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Cap04 relacoes

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    Cap04 relacoes Cap04 relacoes Document Transcript

    • Cap´tulo 4 ı Rela¸˜es co Edmilson Marmo Moreira Universidade Federal de Itajub´ - UNIFEI a Instituto de Engenharia de Sistemas e Tecnologias da Informa¸˜o - IESTI ca “N˜o se ganha uma corrida na primeira curva, mas pode-se perdˆ-la l´”. a e a Juan Manuel Fangio 1 Considera¸˜es Iniciais co Se for descoberto que duas pessoas, Maria e Jos´, est˜o relacionadas, entende-se que e a existe alguma conex˜o familiar entre elas - que o par (Maria, Jos´) se diferencia de outros a e pares ordenados de pessoas porque existe uma rela¸˜o (s˜o irm˜os, primos etc.) que Maria ca a a e Jos´ satisfazem. O an´logo matem´tico ´ distinguir determinados pares ordenados e a a e de objetos de outros pares ordenados porque as componentes dos pares diferenciados satisfazem alguma rela¸ao que os outros n˜o satisfazem. c˜ a 2 Rela¸oes c˜ Defini¸˜o 2.1 (Produto cartesiano) Sejam A e B dois conjuntos n˜o vazios. Chama- ca a se produto cartesiano de A por B, e representa-se por A × B, ao conjunto de todos os pares ordenados (a, b) tais que a ∈ A e b ∈ B, ou seja, A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B} No caso particular em que se tem A = B obt´m-se o conjunto: e A2 = {(a, a ) : a, a ∈ A} Exemplos: 1. Sejam A = {1, 2} e B = {a, b}; ent˜o, A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}. a 2. Seja S = {1, 2, 3}; ent˜o, S 2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), a (3, 3)}. 1
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 2 a ı O conceito de produto cartesiano pode ser estendido a mais de dois conjuntos de modo natural. Assim, sendo A, B e C trˆs conjuntos quaisquer, o produto cartesiano de A por e B por C, denotado por A × B × C, ´ o conjunto de todos os ternos ordenados (x, y, z) e onde x ∈ A, y ∈ B e z ∈ C: A × B × C = {(x, y, z) : x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ z ∈ C}. Analogamente, o produto cartesiano de n conjuntos A1 , A2 , . . . An , denotado por A1 × A2 × . . . × An ´ definido por: e A1 × A2 × . . . × An = {(x1 , x2 , . . . , xn : x1 ∈ A1 ∧ x2 ∈ A2 ∧ . . . ∧ xn ∈ An }. 3 Rela¸oes Bin´rias c˜ a Supondo o conjunto A = {1, 2, 3}. Se houver interesse na rela¸ao de igualdade entre os c˜ 2 elementos do produto cartesiano A , os elementos (1,1), (2,2) e (3,3) seriam os escolhidos, pois s˜o os unicos pares ordenados cujos componentes s˜o iguais. Se o interesse fosse na a ´ a rela¸ao de um n´mero ser menor do que o outro, os pares ordenados escolhidos seriam c˜ u (1,2), (1,3) e (2,3) em A × A. Nestes exemplos, pode-se escolher os pares ordenados (x, y) dizendo que x = y e x < y. Analogamente, a nota¸ao xRy indica que o par ordenado (x, y) satisfaz a rela¸ao R. A c˜ c˜ rela¸ao R pode ser definida por palavras ou, simplesmente, listando-se os pares ordenados c˜ que satisfazem R. Assim, um modo de definir uma rela¸˜o bin´ria R ´ especificar um ca a e subconjunto de A × A. Formalmente, essa ´ a defini¸˜o de uma rela¸ao bin´ria. e ca c˜ a Defini¸˜o 3.1 (Rela¸˜o Bin´ria) Uma Rela¸˜o Bin´ria ´ um subconjunto n˜o vazio R ca ca a ca a e a do produto cartesiano A × B. Se, em particular, for A = B ent˜o R diz-se uma rela¸˜o a ca bin´ria definida em A. a A rela¸˜o R consiste no seguinte: ca 1. Um conjunto A; 2. Um conjunto B; 3. Uma senten¸a aberta P (x, y) na qual P (a, b) ´ verdadeiro ou falso para qualquer par c e ordenado (a, b) pertencendo a A × B. Chama-se ent˜o R uma rela¸˜o de A para B e designa-se por: a ca R = (A, B, P (x, y)) Al´m disso, se P (a, b) ´ verdadeiro, escreve-se: e e
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 3 a ı aRb que se lˆ “a est´ relacionado a b”. Por outro lado, se P (a, b) n˜o ´ verdadeiro, escreve-se: e a a e a Rb que se lˆ “a n˜o est´ relacionado a b”. e a a Exemplos: 1. Seja R = (R, R, P (x, y)), onde P (x, y) se lˆ “x ´ menor do que y”. Assim, R ´ e e e uma rela¸ao, pois P (a, b) “a < b” tanto ´ verdadeiro como falso para qualquer par c˜ e ordenado (a, b) de n´meros reais. Al´m disso, como P (2, π) ´ verdadeiro, pode-se u e e escrever: 2Rπ √ e como P (5, 2) ´ falso, pode-se escrever: e √ 5 R 2 2. Seja R = (A, B, P (x, y)), onde A ´ o conjunto de homens, B ´ o conjunto de e e mulheres e P (x, y) se lˆ “x ´ divis´vel por y”. Portanto, R n˜o ´ uma rela¸ao, pois e e ı a e c˜ P (a, b) n˜o tem sentido se a ´ um homem e b ´ uma mulher. a e e Se R ´ uma rela¸ao bin´ria em S, ent˜o R consiste em