e Misérias Fazendo sentido de R0 > 1. Vegetação em S0 r regiões • O que nos diz a condição R0 ≡ a > 1? Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Passo a passo: áridas Modelo • a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a Histerese pode ser visto como o tempo característico da infecção . Glóris e Misérias • Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente tem-se uma epidemia. Faz sentido. • O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde pública. • Quanto maior S0 maior R0 .
  • 106. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias Histórias... dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Modelos Glórias e Misérias Fazendo sentido de R0 > 1. Vegetação em S0 r regiões • O que nos diz a condição R0 ≡ a > 1? Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Passo a passo: áridas Modelo • a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a Histerese pode ser visto como o tempo característico da infecção . Glóris e Misérias • Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente tem-se uma epidemia. Faz sentido. • O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde pública. • Quanto maior S0 maior R0 . Ou seja,
  • 107. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias Histórias... dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Modelos Glórias e Misérias Fazendo sentido de R0 > 1. Vegetação em S0 r regiões • O que nos diz a condição R0 ≡ a > 1? Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Passo a passo: áridas Modelo • a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a Histerese pode ser visto como o tempo característico da infecção . Glóris e Misérias • Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente tem-se uma epidemia. Faz sentido. • O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde pública. • Quanto maior S0 maior R0 . Ou seja, quanto mais susceptíveis, mais chances de haver epidemia.
  • 108. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias Histórias... dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Modelos Glórias e Misérias Fazendo sentido de R0 > 1. Vegetação em S0 r regiões • O que nos diz a condição R0 ≡ a > 1? Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Passo a passo: áridas Modelo • a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a Histerese pode ser visto como o tempo característico da infecção . Glóris e Misérias • Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente tem-se uma epidemia. Faz sentido. • O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde pública. • Quanto maior S0 maior R0 . Ou seja, quanto mais susceptíveis, mais chances de haver epidemia. Faz sentido também. • r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados.
  • 109. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias Histórias... dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Modelos Glórias e Misérias Fazendo sentido de R0 > 1. Vegetação em S0 r regiões • O que nos diz a condição R0 ≡ a > 1? Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Passo a passo: áridas Modelo • a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a Histerese pode ser visto como o tempo característico da infecção . Glóris e Misérias • Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente tem-se uma epidemia. Faz sentido. • O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde pública. • Quanto maior S0 maior R0 . Ou seja, quanto mais susceptíveis, mais chances de haver epidemia. Faz sentido também. • r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados. Quanto maior, pior a doença.
  • 110. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias Histórias... dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Modelos Glórias e Misérias Fazendo sentido de R0 > 1. Vegetação em S0 r regiões • O que nos diz a condição R0 ≡ a > 1? Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Passo a passo: áridas Modelo • a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a Histerese pode ser visto como o tempo característico da infecção . Glóris e Misérias • Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente tem-se uma epidemia. Faz sentido. • O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde pública. • Quanto maior S0 maior R0 . Ou seja, quanto mais susceptíveis, mais chances de haver epidemia. Faz sentido também. • r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados. Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia.
  • 111. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel dS dI dR Epidemias Histórias... dt = −rSI dt = −rSI − aI dt = aI Modelos Glórias e Misérias Fazendo sentido de R0 > 1. Vegetação em S0 r regiões • O que nos diz a condição R0 ≡ a > 1? Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Passo a passo: áridas Modelo • a é a taxa de remoção de infectados ara a classe de recuperados. 1/a Histerese pode ser visto como o tempo característico da infecção . Glóris e Misérias • Quanto menor a, maior o tempo de infecção , e mais facilmente tem-se uma epidemia. Faz sentido. • O tempo médio de infecção pode ser diminuído por medidas de saúde pública. • Quanto maior S0 maior R0 . Ou seja, quanto mais susceptíveis, mais chances de haver epidemia. Faz sentido também. • r mede a taxa de transferência de susceptíveis para infectados. Quanto maior, pior a doença.Mais facilmente haverá epidemia. Faz sentido também.
  • 112. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Nada como um gráfico... Epidemias Histórias... Modelos • Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase. Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 113. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Nada como um gráfico... Epidemias Histórias... Modelos • Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase. Glórias e Misérias Vegetação em • Temos três variáveis, regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 114. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Nada como um gráfico... Epidemias Histórias... Modelos • Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase. Glórias e Misérias Vegetação em • Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemos regiões Semi-áridas eliminar uma delas. Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 115. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Nada como um gráfico... Epidemias Histórias... Modelos • Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase. Glórias e Misérias Vegetação em • Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemos regiões Semi-áridas eliminar uma delas. Por exemplo, R. Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 116. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Nada como um gráfico... Epidemias Histórias... Modelos • Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase. Glórias e Misérias Vegetação em • Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemos regiões Semi-áridas eliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I. Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 117. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Nada como um gráfico... Epidemias Histórias... Modelos • Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase. Glórias e Misérias Vegetação em • Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemos regiões Semi-áridas eliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I. Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 118. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Nada como um gráfico... Epidemias Histórias... Modelos • Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase. Glórias e Misérias Vegetação em • Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemos regiões Semi-áridas eliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I. Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Note no diagrama ao lado Glóris e Misérias que todas as trajetórias vão à I = 0 quando t → ∞.
  • 119. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Nada como um gráfico... Epidemias Histórias... Modelos • Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase. Glórias e Misérias Vegetação em • Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemos regiões Semi-áridas eliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I. Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Note no diagrama ao lado Glóris e Misérias que todas as trajetórias vão à I = 0 quando t → ∞.Toda epidemia acaba!
  • 120. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Nada como um gráfico... Epidemias Histórias... Modelos • Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase. Glórias e Misérias Vegetação em • Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemos regiões Semi-áridas eliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I. Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Note no diagrama ao lado Glóris e Misérias que todas as trajetórias vão à I = 0 quando t → ∞.Toda epidemia acaba! Que bom!.
  • 121. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Nada como um gráfico... Epidemias Histórias... Modelos • Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase. Glórias e Misérias Vegetação em • Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemos regiões Semi-áridas eliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I. Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Note no diagrama ao lado Glóris e Misérias que todas as trajetórias vão à I = 0 quando t → ∞.Toda epidemia acaba! Que bom!. Repare que S(t → ∞) = 0.
  • 122. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Nada como um gráfico... Epidemias Histórias... Modelos • Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase. Glórias e Misérias Vegetação em • Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemos regiões Semi-áridas eliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I. Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Note no diagrama ao lado Glóris e Misérias que todas as trajetórias vão à I = 0 quando t → ∞.Toda epidemia acaba! Que bom!. Repare que S(t → ∞) = 0. Nem todos pegam a in- fecção .
  • 123. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Nada como um gráfico... Epidemias Histórias... Modelos • Podemos visualizar as soluções do modelo no espaço de fase. Glórias e Misérias Vegetação em • Temos três variáveis, mas como S + I + R = N, podemos regiões Semi-áridas eliminar uma delas. Por exemplo, R. Ficamos com S e I. Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Note no diagrama ao lado Glóris e Misérias que todas as trajetórias vão à I = 0 quando t → ∞.Toda epidemia acaba! Que bom!. Repare que S(t → ∞) = 0. Nem todos pegam a in- fecção .
