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Raciocinio logico
 

Raciocinio logico

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    Raciocinio logico Raciocinio logico Document Transcript

    • Grande parte dos concursos tem como uma de suas provas o Raciocínio Lógico, provaesta que assombra muitos candidatos. Estes problemas exigem muita criatividade, malícia e sorte,e, a não ser que o candidato já tenha visto coisa semelhante, não podem ser resolvidos nos três acinco minutos disponíveis para cada questão. A maioria das questões exigidas necessita. De uma forma ou de outra, de conhecimentosbásicos de matemática.DEFINIÇÃO DE LOGICA O Dicionário Conciso Oxford de Inglês define a lógica como “a ciência do raciocínio, prova,pensamento ou inferência”. A lógica ira deixar você analisar um argumento ou um pedaço deraciocínio, e deduzir onde é provável de ele ser correto ou não. Você não precisa saber lógicapara argumentar, claro; mas se você sabe pelos menos um pouco, você vai achar mais fácil paraapontar argumentos inválidos. É válido mencionar algumas coisas que a lógica não é. Primeiramente, raciocínio lógico não é uma lei absoluta que governa o universo. Muitasvezes no passado, pessoas concluíram que porque algo logicamente impossível (dada a ciênciado dia), deve ser impossível, período. Uma vez também era acreditado que a geometriaEuclidiana era uma lei universal; ela é, apesar de tudo, logicamente consistente. Novamente, nósagora sabemos que as regras da geometria Euclidiana não são universais. Segundo, lógica não é um grupo de regras que governam o comportamento humano. Oshumanos podem ter metas logicamente conflitantes. Por exemplo: John deseja falar com quem quer que esteja a cargo. A pessoa a cargo é Steve. Portanto, João deseja falar com Steve. Infelizmente, John pode ter um objetivo conflitante de evitar Steve, querendo dizer que aresposta racional pode ser inaplicável na vida real.
    • CONTRUÇÃO DO CONHECIMENTO LÓGICO MATEMATICO Ao pensar o mundo, o homem foi dando-se conta das relações quantitativas que podiamser estabelecidas entre os objetos, levando em consideração um conjunto de suas características,como “forma” e “tamanho”. Daí surgiu a Matemática, elaborada de acordo como o modo como oshomens resolviam problemas surgidos no cotidiano. O número, criado para registrar as quantidades observadas pelas pessoas, foi tendo seuuso aperfeiçoado conforme as comunidades tinham que resolver problemas práticos como, saberse alguma ovelha se perdeu ao rebanho, saber como trocar sacos de sal por cavalos, etc.Aprender, então a compreender e registrar quantidades, de acordo com os princípios dacorrespondência um a um dos termos envolvidos. Criaram depois novas formas de calcular, estabelecendo as séries numéricas, osalgarismos e diversas bases de cálculo dentre elas, o sistema decimal, o mais conhecido entrenós. O número passou então a ser trabalhado como uma abstração feita de relações entreobjetos, e não como um aspecto inerente ao objeto. Como ciência, a Matemática estuda os fundamentos da: ações humanas que envolvemquantificação mesmo as mais triviais: conta dinheiro. Medir os ingredientes para fazer um bolo,verificar quantas cadeiras devem ser compradas. O domínio desse conhecimento temconseqüências valiosas: um estudo, por exemplo, do poder de compra do salário forneceargumentos mais bem fundamentados para a reivindicação de melhoria salarial. Além disso, ogrande avanço tecnológico nas varias áreas cientificas apóia-se, em grande parte, em sofisticadoscálculos numéricos. Lidar com quantidades exige do sujeito certas formas de raciocínio lógico conectadas como desenvolvimento do conceito de numero e das relações entre números. A aprendizagem, segundo Constance Kamii requer participação mental ativa e autônoma.Não a um tipo de conhecimento que deve ser ensinado pela transmissão social. Precisa serconstruída através da abstração reflexiva. No domínio lógico-matemático, a confrontação de pontos de vista serve para aumentar acapacidade de raciocinar num nível sempre mais elevado.