um conjunto de pares ordenados e c˜ a a da forma (s1 , s2 ). Dada uma primeira componente s1 ou uma segunda componente s2 , podem ser formados diversos pares pertencentes a rela¸˜o. A rela¸ao ´ injetora ou um ` ca c˜ e para um se cada primeira componente e cada segunda componente aparece apenas uma vez na rela¸˜o. A rela¸˜o ´ um para muitos se alguma primeira componente aparece ca ca e mais de uma vez, isto ´, se s1 pode aparecer em mais de um par. Ele ´ dita muitos para e e um se alguma segunda componente s2 aparece em mais de um par. Finalmente, ela ´ e muitos para muitos se pelo menos um s1 aparece em mais de um par e pelo menos um ´ s2 aparece em mais de um par. E importante considerar que nem todos os valores em S precisam ser componentes de algum par ordenado em R. 4 Rela¸oes Inversas c˜ Defini¸˜o 4.1 (Rela¸˜o Inversa) Cada rela¸˜o R de A para B tem uma rela¸˜o in- ca ca ca ca −1 versa R de B para A que ´ definida por: e R−1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R}
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 4 a ı Em outras palavras, a rela¸ao inversa R−1 consiste dos pares ordenados que, quando c˜ invertidos, isto ´, permutados, pertencem a R. e Exemplos: 1. Sejam A = {1, 2, 3} e B = {a, b}. Da´ R = {(1, a), (1, b), (3, a)} ´ uma rela¸ao de A ı e c˜ para B. A rela¸ao inversa de R ´: c˜ e R−1 = {(a, 1), (b, 1), (a, 3)}. 2. Seja W = {a, b, c}. Da´ R = {(a, b), (a, c), (c, c), (c, b)} ´ uma rela¸ao em W . A ı e c˜ rela¸ao inversa de R ´: c˜ e R−1 = {(b, a), (c, a), (c, c), (b, c)}. 5 Propriedades das Rela¸˜es co Uma rela¸ao bin´ria em um conjunto S pode ter determinadas propriedades. Por c˜ a exemplo, a rela¸ao R de igualdade em S tem trˆs propriedades: c˜ e 1. Para qualquer x ∈ S, x = x ou (x, x) ∈ R; 2. Quaisquer que sejam x, y ∈ S, se x = y, ent˜o y = x, ou seja, (x, y) ∈ R → (y, x) ∈ a R; 3. Quaisquer que sejam x, y, z ∈ S se x = y e y = z, ent˜o x = z, ou seja [(x, y) ∈ R a e (y, z) ∈ R] → (x, z) ∈ R. Essas trˆs propriedades fazem com que a rela¸ao de e c˜ igualdade seja reflexiva, sim´trica e transitiva. e 5.1 Rela¸oes Reflexivas c˜ Defini¸˜o 5.1 (Rela¸˜o Reflexiva) Seja R = (A, A, P (x, y)) uma rela¸˜o em um con- ca ca ca junto A, isto ´, seja R um subconjunto de A×A. R ´ ent˜o chamada de rela¸˜o reflexiva, e e a ca se a cada a ∈ A implica em (a, a) ∈ R. Em outras palavras, R ´ reflexivo se cada elemento em A estiver relacionado com ele e mesmo. Exemplos: 1. Sejam V = {1, 2, 3, 4} e R = {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}. R n˜o ´ uma rela¸˜o a e ca reflexiva, pois (2, 2) n˜o pertence a R. Observe que todos os pares ordenados (a, a) a precisam pertencer a R a fim de que R seja reflexivo.
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 5 a ı 2. Seja R a rela¸˜o dos n´meros reais, definida pela senten¸a “x ´ menor do que y”, ca u c e isto ´ “x < y”. Assim R n˜o ´ reflexivo pois, a < a para qualquer n´mero real a. e a e u 3. Seja uma fam´ de conjuntos A e seja R a rela¸˜o em A definida por “x ´ um ılia ca e subconjunto de y”. R ´, pois, uma rela¸˜o reflexiva, uma vez que cada conjunto ´ e ca e um subconjunto de si mesmo. 5.2 Rela¸oes Irreflexivas c˜ Defini¸˜o 5.2 (Rela¸˜o Irreflexiva) Seja R = (A, A, P (x, y)) uma rela¸˜o em um ca ca ca conjunto A, isto ´, seja R um subconjunto de A × A. R ´ ent˜o chamada de rela¸˜o e e a ca irreflexiva, se a cada a ∈ A implica em (a, a) ∈ R. Em outras palavras, R ´ reflexivo se cada elemento em A n˜o estiver relacionado com e a ele mesmo. Exemplos: 1. Sejam V = {0, 1, 2} e R = {(0, 1), (1, 2), (2, 1)}. R ´ uma rela¸ao irreflexiva, pois e c˜ (0, 0), (1, 1) e (2, 2) n˜o pertencem a R. a 2. A rela¸ao (Z, =) ´ uma rela¸˜o irreflexiva. c˜ e ca 5.3 Rela¸oes Sim´tricas c˜ e Defini¸˜o 5.3 (Rela¸˜o Sim´trica) Seja R um subconjunto de A × A, isto ´, seja R ca ca e e uma rela¸˜o em A. R ´ chamado de rela¸˜o sim´trica se (a, b) ∈ R implica em (b, a) ∈ R. ca e ca e Desta forma, se a est´ relacionado a b, ent˜o b tamb´m est´ relacionado a a. a a e a Exemplos: 1. Sejam V = {1, 2, 3, 4} e seja R = {(1, 3), (4, 2), (2, 4), (2, 3), (3, 1)}. R n˜o ´ uma a e rela¸ao sim´trica, pois (2, 3) ∈ R mas (3, 2) ∈ R. c˜ e 2. Seja R a rela¸ao nos n´meros naturais N que ´ definida por “x divide y”. Portanto, c˜ u e R n˜o ´ sim´trico pois 2 divide 4 mas 4 n˜o divide 2. Em outras palavras, (2, 4) ∈ R a e e a mas (4, 2) ∈ R. Observa¸˜o: Como (a, b) ∈ R implica em que (b, a) perten¸a ` rela¸ao inversa R−1 , R ca c a c˜ ´ uma rela¸ao sim´trica se, e somente se, e c˜ e R = R−1 .