  • 124. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséria do Modelo R.A. Kraenkel Glórias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 125. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséria do Modelo R.A. Kraenkel Glórias Epidemias Histórias... • O modelo é simples. Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 126. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséria do Modelo R.A. Kraenkel Glórias Epidemias Histórias... • O modelo é simples. Modelos • É adequado a alguns casos. Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 127. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséria do Modelo R.A. Kraenkel Glórias Epidemias Histórias... • O modelo é simples. Modelos • É adequado a alguns casos. Sobretudo Glórias e Misérias para doenças que podem passar de Vegetação em regiões pessoa-a-pessoa. Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 128. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséria do Modelo R.A. Kraenkel Glórias Epidemias Histórias... • O modelo é simples. Modelos • É adequado a alguns casos. Sobretudo Glórias e Misérias para doenças que podem passar de Vegetação em regiões pessoa-a-pessoa. Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Ao lado, uma comparação do modelo com áridas Modelo os registros de uma epidemia de gripe Histerese num internato inglês. Glóris e Misérias
  • 129. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséria do Modelo R.A. Kraenkel Glórias Epidemias Histórias... • O modelo é simples. Modelos • É adequado a alguns casos. Sobretudo Glórias e Misérias para doenças que podem passar de Vegetação em regiões pessoa-a-pessoa. Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Ao lado, uma comparação do modelo com áridas Modelo os registros de uma epidemia de gripe Histerese num internato inglês. Glóris e Misérias • As curvas são obtidas por integração numérica.
  • 130. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséria do Modelo R.A. Kraenkel Glórias Epidemias Histórias... • O modelo é simples. Modelos • É adequado a alguns casos. Sobretudo Glórias e Misérias para doenças que podem passar de Vegetação em regiões pessoa-a-pessoa. Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Ao lado, uma comparação do modelo com áridas Modelo os registros de uma epidemia de gripe Histerese num internato inglês. Glóris e Misérias • As curvas são obtidas por integração numérica. • Ademais, o modelo pode ser visto com ponto de partida para modelos mais complexos.
  • 131. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséria do Modelo R.A. Kraenkel Glórias Epidemias Histórias... • O modelo é simples. Modelos • É adequado a alguns casos. Sobretudo Glórias e Misérias para doenças que podem passar de Vegetação em regiões pessoa-a-pessoa. Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Ao lado, uma comparação do modelo com áridas Modelo os registros de uma epidemia de gripe Histerese num internato inglês. Glóris e Misérias • As curvas são obtidas por integração numérica. • Ademais, o modelo pode ser visto com ponto de partida para modelos mais complexos. • Podemos incluir novos compartimentos, por exemplo.
  • 132. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséria do Modelo R.A. Kraenkel Glórias Epidemias Histórias... • O modelo é simples. Modelos • É adequado a alguns casos. Sobretudo Glórias e Misérias para doenças que podem passar de Vegetação em regiões pessoa-a-pessoa. Semi-áridas Regiões semi-áridas e • Ao lado, uma comparação do modelo com áridas Modelo os registros de uma epidemia de gripe Histerese num internato inglês. Glóris e Misérias • As curvas são obtidas por integração numérica. • Ademais, o modelo pode ser visto com ponto de partida para modelos mais complexos. • Podemos incluir novos compartimentos, por exemplo. • Podemos incluir também incluir crescimento demográfico.
  • 133. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséra do Modelo R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Misérias Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Rev. Latino-Am. Enfermagem vol.14 no.6 Ribeirão Preto Nov./Dec. 2006
  • 134. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséra do Modelo R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Misérias Modelos Glórias e Misérias • O modelo pressupõe homogeneidade espacial. Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Rev. Latino-Am. Enfermagem vol.14 no.6 Ribeirão Preto Nov./Dec. 2006
  • 135. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséra do Modelo R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Misérias Modelos Glórias e Misérias • O modelo pressupõe homogeneidade espacial. Vegetação em regiões • Ao lado, a distribuição da incidência de Semi-áridas Regiões semi-áridas e tuberculose em Ribeirão Preto em 2002. áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Rev. Latino-Am. Enfermagem vol.14 no.6 Ribeirão Preto Nov./Dec. 2006
  • 136. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséra do Modelo R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Misérias Modelos Glórias e Misérias • O modelo pressupõe homogeneidade espacial. Vegetação em regiões • Ao lado, a distribuição da incidência de Semi-áridas Regiões semi-áridas e tuberculose em Ribeirão Preto em 2002. áridas Modelo Nada homogênea. Histerese Glóris e Misérias Figure: Rev. Latino-Am. Enfermagem vol.14 no.6 Ribeirão Preto Nov./Dec. 2006
  • 137. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséra do Modelo R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Misérias Modelos Glórias e Misérias • O modelo pressupõe homogeneidade espacial. Vegetação em regiões • Ao lado, a distribuição da incidência de Semi-áridas Regiões semi-áridas e tuberculose em Ribeirão Preto em 2002. áridas Modelo Nada homogênea. Histerese Glóris e Misérias • É pouco adequado para modelos de transmissão de moléstias por vetores. Figure: Rev. Latino-Am. Enfermagem vol.14 no.6 Ribeirão Preto Nov./Dec. 2006
  • 138. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséra do Modelo R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Misérias Modelos Glórias e Misérias • O modelo pressupõe homogeneidade espacial. Vegetação em regiões • Ao lado, a distribuição da incidência de Semi-áridas Regiões semi-áridas e tuberculose em Ribeirão Preto em 2002. áridas Modelo Nada homogênea. Histerese Glóris e Misérias • É pouco adequado para modelos de transmissão de moléstias por vetores. • É totalmente macroscópico: Figure: Rev. Latino-Am. Enfermagem vol.14 no.6 Ribeirão Preto Nov./Dec. 2006
  • 139. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséra do Modelo R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Misérias Modelos Glórias e Misérias • O modelo pressupõe homogeneidade espacial. Vegetação em regiões • Ao lado, a distribuição da incidência de Semi-áridas Regiões semi-áridas e tuberculose em Ribeirão Preto em 2002. áridas Modelo Nada homogênea. Histerese Glóris e Misérias • É pouco adequado para modelos de transmissão de moléstias por vetores. • É totalmente macroscópico: não levamos em conta explicitamente probabilidades de transmissão , etc.. Figure: Rev. Latino-Am. • Tampouco é verdade que quot;toda epidemia Enfermagem vol.14 no.6 Ribeirão passaquot;. Preto Nov./Dec. 2006
  • 140. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséra do Modelo R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Misérias Modelos Glórias e Misérias • O modelo pressupõe homogeneidade espacial. Vegetação em regiões • Ao lado, a distribuição da incidência de Semi-áridas Regiões semi-áridas e tuberculose em Ribeirão Preto em 2002. áridas Modelo Nada homogênea. Histerese Glóris e Misérias • É pouco adequado para modelos de transmissão de moléstias por vetores. • É totalmente macroscópico: não levamos em conta explicitamente probabilidades de transmissão , etc.. Figure: Rev. Latino-Am. • Tampouco é verdade que quot;toda epidemia Enfermagem vol.14 no.6 Ribeirão passaquot;. Após a sua passagem, poderia se Preto Nov./Dec. 2006 gerar uma situação endêmica.
  • 141. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséra do Modelo R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Misérias Modelos Glórias e Misérias • O modelo pressupõe homogeneidade espacial. Vegetação em regiões • Ao lado, a distribuição da incidência de Semi-áridas Regiões semi-áridas e tuberculose em Ribeirão Preto em 2002. áridas Modelo Nada homogênea. Histerese Glóris e Misérias • É pouco adequado para modelos de transmissão de moléstias por vetores. • É totalmente macroscópico: não levamos em conta explicitamente probabilidades de transmissão , etc.. Figure: Rev. Latino-Am. • Tampouco é verdade que quot;toda epidemia Enfermagem vol.14 no.6 Ribeirão passaquot;. Após a sua passagem, poderia se Preto Nov./Dec. 2006 gerar uma situação endêmica.Isso não está no modelo.
