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fisica mecanica

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Modulo 1 Modulo 1 Document Transcript

  • UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA FÍSICA MECÁNICA MÓDULO #1: MAGNITUDES, UNIDADES Y MEDICIÓN Diego L. Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H. Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín Última revisión en junio 01 de 2013 1 Temas         Introducción ¿Qué estudia la Física? El ISQ y el SI Sobre el ángulo plano Análisis dimensional Cifras significativas Reporte de datos experimentales Taller Introducción La física es esencialmente una teoría de la medida. En éste módulo el objetivo central es todo lo relacionado con el proceso de medición, desde la definición de los sistemas de magnitudes y unidades, hasta el reporte correcto de los resultados experimentales. Se comenzará el módulo describiendo un poco de lo que se ocupa la física muy desde la perspectiva de la mecánica. ¿Qué estudia la Física? La Física estudia las interacciones entre sistemas de partículas, Figura 1, a través del:  Concepto de fuerza (fuerza F y aceleración a -leyes de Newton-):  F=ma  Concepto de energía (trabajo W y energía cinética K -principio del trabajo y la energía-): W total = ΔK  Concepto de cantidad de movimiento (impulso momentum-): J y cantidad de movimiento P -principio del impulso y el
  • Jtotal = ΔP 2 Figura 1 Estos sistemas de partículas pueden estar en cualquier estado de agregación de la materia: sólido, líquido, gas u otro. El modelo de sistema a utilizar puede ser: partícula (punto material sin dimensiones geométricas), cuerpo rígido (las partículas mantienen las distancias de separación entre ellas constantes), cuerpo deformable. Adicionalmente pueden ser considerados como medios continuos (no hay vacíos al interior) o discretos. El modelo dependerá de la situación física que se analiza. La física se divide en ramas: Mecánica, electromagnetismo, óptica, termodinámica, mecánica cuántica entre otras. En este curso corresponde estudiar los fundamentos de la Mecánica: ésta estudia el movimiento. El ISQ y el SI La teoría de la medida se fundamenta en la física. Lo que se puede medir se denomina magnitud. Según el VIM (Vocabulario Internacional de Metrología) en su definición 1.1, “Magnitud es una propiedad de un fenómeno, de un cuerpo o de una sustancia a la cual se puede asignar un número con relación a una referencia”. Resumiendo: Magnitud es todo lo que se puede medir. El amor no es una magnitud. Aunque el VIM no diferencia expresamente entre magnitud y cantidad, es necesario decir que la primera se refiere a la abstracción del concepto y la segunda a una medida concreto. Ejemplo:   Longitud, es una magnitud, el largo de la mesa es 4 m, es una cantidad. EL ISQ (Sistema Internacional de Cantidades -VIM 1.6-), por convención considera 7 las magnitudes fundamentales o magnitudes base (-V.I.M. 1.4-, magnitudes con las cuales se pueden construir todas las otras magnitudes, y entre ellas ninguna se puede expresar en función de las otras) y que son: Longitud (L), Masa (M), Tiempo (T), Corriente Eléctrica (I), Temperatura Termodinámica ( ), Cantidad de Sustancia (N) e Intensidad Luminosa (J). Cualquier magnitud Q se puede expresar como un producto de potencias de éstas 7 magnitudes,