    • O valor posicional não é uma técnica. A aritmética não é uma coleção de técnicas.Aprender a somar, subtrair e multiplicar envolve um raciocínio lógico-matemático e raciocínio nãoé técnica. O construtivismo coloca que as pessoas não podem aprender matemática bem através deexercícios impostos, medo de testes, passividade mental e obediência. A busca da autonomiaexige um a postura diferenciada da tradicional.O PENSAMENTO A inteligência colhe, recolhe e reúne os dados oferecidos pela percepção, pela imaginação,pela memória e pela linguagem, formando redes de significações com os quais organizamos eordenamos nosso mundo e nossa vida, recebendo e doando sentido a ele. O pensamento, porém,vai além do trabalho da inteligência: abstrai (ou seja, separa) os dados das condições imediatasde nossa experiência e os elabora sob a forma de conceitos, idéias e juízos, estabelecendoarticulações internas e necessárias entre eles pelo raciocínio (indução e dedução), pela analise epela síntese. Formula teorias, procura prová-las e verificá-las, pois esta voltado para a verdade doconhecimento. Um conceito ou uma idéia é uma rede de significações que nos oferece: o sentido interno eessencial daquilo a que se refere; os nexos causais ou as relações necessárias entre seuselementos, de sorte que por eles conhecemos a origem, os princípios, as conseqüências, ascausas e os efeitos daquilo a que se refere, expresso pelo pensamento através dos juízos(relaciona positiva ou negativamente um conjunto). Por exemplo, vejo rosas, margaridas, masconcebo pelo pensamento o conceito ou a idéia universal de flor; vejo uma figura geométrica, e épelo pensamento que formulo o conceito de figura e das leis que a regem, elaborando axiomas,postulados e teoremas. Um conjunto de juízos constitui uma teoria quando: *estabelece-se com clareza um campo de objetos e os procedimentos para conhecê-los eenunciá-los; *organizam-se e ordenam-se os conceitos; *articulam-se e demonstram-se os juízos, verificando seu acordo com regras e princípiosde racionalidade e demonstração. O pensamento elabora teorias, ou seja, uma explicação, descrição ou interpretaçãointelectual de um conjunto de fenômenos e significações (objetos, fatos, situações,acontecimentos), que estabelece a natureza, o valor e a verdade de tais fenomenos. O
    • pensamento propõe e elabora teorias e cria métodos, através de conjuntos de regras eprocedimentos racionais, os quais regulam e ordenam um caminho através do qual uma certafinalidade ou um certo objetivo é alcançado. O método tem três finalidades: *conduzir à descoberta de uma verdade até então desconhecida; *permitir a demonstração e a prova de uma verdade já conhecida; *permitir a verificação de conhecimentos para averiguas se são ou não verdadeiros. O pensamento natural é muito fluente. Esta fluência é a fonte de seus erros, pois fluênciasignifica seguir a ênfase dos padrões, conforme esta ênfase possa surgir, e o método permite aosujeito controlar e assegurar-se em seus procedimentos. Entre os principais métodos estão: *Dedutivo – próprio para objetos que existem apenas idealmente e que são construídosinteiramente pelo pensamento. Inferência que vais dos princípios para uma conseqüêncianecessária; resulta de um raciocínio; uma conseqüência lógica; parte do geral para o particular. Amatemática utiliza-se basicamente do raciocínio dedutivo. *Indutivo – é próprio das ciências naturais, que observam seus objetos e realizamexperimentos. Operação mental que consiste em se estabelecer uma verdade universal ou umaproposição geral com base no conhecimento de certo numero de dados singulares ou deproposições de menor generalidade; parte do particular para o geral. *Analógico – raciocínio por semelhança. Ponto de semelhança entre coisas diferentes;equivalência identidade de relações entre os termos de dois ou mais pares. Indução parcial ouimperfeita. *Hipotético – algo que quero confirmar ou verificar, partir de uma premissapreestabelecida; questionamento; exprime uma relação entre um antecedente e um conseqüente.Para Aristóteles era um instrumento para o conhecer. *Compreensivo-interpretativo – estabelecimento de significações ou os sentidos docomportamento;PENSAMENTO LOGICO
