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  • 1. Exercícios 5a Semana1) Explique detalhadamente o movimento de precessão do eixo de rotaçãoda Terra. Não se esqueça de apresentar as causas e suas consequências maisimportantes.Resposta: Precessão é movimento do eixo de rotação da Terra em relaçãoao plano de sua órbita. Esse movimento existe pois o eixo de rotação daTerra não está alinhado com a Eclíptica, formando um ângulo de aproxi-madamente 23,5o com esta, além disso a Terra não é perfeitamente esférica,havendo um acúmulo de massa na região equatorial, essa diferença de massafaz com que exista um torque resultante da força de atração gravitacional doSol, esse torque tende a alinhar o eixo da terra com o plano de órbita, comoexiste uma inclinção inicial, o eixo da Terra realiza um movimento circular.Como efeito desse movimento a posição de astros visualizados a partir daTerra muda com o tempo, visto que essa posição é medida com relação àprópria Terra.10.25 Uma escada AB de comprimento igual a 3 m e massa de 20 kg estáapoiada contra uma parede sem atrito(Fig 10.31). O chão é também sematrito e, para prevenir que ela deslize, uma corda OA é ligada a ela. Umhomem com 60 kg de massa está sobre a escada numa posição que é igual adois terços do comprimento da escada, a partir da extremidade inferior. A 1
  • 2. corda quebra-se repentinamente. Calcule (a) a aceleração inicial do centro demassa do sistema homem-escada, e (b) a aceleração angular inicial em tornodo centro de massa.Resolução:(a) Considerando o homem como um ponto material o centro de massa dosistema está localizado em: 60 × 1 cos α + 20 × 1.5 cos α 60 × 2 sin α + 20 × 1.5 sin α 9 15CM = ( , ) = ( cos α, sin α) 80 80 8 8Sabendo que α = 0 e derivando duas vezes no tempo: ˙ 9 ax = − sin αα¨ 8e 15 ay = − cos αα ¨ 8(b) O momento de inércia com relação ao centro de massa vale: 1 32 32 75 I = 60 × 2 + 20 × 2 + 20 × = 8 8 12 4 2
  • 3. As forças que atuam sobre a escada são o peso destaP E, o peso do homemP H, a normal da parede N P e a normal do chão N C. Destas, a única que atuano eixo x é N P, logo: 9 NP ax = − sin αα = ¨ 8 80ou seja, N P = −90 sin αα ¨Analogamente, a aceleração resultante no eixo Y pode ser escrita como: 15 60g + 20g − N C ay = − cos αα = ¨ 8 80isso implica em N C = 150 cos αα + 80g ¨Mas o torque pode ser representado por I α, ¨ logo: 1 15 3 9 I α = 60g cos α + N C cos α − 20g cos α − N P sin α ¨ 8 8 8 8Substituindo: 5g cos α α=− ¨ 4 + 6 cos2 α3) Demonstre que a posição, a velocidade e a aceleração de uma partículaque realiza um movimento harmônco simples podem ser representadas pelaprojeção de vetores girantes. Neste caso, qual a relação entre a velocidadeangular do vetor girante e a frequência angular do movimento oscilatório?Resposta O movimento harmônico simples é caracterizado por uma acel-eração resultante proporcional à distância da posição de equilibrio e comdireção contrária ao movimento, ou seja F = −kx onde kF é a resultante euma constante arbitrária. Mas num movimento unidimensional F = ma = 2x dt k km d 2 = −kx, logo, resolvendo a EDO, x = C1 sin m t + C2 cos m t ondeC1 e C2 são constantes arbitrárias. Isso pode ser escrito como: √ k C1 C12 + C22 cos ( t − arctan ) m C2 √Isso é a projeção de um vetor de comprimento C12 + C22 girando com kvelocidade angular m e iniciando a partir de um ângulo inicial arctan C1 , C2Analogamente a velocidade e a aceleração também podem ser interpretadas 3
  • 4. como vetores girantes, a diferença é o módulo desses vetores, no caso da ve- k k √locidade será m (C12 + C22 ) e no caso da aceleração m C12 + C22 , isso édeterminado apartir da derivada com relação a t. A frequência do movimento koscilatório também é m . 4