  • dim Q = Lα Mβ Tγ Iδ θρ Nξ J [1] Estas son denominadas magnitudes derivadas. A la expresión anterior se le denomina ecuación dimensional de la magnitud Q o dimensión de la magnitud Q (VIM 1.7). El ISQ considera que la Mecánica solo necesita tres magnitudes fundamentales: Longitud (L), Masa (M) y Tiempo (T). Hay otros sistemas de magnitudes (V.I.M 1.3), que utilizan otras magnitudes como fundamentales; un ejemplo es el sistema técnico (ST), muy empleado en ingeniería en el que las magnitudes fundamentales son: la fuerza (F), la longitud (L) y el tiempo (T). En este caso, cualquier magnitud Q de la mecánica se puede expresar como un producto de potencias de estas 3 magnitudes, dim Q = Fα Lβ Tγ [2] Hay magnitudes “sin dimensión” (VIM 1.8), las cuales se denominan adimensionales o de dimensión 1, en las que todos los exponentes de la ecuación dimensional son ceros. Ejemplos: ángulo plano, ángulo sólido, índice de refracción, número de entidades (número de vueltas, número de oscilaciones, número de moléculas, número de espiras de una bobina,…), argumentos de funciones trascendentales (funciones trigonométricas, exponenciales, logaritmos,…) Las unidades de medida de las magnitudes fundamentales se denominan unidades fundamentales o unidades base (VIM 1.10). En la Tabla 1 siguiente se ilustran las unidades definidas por el SI (Sistema Internacional de Unidades, VIM 1.16), como fundamentales. Tabla 1 Magnitud base Longitud Masa Tiempo Corriente eléctrica Temperatura termodinámica Cantidad de sustancia Intensidad luminosa Dimensión L M T I  N J Unidad básica metro kilogramo segundo ampere kelvin mol candela Símbolo unidad m kg s A K mol cd Unidades derivadas son las unidades de medida correspondientes a las magnitudes derivadas. A continuación se dan algunos ejemplos correspondientes a SI: Área: m2 Volumen: m3 Velocidad: m/s=m.s-1 Fuerza: N = kg.m.s-2 Energía: J=N.m= kg.m2.s-2 Potencia: W=J.s-1=kg.m2.s-3 Ejemplo de unidades de magnitudes adimensionales: El radián: es la unidad de ángulo plano. rad x m=m rad/s=s-1 3
  • En la Tabla 2 se presentan información sobre las unidades en el SI y las ecuaciones dimensionales en el ISQ de algunas magnitudes físicas. Tabla 2 NOMBRE DE LA UNIDAD MAGNITUD Área (A) Volumen (V) Densidad () Velocidad (V) Aceleración (a) Fuerza (F) Peso específico () Trabajo (W), Calor (Q), Energía (E) Torque () Potencia (P) Tensión superficial () Presión (P) Viscosidad () Cantidad de movimiento lineal (P) Cantidad de movimiento angular (L) Periodo (P) Frecuencia (f) Posición angular () Velocidad angular () Aceleración angular () Carga eléctrica (q) Resistencia eléctrica (R) Potencial eléctrico, Voltaje (V) Inducción Magnética (B) Flujo magnético (B) Flujo luminoso (L) Iluminancia (i) Newton (N) Joule (J) Watt (W) Pascal (Pa) Hertz (Hz) Coulomb (C) Ohmio (Ω) Voltio (V) Tesla (T)) Weber (Wb) Lumen (lm) Lux (lx) UNIDAD EN EL SI m2 m3 Kg.m-3 m.s-1 m.s-2 N=kg.m.s-2 J=N.m=kg.m2.s-2 N.m W=J.s-1=kg.m2.s-3 N.m-1=kg.s-2 Pa=N.m-2=kg.m-1.s-2 Kg.m.s-1 Kg.m2.s-1 s Hz=s-1 Rad Rad.s-1=s-1 Rad.s-2=s-2 C=A.s Ω=kg.m2.s-3.A-2 V=kg.m2.s-3.A-1 T=kg.s-2.A-1 Kg.m2.s-2.A-1 lm=cd.sr-1=cd lx=lm.m-2 ECUACIÓN DIMESNIONAL EN EL ISQ 2 dim A = L dim V = L3 dim  = ML-3 dim V = LT-1 dim a = LT-2 dim F = MLT-2 dim  = ML-2T-2 dim W = dim Q = dim E = ML2T-2 dim  = ML2T-2 dim P = ML2T-3 dim  = MT-2 dim P = ML-1T-2 dim  = L-1MT-1 dim P = MLT-1 dim L = ML2T-1 dim P = T dim f = T-1 dim  = 1 dim  = T-1 dim  = T-2 dim q = IT dim R = ML2T-3I-2 dim V = ML2T-3I-1 dim B = M.T-2.I-1 dim B = ML2T-2I-1 dim L = J dim i=JL-2 Sobre el ángulo plano ¿Qués es 1 radián? Es un ángulo central cuyo arco correspondiente equivale a 1 radio de la circunferencia. En una circunferencia caben 6,28… radios es decir el ángulo central correspondiente a una circunferencia equivale a 6,28… radianes (2) y la longitud lc de la misma es igual a, lc = 2πR [3] 4
  • 5 Figura 2 Longitud de arco La longitud de un arco de circunferencia se calcula así, l =θR [4] En donde el ángulo  es el ángulo central correspondiente al arco y debe medirse en radianes. Ejemplo 1: Una rueda se traslada rodando sin deslizar y sin salirse de un plano. Si su radio es igual a 50 cm y da 10 vueltas calcular la distancia recorrida por ésta. Solución: En una vuelta recorre la longitud de su circunferencia que se calcula con la ecuación [3], lc = 6,28 radianes × 0,50 m = 3,14 m En 10 vueltas recorre una distancia Δs , Δs = 10×3,14 m = 31,4 m Además habrá “recorrido” angularmente, Δθ = 10×6,28 radianes = 62,8 radianes Ejemplo 2: La pista de un CD es una espiral que comienza con un radio interior igual a 25 mm y termina con un radio exterior igual a 58 mm, Figura 3. El espaciamiento entre vueltas sucesivas de la pista es una constante, a = 1,6 μm . Estimar la longitud total de la pista.
  • 6 Figura 3 Solución: Cada a = 1,6 μm hay una espira cuya longitud es 2r. La longitud de la espiral contenida en dr es igual a, ds =  2πr  n  en donde n es el número de espiras contenida en dr, Figura 3, n= dr a Por lo tanto,  dr  ds =  2πr    a  s r 12  ds = a  2πrdr 0 r1 s= π 2 2  r2 - r1  a Reemplazando, a=1,6x10-6 m, r1= 25x10-3 m y r2=58x10-3 m se obtiene, s = 5,4 km El cálculo para un DVD da del orden de 12 km.
  • Análisis dimensional Ejemplo 3: Expresar la ecuaciones dimensionales en el ISQ de las siguientes magnitudes: área A, volumen V, rapidez v, aceleración a, fuerza F, energía E, potencia P. Solución: 7 En el ISQ las magnitudes se deben poder expresar en potencias de las 7 magnitudes base: Longitud (L), Masa (M), Tiempo (T), Corriente Eléctrica (I), Temperatura Termodinámica ( ), Cantidad de Sustancia (N) e Intensidad Luminosa (J), dim Q = Lα Mβ Tγ Iδ θρ Nξ J [1] En este caso se tiene, El área se mide en unidades de longitud al cuadrado, por ejemplo, m2, entonces, dim  A  =L2 El volumen se mide en unidades de longitud al cubo, por ejemplo, m3, entonces, dim  V  =L3 En su forma más simple la rapidez se calcula como distancia sobre tiempo, entonces, dim  v  = L = LT -1 T La aceleración es el cambio de velocidad sobre el intervalo de tiempo que gastó en hacerlo, a= Δv t L dim  Δv  L dim  a  = = T = 2 = LT -2 dim  t  T T En su forma más simple F = ma , en donde F es la fuerza, m es masa y a aceleración, entonces, dim  F = dim  m  dim  a  = M. L = MLT -2 2 T La dimensión de energía es la misma dimensión de trabajo W . En su forma más simple el trabajo se calcula como W = Fd , en donde F es fuerza y d distancia, entonces, d im  E  = dim  W  = dim  F dim  d  = MLT-2L = ML2T-2
