Exercícios 3a Semana1)  Um cilindro de massa m e raio a rola sem deslizar sobre o plano in-clinado mostrado na gura, que, ...
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de percussão. (Por exemplo, um jogador de basebol deve segurar o taco pelocentro de percussão no sentido de evitar a desag...
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  1. 1. Exercícios 3a Semana1) Um cilindro de massa m e raio a rola sem deslizar sobre o plano in-clinado mostrado na gura, que, por sua vez, desliza sobre uma mesa sematrito. Quanto vale a aceleração do plano inclinado?Resolução:Pelo vínculo geométrico do problema, a aceleração da cunha é horizontal(nãohá penetração na mesa). Adotando a massa da cunha como M , o sentidopositivo no eixo x na horizontal para a esquerda e o sentido positivo no eixoy na vertical para baixo e ainda as força de atrito e normal entre a cunha e ocilindro como F e N respectivamente tem-se que a resultante da cunha vale: N sin α − F cos α = M aMSendo aM a aceleração da cunha, ou seja: N sin α − F cos α aM = MNo mesmo sistema de coordenadas, a aceleração do cilindro vale:No eixo x: F cos α − N sin α mE no eixo y N cos α + F sin α g− m 1
  2. 2. Como a normal está em um eixo que passa pelo centro do cilindro e o peso éaplicado no centro então a única força que realiza torque é o atrito, ou seja: Iθ = F aSendo θ a aceleração angular do cilindro.Mas I = ma , ou seja: 2 2 2F θ= maComo não há deslizamento, no ponto de contato entre o cilindro e a cunha,a aceleração resultante é a aceleração da cunha, ou seja:No eixo x F cos α − N sin α N sin α − F cos α + θa cos α = aM = m MSubstituindo θ e isolando N : 3M + m N = F cot α (M + m)mNo eixo y N cos α + F sin α g− − θa sin α = 0 mSubstituindo θ e N e isolando F : (M + m)m sin α (M + m)m sin α (M + m)m sin αF =g 2 =g 2 =g 3M + m(1 + 2 sin α) 3M + m(1 + 1 − (1 − 2 sin α)) 3M + 2m − m sin 2αSubstituindo F e N em aM tem-se: mg sin 2α aM = 3M + 2m − m cos 2αA rotação se dá na direção da força de atrito no cilindro, na gura a rotaçãoé no sentido horário.10.27- Uma barra de comprimento L e massa M repousa sobre um planohorizontal sem atrito(Figura 10-34). Durante um curto intervalo de tempoδt o bastão é atingido por uma força F que produz um impulso I . A forçaage num ponto P situado a uma distância a do centro de massa. Procure(a) a velocidade do centro de massa, e (b) a velocidade angular em torno docentro de massa. (c) Determine o ponto Q, que permanece inicialmente emrepouso no referencial do laboratório, mostrando que b = K , onde K é o 2 araio de giração em torno do centro de massa. O ponto Q é chamado centro 2
  3. 3. de percussão. (Por exemplo, um jogador de basebol deve segurar o taco pelocentro de percussão no sentido de evitar a desagradável sensação da reaçãodo taco quando ele atinge a bola.) Prove também que, se a força for aplicadaem Q, o centro de percussão estará em P .Resolução:a)Para o movimento de translação do centro de massa: I vcm = mb)Temos que: d×F d×F =τ ⇒α= mK 2Como F é perpendicular a d e ω = αdt: aF dt aI ⇒ω= 2 = mK mK 2c)Representando como r a distância do ponto Q ao centro de massa, para 3
  4. 4. que Q não se mova, temos que: aI I K2 ωr = −vcm ⇒ r =− ⇒r=− mK 2 m aAnálogamente, se a força for aplicada em Q, como a distância de Q ao centrode massa é K : 2 a I vcm = m 2 I( K ) ⇒ r w = −vcm ⇒ r = a w =− a mK 210.31 Um cordão é erolado no pequeno cilindro da Fig. 10-37. Supondo queo puxemos com uma força F , calcule a aceleração do cilindro. Determine osentido do movimento. Aqui, r = 3cm, R = 5cm, F = 0, 1kgf e m− = 1kg(massa do cilindro).Calculemos o torque em relação ao ponto de apoio: τ = τF + τf at + τP + τNComo o atrito, o peso e a normal agem em eixos que passam pelo ponto deapoio: τf at = τP = τN = 0Temos que: ˆ 3 τ = τF = (R − r)ˆ × F (ˆ = F (R − r)k = Iα = M R2 α j i) 2 4
  5. 5. Logo: 2F (R − r) ˆ α= k 3M R2Assim, o cilindro irá rolar no sentido anti-horário, movendo-se para a es-querda com aceleração do centro de massa aCM = R × α ≈ 0.3kgf/kg(−ˆ i) 5

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