    • O pensamento lógico opera de acordo com os princípios de identidade, contradição,terceiro excluído, razão suficiente e causalidade; distingue verdades de fato e verdades de razãodiferencia intuição, dedução, indução e abdução. Lógica implica em uma evidencia, uma conclusão obvia. Preocupação em investigar avalidade dos segmentos e dar regras do pensamento correto. Preocupa-se com o aspecto formal(estrutura do pensamento), e não com o conteúdo. Há uma relação entre pensamento, linguageme realidade. Lógica é a administração do NÃO. O pensamento natural tende a seguir os rumos enfatizados (mas quando estes estãobloqueados por um NÃO o fluxo tem que seguir outros rumos). O controle lógico é dividido em duas partes: A primeira é à disposição do mecanismo NÃO, e todos vários tipos de negativa sob esteamplo titulo. A segunda parte é o treinamento no uso do mecanismo, a fim de desenvolver umasensibilidade ampliada, para o reconhecimento daquelas situações que exigem o rotulo NÃO. Na verdade, seria fácil se existisse algum agente externo que simplesmente reconhecessea incompatibilidade de uma determinada situação e lhe aplicasse o rotulo NÃO. Mas não existenenhum agente externo, porque a superfície da memória é um sistema passivo auto-organizador. Podemos dizer então, que o pensamento lógico é um treinamento melhorado dopensamento natural imensamente efetivo. O objeto da lógica é a proposição, que exprime através da linguagem, os juízosformulados pelo pensamento. O encadeamento dos juízos constituiu o raciocínio e este seexprime logicamente através da conexão de proposições (categorias). Uma proposição é constituída por elementos que são seus termos ou categorias (aquiloque serve para designar uma coisa), que se subdividem em:- substancia (homem, animal, Sócrates, etc);
    • - quantidade (dois metros de comprimento, etc);- qualidade (branco, preto, grego, agradável, etc);- relação (o dobro, a metade, maior do que, etc);- lugar (em casa, na rua, no alto, etc);- tempo (ontem, hoje, agora, etc);- espaço (antes, depois, em cima, em baixo, etc);- posição (sentado, deitado, de pé, etc);- posse (armado, isto é, tendo armas);- ação (corta, fere, derrama, etc);- paixão ou passividade (está cortado, está ferido, etc);PENSAMENTO MATEMATICO Construção intelectual, baseada em um conjunto de princípios, regras, normas eoperações, através de uma linguagem simbólica; obedece a certos padrões e critérios defuncionamento.LINGUAGEM Para referir-se a palavra e a linguagem os gregos possuíam duas palavras: mythos elogos. Diferentemente do myth (narrativa), logos é uma síntese de três palavras ou idéias:fala/palavra, pensamento/idéia e realidade/ser. Logos é a palavra racional do conhecimento doreal. É discurso (ou seja, argumento e prova), pensamento (ou seja, raciocínio e demonstrado) erealidade (ou seja, os nexos e ligações universais e necessárias entre os seres). É a palavra-pensamento compartilhada: diálogo; é a palavra-pensamento verdadeira:lógica; é a palavra-conhecimento de alguma coisa: o “logia” que colocamos no final das palavrascomo teologia, biologia, etc. Do lado do logos desenvolve-se a linguagem como poder de conhecimento racional e aspalavras, agora, são conceitos ou idéias, estando referidas ao pensamento, a razão e a verdade. Essa dupla dimensão da linguagem (como mythos e logo explica por que, na sociedadeocidental, podemos comunicar-nos e interpretar o mundo sempre em dois registros contrários eopostos: o da palavra solene, mágica, religiosa, artística e o da palavra leiga, cientifica, técnica,puramente racional e conceitual.