  • 142. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glória e Miséra do Modelo R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Misérias Modelos Glórias e Misérias • O modelo pressupõe homogeneidade espacial. Vegetação em regiões • Ao lado, a distribuição da incidência de Semi-áridas Regiões semi-áridas e tuberculose em Ribeirão Preto em 2002. áridas Modelo Nada homogênea. Histerese Glóris e Misérias • É pouco adequado para modelos de transmissão de moléstias por vetores. • É totalmente macroscópico: não levamos em conta explicitamente probabilidades de transmissão , etc.. Figure: Rev. Latino-Am. • Tampouco é verdade que quot;toda epidemia Enfermagem vol.14 no.6 Ribeirão passaquot;. Após a sua passagem, poderia se Preto Nov./Dec. 2006 gerar uma situação endêmica.Isso não está no modelo.
  • 143. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Vegetação em Regiões Semi-áridas R.A. Kraenkel Eremologia: ciência das regiões áridas. Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Regiões áridas e semi-áridas no mundo
  • 144. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Vegetação em Regiões Semi-áridas R.A. Kraenkel Eremologia: ciência das regiões áridas. Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Regiões áridas e semi-áridas no mundo
  • 145. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Vegetação em Regiões Semi-áridas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Sertão da Bahia
  • 146. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Vegetação em Regiões Semi-áridas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Consideremos a cobertura vegetal de Vegetação em regiões em que a água é escassa. regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Sertão da Bahia
  • 147. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Vegetação em Regiões Semi-áridas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Consideremos a cobertura vegetal de Vegetação em regiões em que a água é escassa. regiões Semi-áridas • Neste caso, a água é um fator limitante. Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Sertão da Bahia
  • 148. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Vegetação em Regiões Semi-áridas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Consideremos a cobertura vegetal de Vegetação em regiões em que a água é escassa. regiões Semi-áridas • Neste caso, a água é um fator limitante. Regiões semi-áridas e áridas • Ao contrário de regiões tropicais, aonde Modelo água e luz são abundantes, e os fatores Histerese Glóris e Misérias limitantes vem do próprio terreno, ou da competição inter-específica. Figure: Sertão da Bahia
  • 149. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Vegetação em Regiões Semi-áridas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Consideremos a cobertura vegetal de Vegetação em regiões em que a água é escassa. regiões Semi-áridas • Neste caso, a água é um fator limitante. Regiões semi-áridas e áridas • Ao contrário de regiões tropicais, aonde Modelo água e luz são abundantes, e os fatores Histerese Glóris e Misérias limitantes vem do próprio terreno, ou da competição inter-específica. • Desejamos escrever um modelo matemático Figure: Sertão da Bahia
  • 150. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Vegetação em Regiões Semi-áridas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Consideremos a cobertura vegetal de Vegetação em regiões em que a água é escassa. regiões Semi-áridas • Neste caso, a água é um fator limitante. Regiões semi-áridas e áridas • Ao contrário de regiões tropicais, aonde Modelo água e luz são abundantes, e os fatores Histerese Glóris e Misérias limitantes vem do próprio terreno, ou da competição inter-específica. • Desejamos escrever um modelo matemático (simples!!) Figure: Sertão da Bahia
  • 151. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Vegetação em Regiões Semi-áridas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Consideremos a cobertura vegetal de Vegetação em regiões em que a água é escassa. regiões Semi-áridas • Neste caso, a água é um fator limitante. Regiões semi-áridas e áridas • Ao contrário de regiões tropicais, aonde Modelo água e luz são abundantes, e os fatores Histerese Glóris e Misérias limitantes vem do próprio terreno, ou da competição inter-específica. • Desejamos escrever um modelo matemático (simples!!) para descrever a inter-relação entre a biomassa vegetal e a quantidade de água na terra numa região Figure: Sertão da Bahia semi-árida.
  • 152. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Vegetação em Regiões Semi-áridas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Consideremos a cobertura vegetal de Vegetação em regiões em que a água é escassa. regiões Semi-áridas • Neste caso, a água é um fator limitante. Regiões semi-áridas e áridas • Ao contrário de regiões tropicais, aonde Modelo água e luz são abundantes, e os fatores Histerese Glóris e Misérias limitantes vem do próprio terreno, ou da competição inter-específica. • Desejamos escrever um modelo matemático (simples!!) para descrever a inter-relação entre a biomassa vegetal e a quantidade de água na terra numa região Figure: Sertão da Bahia semi-árida. • M ÃOS À OBRA !
  • 153. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 154. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Colorado, USA
  • 155. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Colorado, USA Figure: Kalahari, Namíbia
  • 156. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... • Água e vegetação , numa primeira Modelos abordagem, têm uma relação que Glórias e Misérias lembra a de predador-presa. Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Colorado, USA Figure: Kalahari, Namíbia
  • 157. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... • Água e vegetação , numa primeira Modelos abordagem, têm uma relação que Glórias e Misérias lembra a de predador-presa. Vegetação em regiões • A presença da água é favorável ao Semi-áridas Regiões semi-áridas e crescimento da vegetação . áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Colorado, USA Figure: Kalahari, Namíbia
  • 158. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... • Água e vegetação , numa primeira Modelos abordagem, têm uma relação que Glórias e Misérias lembra a de predador-presa. Vegetação em regiões • A presença da água é favorável ao Semi-áridas Regiões semi-áridas e crescimento da vegetação . áridas Modelo • A vegetação consome água. Histerese Glóris e Misérias Figure: Colorado, USA Figure: Kalahari, Namíbia
  • 159. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... • Água e vegetação , numa primeira Modelos abordagem, têm uma relação que Glórias e Misérias lembra a de predador-presa. Vegetação em regiões • A presença da água é favorável ao Semi-áridas Regiões semi-áridas e crescimento da vegetação . áridas Modelo • A vegetação consome água. Histerese Figure: Colorado, USA Glóris e Misérias • No entanto, um modelo predador-presa convencional não é adequado. Figure: Kalahari, Namíbia
  • 160. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... • Água e vegetação , numa primeira Modelos abordagem, têm uma relação que Glórias e Misérias lembra a de predador-presa. Vegetação em regiões • A presença da água é favorável ao Semi-áridas Regiões semi-áridas e crescimento da vegetação . áridas Modelo • A vegetação consome água. Histerese Figure: Colorado, USA Glóris e Misérias • No entanto, um modelo predador-presa convencional não é adequado. • Consideremos duas variáveis: Figure: Kalahari, Namíbia
  • 161. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... • Água e vegetação , numa primeira Modelos abordagem, têm uma relação que Glórias e Misérias lembra a de predador-presa. Vegetação em regiões • A presença da água é favorável ao Semi-áridas Regiões semi-áridas e crescimento da vegetação . áridas Modelo • A vegetação consome água. Histerese Figure: Colorado, USA Glóris e Misérias • No entanto, um modelo predador-presa convencional não é adequado. • Consideremos duas variáveis: • w, a quantidade de água no solo. Figure: Kalahari, Namíbia
  • 162. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... • Água e vegetação , numa primeira Modelos abordagem, têm uma relação que Glórias e Misérias lembra a de predador-presa. Vegetação em regiões • A presença da água é favorável ao Semi-áridas Regiões semi-áridas e crescimento da vegetação . áridas Modelo • A vegetação consome água. Histerese Figure: Colorado, USA Glóris e Misérias • No entanto, um modelo predador-presa convencional não é adequado. • Consideremos duas variáveis: • w, a quantidade de água no solo. • u, a biomassa vegetal ( aprox. proporcional à área da Figure: Kalahari, Namíbia cobertura vegetal).