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 6 a ı 5.4 Rela¸oes Anti-sim´tricas c˜ e Defini¸˜o 5.4 (Rela¸˜o Anti-sim´trica) Uma rela¸˜o R em um subconjunto de A × ca ca e ca A, ´ chamado uma rela¸˜o anti-sim´trica se (a, b) ∈ R e (b, a) ∈ R implicar em a = b. e ca e Em outras palavras, se a = b, ent˜o possivelmente a estar´ relacionado com b ou a a possivelmente b estar´ relacionado com a, por´m nunca ambos. a e Exemplos: 1. Seja N os n´meros naturais e seja R a rela¸ao em N definida por “x divide y”. R ´ u c˜ e ent˜o anti-sim´trico, desde que a divide b e b divide a implica em a = b. a e 2. Seja W = {1, 2, 3, 4} e seja R = {(1, 3), (4, 2), (4, 4), (2, 4)}, ent˜o R n˜o ´ uma a a e rela¸ao anti-sim´trica em W , pois (4, 2) ∈ R e (2, 4) ∈ R. c˜ e 5.5 Rela¸oes Transitivas c˜ Defini¸˜o 5.5 (Rela¸˜o Transitiva) Uma rela¸˜o R em um conjunto A ´ chamada ca ca ca e uma rela¸˜o transitiva se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R implica em (a, c) ∈ R. ca Em outras palavras, se a est´ relacionado a b e se b est´ relacionado a c, ent˜o a est´ a a a a relacionado a c. Exemplos: 1. Seja A o conjunto das pessoas no mundo. Seja R a rela¸˜o em A definida pela ca senten¸a “x ama y”. Se a ama b e se b ama c, n˜o se conclui que a ama c. Conse- c a q¨entemente, R n˜o ´ uma rela¸ao transitiva. u a e c˜ 2. Seja R a rela¸˜o dos n´meros reais definida por “x ´ menor do que y”. Assim como ca u e foi mostrado anteriormente, a < b e b < c implica em a < c. Portanto, R ´ uma e rela¸ao transitiva. c˜ 6 Fechos de Rela¸oes c˜ Se uma rela¸˜o R em um conjunto S n˜o tem determinada propriedade, ´ poss´ ca a e ıvel estender R a uma rela¸ao R∗ em S que tenha essa propriedade. Por “estender” quer se c˜ dizer que a nova rela¸˜o R∗ vai conter todos os pares ordenados em R, al´m dos pares ca e adicionais necess´rios para que a propriedade seja v´lida. Portanto R ⊆ R∗. Se R∗ ´ o a a e menor conjunto com essa propriedade, ent˜o R∗ ´ chamado de fecho de R em rela¸˜o a a e ca essa propriedade.
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 7 a ı Defini¸˜o 6.1 (Fecho de uma rela¸˜o) Uma rela¸˜o bin´ria R∗ em um conjunto S ´ ca ca ca a e o fecho de uma rela¸˜o R em S em rela¸˜o ` propriedade P se: ca ca a 1. R∗ tem a propriedade P ; 2. R ⊆ R∗; 3. R∗ ´ subconjunto de qualquer outra rela¸˜o em S que inclua R e tenha a propriedade e ca P. Pode-se procurar o fecho reflexivo, o fecho sim´trico e o fecho transitivo de uma e c˜ ´ rela¸ao em um conjunto. E claro que, se a rela¸ao j´ tem a propriedade em quest˜o, ela c˜ a a ´ seu pr´prio fecho em rela¸ao a essa propriedade. e o c˜ ` Exemplo: Sejam S = {1, 2, 3} e R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1), (2, 3)}. Ent˜o R n˜o ´ reflexiva, a a e nem sim´trica, nem transitiva. e 1. O fecho de R em rela¸ao a reflexividade ´ c˜ ` e {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (2, 2), (3, 3)}. 2. O fecho de R em rela¸ao a simetria ´ c˜ ` e {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (2, 1), (3, 2)}. 3. O fecho de R em rela¸ao a transitividade ´ c˜ ` e {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (2, 1), (2, 2)}. Tanto para o fecho reflexivo quanto para o sim´trico, basta apenas inspecionar os e pares ordenados j´ pertencentes a R para descobrir que pares ordenados ser˜o necess´rios a a a adicionar. Portanto, o fecho reflexivo e o fecho sim´trico de uma rela¸˜o podem ser e ca encontrados em apenas um passo. O fecho transitivo pode necessitar de uma s´rie de e passos. Por exemplo, analisando-se os pares ordenados do exemplo anterior, foi preciso adicionar (3,2) (devido a (3,1) e (1,2)), (3,3) (por causa de (3,1) e (1,3)) e (2,1) (devido a (2,3) e (3,1)). Entretanto, ap´s estas inser¸oes, a rela¸ao ainda n˜o era transitiva. Por o c˜ c˜ a causa do novo par (2,1) e do velho par (1,2), foi preciso adicionar (2,2). ´ E importante esclarecer que n˜o faz sentido procurar o fecho anti-sim´trico de uma a e rela¸ao em um conjunto, pois se a rela¸ao ´ anti-sim´trica, ela ´ o seu pr´prio fecho anti- c˜ c˜ e e e o sim´trico. Se a rela¸ao n˜o ´ anti-sim´trica, ent˜o existem dois pares ordenados (x, y) e e c˜ a e e a