  • En su forma más simple la potencia se calcula como P = W , en done W es el trabajo y t el intervalo de t tiempo que se empleó para realzarlo, entonces, dim  W  ML2T -2 dim  P  = = = ML2T -3 dim  t  T Ejemplo 4: 8 Expresar la ecuación dimensional de la masa en el ST Solución: En el ST las magnitudes se deben poder expresar en potencias de las 3 magnitudes base: fuerza (F), longitud (L) y tiempo (T). En este caso, cualquier magnitud Q de la mecánica se puede expresar como un producto de potencias de estas 3 magnitudes, dim Q = Fα Lβ Tγ [2] por lo tanto en el caso de la masa m, dim m = Fα Lβ T γ 1 en el ISQ las ecuaciones dimensionales de las magnitudes involucradas en la ecuación (1) son, dim m = M dim F = MLT2 dim L = L dim T = T Reemplazando en la ecuación (1) se obtiene, M =  MLT-2  Lβ T γ α M = Mα Lα + β T-2α + γ Por lo tanto, α = 1  α + β = 0 -2α + γ = 0  α = 1 ; β = -1 ; γ = 2
  • dim m = F L1 T2 Ejemplo 5: Expresar la ecuación dimensional de la energía en el ST Solución: En el ST las magnitudes se deben poder expresar en potencias de las 3 magnitudes base: fuerza (F), longitud (L) y tiempo (T). En este caso, cualquier magnitud Q de la mecánica se puede expresar como un producto de potencias de estas 3 magnitudes, dim Q = Fα Lβ Tγ [2] por lo tanto en el caso de la energía E, 1 dim E = Fα Lβ T γ en el ISQ las ecuaciones dimensionales de las magnitudes involucradas en la ecuación (1) son, dim E = ML2T2 dim F = MLT2 dim L = L dim T = T Reemplazando en la ecuación (1) se obtiene, ML2T 2 =  MLT-2  Lβ T γ α ML2T2 = Mα Lα + β T-2α + γ Por lo tanto, α = 1  α + β = 2 -2α + γ = -2  α = 1 ; β = 1; γ = 0 dim E= F L 9
  • Ejemplo 6: Suponer que las magnitudes fundamentales de la mecánica son Fuerza (F), masa (M) y longitud (L). Con base en esto, expresar la ecuación dimensional de la potencia P. Solución: En este caso, cualquier magnitud Q de la mecánica se puede expresar como un producto de potencias de estas 3 magnitudes, dim Q = Fα Lβ Mγ por lo tanto en el caso de la potencia P, 1 dim P = Fα Lβ Mγ en el ISQ las ecuaciones dimensionales de las magnitudes involucradas en la ecuación (1) son, dim P = ML2T3 dim F = MLT2 dim L = L dim M = M Reemplazando en la ecuación (1) se obtiene, ML2T 3 =  MLT-2  Lβ M γ α ML2T3 = Mα + γ Lα + β T-2α Por lo tanto, α + γ = 1  α + β = 2 -2α = -3  3 1 1 α = ; β = ;γ = 2 2 2 3 2 1 2 dim P= F L M  1 2 Homogeneidad dimensional Los términos de una ecuación deben cumplir la homogeneidad dimensional. Es decir, dada la ecuación, 10
  • A + B =C + D + EF se debe cumplir, dim(A)=dim(B)=dim(C)=dim(D)=dim(EF) Ejemplo 7: Determinar las dimensiones en el ISQ para I y para k en la siguiente ecuación, 2 1  dθ  1 2  Fdx = 2 I  dt  + 2 kV   0 x en donde F (Fuerza), velocidad (V) ,  (ángulo plano), x (posición). Solución: Como, dim  F = MLT-2 dim  dx  = L Entonces, x  dim   Fdx  = dim  F  dim  dx  = MLT -2 .L = ML2T-2 0  Por lo tanto, con base en el teorema de homogeneidad dimensional se concluye que,  1  dθ 2  dim  I    = ML2T -2  2  dt     (1) Y 1  dim  kV 2  = ML2T -2 2  De (1),   dθ 2  dim  I    = ML2T -2   dt     (2) 11