  • 163. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 164. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Equação para o volume d’água no solo Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 165. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Equação para o volume d’água no solo Histórias... Modelos Glórias e Misérias dw = Vegetação em dt regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 166. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Equação para o volume d’água no solo Histórias... Modelos Glórias e Misérias dw = a Vegetação em dt |{z} regiões precipitação Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 167. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Equação para o volume d’água no solo Histórias... Modelos Glórias e Misérias dw = a − bw Vegetação em dt |{z} |{z} regiões precipitação evaporação Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 168. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Equação para o volume d’água no solo Histórias... Modelos Glórias e Misérias dw = a − bw − cu2 w Vegetação em dt |{z} |{z} | {z } regiões precipitação evaporação absorção pela vegetação Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 169. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Equação para o volume d’água no solo Histórias... Modelos Glórias e Misérias dw = a − bw − cu2 w Vegetação em dt |{z} |{z} | {z } regiões precipitação evaporação absorção pela vegetação Semi-áridas Regiões semi-áridas e A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 170. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Equação para o volume d’água no solo Histórias... Modelos Glórias e Misérias dw = a − bw − cu2 w Vegetação em dt |{z} |{z} | {z } regiões precipitação evaporação absorção pela vegetação Semi-áridas Regiões semi-áridas e A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora em áridas Modelo uma taxa por volume constante (b), Histerese Glóris e Misérias
  • 171. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Equação para o volume d’água no solo Histórias... Modelos Glórias e Misérias dw = a − bw − cu2 w Vegetação em dt |{z} |{z} | {z } regiões precipitação evaporação absorção pela vegetação Semi-áridas Regiões semi-áridas e A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora em áridas Modelo uma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxa Histerese por volume que depende de u2 (c). Glóris e Misérias
  • 172. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Equação para o volume d’água no solo Histórias... Modelos Glórias e Misérias dw = a − bw − cu2 w Vegetação em dt |{z} |{z} | {z } regiões precipitação evaporação absorção pela vegetação Semi-áridas Regiões semi-áridas e A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora em áridas Modelo uma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxa Histerese por volume que depende de u2 (c). Glóris e Misérias Equação para a biomassa du = dt
  • 173. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Equação para o volume d’água no solo Histórias... Modelos Glórias e Misérias dw = a − bw − cu2 w Vegetação em dt |{z} |{z} | {z } regiões precipitação evaporação absorção pela vegetação Semi-áridas Regiões semi-áridas e A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora em áridas Modelo uma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxa Histerese por volume que depende de u2 (c). Glóris e Misérias Equação para a biomassa du = −du dt |{z} morte natural da vegetação
  • 174. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Equação para o volume d’água no solo Histórias... Modelos Glórias e Misérias dw = a − bw − cu2 w Vegetação em dt |{z} |{z} | {z } regiões precipitação evaporação absorção pela vegetação Semi-áridas Regiões semi-áridas e A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora em áridas Modelo uma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxa Histerese por volume que depende de u2 (c). Glóris e Misérias Equação para a biomassa du = −du + eu2 w dt |{z} | {z } morte natural da vegetação absorção de água
  • 175. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Equação para o volume d’água no solo Histórias... Modelos Glórias e Misérias dw = a − bw − cu2 w Vegetação em dt |{z} |{z} | {z } regiões precipitação evaporação absorção pela vegetação Semi-áridas Regiões semi-áridas e A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora em áridas Modelo uma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxa Histerese por volume que depende de u2 (c). Glóris e Misérias Equação para a biomassa du = −du + eu2 w dt |{z} | {z } morte natural da vegetação absorção de água A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d)
  • 176. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelo de Klausmeier R.A. Kraenkel Epidemias Equação para o volume d’água no solo Histórias... Modelos Glórias e Misérias dw = a − bw − cu2 w Vegetação em dt |{z} |{z} | {z } regiões precipitação evaporação absorção pela vegetação Semi-áridas Regiões semi-áridas e A água no solo aumenta pela chuva (a) em proporção constante, evapora em áridas Modelo uma taxa por volume constante (b), e é absorvida pela vegetação em uma taxa Histerese por volume que depende de u2 (c). Glóris e Misérias Equação para a biomassa du = −du + eu2 w dt |{z} | {z } morte natural da vegetação absorção de água A vegetação tem uma taxa de morte natural por volume constante (d) e absorve a água com uma taxa por volume (e) proporcional a uw.
  • 177. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 178. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo R.A. Kraenkel dw du Epidemias dt = a − bw − cu2 w dt = −du + eu2 w Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 179. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo R.A. Kraenkel dw du Epidemias dt = a − bw − cu2 w dt = −du + eu2 w Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas: Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 180. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo R.A. Kraenkel dw du Epidemias dt = a − bw − cu2 w dt = −du + eu2 w Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas: Vegetação em regiões Semi-áridas e Regiões semi-áridas e W=w √ áridas b3 c Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 181. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo R.A. Kraenkel dw du Epidemias dt = a − bw − cu2 w dt = −du + eu2 w Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas: Vegetação em regiões Semi-áridas e Regiões semi-áridas e W=w √ áridas b3 c Modelo Histerese Glóris e Misérias √ U = u bc
  • 182. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo R.A. Kraenkel dw du Epidemias dt = a − bw − cu2 w dt = −du + eu2 w Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas: Vegetação em regiões Semi-áridas e Regiões semi-áridas e W=w √ áridas b3 c Modelo Histerese Glóris e Misérias √ U = u bc T = tb
  • 183. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo R.A. Kraenkel dw du Epidemias dt = a − bw − cu2 w dt = −du + eu2 w Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas: Vegetação em regiões Semi-áridas e Regiões semi-áridas e W=w √ áridas b3 c Modelo Histerese Glóris e Misérias √ U = u bc T = tb
  • 184. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo R.A. Kraenkel dw du Epidemias dt = a − bw − cu2 w dt = −du + eu2 w Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas: Vegetação em regiões Semi-áridas e Regiões semi-áridas e W=w √ áridas b3 c Modelo Histerese Glóris e Misérias √ U = u bc T = tb • Esta variáveis são em dimensão .
  • 185. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do modelo R.A. Kraenkel dw du Epidemias dt = a − bw − cu2 w dt = −du + eu2 w Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Primeiramente vamos definir novas variáveis, re-escalonadas: Vegetação em regiões Semi-áridas e Regiões semi-áridas e W=w √ áridas b3 c Modelo Histerese Glóris e Misérias √ U = u bc T = tb • Esta variáveis são em dimensão . • Substituindo-as nas equações acima, teremos:
  • 186. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo II R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... dW = A − W − WU2 Modelos Glórias e Misérias Vegetação em dT regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 187. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo II R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... dW = A − W − WU2 Modelos Glórias e Misérias Vegetação em dT regiões Semi-áridas dU Regiões semi-áridas e = WU2 − BU áridas Modelo dT Histerese Glóris e Misérias
  • 188. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo II R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... dW = A − W − WU2 Modelos Glórias e Misérias Vegetação em dT regiões Semi-áridas dU Regiões semi-áridas e = WU2 − BU áridas Modelo dT Histerese Glóris e Misérias onde ae A= √ b3 c
  • 189. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo II R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... dW = A − W − WU2 Modelos Glórias e Misérias Vegetação em dT regiões Semi-áridas dU Regiões semi-áridas e = WU2 − BU áridas Modelo dT Histerese Glóris e Misérias onde ae A= √ b3 c e B = d/b
  • 190. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo II R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... dW = A − W − WU2 Modelos Glórias e Misérias Vegetação em dT regiões Semi-áridas dU Regiões semi-áridas e = WU2 − BU áridas Modelo dT Histerese Glóris e Misérias onde ae A= √ b3 c e B = d/b ⇒ note que as equações dependem apenas de dois parâmetros, ao invés dos cinco iniciais.