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 8 a ı (y, x) na rela¸˜o com x = y. Estender a rela¸˜o adicionando mais pares ordenados n˜o vai ca ca a mudar essa situa¸ao. logo nenhuma extens˜o pode ser anti-sim´trica. O mesmo ocorre c˜ a e com o fecho irreflexivo. 6.1 Rela¸oes de Ordem, Ordem Parcial, Ordem Total c˜ Defini¸˜o 6.2 (Rela¸˜o de Ordem, Ordem Parcial, Ordem Total) Sejam A um con- ca ca junto e R uma rela¸˜o em A. Ent˜o R ´ uma: ca a e Rela¸˜o de Ordem: se ´ transitiva; ca e Rela¸˜o de Ordem Parcial: se ´ reflexiva, anti-sim´trica e transitiva; ca e e Rela¸˜o de Ordem Total: se ´ uma rela¸˜o de ordem parcial e, para todo a, b ∈ A ou ca e ca aRb ou bRa. Exemplos: Considerando um conjunto n˜o vazio A. Ent˜o: a a 1. As rela¸oes (N, ≤), (2A , ⊆) e (Z, <) s˜o de ordem. c˜ a 2. As rela¸oes (N, ≤) e (2A , ⊆) s˜o de ordem parcial. c˜ a 3. A rela¸ao (N, ≤) ´ de ordem total. c˜ e Defini¸˜o 6.3 (Conjunto ordenado) Chama-se conjunto ordenado a um par ordenado ca (A, R) onde A ´ um conjunto n˜o vazio e R ´ uma rela¸˜o de ordem (parcial ou total) e a e ca em A. Se, para a, b ∈ A existir aRb, dir-se-´ que b sucede a ou que a precede b. a As ordens parciais mais familiares s˜o as rela¸oes ≤ ou ≥ em Z ou R. Por isso, muitas a c˜ vezes se denota um conjunto ordenado simplesmente por (A, ≤) ou (A, ≥). 6.2 Elementos Extremais de um Conjunto Ordenado Sendo (A, ≤) um conjunto (total ou parcialmente) ordenado d´-se o nome de m´ximo a a de A ao elemento de a ∈ A, se existir, tal que: ∀x [x ∈ A ⇒ x ≤ a] ou seja, a ´ o m´ximo de A se suceder todos os outros elementos de A. Note-se que se a e a ordem ≤ n˜o for total pode acontecer que n˜o exista um elemento a ∈ A compar´vel com a a a todos elementos x ∈ A nos termos acima indicados: neste caso A n˜o possuir´ m´ximo. a a a Um elemento a ∈ A diz-se maximal de (A, ≤) se se verificar a condi¸ao: c˜
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 9 a ı ∀x∈A [a ≤ x ⇒ x = a] ou, equivalentemente, ∼ ∃x ∈ A[a ≤ x ∧ x = a]. Isto ´, a ∈ A ´ um elemento maximal de (A, ≤) se n˜o existir nenhum outro elemento de e e a A que o suceda estritamente. De modo semelhante, chama-se m´ ınimo de A ao elemento b ∈ A, se existir, que satisfaz a condi¸˜o: ca ∀x [x ∈ A ⇒ b ≤ x] ou seja, b ´ o m´ e ınimo de A se preceder todos os outros elementos de A. Tal como no caso anterior um conjunto ordenado pode n˜o possuir m´ a ınimo. Um elemento b ∈ A diz-se minimal se se verificar a condi¸ao: c˜ ∼ ∃x ∈ A[x ≤ b ⇒ x = b]. Isto ´, b ∈ A ´ um elemento minimal de (A ≤) se n˜o existir nenhum outro elemento em e e a A que o preceda estritamente. Exemplos: 1. Seja A = {2, 3, 4, 6, 8, 12} e defina-se a rela¸˜o ≤ pondo “x ≤ y se, e somente se, x ca divide y. Ent˜o 2 e 3 s˜o elementos minimais e 8 e 12 s˜o elementos maximais. O a a a conjunto ordenado (A, ≤) n˜o possui m´ a ınimo nem m´ximo. a 2. Seja, agora, B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}(= A ∪ {1, 24}) com a ordem ≤ tal como foi definida no exemplo anterior. Ent˜o, 1 ´ o m´ a e ınimo de B e 24 ´ o m´ximo de B. 1 e a ´ o unico elemento minimal de B e 24 ´ o unico elemento maximal de B. e ´ e ´ 3. C = {1, 2, 3} e considere-se o conjunto D das partes de C ordenado pela rela¸ao ⊂. c˜ Ent˜o, ∅ ´ o m´ a e ınimo de D e h´ trˆs elementos maximais, {2,3}, {3,1} e {1,2}. a e 7 Rela¸oes de Equivalˆncia c˜ e Defini¸˜o 7.1 (Rela¸˜o de equivalˆncia) Uma rela¸˜o R em um conjunto A ´ uma ca ca e ca e rela¸˜o de equivalˆncia se ca e 1. R for reflexivo, isto ´, para cada a ∈ A, (a, a) ∈ R, e 2. R for sim´trico, isto ´, (a, b) ∈ R implicar em (b, a) ∈ R, e e