    • A linguagem participa ativamente da formação e formulação das idéias e valores. Cria,interpreta e decifra significações podendo fazê-lo miticamente ou logicamente, magicamente ouracionalmente, simbolicamente o conceitualmente.ESTRUTURAS LOGICAS A lógica descreve as formas, as propriedades e as relações das proposições, graças aconstrução de um simbolismo regulado e ordenado.A estrutura lógica não é um fato diretamente observável. Pode-se concebê-la como um conjuntode operações possíveis ou virtuais que o individuo é suscetível de manipular na presença de umasituação dada.Um conjunto de condutas é estruturado quando estas estão sustentadas por uma certa coerêncialógica. Cada seqüência forma uma posterior que tem um valor informativo para o individuo. Apartir da seqüência, o individuo tira uma conclusão provisória, coloca uma hipótese e escolhe aseqüência seguinte que deve encadear-se logicamente.LOGICA DE ARGUMENTAÇÃO Um argumento é, citando a esquete de Monty Python, “uma série conectada de afirmaçõespara estabelecer uma proposição definida”. Existem muitos tipos de argumentos; nós iremos discutir o argumento dedutivo.Argumentos dedutivos são geralmente vistos como os mais precisos e mais persuasivos; elesprovem prova conclusiva para suas conclusões, e são ou válidos ou inválidos. Argumentos dedutivos tem três estágios: premissas, inferência, e conclusão. Entretanto,antes de nós podermos considerar estes estágios em detalhe, nos precisamos discutir os tijolosde um argumento dedutivo: proposições.PROPOSIÇÕES Uma Proposição é uma afirmação que é verdadeira ou falsa. A proposição é o significadoda afirmação, não o arranjo preciso de palavras usadas para exprimir esse significado. Por exemplo, “Existe um número par primo maior que dois”. É um proposição. (Uma falsa,nesse caso) “Um número par primo maior que dois existe” é a mesma proposição, refraseada. Infelizmente, é muito fácil mudar intencionalmente o significado de uma afirmação porrefraseá-la É geralmente mais seguro considerar o fraseamento de uma proposição comosignificante.
    • É possível usar lingüísticas formais para analisar e refrasear uma afirmação sem mudarseu significado, mas como fazer isso esta fora do âmbito desse documento.PREMISSAS Um argumento dedutivo sempre requer um numero de suposições centrais. Essas sãochamadas premissas, e são as suposições onde o argumento é construído; ou para olhar de outraforma, as razões para aceitar o argumento. Premissas são apenas premissas no contexto de umargumento particular elas podem ser conclusões em outros argumentos, por exemplo. Você deve sempre apresentar as premissas de um argumento explicitamente; esse é oprincipio de Audiatur Est Altera. Falhando em apresentar suas suposições é freqüentemente vistocomo suspeito, e irá reduzir a aceitação de seu argumento. As premissas de um argumento são muitas vezes introduzidas com palavras como“Assuma...”, ‘’Desde...”, “Obviamente” e “Porque...” É uma boa idéia fazer seu oponente concordarcom as premissas de seu argumento antes de proceder adiante. A palavra “obvio” é freqüentemente vista com suspeita. É ocasionalmente usada para persuadir pessoas a aceitarem falsas afirmações, ao invésde admitir que elas não entendem porque algo é “obvio”. Então não tenha medo de questionarafirmações que pessoas dizer ser “obvias” – quando você ouviu a explicação você pode sempredizer algo como “Você está certo, agora que eu pensei sobre isso desse jeito, isso é obvio.”INFERENCIA Uma vez que as premissas combinam, o argumento procede via um processo passo-a-passo chamado inferência. Na inferência, você começa com uma ou mais proposições que foram aceitas, vocÊ entãousa essas proposições para chegar a uma nova proposição. Se a inferência é valida, essaproposição deve ser aceita. Você pode usar a nova proposição para inferências mais tarde. Então inicialmente, você pode apenas inferir coisas das premissas do argumento. Masconforme o argumento prossegue, o número de afirmações disponíveis para inferência aumenta.