  • 2  dθ  dim  I  dim   = ML2T -2  dt  dim  I  1 = ML2T -2 T2 dim  I  = ML2 12 De (2), dim  kV2  = ML2T-2 dim  k  dim  V2  = ML2T-2  L2  dim  k   2  = ML2T -2 T  dim  k  = M Ejemplo 8: Determinar las dimensiones en el ISQ de w y  para que la siguiente ecuación sea dimensionalmente homogénea. x = Asen  wt+δ  en donde A (amplitud, su dimensión es longitud) y t (tiempo). Solución: Como, dim  x  = L Se concluye del teorema de homogeneidad dimensional que, dim  Asen  wt+δ   = L dim  A  = L Y como  wt + δ  es el argumento de una función trigonométrica es adimensional, dim  wt+δ  = 1
  • por lo tanto, dim  wt  = 1 (1) Y dim  δ  = 1 (2) 13 De (1), dim  w  dim  t  = 1 dim  w  T  = 1 dim  w  = T1 Como se deducirá con los dos ejemplos siguientes, el principio de homogeneidad dimensional se puede emplear para “predecir” fórmulas. Ejemplo 9: Un experimentador está seguro que el periodo (P) de oscilación de un péndulo simple depende sólo de la longitud ( l ) y de la aceleración de la gravedad ( g ). Mediante un análisis dimensional mostrar que P cumple, P=C l g Solución: Como el periodo depende sólo depende de la longitud l y de la aceleración de la gravedad g se concluye de la homogeneidad dimensional que éste es proporcional a l α y g β , es decir: P = C l α gβ en donde C es una constante de proporcionalidad adimensional. Como, dim  P  = T dim  l  = L entonces, dim  g  = L T2 por lo tanto,
  • dim  P  = dim  l α  dim  gβ  T = Lα .  LT-2  β T = Lα+β .T-2β Concluyéndose, α + β = 0  -2β = 1 α= 1 1 , β=2 2 obteniéndose, 1 2 P=Cl g P=C  1 2 l g Ejemplo 10: Un sólido moviéndose en el seno de un líquido experimenta una fuerza de resistencia F como consecuencia del rozamiento, que es proporcional a su rapidez V , siempre que ésta sea pequeña. Esa fuerza podrá depender además de los parámetros que caracterizan el sistema, que son: la densidad ρ , su viscosidad η y el radio r del sólido supuesto esférico. Todo lo anterior se expresa diciendo que la fuerza de resistencia deberá ser de la forma: F = Cρα ηβ r γ V siendo C una constante numérica adimensional. Mostrar mediante análisis dimensional que la “fuerza viscosa F ” no depende de la densidad y que tiene la forma: F=CηrV Solución: Debido a la homogeneidad dimensional, dim  F  = dim  ρα ηβ r γ V  14
  • Ahora, dim  F  = MLT2 dim  ρ  = ML-3 dim  r  = L 15 dim  V  = LT1 Para deducir la dimensión de viscosidad, se puede consultar sus unidades (en un texto de física o en la Internet): Pa.s=N.s.m-2. Con base en esta información se deduce que, dim  η =  MLT-2   T   L-2  = ML1T-1 Por lo tanto, dim  F  = dim  ρα ηβ r γ V  MLT-2 =  ML-3   ML1T-1   L   LT-1  α β γ MLT-2 = Mα+β L-3α - β + γ + 1T - β - 1 α + β = 1  -3α - β + γ + 1 = 1  -β -1 = -2  α = 0 , β = 1, γ = 1 F=CηrV Cifras significativas Cuando se resuelven ejercicios en ciencias naturales frecuentemente se encuentra con que el resultado de los cálculos tiene demasiados dígitos. Se tiende a pensar que mientras más dígitos posea la respuesta más exacto es su resultado. Nada más lejos de la realidad. La exactitud de un resultado tiene que ver principalmente con los instrumentos que se usan para realizar las mediciones. La razón es sencilla, hay instrumentos que tienen mayor apreciación que otros. Hay balanzas que pueden medir la masa con un margen de incertidumbre de ± 0,01 g mientras que otras pueden hacerlo con un margen de ± 0,0001 g. Así que, el número de dígitos en el resultado no debe indicar más apreciación (es decir, menos incertidumbre) que lo que realmente permitieron las mediciones que se realizaron.