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 10 a ı 3. R for transitivo, isto ´, (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R implicar em (a, c) ∈ R. e Um importante resultado ´ que cada rela¸˜o de equivalˆncia induz um particiona- e ca e mento do conjunto (em que a rela¸˜o ´ definida) em subconjuntos disjuntos e n˜o vazios ca e a denominados classes de equivalˆncia. e Exemplos: 1. Considere a rela¸ao R = {(a, b) ∈ N2 | a MOD 2 = b MOD 2} onde MOD ´ a c˜ e a ´ f´cil verificar que R ´ uma rela¸ao opera¸˜o que resulta no resto da divis˜o inteira. E a ca e c˜ de equivalˆncia. Portanto, R induz um particionamento de N em dois subconjuntos: e pares (resto zero) e ´ ımpares (resto um). 2. Seja dado o seguinte conjunto A = {a, b, c, d, e, f, g, h} e considerem-se os seguintes subconjuntos de A: A1 = {a, b, c, d}, A2 = {a, c, e, f, g, h}, A3 = {a, c, e, g}, A4 = {b, d} e A5 = {f, h}. Ent˜o, {A1 , A2 } n˜o ´ uma parti¸˜o de A visto que A1 ∩ A2 = a a e ca ∅; {A1 , A5 } tamb´m n˜o ´ uma parti¸ao visto que e ∈ A1 e e ∈ A5 . A fam´ e a e c˜ ılia PA = {A3 , A4 , A5 } ´ uma parti¸ao de A. e c˜ Defini¸˜o 7.2 (Parti¸˜o de um conjunto) Uma parti¸˜o de um conjunto S ´ uma ca ca ca e cole¸˜o de subconjuntos disjuntos n˜o vazios cuja uni˜o ´ igual a S. ca a a e 8 Fun¸˜es co Se cada elemento em um conjunto A possuir correspondˆncia, de uma maneira ou e outra, a um unico elemento de um conjunto B. Esta rela¸ao ´ denominada fun¸˜o. Se ´ c˜ e ca esta rela¸˜o for designada por f , pode-se ent˜o escrever: ca a f :A→B que se lˆ “f ´ uma fun¸˜o de A em B”. O conjunto A ´ chamado de dom´ e e ca e ınio da fun¸ao c˜ f e B ´ chamado o contradom´ e ınio de f . Al´m disso, se a ∈ A, o elemento em B, que e corresponde a a ´ chamado de imagem de a e ´ representado por: e e f (a) que se lˆ “f de a”. e Exemplos: 1. f faz corresponder a cada n´mero real o seu quadrado, isto ´, para cada n´mero u e u 2 real x existe f (x) = x . O dom´ ınio e o contradom´ ınio de f s˜o os n´meros reais; a u pode-se assim escrever:
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 11 a ı f : R → R. A imagem de -3 ´ 9; pode-se assim escrever tamb´m f (−3) = 9 ou f : −3 → 9. e e 2. f faz corresponder a cada pa´ do mundo a sua capital. No caso, o dom´ ıs ınio de f ´ o conjunto de pa´ do mundo; o contradom´ e ıses ınio de f ´ a rela¸ao das capitais do e c˜ mundo. A imagem da Fran¸a ´ Paris, isto ´ f (Fran¸a) = Paris. c e e c 3. Seja A = {a, b, c, d} e B = {a, b, c}. Define-se a fun¸ao f de A em B pela cor- c˜ respondˆncia f (a) = b, f (b) = c, f (c) = c e f (d) = b. Por esta defini¸˜o, a imagem, e ca por exemplo, de b ´ c. e 4. Seja A = {−1, 1}. f faz corresponder a cada n´mero racional em R, o n´mero 1 u u e, a cada n´mero irracional em R o n´mero -1. Assim, f : R → A e f pode ser u u definido concisamente por: 1 se x ´ racional e f (x) = −1 se x ´ irracional e 5. Seja A = {a, b, c, d} e B = {x, y, z}. Seja f : A → B definido pelo diagrama da figura 1. Figura 1: Fun¸ao representada por um diagrama c˜ ´ E importante observar que as fun¸˜es nos exemplos 1 e 4 s˜o definidas por f´rmulas co a o espec´ıficas. Mas este n˜o ´ necessariamente o caso, como indicam os outros exemplos. As a e regras de correspondˆncia que definem fun¸˜es podem ser diagramas, como no exemplo 5, e co podem ser geogr´ficas, como no exemplo 2, ou, quando o dom´ ´ finito, a correspondˆn- a ınio e e cia pode ser relacionada para cada elemento no dom´ ınio, como no exemplo 3 (LIPSCHUTZ, 1972).
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 12 a ı 8.1 Fun¸˜es Iguais co Se f e g s˜o fun¸oes definidas no mesmo dom´ D e se, f (a) = g(a) para cada a ∈ D, a c˜ ınio as fun¸oes f e g s˜o iguais e escreve-se: c˜ a f = g. Exemplos: 1. Seja f (x) = x2 onde x ´ um n´mero real. Seja g(x) = x2 , onde x ´ um n´mero e u e u complexo. A fun¸ao f n˜o ´ igual a g, pois possuem dom´ c˜ a e ınios diferentes. 2. Seja a fun¸ao f definida pelo diagrama da figura 2. c˜ Figura 2: Fun¸ao representada por um diagrama c˜ Seja a fun¸˜o g definida pela f´rmula g(x) = x2 , onde o dom´ ca o ınio de g ´ o conjunto e {1, 2}. Assim f = g, pois ambos tˆm o mesmo dom´ e ınio e f e g fazem corresponder a mesma imagem a cada elemento no dom´ ınio. 8.2 Amplitude de uma Fun¸˜o ca Seja f a representa¸ao de A em B, isto ´, seja f : A → B. Cada elemento em B n˜o c˜ e a precisa aparecer como a imagem de um elemento em A. Define-se a amplitude de f como constitu´ precisamente daqueles elementos em B que aparecem como a imagem de, pelo ıda menos, um elemento em A. Representa-se a amplitude de f : A → B por: f (A). Nota-se que f (A) ´ um subconjunto de B. e Exemplos: 1. Seja f : R → R definida pela f´rmula f (x) = x2 . Assim a amplitude de f consiste o dos n´meros reais positivos e zero. u