    • Existem vários tipos de inferências validas – e também alguns tipos inválidos, que nósiremos olhar depois nesse documento. Passos da inferência são muitas vezes identificados porfrases como “portanto...” ou “...implica que ...” Esperançosamente você irá chegar a uma proposição que é a conclusão do argumento – oresultado que você está tentando provar. A conclusão é o resultado do passo final da inferência. Euma conclusão apenas no contexto de um argumento particular, poderia ser uma premissa ousuposição em outro argumento. A conclusão é dita para ser afirmada na base das premissas, e a inferência vinda delas.Esse é um ponto sutil que merece explicações mais adiante.IMPLICAÇÃO EM DETALHE Claramente você pode construir um argumento válido de premissas verdadeiras, e chegara uma conclusão verdadeira. Você também pode construir um argumento valido de premissas falsas, e chegar a umaconclusão falsa. A parte complicada é que você pode começar com falsas premissas, proceder viainferências validas, e alcançar uma conclusão verdadeira. Por exemplo: Premissa: Todos os peixes vivem no oceano. (falso) Premissa: Lontras marinhas são peixes. (falso) Conclusão: Portanto lontras marinhas vivem no oceano. (verdadeiro) Há uma coisa que você não pode fazer, no entanto: começar de premissas verdadeiras,proceder via inferência dedutiva valida, e alcançar uma conclusão falsa. Nós podemos resumir esses resultados como uma “tabela verdade” para implicação. Osímbolo “=>” denota implicação; “A” é a premissa, “B” a conclusão. “V” e “F” representamverdadeiro e falso respectivamente. Premissa Conclusão Inferência A B A => B Falso Falso Verdadeiro Falso Verdadeiro Verdadeiro
    • Verdadeiro Falso Falso Verdadeiro Verdadeiro Verdadeiro Se as premissas são falsas e inferência é valida, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa.(Linhas 1 e 2) Se as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a inferência deve ser inválida.(Linha 3) Se as premissas são verdadeiras e a inferência é valida, a conclusão deve ser verdadeira.9Linha 4) Então o fato que um argumento é valido não necessariamente significa que sua conclusãosuporta – pode ter começado de premissas falsas. Se um argumento é valido e , além disso, começou de premissas verdadeiras, então échamado de um argumento sensato. Um argumento sensato deve chegar a uma conclusãoverdadeira.EXEMPLO DE ARGUMENTO Aqui há um exemplo de um argumento que é valido, e que pode ou não ser sensato.Premissa: Todos os eventos têm uma causaPremissa: O universo teve um começoPremissa: Todos os começos envolvem um eventoInferência: Isso implica que o começo do universo envolveu um eventoInferência: Portanto o começo do universo teve uma causaConclusão: O Universo teve uma causa A proposição na linha 4 é inferida das linhas 2 e 3. A linha 1 é então usada, com aproposição derivada na linha 4, para inferir uma nova proposição na linha 5. O resultado dainferência na linha 5 é então reafirmado (em forma ligeiramente simplificada) como a conclusão.RECONHECENDO ARGUMENTOS Reconhecer um argumento é mais difícil que reconhecer premissas ou uma conclusão.Muitas pessoas banham seus textos com afirmações, sem nunca produzir alguma coisa que vocÊpossa racionalmente chamar de um argumento.
    • Algumas vezes argumentos não seguem o padrão descrito acima. Por exemplo, pessoaspodem afirmar suas conclusões primeiro, e então justificá-las depois. Isso é válido, mas pode serum pouco confuso.Para tornar a situação pior, algumas afirmações parecem com argumentos, mas não são. Por exemplo: “Se a bíblia é precisa, Jesus deve ou ter siso insano, um mentiroso maldoso, ou o filho deDeus.” Isso não é um argumento, isso é uma afirmação condicional. Isso não apresenta aspremissas necessárias para suportar sua conclusão, e mesmo que você adicione essasafirmações isso sofre de um número de outros defeitos que são descritos em mais detalhes nodocumento Argumentos Ateus. Um argumento também não é o mesmo que uma explicação. Suponha que você estátentando argumentar que Albert Einstein acreditou em Deus, e diga: “Einstein fez sua famosa afirmação “Deus não joga dados” por causa de sua crença emDeus”. Isso pode parecer um, argumento relevante, mas não é: isso é uma explicação daafirmação de Einstein. Para ver isso lembre que uma afirmação da forma “X porque Y” pode serrefraseada como uma afirmação equivalente, da forma “Y portanto X”. Fazendo isso nos da: “Einstein acreditou em deus, portanto ele fez sua famosa; afirmação “Deus não jogadados”. Agora esta claro que a afirmação, que pareceu com argumento, está de fato assumindo oresultado que está supostamente sendo provado, a fim de explicar a citação de Einstein. Além disso, Einstein não acreditou em um deus pessoal preocupado com negócioshumanos – novamente, veja o documento Argumentos Ateus.LEITURA POSTERIOR Nós traçamos o contorno da estrutura de um argumento dedutivo sensato, das premissasaté a conclusão. Mas no final, a conclusão de um argumento lógico válido é apenas tãoconvincente quanto as premissas de onde você começou. Lógica em si mesma não resolve o
    • problema de verificar as afirmações básicas que suportam argumentos; para isso, nós precisamosde outra ferramenta. O significado dominante de verificar afirmações básicas é investigação da ciência. Entretanto,a filosofia da ciência e o método cientifico são tópicos imensos que estão um pouco além doescopo desse documento.  ArranjosSão agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejamdistintos entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer naordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de pelementos.Fórmula: Ar (m,p) = mp.Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos osagrupamentos estão no conjunto: Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existeuma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)
    • Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duasletras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e ataxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6grupos que estão no conjunto: PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto: PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento doconjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.  PermutaçõesQuando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintosentre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.Fórmula: Ps(m) = m!.Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podemaparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos asuposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modoque m1+m2+m3+...+mn=m.Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então
    • Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavraoriginal trocadas de posição.Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra Aocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetiçãodesses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos quecontêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos osagrupamentos estão no conjunto: Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA, AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA, ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintosformando uma circunferência de círculo.Fórmula: Pc(m)=(m-1)!Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estaspessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantarsem que haja repetição das posições?Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24grupos, apresentados no conjunto: Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC, BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA, CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que: ABCD=BCDA=CDAB=DABC ABDC=BDCA=DCAB=CABD
    • ACBD=CBDA=BDAC=DACB ACDB=CDBA=DBAC=BACD ADBC=DBCA=BCAD=CADB ADCB=DCBA=CBAD=BADCExistem somente 6 grupos distintos, dados por: Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}  CombinaçõesQuando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejamdistintos entre sí apenas pela espécie.Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de pelementos.Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer naordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto: Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até pvezes.Fórmula: Cr (m,p)=C(m+p-1,p)Cálculo para o exemplo: Cr (4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementostomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral nestecaso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos: Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}
    • mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos quejá apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim ascombinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são: Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}Regras gerais sobre a Análise CombinatóriaProblemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem serresolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas eum outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento serealizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma dasescolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formasdiferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido den formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análiseestejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rme a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantasmaneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outraextremidade na outra reta?É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 atodos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter
    • também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentospossíveis.Número de Arranjos simplesSeja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher pelementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de melementos tomados p a p. Construiremos uma sequência com os m elementos de C. c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmCada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor doelemento para a cor vermelha.Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos mpossibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C. c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmPara escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamosque agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elementodentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo. c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmApós a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, seretirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode servisualizado como: c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmSe continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na faseanterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicaros números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo: Retirada Número de possibilidades 1 m
    • 2 m-1 3 m-2 ... ... p m-p+1 No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressãopara seu cálculo será dada por: A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades dedispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é: {AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE, IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades dedispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais,usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.O conjunto solução é: {AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II, IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito quepermite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final? XYZ-1234Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.
    • Número de Permutações simplesEste é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com melementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinadaordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número depermutações de m elementos: Retirada Número de possibilidades 1 m 2 m-1 ... ... p m-p+1 ... ... m-2 3 m-1 2 m 1 No.de permutações m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seucálculo será dada por: P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever: A(m,m) = P(m)Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-sesimplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente: P(m) = m!Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é umnúmero natural.Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas danatureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla,incluindo m=0 e para isto podemos escrever:
    • 0!=1Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de umnúmero real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que0!=1.O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através dafunção P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação: (m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante?O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é: P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número dearranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é: P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR, MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM, OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}Número de Combinações simplesSeja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que épossível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer queduas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Umasituação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordemda posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmaspessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com amesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinaçãode m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementosque já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmogrupo de elementos em uma ordem diferente.
    • Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjoscom os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p,deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contemconjuntos distintos, ou seja: C(m,p) = A(m,p) / p!Como A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)então: C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!que pode ser reescrito C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por (m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará: m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!e o denominador ficará: p! (m-p)!Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma dasseguintes:Número de arranjos com repetição
    • Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjuntoem uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetiçãode m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cadaelemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dadopor mp. Indicamos isto por: Arep(m,p) = mpNúmero de permutações com repetiçãoConsideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em umaordem determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas.Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolasazuis nos compartimentos restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e finalmente coloque as 5bolas amarelas. As possibilidades são C(10-3-2,5).O número total de possibilidades pode ser calculado como:Tal metodologia pode ser generalizada.Número de combinações com repetiçãoConsidere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordeneestes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado umacombinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destascombinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) sãoexemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # érepetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo,enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças
    • (a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØCada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe umacorrespondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolopondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos combarras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim: Crep(5,6) = C(5+6-1,6)Generalizando isto, podemos mostrar que: Crep(m,p) = C(m+p-1,p)Propriedades das combinaçõesO segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidadede elementos de cada escolha.Taxas complementares C(m,p)=C(m,m-p)Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.Relação do triângulo de Pascal C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605Número Binomial
    • O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamadoCoeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como:Exemplo: C(8,2)=28.Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dosnúmeros reais e podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferentede um número inteiro negativo, tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, nãopodemos mais utilizar a notação de combinação C(m,p) pois esta somente tem sentido quando me p são números inteiros não negativos. Como Pi=3,1415926535..., então:A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidadee Estatística.Teorema BinomialSe m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos mp no lugar deC(m,p). Então: (a+b)m = am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mm bmAlguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.
    • Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:P(m): (a+b)m=am +m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mm bmP(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + bVamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:P(k): (a+b)k=ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbkpara provar a propriedade P(k+1).Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que: (a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb+(k+1)2ak-1b2+...+(k+1)(k+1)bk+1 (a+b)k+1=(a+b).(a+b)k = (a+b).[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk] a.[ak+k1ak-1b+k2ak-2 b2+k3ak-3b3+...+kkbk] = +b.[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kk bk] ak+1+k1akb+k2ak-1b2+k3ak-2b3+...+kkabk = +akb+k1ak-1b2+k2ak-2 b3+k3ak-3b4+...+kkbk+1 ak+1+[k1+1]akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3 = +[k4+k3] ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1 ak+1+[k1+k0] akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3 = +[k4+k3]ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1Pelas propriedades das combinações, temos:k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4... ... ... ...kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1
    • kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)kE assim podemos escrever: k+1 ak+1+(k+1)1akb + (k+1)2ak-1b2 + (k+1)3ak-2b3 (a+b) = +(k+1)4ak-3b4 +...+ (k+1)k-1a2bk-1 + (k+1)kabk + kkbk+1que é o resultado desejado.PRODUÇÃO, EDIÇÃO E EDITORAÇÃO:Andréia Castilho CustódioPESQUISA:Andréia Castilho CustódioTODOS OS DIREITOS RESERVADOS A:Andréia Castilho CustódioATENÇÃO: É totalmente proibida toda e qualquer reprodução, desta APOSTILA, sem a préviaautorização por escrito do autor. Qualquer violação será processada pelas leis de direitos autoraise propriedade intelectual.LEI Nº 9.610, DE 19 DE FEVEREIRO DE 1998Art. 103. Quem editar obra literária, artística ou científica, sem autorização do titular, perderá paraeste os exemplares que se apreenderem e pagar-lhe-á o preço dos que tiver vendido.Parágrafo único. Não se conhecendo o número de exemplares que constituem a ediçãofraudulenta, pagará o transgressor o valor de três mil exemplares, além dos apreendidos.
    • Pena: Reclusão de 1 (um) a 5 (cinco) anos, e multa, se o documento é público, e reclusão de1(um) a 3 (três) anos, e multa, se o documento é particular.