  • 16 Figura 4 ¿Qué son cifras significativas? Se les llama cifras significativas (también dígitos significativos) al número de todos los dígitos conocidos reportados en una medida, más el último dígito que es incierto (estimado). Es decir, el número de cifras significativas se debe interpretar como la seguridad en todas las cifras excepto en la última que se considera dudosa. Por ejemplo en la Figura 4 se puede afirmar que el volumen de líquido está entre 41 cm3 y 42 cm3. Se puede estimar que es 41,3 cm3 o 41,4 cm3. Como se concluye, en una medida el último dígito es estimado y por lo tanto incierto. La medida de este volumen tiene 3 cifras significativas. Reglas para determinar el número de cifras significativas Regla 1 Todos los dígitos distintos de cero son cifras significativas. Ejemplo 11: 28 235,6 g tiene seis cifras significativas Regla 2 Los ceros que están entre dos dígitos distintos de cero son cifras significativas.
  • Ejemplo 12: 2 078,300 6 s tiene ocho cifras significativas. Regla 3 Los ceros situados a la derecha de la coma y después de un dígito distinto de cero son cifras significativas. Ejemplo 13: 7,30 g tiene 3 cifras significativas. Regla 4 Los ceros situados a la izquierda de la primera cifra distinta de cero, no son cifras significativas, solo indican la posición del punto decimal. Ejemplo 14: 0,034 5 g tiene tres cifras significativas Regla 5 Para números enteros, sin decimales, los ceros situados a la derecha del último dígito distinto de cero pueden o no ser cifras significativas. Si se utiliza las potencias de 10 (notación exponencial) se evita esta ambigüedad. Ejemplo 15: 2 300 tiene cuatro cifras significativas. Si por alguna razón se considera que sólo tiene dos cifras significativas se deberá escribir 2,3x103. Regla 6 Las potencias de 10 se usan para marcar las cifras significativas. Ejemplo 16: 2,35x102 tiene tres cifras significativas; 2,4x102 tiene dos cifras significativas. Regla 7 Números que resultan de contar o constantes definidas, tienen infinitas cifras significativas. Ejemplo 17: Se contaron carros. Esa medida tiene infinitas cifras porque es un número exacto 17
  • Reglas para aplicar en las operaciones Regla 1 La cantidad de cifras significativas con que debe escribirse el resultado de un producto o un cociente es igual a la cantidad más pequeña de cifras significativas que tenga cualquiera de los números que se multiplican o dividen. Regla 2 Para reportar con el número correcto de cifras significativas el resultado de una SUMA (o una RESTA), donde los sumandos son resultados de mediciones previas, se redondea el resultado teniendo en cuenta el sumando que posee la menor cantidad de cifras decimales . Es decir, el resultado debe tener el mismo número de posiciones decimales que el sumando que tiene menos decimales. Regla 3 El resultado de operar con las funciones trascendentes, como el seno, la arcotangente, la función logarítmica, la función exponencial, etc., se escribe con el mismo número de cifras significativas que tenga el argumento. Regla 4 Al convertir unidades se debe mantener el número de cifras significativas. ¿Y para qué sirven todas estas reglas? Ejemplo 18: Suponer que se tiene que medir la densidad del líquido de la figura 1. Ya se midió el volumen que es 41,3 cm³ (tiene tres cifras significativas). Si al medir la masa del líquido se obtiene de 38,79 g (medida con 4 cifras significativas) la densidad se calcula así: ρ= m 38,79 g g = = 0,939 225 181 3 V 41,3 cm cm3 Se redondea al número menor de cifras significativas que es tres y por lo tanto la densidad es, ρ = 0,939 g cm3 Ejemplo 19: La ley de Snell expresa que si un rayo de luz incide formando un ángulo φ desde un medio de índice de refracción n hacia un medio de índice de refracción n  , el ángulo φ con el cual se refracta cumple, 18