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 13 a ı 2. Seja A = {a, b, c, d} e B = {a, b, c}. Definindo a fun¸˜o f de A em B pela corres- ca pondˆncia f (a) = b, f (b) = c, f (c) = c e f (d) = b. Assim, f (A) = {b, c}. e 8.3 Fun¸˜es Sobrejetora co Se f ´ uma fun¸˜o de A em B, a faixa f (A) da fun¸ao f ´ um subconjunto de B, e ca c˜ e ou seja, f (A) ⊂ B. Se f (A) = B, isto ´, se cada membro de B aparecer como imagem e de pelo menos um elemento de A, diz-se ent˜o “f ´ uma fun¸ao de A sobre B” ou “f a e c˜ representa A sobre B”, ou ainda “f ´ uma fun¸ao sobrejetora”. e c˜ Exemplos: 1. Seja f : R → R definida pela f´rmula f (x) = x2 . Desse modo, f n˜o ´ uma fun¸˜o o a e ca sobrejetora, pois os n´meros negativos n˜o aparecem na amplitude de f , isto ´, u a e nenhum n´mero negativo ´ o quadrado de um n´mero real. u e u 2. Seja f : A → B definido pelo diagrama da figura 1. Observa-se que f (A) = {x, y, z} = B, isto ´, a amplitude de f ´ igual ao contradom´ e e ınio B. Assim f representa A sobre B, isto ´, f ´ uma fun¸ao sobrejetora. e e c˜ 8.4 Fun¸˜es Injetoras co Uma fun¸˜o f : A → B ´ dita injetora (ou injetiva) se cada elemento do contradom´ ca e ınio ´ imagem de, no m´ximo, um elemento do dom´ e a ınio, ou seja, se para todo b ∈ B, existe no m´ximo um a ∈ A tal que f (a) = b. a Exemplos: 2x+1 1. Seja f : R − {1} → R − {2} definida pela f´rmula f (x) = o x−1 . Ent˜o f ´ uma a e fun¸˜o injetora. De fato, dados x1 e x2 em R − {1}, tem-se: ca 2x1 + 1 2x2 + 1 f (x1 ) = f (x2 ) ⇔ = x1 − 1 x2 − 1 ⇔ 2x1 x2 − 2x1 + x2 − 1 = 2x2 x1 − 2x2 + x1 − 1 ⇔ −2x1 + x2 = −2x2 + x1 ⇔ x1 = x2 . 2. A fun¸˜o f : R → R definida por f (x) = x3 ´ injetora, pois, se x e y s˜o n´meros ca e a u 3 3 reais com f (x) = f (y), ent˜o x = y e, portanto, x = y. Por sua vez, a fun¸˜o a ca f : R → R dada por f (x) = x2 n˜o ´ injetora, pois f (−2) = f (2) = 4. a e
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 14 a ı 8.5 Fun¸˜es Bijetoras co Uma fun¸˜o f : A → B ´ denominada bijetora se for sobrejetora e injetora, isto ´, se ca e e todos os elementos do dom´ ınio est˜o associados a todos os elementos do contra-dom´ a ınio de forma um para um e exclusiva. Exemplos: 1. A fun¸˜o f : R → R dada por f (x) = 2x ´ bijetora, pois ´ injetora e sobrejetora. ca e e 2. Seja f uma fun¸˜o de {a, b, c, d} em {1, 2, 3, 4} com f (a) = 4, f (b) = 2, f (c) = 1 e ca f (d) = 3. Ent˜o, f ´ uma fun¸ao bijetora. a e c˜ 8.6 Fun¸˜es Identidade co Seja A um conjunto qualquer e seja a fun¸˜o f : A → A definida pela f´rmula f (x) = x, ca o isto ´, f faz corresponder a cada elemento em A o pr´prio elemento. Assim, f ´ chamada e o e de fun¸˜o identidade ou a transforma¸˜o identidade em A. Designa-se esta fun¸˜o por I ca ca ca ou IA . 8.7 Fun¸˜es Constantes co A fun¸˜o f de A em B ´ chamada de fun¸˜o constante se o mesmo elemento b ∈ B ca e ca corresponder a cada elemento em A. Em outras palavras, f : A → B ´ uma fun¸ao e c˜ constante se a amplitude de f consistir de um unico elemento. ´ Exemplo: 1. Seja f : R → R definido pela f´rmula f (x) = 5. Assim, f ´ uma fun¸ao constante. o e c˜ 8.8 Fun¸˜o Produto ca Seja f uma fun¸˜o de A em B e seja g uma fun¸˜o de B, o contradom´ ca ca ınio de f , em C. A figura 3 ilustra as fun¸oes f e g. Seja a ∈ A; ent˜o h´ uma imagem f (a) pela c˜ a a representa¸ao g, isto ´, pode-se encontrar g(f (a)). Assim, tem-se uma regra que relaciona c˜ e cada elemento a ∈ A a um elemento correspondente g(f (a)) ∈ C. Em outras palavras, tem-se uma fun¸ao de A em C. Esta nova fun¸˜o ´ chamada fun¸˜o produto ou fun¸˜o c˜ ca e ca ca composi¸˜o de f e g e ´ representada por: ca e (g ◦ f ) ou (gf ). Abreviadamente, se f : A → B e g : B → C, define-se a fun¸ao (g ◦ f ) : A → C por: c˜ (g ◦ f )(a) ≡ g(f (a)).