  • 191. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo II R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... dW = A − W − WU2 Modelos Glórias e Misérias Vegetação em dT regiões Semi-áridas dU Regiões semi-áridas e = WU2 − BU áridas Modelo dT Histerese Glóris e Misérias onde ae A= √ b3 c e B = d/b ⇒ note que as equações dependem apenas de dois parâmetros, ao invés dos cinco iniciais. O QUE OS DIZEM ESTAS EQUAÇÕES ?
  • 192. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo III R.A. Kraenkel dW dT = A − W − WU 2 dU dT = WU 2 − BU Epidemias Histórias... Modelos • Para analisar o modelo procuramos os pontos fixos: Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 193. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo III R.A. Kraenkel dW dT = A − W − WU 2 dU dT = WU 2 − BU Epidemias Histórias... Modelos • Para analisar o modelo procuramos os pontos fixos: Glórias e Misérias • Ou seja, os pontos U∗ e W ∗ tais que Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 194. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo III R.A. Kraenkel dW dT = A − W − WU 2 dU dT = WU 2 − BU Epidemias Histórias... Modelos • Para analisar o modelo procuramos os pontos fixos: Glórias e Misérias • Ou seja, os pontos U∗ e W ∗ tais que Vegetação em regiões • Semi-áridas dW ∗ =0 Regiões semi-áridas e áridas dT Modelo • Histerese dU∗ Glóris e Misérias =0 dT
  • 195. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo III R.A. Kraenkel dW dT = A − W − WU 2 dU dT = WU 2 − BU Epidemias Histórias... Modelos • Para analisar o modelo procuramos os pontos fixos: Glórias e Misérias • Ou seja, os pontos U∗ e W ∗ tais que Vegetação em regiões • Semi-áridas dW ∗ =0 Regiões semi-áridas e áridas dT Modelo • Histerese dU∗ Glóris e Misérias =0 dT • ou seja
  • 196. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo III R.A. Kraenkel dW dT = A − W − WU 2 dU dT = WU 2 − BU Epidemias Histórias... Modelos • Para analisar o modelo procuramos os pontos fixos: Glórias e Misérias • Ou seja, os pontos U∗ e W ∗ tais que Vegetação em regiões • Semi-áridas dW ∗ =0 Regiões semi-áridas e áridas dT Modelo • Histerese dU∗ Glóris e Misérias =0 dT • ou seja • A − W ∗ − W ∗ (U∗ )2 = 0
  • 197. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo III R.A. Kraenkel dW dT = A − W − WU 2 dU dT = WU 2 − BU Epidemias Histórias... Modelos • Para analisar o modelo procuramos os pontos fixos: Glórias e Misérias • Ou seja, os pontos U∗ e W ∗ tais que Vegetação em regiões • Semi-áridas dW ∗ =0 Regiões semi-áridas e áridas dT Modelo • Histerese dU∗ Glóris e Misérias =0 dT • ou seja • A − W ∗ − W ∗ (U∗ )2 = 0 • W ∗ (U∗ )2 − BU∗ = 0
  • 198. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo III R.A. Kraenkel dW dT = A − W − WU 2 dU dT = WU 2 − BU Epidemias Histórias... Modelos • Para analisar o modelo procuramos os pontos fixos: Glórias e Misérias • Ou seja, os pontos U∗ e W ∗ tais que Vegetação em regiões • Semi-áridas dW ∗ =0 Regiões semi-áridas e áridas dT Modelo • Histerese dU∗ Glóris e Misérias =0 dT • ou seja • A − W ∗ − W ∗ (U∗ )2 = 0 • W ∗ (U∗ )2 − BU∗ = 0
  • 199. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel Epidemias dW dT = A − W − WU 2 dU dT = WU 2 − BU Histórias... Modelos Glórias e Misérias • O sistema algébrico anterior tem três soluções : Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias U∗ = 0 W∗ = A
  • 200. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel Epidemias dW dT = A − W − WU 2 dU dT = WU 2 − BU Histórias... Modelos Glórias e Misérias • O sistema algébrico anterior tem três soluções : Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias U∗ = 0 W∗ = A Se A > 2B 2B U∗ = √ A− A2 − 4B2 √ A − A2 − 4B2 W∗ = 2
  • 201. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel Epidemias dW dT = A − W − WU 2 dU dT = WU 2 − BU Histórias... Modelos Glórias e Misérias • O sistema algébrico anterior tem três soluções : Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias U∗ = 0 W∗ = A Se A > 2B Se A > 2B 2B 2B U∗ = √ U∗ = √ A− A2 − 4B2 A+A2 − 4B2 √ √ A − A2 − 4B2 A + A2 − 4B2 W∗ = W∗ = 2 2
  • 202. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo IV R.A. Kraenkel Epidemias dW dT = A − W − WU 2 dU dT = WU 2 − BU Histórias... Modelos Glórias e Misérias • O sistema algébrico anterior tem três soluções : Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias U∗ = 0 W∗ = A Se A > 2B Se A > 2B 2B 2B U∗ = √ U∗ = √ A− A2 − 4B2 A+A2 − 4B2 √ √ A − A2 − 4B2 A + A2 − 4B2 W∗ = W∗ = 2 2
  • 203. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 204. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Interpretação Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 205. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Interpretação Epidemias Histórias... Modelos Nossa primeira conclusão : Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 206. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Interpretação Epidemias Histórias... Modelos Nossa primeira conclusão : Glórias e Misérias Vegetação em • Se A < 2B a única solução é U ∗ = 0 e W ∗ = A. regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 207. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Interpretação Epidemias Histórias... Modelos Nossa primeira conclusão : Glórias e Misérias Vegetação em • Se A < 2B a única solução é U ∗ = 0 e W ∗ = A. regiões Semi-áridas • Esta solução representa um terreno sem vegetação . Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 208. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Interpretação Epidemias Histórias... Modelos Nossa primeira conclusão : Glórias e Misérias Vegetação em • Se A < 2B a única solução é U ∗ = 0 e W ∗ = A. regiões Semi-áridas • Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um Regiões semi-áridas e áridas deserto. Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 209. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Interpretação Epidemias Histórias... Modelos Nossa primeira conclusão : Glórias e Misérias Vegetação em • Se A < 2B a única solução é U ∗ = 0 e W ∗ = A. regiões Semi-áridas • Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um Regiões semi-áridas e áridas deserto. √ Modelo Histerese Glóris e Misérias • A condição A > 2B ⇒ a > 2d e bc mostra a necessidade de haver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação.
  • 210. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Interpretação Epidemias Histórias... Modelos Nossa primeira conclusão : Glórias e Misérias Vegetação em • Se A < 2B a única solução é U ∗ = 0 e W ∗ = A. regiões Semi-áridas • Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um Regiões semi-áridas e áridas deserto. √ Modelo Histerese Glóris e Misérias • A condição A > 2B ⇒ a > 2d e bc mostra a necessidade de haver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação. • Ademais, quanto maior e melhor para vegetação.
  • 211. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Interpretação Epidemias Histórias... Modelos Nossa primeira conclusão : Glórias e Misérias Vegetação em • Se A < 2B a única solução é U ∗ = 0 e W ∗ = A. regiões Semi-áridas • Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um Regiões semi-áridas e áridas deserto. √ Modelo Histerese Glóris e Misérias • A condição A > 2B ⇒ a > 2d e bc mostra a necessidade de haver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação. • Ademais, quanto maior e melhor para vegetação. Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pela vegetação .