  • senφ = n senφ n Sí n=1,33, n’= 1,54, φ = 30,5o calcular φ . Solución: senφ = 1,33  sen  30,5o  19 1,54 senφ = 0,438 329 φ = 25,997o Con tres cifras significativas, φ = 26,0o Lectura de instrumentos digitales En la Figura 4 se ilustró la lectura de un instrumento análogo. En el caso de instrumentos digitales la lectura de la medición se reportará con tantas cifras significativas como las que despliega la pantalla del instrumento. Por ejemplo en la Figura 5 la lectura de voltaje en este multímetro digital es 189,6 V. Figura 5
  • Reporte de datos experimentales Medidas directas Regla 1 Si se realiza una sola medida, se reportará la lectura obtenida acompañada de la incertidumbre en la lectura del instrumento ( u lectura ) separadas con ±: x ± u lectura La incertidumbre en la lectura del instrumento generalmente corresponde a la apreciación del instrumento (valor de la mínima división del instrumento si este es análogo o la última cifra signicativa reportada en la pantalla -display- si este es digital). En el caso de instrumentos análogos podría suceder que el observador logre estimar un poco más que la mínima división, en cuyo caso puede reportar ésta como la incertidumbre en la medida en lugar de la apreciación del instrumento. Regla 2 Sí una cantidad se mide N veces con el mismo instrumento y procedimientos, y las medidas x1, x2, x3, ..., xN se distribuyen alrededor de su valor medio, ecuación [4] de acuerdo a la denominada distribución normal o gaussiana, la desviación estándar x, ecuación [5] caracterizará la incertidumbre estadística de la medida y se garantizará que el 68% de las medidas de x estarán dentro del rango x ± σ x . En otras palabras, si se hace cualquier otra medida usando los mismos métodos, la probabilidad es del 68% de que su resultado tenga una incertidumbre menor x; o sea, de cada 100 medidas, alrededor de 68 deberán tener una incertidumbre menor que x. Por lo tanto, es sensato adoptar a x como la incertidumbre estadística de la medida de una cantidad x , siempre y cuando N medidas de estas se distribuyan normalmente. x= 1 N  xi N i=1 σx = 1 N 2   x - xi  N - 1 i=1 [4] [5] Nota 1 Es posible demostrar (esto corresponderá a un curso de estadística) que si todas las fuentes de incertidumbre son aleatorias (es decir, se han eliminado los errores sistemáticos, o al menos reducido a su mínima expresión) y los errores son pequeños, la distribución de las medidas obedecerá la distribución normal. Nota 2: Hay razones para concluir que la mejor medida de la incertidumbre de la medición de una cantidad x de la 20
  • que se obtuvieron N medidas es la desviación estándar dividida por el factor N 1/2. A esta cantidad se le denomina desviación estándar de la media (SDOM: Standard Deviation Of the Mean), ecuación [6], σx = N 1 2   x - xi  N  N - 1 i=1 [6] y es mejor medida de la incertidumbre estadística. Nota 3: La incertidumbre que acompaña a la media (a la media aritmética) es la mayor de las dos cantidades siguientes: la incertidumbre estadística o la incertidumbre en la lectura del instrumento (la cual se obtiene tal como se describió en la regla 1). También se podrían combinar las dos incertidumbres en forma geométrica, ecuación 7, u=  σx  2 +  u lectura  2 [7] Medidas indirectas Una vez obtenida la incertidumbre de las medidas directas, se calculan las de las medidas indirectas. Regla Propagación de incertidumbre: Supóngase una medida indirecta que se obtiene a partir de medidas directas mediante la expresión matemática, y = f  x1 ,x 2 ,...,x N  en donde f es una función de N variables independientes. La incertidumbre de y, uy viene dada por la ecuación 8,  f  uy =  u xi  i=1  x i  N 2 [8] en donde los uxi son las incertidumbres de las medidas directas. Es necesario decir que esta expresión se puede aplicar sólo si las medidas directas de las cantidades x1, x2, …, xN son realmente independientes (no están correlacionadas entre sí) y están libres de errores sistemáticos (es decir, si todos son errores 21