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 15 a ı Figura 3: Relacionamento entre conjuntos - Produto ımbolo ≡ ´ utilizado neste contexto significando “igual por defini¸ao”. A figura 4 O s´ e c˜ completa o sistema representado pela figura 3. Figura 4: Relacionamento entre conjuntos - Produto - g ◦ f Exemplo: 1. A cada n´mero real considerado, f faz corresponder seu quadrado, isto ´, f (x) = x2 . u e Para cada n´mero real, g faz corresponder o n´mero mais 3, isto ´, g(x) = x + 3. u u e Assim, (f ◦ g)(2) = f (g(2)) = f (5) = 25 (g ◦ f )(2) = g(f (2)) = g(4) = 7. As fun¸˜es produto (f ◦ g) e (g ◦ f ) n˜o s˜o a mesma fun¸ao. Pode-se computar co a a c˜ uma f´rmula geral para estas fun¸oes produto: o c˜ (f ◦ g)(x) ≡ f (g(x)) = f (x + 3) = (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 (g ◦ f )(x) ≡ g(f (x)) = g(x2 ) = x2 + 3. Uma observa¸ao importante das rela¸oes entre conjuntos ´ que o produto de qualquer c˜ c˜ e fun¸˜o pela fun¸˜o identidade ´ a pr´pria fun¸ao. Assim, seja f : a → B, ent˜o, ca ca e o c˜ a IB ◦ f = f e f ◦ IA = f.
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 16 a ı 8.9 Inverso de uma Fun¸˜o ca Seja f uma fun¸ao de A em B e seja b ∈ B. Assim, o inverso de b ´ designado por: c˜ e f −1 (b) e consiste daqueles elementos em A que s˜o representados sobre b, isto ´, daqueles ele- a e mentos em A que tˆm b como sua imagem. Mais, abreviadamente, se f : A → B ent˜o, e a f −1 (b) = {x | x ∈ A ∧ f (x) = b}. Desse modo, f −1 (b) ´ sempre um subconjunto de A. f −1 lˆ-se “f inverso”. e e Exemplos: 1. Seja f : A → B definida pelo diagrama da figura 5. Da´ f −1 (x) = {b, c}, pois tanto ı, b como c tˆm x como seu ponto de imagem. Tamb´m, f −1 (y) = {a}, pois somente a e e ´ representado em y. O inverso de z, f −1 (z), ´ o conjunto ∅, pois nenhum elemento e e de A ´ representado sobre z. e Figura 5: fun¸ao f : A → B c˜ 2. Seja f uma fun¸ao dos n´meros complexos nos n´meros complexos, sendo f definido c˜ u u 2 −1 √ √ pela f´rmula f (x) = x . Assim, f (−3) = { 3i, − 3i}, pois o quadrado de ambos o os n´meros ´ -3. u e Seja f : A → B e seja D um subconjunto de B, isto ´, D ⊂ B. Assim, o inverso de e D na representa¸ao f , designado por f −1 (D), comp˜em-se dos elementos em A que s˜o c˜ o a representados sobre qualquer elemento em D. Resumindo, f −1 (D) = {x | x ∈ A, f (x) ∈ D}. Exemplos:
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 17 a ı Figura 6: fun¸ao f : A → B c˜ 1. Seja f : A → B definida pelo diagrama da figura 6. Assim, f −1 ({r, s}) = {y}, pois cada elemento em A tem como sua imagem r ou t. 2. Seja f : R → R definido por f (x) = x2 e seja D = {4, 9} = {x | 4 ≤ x ≤ 9} Assim, f −1 (D) = {x | −3 ≤ x ≤ −2 ou 2 ≤ x ≤ 3}. 8.10 Fun¸˜o Inversa ca Seja f uma fun¸ao de A em B. Em geral f −1 (b) pode consistir de mais de um elemento c˜ ou pode mesmo ser o conjunto vazio. Agora, se f : A → B for uma fun¸ao bijetora, para c˜ cada b ∈ B o inverso f −1 (b) consistir´ de um unico elemento em A. Tem-se assim uma a ´ regra que relaciona a cada b ∈ B um unico elemento f −1 (b) em A. Do mesmo modo, f −1 ´ ´ uma fun¸ao de B em A e pode ser escrito da seguinte forma: e c˜ f −1 : B → A. Nesta situa¸˜o, quando f : A → B ´ bijetora, f −1 ser´ a fun¸˜o inversa de f . ca e a ca 1. Seja a fun¸ao f : A → B definida pelo diagrama da figura 7. A fun¸ao f ´ uma c˜ c˜ e −1 −1 fun¸˜o bijetora. Desse modo, f , a fun¸ao inversa, existe. A fun¸ao f ´ descrita ca c˜ c˜ e pelo diagrama 8. 2. Sejam f : R → R, os n´meros reais, definidos por f (x) = x3 . Esta ´ uma fun¸ao u e c˜ −1 bijetora. Assim, f : R → R existe. De fato, tem-se a f´rmula que define a fun¸˜o o ca √ inversa, f −1 = 3 x. Considerando que uma fun¸ao f : A → B possui uma fun¸ao inversa f −1 : B → B. c˜ c˜ Ent˜o ´ poss´ formar a fun¸ao produto (f −1 ◦ f ) que representa A em A. Por outro a e ıvel c˜
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 18 a ı Figura 7: fun¸ao f : A → B c˜ Figura 8: fun¸ao f −1 : B → A c˜ lado, tamb´m ´ poss´ formar a fun¸ao produto (f ◦ f −1 ), que representa B em B. Por e e ıvel c˜ estas rela¸oes estabelece-se os seguintes teoremas b´sicos sobre a fun¸ao inversa: c˜ a c˜ 1. Seja a fun¸ao f : A → B, bijetora, isto ´, existe uma fun¸ao inversa f −1 : B → A. c˜ e c˜ Assim a fun¸˜o produto: ca (f −1 ◦ f ) : A → A ´ a fun¸ao identidade em A, e a fun¸ao produto e c˜ c˜ (f ◦ f −1 ) : B → B ´ a fun¸ao identidade em B. e c˜ 2. Seja a fun¸ao f : A → B e g : B → A. Desse modo, g ´ a fun¸ao inversa de f , isto c˜ e c˜ −1 ´, g = f , sendo que a fun¸˜o produto (g ◦ f ) : A → A ´ a fun¸ao identidade em A e ca e c˜ e que (f ◦ g) : B → B ´ a fun¸˜o identidade em B. Assim, ambas as condi¸oes s˜o e ca c˜ a necess´rias neste Teorema. a 9 Lista de Exerc´ ıcios 1. Seja A = {a, b}. Determine todas as rela¸oes em A e verifique quais s˜o: c˜ a