  • 212. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Interpretação Epidemias Histórias... Modelos Nossa primeira conclusão : Glórias e Misérias Vegetação em • Se A < 2B a única solução é U ∗ = 0 e W ∗ = A. regiões Semi-áridas • Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um Regiões semi-áridas e áridas deserto. √ Modelo Histerese Glóris e Misérias • A condição A > 2B ⇒ a > 2d e bc mostra a necessidade de haver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação. • Ademais, quanto maior e melhor para vegetação. Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pela vegetação . Quanto maior, melhor.
  • 213. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Interpretação Epidemias Histórias... Modelos Nossa primeira conclusão : Glórias e Misérias Vegetação em • Se A < 2B a única solução é U ∗ = 0 e W ∗ = A. regiões Semi-áridas • Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um Regiões semi-áridas e áridas deserto. √ Modelo Histerese Glóris e Misérias • A condição A > 2B ⇒ a > 2d e bc mostra a necessidade de haver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação. • Ademais, quanto maior e melhor para vegetação. Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pela vegetação . Quanto maior, melhor. • Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa de morte da vegetação (d), pior.
  • 214. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Interpretação Epidemias Histórias... Modelos Nossa primeira conclusão : Glórias e Misérias Vegetação em • Se A < 2B a única solução é U ∗ = 0 e W ∗ = A. regiões Semi-áridas • Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um Regiões semi-áridas e áridas deserto. √ Modelo Histerese Glóris e Misérias • A condição A > 2B ⇒ a > 2d e bc mostra a necessidade de haver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação. • Ademais, quanto maior e melhor para vegetação. Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pela vegetação . Quanto maior, melhor. • Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa de morte da vegetação (d), pior. • R AZOÁVEL !
  • 215. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo V R.A. Kraenkel Interpretação Epidemias Histórias... Modelos Nossa primeira conclusão : Glórias e Misérias Vegetação em • Se A < 2B a única solução é U ∗ = 0 e W ∗ = A. regiões Semi-áridas • Esta solução representa um terreno sem vegetação . Um Um Regiões semi-áridas e áridas deserto. √ Modelo Histerese Glóris e Misérias • A condição A > 2B ⇒ a > 2d e bc mostra a necessidade de haver suficiente chuva (a) para sustentar a vegetação. • Ademais, quanto maior e melhor para vegetação. Lembremos que e representa a taxa de absorção dágua pela vegetação . Quanto maior, melhor. • Por outro lado, quanto maior a evaporação (b) e a taxa de morte da vegetação (d), pior. • R AZOÁVEL !
  • 216. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo VI R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 217. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo VI R.A. Kraenkel Seja então A > 2B Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 218. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo VI R.A. Kraenkel Seja então A > 2B Epidemias Histórias... Modelos • Se A > 2B, Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 219. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo VI R.A. Kraenkel Seja então A > 2B Epidemias Histórias... Modelos • Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos. Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 220. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo VI R.A. Kraenkel Seja então A > 2B Epidemias Histórias... Modelos • Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos. Glórias e Misérias • Precisamos saber da estabilidade deles. Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 221. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo VI R.A. Kraenkel Seja então A > 2B Epidemias Histórias... Modelos • Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos. Glórias e Misérias • Precisamos saber da estabilidade deles. Vegetação em regiões • Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremos Semi-áridas Regiões semi-áridas e o seguinte resultado: áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 222. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo VI R.A. Kraenkel Seja então A > 2B Epidemias Histórias... Modelos • Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos. Glórias e Misérias • Precisamos saber da estabilidade deles. Vegetação em regiões • Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremos Semi-áridas Regiões semi-áridas e o seguinte resultado: • O ponto fixo U ∗ = 0 e W ∗ = A é sempre estável. áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 223. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo VI R.A. Kraenkel Seja então A > 2B Epidemias Histórias... Modelos • Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos. Glórias e Misérias • Precisamos saber da estabilidade deles. Vegetação em regiões • Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremos Semi-áridas Regiões semi-áridas e o seguinte resultado: • O ponto fixo U ∗ = 0 e W ∗ = A é sempre estável. áridas Modelo Histerese • O ponto fixo Glóris e Misérias √ 2B A + A2 − 4B2 U∗ = √ , W∗ = A + A2 − 4B2 2 é sempre instável.
  • 224. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo VI R.A. Kraenkel Seja então A > 2B Epidemias Histórias... Modelos • Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos. Glórias e Misérias • Precisamos saber da estabilidade deles. Vegetação em regiões • Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremos Semi-áridas Regiões semi-áridas e o seguinte resultado: • O ponto fixo U ∗ = 0 e W ∗ = A é sempre estável. áridas Modelo Histerese • O ponto fixo Glóris e Misérias √ 2B A + A2 − 4B2 U∗ = √ , W∗ = A + A2 − 4B2 2 é sempre instável. • O ponto fixo √ 2B A− A2 − 4B2 U∗ = √ , W∗ = A − A2 − 4B2 2 é sempre estável.
  • 225. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo VI R.A. Kraenkel Seja então A > 2B Epidemias Histórias... Modelos • Se A > 2B, podemos ter mais dois pontos fixos. Glórias e Misérias • Precisamos saber da estabilidade deles. Vegetação em regiões • Se realizarmos a análise de estabilidade linear destes pontos fixos teremos Semi-áridas Regiões semi-áridas e o seguinte resultado: • O ponto fixo U ∗ = 0 e W ∗ = A é sempre estável. áridas Modelo Histerese • O ponto fixo Glóris e Misérias √ 2B A + A2 − 4B2 U∗ = √ , W∗ = A + A2 − 4B2 2 é sempre instável. • O ponto fixo √ 2B A− A2 − 4B2 U∗ = √ , W∗ = A − A2 − 4B2 2 é sempre estável.
  • 226. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo VII R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... • Assim, se A > 2B, e B > 2, temos dois pontos fixos estáveis, cada qual Modelos Glórias e Misérias com a sua bacia de atração . Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 227. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo VII R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... • Assim, se A > 2B, e B > 2, temos dois pontos fixos estáveis, cada qual Modelos Glórias e Misérias com a sua bacia de atração . Vegetação em • Podemos representar a situação no gráfico abaixo: regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 228. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo VII R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... • Assim, se A > 2B, e B > 2, temos dois pontos fixos estáveis, cada qual Modelos Glórias e Misérias com a sua bacia de atração . Vegetação em • Podemos representar a situação no gráfico abaixo: regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Mantivemos B fixo, e fizemos o gráfico de U ∗ ( ou seja, a biomassa) em termos de A. Representamos a solução “desértica” (U ∗ = 0) e a solução estável com cobertura vegetal.
  • 229. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Análise do Modelo VII R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... • Assim, se A > 2B, e B > 2, temos dois pontos fixos estáveis, cada qual Modelos Glórias e Misérias com a sua bacia de atração . Vegetação em • Podemos representar a situação no gráfico abaixo: regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Mantivemos B fixo, e fizemos o gráfico de U ∗ ( ou seja, a biomassa) em termos de A. Representamos a solução “desértica” (U ∗ = 0) e a solução estável com cobertura vegetal.
  • 230. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva à Vegetação em seguinte situação . regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 231. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva à Vegetação em seguinte situação . regiões Semi-áridas • Tomemos B fixo. Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 232. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva à Vegetação em seguinte situação . regiões Semi-áridas • Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente. Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 233. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva à Vegetação em seguinte situação . regiões Semi-áridas • Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente. Regiões semi-áridas e áridas • Comecemos na região de bi-estabilidade. Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 234. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva à Vegetação em seguinte situação . regiões Semi-áridas • Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente. Regiões semi-áridas e áridas • Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir. Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 235. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva à Vegetação em seguinte situação . regiões Semi-áridas • Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente. Regiões semi-áridas e áridas • Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num Modelo dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B. Histerese Glóris e Misérias
  • 236. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva à Vegetação em seguinte situação . regiões Semi-áridas • Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente. Regiões semi-áridas e áridas • Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num Modelo dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B. Histerese Glóris e Misérias • Neste momento teremos uma mudança brusca,
  • 237. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva à Vegetação em seguinte situação . regiões Semi-áridas • Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente. Regiões semi-áridas e áridas • Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num Modelo dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B. Histerese Glóris e Misérias • Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0.
