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Estabilização dinâmica

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Primeira aula de uma série de quatro, apresentada na VI Semana de Física da UFMA ( São Luis do Maranhão) em 2010.

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Estabilização dinâmica

  1. 1. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Estabilização Dinâmica Roberto André Kraenkel Instituto de Física Teórica - São Paulo http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel VI Semana da Física Departamento de Física da Universidade Federal do Maranão Novembro de 2010Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  2. 2. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalOs tópicos de hoje O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalEstabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  3. 3. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalO pêndulo simples. Comecemos com algo muito simples. Um pêndulo. A equações de movimento são: d2 ϕ 2 + ω0 sin ϕ = 0, dt2 Há dois pontos de equilíbrio ϕ = 0, π 0 é estável, π ínstável.Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  4. 4. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalUm pêndulo forçado Consideremos um pêndulo forçado. Mas, um pêndulo incomum! Vamos supor que a base do pêndulo realiza oscilações periódicas verticais. A equação de movimento deste sistema é:   d2 ϕ  2 + ω0 + a cos 2πft  sinϕ = 0  dt2 movimento da base a é a amplitude and f é a frequência da força. Claro que , ϕ = 0, π são ainda pontos de equilíbrio. Mas, ... e a sua estabilidade?Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  5. 5. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalEstabilidade Para estudar a estabilidade dos equilíbrios, escreva simplesmente ϕ = ϕs + φ , φ 1 e ϕs = 0 , π Fique com apenas os primeiros termos da expasão: Você terá uma equação linear para φ: d2 φ 2 + ±ω0 + a cos 2πft φ = 0 dt2 +⇒ ϕs = 0 -⇒ ϕs = π Esta é a equação de Mathieu. Vejamos mais sobre ela.Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  6. 6. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalMathieu d2 φ 2 + ±ω0 + a cos 2πft φ = 0 dt2 Esta equação é estudada através da teoria de Floquet. Não vamos fazer isto agora. Está em livros-texto. Nota bene: esta é a mesma equação que a equação de Schrödinger com um potencial periódico. Lembre-se dos cursos de estado sólido.→ deve haver alguma coisa parecida com estruturas de bandas.Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  7. 7. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Mathieu II Para cada a e f pode-se resolver a equação acima. Se φ vai à zero, dizemos que o ponto de equilíbrio , com aqueles a e f , é estável. Caso contrário, é instável. Assim, plotamos um diagrama no plano a x f . Pontos de estabilidade deixamos brancos, de instabilidade pintamos de azul.Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  8. 8. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Mathieu again Figure: Diagrama de estabilidade no plano a x f .Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  9. 9. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalEstabilização 2 Podemos ver uma região com ω0 negativo.corresponde ao pêndulo invertido. Há lá uma região de estabilidade. Corresponde a f grande: altas frequências Podemos os dizer que o efeito de altas frequências é estabilizar o pêndulo invertido. Efeito também conhecido por "estabilização de Kapitza".Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  10. 10. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalOutra forma de abordar o problema Podemos olhar este problema da seguinte forma: queremos saber o comportamento de um pêndulo submetido à uma força paramétrica de alta frequência. Vamos direto para o limite de altas frequências. Procure uma solução na forma : ϕ = Φ + ξ onde Φ é o movimento medianizado (sobre as oscilações rápidas ) e ξ representa as oscilações rápidas ao redor da média. Em suma, queremos saber o movimento médio do pêndulo: queremos uma equa¸ao para Φ. É um problema de em que temos duas escalas de tempo. Resulta que Φ sente um potencial efetivo Vamos dar uma olhada nele.Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  11. 11. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalO potencial efetivo, em altas frequênciasEstabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  12. 12. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalEstabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  13. 13. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalEstabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  14. 14. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalEstabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  15. 15. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final O potencial sem força externa paramétrica. O potencial medianizado tem um novo mínimo em Φ = π, → estabilização. Este argumento é de Kapitza e pode ser encontrado no livro de mecânica do Landau. Pode-se ser estudado com mais rigor através de expansões em múltiplas escalas.Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  16. 16. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalMuito além do pêndulo A estabilização que do pêndulo invertido não é apenas uma curiosidade. A idéia de que um ponto fixo instável se torne estável quando o sistema é foado parametricamente aparece em diversas situações. ¸ Há uma série de exemplosEstabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  17. 17. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalUma profusão de pêndulosEstabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  18. 18. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalEstabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  19. 19. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalEstabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  20. 20. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalEstabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  21. 21. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalEstabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  22. 22. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalEstabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  23. 23. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Vamos agora olhar um contexto diferente. Vamos considerar a Equação de Schrödinger Não-linearEstabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  24. 24. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Um líquido mais pesado sobre um mai leve. Mesmo um líquido sobre um gás. Uma corda invertida.Ou uma "corda rígida". Pode usar para pintar o seu teto. ˆ Ou ganhar o prmio Nobel (a armadilha de Paul é baseada em estabilização dinâmica e é usada para aprisionar átomos.) Ou ainda para não cair do cavalo.Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  25. 25. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalNLS em 2D Considere a equação de Schrödinger não-linear em duas dimensões espaciais: 1 2 ıut + u + γ|u|2 u = 0 2 qual é a física desta equação? Propagação da luz em meios não-lineares Dinâmica de condensados em Bose-Einstein em armadilhadas tipo ‘panqueca". O que é isso? É um condensado em que uma das dimensões é suprimida pela forma da armadilha, ao mesmo tempo deixando o sistema quase-livre nas outras duas dimensões. Isso existe de fato. Não de preocupe com em entender melhor este sistema agora. Mas lembre-se que a equação acima não é somente um “toy-model".Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  26. 26. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final Propriedades da equação NLS Em 1D, ela é integrável.Resolve-se o problema de Cauchy para ela. As soluções são localizadas. Solitons. Em 2D, ela não é integrável Mas, se γ > 0, tem uma solução particular localizada. Uma " bola de luz". Chama-se de “soliton de Townes". Instável!! Em ótica corresponde ao processo de filamentação de um feixe num meio não-linear. In BEC é o colapso de condensado atrativo. Eu ouvi mesmo instável?Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  27. 27. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalEstabilização do soliton de Townes Pdemos estabilizar o soliton de Townes via uma forçagem paramétrica O parâmtro que podemos usar é γ. Mas poemos de fato variá-lo no tempo?E com alta frequência? No caso de condensados, facilmente. Na ótica teríamos que ter um meio estratificado.Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  28. 28. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalMétodos matemáticos Seja então o sistema: 1 2 ıut + u + γ(t/ )|u|2 u = 0 com 1 and γ periódico 2 Como extrair infromações dela? Três caminhos: Aproximação Variational + medianização Medianização direta + resultados sobre perturbações so soliton de Townes Integração numérica .Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  29. 29. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalResultados Estabilização. É possível encontrar condições para que ocorra. O que importa é notar que : seja: γ = γ0 + γ1 sin ωt . é necessário que γ1 > γ0 para haver estabilização. A não-linearidade deve mudar de sinal. Pode-se mostrar (V. Konotop (Lisboa) ) que esta condição é necessária.Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  30. 30. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalFinal Forças do tipo paramétricas podem mudar a estabilidade de pontos fixos. Podem estabilizar ponto que outro modo seriam instáveis Isso acontece em sistemas mecânicos simples, E em sistemas espacialmente extensos.Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  31. 31. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalReferência F.Kh. Abdullaev, J.G. Caputo, R.A. Kraenkel and B. A. Malomed, Phys. Rev.A 67, (2003) 013605.Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel
  32. 32. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes FinalDownload da Aula http://web.me.com/kraenkel/ufma Obrigado pela atenção!Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel

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