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 19 a ı (a) Reflexivas; (b) Irreflexivas; (c) Sim´tricas; e (d) Anti-sim´tricas; e (e) Transitivas. 2. Seja A = {1, 2, 3}. Para cada uma das endorrela¸˜es em A abaixo, determine se ´: co e • Reflexivas; • Irreflexivas; • Sim´tricas; e • Anti-sim´tricas; e • Transitivas. (a) R1 = {(1, 2), (1, 1), (2, 2), (2, 1), (3, 3)} (b) R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3)} (c) R3 = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 3), (3, 1)} (d) R4 = A × A 3. Seja A = {a, b, c, d}. Defina endorrela¸oes em A tais que: c˜ (a) R1 : s´ possui a propriedade reflexivia; o (b) R2 : s´ possui a propriedade sim´trica; o e (c) R3 : s´ possui a propriedade transitiva; o (d) R4 : s´ possui a propriedade anti-sim´trica; o e (e) R5 : reflexiva e transitiva, mas n˜o sim´trica; a e (f) R6 : reflexiva e sim´trica, mas n˜o transitiva; e a (g) R7 : sim´trica e transitiva, mas n˜o reflexiva; e a 4. Seja A = {1, 2, 3}. Para cada uma das endorrela¸oes em A abaixo, determine o c˜ seguinte: • fecho reflexivo e transitivo; • fecho sim´trico; e (a) R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 20 a ı (b) R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} (c) R3 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} (d) R4 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3), (3, 1)} (e) R5 = A × A 5. Seja A = {a, b, c}. Determine quais das seguintes endorrela¸˜es em A s˜o rela¸oes co a c˜ de equivalˆncia (justifique a sua resposta): e (a) R1 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (c, c)} (b) R2 = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b), (b, c)} (c) R3 = {(a, a), (b, b), (b, c), (c, b), (a, c), (c, a)} (d) R4 = A × A 6. Diga se cada uma das seguintes proposi¸˜es ´ verdadeira ou falsa. Considere R e R co e rela¸oes num conjunto A: c˜ (a) Se R ´ sim´trico, R−1 ´ sim´trico. e e e e (b) Se R ´ anti-sim´trico, R−1 ´ anti-sim´trico. e e e e (c) Se R ´ reflexivo, R ∩ R−1 = ∅. e (d) Se R ´ sim´trico, R ∩ R−1 = ∅. e e (e) Se R e R s˜o transitivos, R ∪ R ´ transitivo. a e (f) Se R e R s˜o transitivos, R ∩ R ´ transitivo. a e (g) Se R e R s˜o anti-sim´tricos, R ∪ R ´ anti-sim´trico. a e e e (h) Se R e R s˜o anti-sim´tricos, R ∩ R ´ anti-sim´trico. a e e e (i) Se R e R s˜o reflexivos, R ∪ R ´ reflexivo. a e (j) Se R e R s˜o reflexivos, R ∩ R ´ reflexivo. a e 7. Considerando que f (x) = x2 define a fun¸ao no intervalo fechado −2 ≤ x ≤ 8. c˜ Achar: (a) f (4). (b) f (−3) (c) f (t − 3). 8. Responda se as seguintes fun¸oes s˜o ou n˜o bijetoras: c˜ a a (a) A cada pessoa do mundo atribua o n´mero que indica a sua idade. u
    • Matem´tica Discreta - Notas de Aula - Cap´tulo 04 - 21 a ı (b) A cada pa´ do mundo atribua o n´mero que corresponde ao de pessoas que ıs u vivem no pa´ ıs. (c) Cada livro escrito por apenas um autor ´ atribu´ ao autor. e ıdo (d) A cada pa´ do mundo que tem presidente fa¸a corresponder o seu presidente. ıs c 9. Seja W = {a, b, c, d}. Seja uma fun¸˜o f de W em W , definida por f (a) = a, ca f (b) = c, f (c) = a, f (d) = a. Achar a amplitude da fun¸ao f : W → W . c˜ 10. Seja V = {−2, −1, 0, 1, 2}. Seja a fun¸ao g : V → R definida pela f´rmula g(x) = c˜ o 2 x + 1. Achar a amplitude de g. 11. Sejam as fun¸oes f e g nos n´meros reais R, definidas por: c˜ u f (x) = x2 + 2x − 3, g(x) = 3x − 4. Pede-se: (a) Achar as f´rmulas que definem as fun¸oes produto g ◦ f e f ◦ g. o c˜ (b) Verifique as f´rmulas mostrando que (g ◦ f )(2) = g(f (2)) e (f ◦ g)(2) = f (g(2)) o 12. Sejam A = {a, b, c} e B = {1, 0}. Quantas fun¸oes diferentes existem de A em B e c˜ quais s˜o? Existe alguma fun¸˜o bijetora? a ca Referˆncias e GERSTING, J. L. Fundamentos Matem´ticos Para a Ciˆncia da Computa¸˜o. Rio de a e ca Janeiro: Livros T´cnicos e Cient´ e ıficos Editora S.A., 1995. 518 p. LIPSCHUTZ, S. Teoria dos Conjuntos. S˜o Paulo: McGraw-Hill, 1972. 337 p. a MENEZES, P. B. Matem´tica Discreta para Computa¸˜o e Inform´tica. 2a. ed. Porto a ca a Alegre: Sagra Luzzatto Editora, 2005. PINTO, J. S. T´picos de Matem´tica Discreta. 2005. o a ROSEN, K. H. Discrete Mathematics and Its Applications. 5th. ed. New York: McGraw Hill, 2005.