  • 238. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva à Vegetação em seguinte situação . regiões Semi-áridas • Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente. Regiões semi-áridas e áridas • Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num Modelo dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B. Histerese Glóris e Misérias • Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0. D ESERTIFICAÇÃO !!!.
  • 239. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva à Vegetação em seguinte situação . regiões Semi-áridas • Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente. Regiões semi-áridas e áridas • Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num Modelo dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B. Histerese Glóris e Misérias • Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0. D ESERTIFICAÇÃO !!!. • Suponha agora que A comece a crescer.
  • 240. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva à Vegetação em seguinte situação . regiões Semi-áridas • Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente. Regiões semi-áridas e áridas • Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num Modelo dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B. Histerese Glóris e Misérias • Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0. D ESERTIFICAÇÃO !!!. • Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmo com A > 2B continuaremos na região desértica.
  • 241. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva à Vegetação em seguinte situação . regiões Semi-áridas • Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente. Regiões semi-áridas e áridas • Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num Modelo dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B. Histerese Glóris e Misérias • Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0. D ESERTIFICAÇÃO !!!. • Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmo com A > 2B continuaremos na região desértica. • E M S UMA:
  • 242. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva à Vegetação em seguinte situação . regiões Semi-áridas • Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente. Regiões semi-áridas e áridas • Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num Modelo dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B. Histerese Glóris e Misérias • Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0. D ESERTIFICAÇÃO !!!. • Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmo com A > 2B continuaremos na região desértica. • E M S UMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos até A < 2B e voltarmos ao valor inicial,
  • 243. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva à Vegetação em seguinte situação . regiões Semi-áridas • Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente. Regiões semi-áridas e áridas • Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num Modelo dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B. Histerese Glóris e Misérias • Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0. D ESERTIFICAÇÃO !!!. • Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmo com A > 2B continuaremos na região desértica. • E M S UMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos até A < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ = 0 mas não voltamos para este valor.
  • 244. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • A existência de uma região de bi-estabilidade (A > 2B, B > 2), nos leva à Vegetação em seguinte situação . regiões Semi-áridas • Tomemos B fixo. E consideremos que A pode variar lentamente. Regiões semi-áridas e áridas • Comecemos na região de bi-estabilidade. E deixemos A diminuir.Num Modelo dado momento teremos A cruzando o valor crítico A = 2B. Histerese Glóris e Misérias • Neste momento teremos uma mudança brusca, um salto, em que U∗ → 0. D ESERTIFICAÇÃO !!!. • Suponha agora que A comece a crescer. Como U∗ = 0 é estável, mesmo com A > 2B continuaremos na região desértica. • E M S UMA: se começamos num certo valor de A, diminuirmos até A < 2B e voltarmos ao valor inicial, saímos de um valor de U∗ = 0 mas não voltamos para este valor. • A este fenômeno, chamamos de Histerese.
  • 245. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese II R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: B está fixo. A sai de um valor A com U ∗ = U , diminui, passa por A = 2B. Neste momento, U ∗ → 0. Quando voltamos a aumentar A, mesmo com A > 2B, temos U ∗ = 0.
  • 246. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese II R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: B está fixo. A sai de um valor A com U ∗ = U , diminui, passa por A = 2B. Neste momento, U ∗ → 0. Quando voltamos a aumentar A, mesmo com A > 2B, temos U ∗ = 0. Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas
  • 247. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese II R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: B está fixo. A sai de um valor A com U ∗ = U , diminui, passa por A = 2B. Neste momento, U ∗ → 0. Quando voltamos a aumentar A, mesmo com A > 2B, temos U ∗ = 0. Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas ( no nosso modelo, a quantidade de chuva)
  • 248. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese II R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: B está fixo. A sai de um valor A com U ∗ = U , diminui, passa por A = 2B. Neste momento, U ∗ → 0. Quando voltamos a aumentar A, mesmo com A > 2B, temos U ∗ = 0. Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas ( no nosso modelo, a quantidade de chuva) para que voltemos ao estado não-desértico.
  • 249. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Histerese II R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: B está fixo. A sai de um valor A com U ∗ = U , diminui, passa por A = 2B. Neste momento, U ∗ → 0. Quando voltamos a aumentar A, mesmo com A > 2B, temos U ∗ = 0. Uma vez atingido o estado desértico, não basta reverter as condições externas ( no nosso modelo, a quantidade de chuva) para que voltemos ao estado não-desértico.T ERRÍVEL
  • 250. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glórias e Misérias do Modelo R.A. Kraenkel Glórias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 251. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glórias e Misérias do Modelo R.A. Kraenkel Glórias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Estimativa da cobertura da vegetal na região do atual deserto do Sahara. Observa-se uma mudança brusca ao redor de 5500 anos atrás, gerando um estado desértico estável.
  • 252. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glórias e Misérias do Modelo R.A. Kraenkel Glórias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Estimativa da cobertura da vegetal na região do atual deserto do Sahara. Observa-se uma mudança brusca ao redor de 5500 anos atrás, gerando um estado desértico estável. • A existência de um transições bruscas e estados desérticos estáveis pode ser observada em séries temporais.
  • 253. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glórias e Misérias do Modelo R.A. Kraenkel Glórias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Estimativa da cobertura da vegetal na região do atual deserto do Sahara. Observa-se uma mudança brusca ao redor de 5500 anos atrás, gerando um estado desértico estável. • A existência de um transições bruscas e estados desérticos estáveis pode ser observada em séries temporais. O modelo de Klausmeier é compatível com estes fatos.
  • 254. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glórias e Misérias do Modelo R.A. Kraenkel Glórias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Figure: Estimativa da cobertura da vegetal na região do atual deserto do Sahara. Observa-se uma mudança brusca ao redor de 5500 anos atrás, gerando um estado desértico estável. • A existência de um transições bruscas e estados desérticos estáveis pode ser observada em séries temporais. O modelo de Klausmeier é compatível com estes fatos. • O modelo é S IMPLES.
  • 255. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glórias e Misérias do Modelo R.A. Kraenkel Misérias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Figure: Região em processo de Glóris e Misérias desertificação na China
  • 256. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glórias e Misérias do Modelo R.A. Kraenkel Misérias Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Figure: Região em processo de Glóris e Misérias desertificação na China Figure: Senegal, na região do Sahel, fronteira do Sahara ( ao sul).
  • 257. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glórias e Misérias do Modelo R.A. Kraenkel Misérias Epidemias Histórias... Modelos • O modelo é M UITO S IMPLES Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Figure: Região em processo de Glóris e Misérias desertificação na China Figure: Senegal, na região do Sahel, fronteira do Sahara ( ao sul).
  • 258. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glórias e Misérias do Modelo R.A. Kraenkel Misérias Epidemias Histórias... Modelos • O modelo é M UITO S IMPLES Glórias e Misérias • Em particular, prevê uma queda à Vegetação em zero (exatamente). regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Figure: Região em processo de Glóris e Misérias desertificação na China Figure: Senegal, na região do Sahel, fronteira do Sahara ( ao sul).
  • 259. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glórias e Misérias do Modelo R.A. Kraenkel Misérias Epidemias Histórias... Modelos • O modelo é M UITO S IMPLES Glórias e Misérias • Em particular, prevê uma queda à Vegetação em zero (exatamente). Não é muito regiões Semi-áridas realista em se tratando de Regiões semi-áridas e áridas desertificação recente. Modelo Histerese Figure: Região em processo de Glóris e Misérias desertificação na China Figure: Senegal, na região do Sahel, fronteira do Sahara ( ao sul).
  • 260. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glórias e Misérias do Modelo R.A. Kraenkel Misérias Epidemias Histórias... Modelos • O modelo é M UITO S IMPLES Glórias e Misérias • Em particular, prevê uma queda à Vegetação em zero (exatamente). Não é muito regiões Semi-áridas realista em se tratando de Regiões semi-áridas e áridas desertificação recente.Pode haver Modelo uma vegetação remanescente. Histerese Figure: Região em processo de Glóris e Misérias desertificação na China Figure: Senegal, na região do Sahel, fronteira do Sahara ( ao sul).
  • 261. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glórias e Misérias do Modelo R.A. Kraenkel Misérias Epidemias Histórias... Modelos • O modelo é M UITO S IMPLES Glórias e Misérias • Em particular, prevê uma queda à Vegetação em zero (exatamente). Não é muito regiões Semi-áridas realista em se tratando de Regiões semi-áridas e áridas desertificação recente.Pode haver Modelo uma vegetação remanescente. Histerese Figure: Região em processo de • O modelo prevê que– por mais Glóris e Misérias desertificação na China que chova – não há recuperação . Figure: Senegal, na região do Sahel, fronteira do Sahara ( ao sul).
  • 262. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glórias e Misérias do Modelo R.A. Kraenkel Misérias Epidemias Histórias... Modelos • O modelo é M UITO S IMPLES Glórias e Misérias • Em particular, prevê uma queda à Vegetação em zero (exatamente). Não é muito regiões Semi-áridas realista em se tratando de Regiões semi-áridas e áridas desertificação recente.Pode haver Modelo uma vegetação remanescente. Histerese Figure: Região em processo de • O modelo prevê que– por mais Glóris e Misérias desertificação na China que chova – não há recuperação . Se houver uma vegetação remanescente, chuva continuadas deveriam ser capazes aumentar a vegetação . Figure: Senegal, na região do Sahel, fronteira do Sahara ( ao sul).
  • 263. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glórias e Misérias do Modelo R.A. Kraenkel Misérias Epidemias Histórias... Modelos • O modelo é M UITO S IMPLES Glórias e Misérias • Em particular, prevê uma queda à Vegetação em zero (exatamente). Não é muito regiões Semi-áridas realista em se tratando de Regiões semi-áridas e áridas desertificação recente.Pode haver Modelo uma vegetação remanescente. Histerese Figure: Região em processo de • O modelo prevê que– por mais Glóris e Misérias desertificação na China que chova – não há recuperação . Se houver uma vegetação remanescente, chuva continuadas deveriam ser capazes aumentar a vegetação . • Podemos escrever modelos mais completos. Figure: Senegal, na região do Sahel, fronteira do Sahara ( ao sul).
  • 264. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Glórias e Misérias do Modelo R.A. Kraenkel Misérias Epidemias Histórias... Modelos • O modelo é M UITO S IMPLES Glórias e Misérias • Em particular, prevê uma queda à Vegetação em zero (exatamente). Não é muito regiões Semi-áridas realista em se tratando de Regiões semi-áridas e áridas desertificação recente.Pode haver Modelo uma vegetação remanescente. Histerese Figure: Região em processo de • O modelo prevê que– por mais Glóris e Misérias desertificação na China que chova – não há recuperação . Se houver uma vegetação remanescente, chuva continuadas deveriam ser capazes aumentar a vegetação . • Podemos escrever modelos mais completos. Figure: Senegal, na região do Sahel, fronteira do Sahara ( ao sul).
  • 265. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos mais realistas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 266. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos mais realistas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno de Vegetação em regiões histerese, ilustrado abaixo: Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 267. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos mais realistas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno de Vegetação em regiões histerese, ilustrado abaixo: Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 268. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos mais realistas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno de Vegetação em regiões histerese, ilustrado abaixo: Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Na figura ao lado, temos a curva da biomassa em termos do forneci- mento de recursos ( água, por exem- plo).
  • 269. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos mais realistas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno de Vegetação em regiões histerese, ilustrado abaixo: Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Na figura ao lado, temos a curva da biomassa em termos do forneci- mento de recursos ( água, por exem- plo). A curva apresenta duas regiões de transição
  • 270. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos mais realistas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno de Vegetação em regiões histerese, ilustrado abaixo: Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Na figura ao lado, temos a curva da biomassa em termos do forneci- mento de recursos ( água, por exem- plo). A curva apresenta duas regiões de transição Mais à esquerda, uma transição vegetação → deserto.
  • 271. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos mais realistas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno de Vegetação em regiões histerese, ilustrado abaixo: Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Na figura ao lado, temos a curva da biomassa em termos do forneci- mento de recursos ( água, por exem- plo). A curva apresenta duas regiões de transição Mais à esquerda, uma transição vegetação → deserto. À direita, uma transição no sentido re- verso.
  • 272. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos mais realistas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Modelos mais realistas nos dariam ainda um fenômeno de Vegetação em regiões histerese, ilustrado abaixo: Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias Na figura ao lado, temos a curva da biomassa em termos do forneci- mento de recursos ( água, por exem- plo). A curva apresenta duas regiões de transição Mais à esquerda, uma transição vegetação → deserto. À direita, uma transição no sentido re- verso.
  • 273. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos mais realistas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 274. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos mais realistas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Outra curva demonstrando histerese. Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 275. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos mais realistas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Outra curva demonstrando histerese. Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Glóris e Misérias
  • 276. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos mais realistas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Outra curva demonstrando histerese. Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Na figura ao lado, temos a curva da Glóris e Misérias biomassa em termos do fornecimento de recursos ( água, por exemplo).
  • 277. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos mais realistas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Outra curva demonstrando histerese. Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Na figura ao lado, temos a curva da Glóris e Misérias biomassa em termos do fornecimento de recursos ( água, por exemplo). A curva é semelhante à anterior,
  • 278. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos mais realistas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Outra curva demonstrando histerese. Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Na figura ao lado, temos a curva da Glóris e Misérias biomassa em termos do fornecimento de recursos ( água, por exemplo). A curva é semelhante à anterior, mas neste caso U∗ não vai a zero.
  • 279. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Modelos mais realistas R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Modelos Glórias e Misérias • Outra curva demonstrando histerese. Vegetação em regiões Semi-áridas Regiões semi-áridas e áridas Modelo Histerese Na figura ao lado, temos a curva da Glóris e Misérias biomassa em termos do fornecimento de recursos ( água, por exemplo). A curva é semelhante à anterior, mas neste caso U∗ não vai a zero.
  • 280. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Referências R.A. Kraenkel Epidemias Histórias... Epidemias Modelos Glórias e Misérias • J.D. Murray: Mathematical Biology I (Springer, 2002) Vegetação em regiões • F. Brauer e C. Castillo-Chavez: Mathematical Models in Semi-áridas Regiões semi-áridas e Population Biology and Epidemiology (Springer, 2001). áridas Modelo • N.F. Britton: Essential Mathematical Biology ( Springer, Histerese Glóris e Misérias 2003). Dinâmica de vegetações em regiões áridas • M. Scheffer e S.R. Carpenter, Trends in Ecology and Evolution 18, 648 (2003). • M. Rietkerk et alli., Science 305, 1926 (2004) • C.A. Klausmaier, Science 284, 1826 (1999).