  • aleatorios y bajo distribución normal). Reporte de las medidas El resultado se reporta así, y ± uy Se debe tener presente que calcular la incertidumbre uy y reportarla junto al resultado, es una técnica diferente al simple uso de cifras significativas. Debido a esto, las reglas estipuladas en la técnica de cifras significativas no tienen que seguirse al realizar estos cálculos. Se recomienda que, mientras se realizan los cálculos intermedios, tanto con el resultado como con la incertidumbre, se mantengan todas las cifras de que disponga la calculadora o el computador (o al menos 2 dígitos "extras" más allá del número de cifras significativas esperadas en el resultado). De esta manera no se perderá información. Sólo al final de reportar el resultado, se aplicarán las siguientes normas para el redondeo. Regla 1 Una convención de uso frecuente recomienda que la incertidumbre se exprese con una cifra significativa. Regla 2 Una vez redondeada la incertidumbre, el resultado de la medición debe tener decimales que su incertidumbre. No tiene sentido dar cifras que se encuentren a la ya está afectada por la incertidumbre. Por ejemplo, si la medida de un intervalo calculada se obtuvo 8,358 9 s y su incertidumbre calculada fue igual a 0,03 s resultado así: las mismas posiciones derecha de aquella que de tiempo después de se deberá escribir el 8,36 s ± 0,03 s ya que la incertidumbre nos afirma que se empieza a dudar desde las centésimas (posición del 3 en la incertidumbre) de los segundos, por lo que sería contradictorio reportar las milésimas (y de ahí en adelante). Ejemplo 20: Para medir la aceleración de la gravedad se hizo oscilar un péndulo simple con pequeñas oscilaciones. Para obtener su período se midió con un cronómetro digital que marca hasta centésimas de segundo 10 veces el tiempo que invirtió en hacer 10 oscilaciones siendo los resultados en s: 22,15; 21,83; 21,92; 22,24; 22,09; 21,40; 21,79; 22,38; 22,21; 21,67. Para medir su longitud se realizaron 10 mediciones bajo condiciones de repetibilidad con una cinta métrica cuya mínima división está en mm y se obtuvieron como resultados, en cm: 120,2; 119,2; 118,3; 120,1; 120,3; 118,7; 120,4; 119,7; 118,7; 120,2. Reportar la medida de la gravedad, sabiendo que el modelo físico empleado cumple la siguiente expresión, P=2π l g 22
  • en donde l l la longitud del péndulo y g la aceleración de la gravedad. Solución: Del modelo físico se obtiene, g= 4π 2l P2 (1) 23 Aplicando la regla de propagación de incertidumbres, ecuación [8],  g   g  g =  ul  +  u P   l   P  2 2 g 4π 2  2 l P g 8π 2l - 3 P P 2  4 2   8π 2l  ug =  2 ul  +  - 3 u P   P   P  2 (2) La medida de la longitud es directa y se reportar el promedio, l  1,195 8 m La incertidumbre en la medida de la longitud tiene dos componentes: la debida a la lectura de la cinta métrica, que se considerará igual a su apreciación, u1l  0,001 m , y la incertidumbre asociada con la repetibilidad de las medidas que corresponde a la desviación estándar de la media, u 2l  0,002 m . La combinación de estas es: ul =  u1l  +  u 2l  2 2  0,002 682 5 m La medida del tiempo para 10 oscilaciones es directa, y se reporta su promedio, t  21,968 s La incertidumbre en la medida del tiempo tiene dos componentes: la debida a la lectura del cronómetro, que se considerará igual a su apreciación, u1t  0,01 s y la incertidumbre asociada con la repetibilidad de las medidas que corresponde a la desviación estándar de la media, u 2t ut =  u1t  +  u 2t  2 2  0,095 5 s  0,095 s . La combinación de estas es:
  • La medida del periodo es indirecta, P= t 10 su valor es, P 21, 698 s  2,169 8 s 10 24 Y su incertidumbre empleando la regla de propagación de la incertidumbres, ecuación [8], u P  P  uP   ut   uP  t t 10  t  2 uP = 0, 095 5 s  0,009 55 s 10 Reemplazando los valores de l , P , u l y u P en las ecuaciones (1) y (2) se obtiene, g = 9,755 456 m.s2 u g = 0,09 m.s2 y por lo tanto el resultado se reporta así, g = 9,76 m.s2  0,09 m.s2 Ejemplo 21: Para medir el índice de refracción n del vidrio, se mide el ángulo crítico de incidencia φ c para una pieza de vidrio sumergida en aire, y se obtiene φc  41 ± 1 . Reportar la medida del índice de refracción, sabiendo o o que el modelo físico empleado cumple la siguiente expresión, n= 1 senφc Solución: Del modelo físico empleado se sabe, n= 1 senφc (1)
  • Aplicando la regla de propagación de las incertidumbres, ecuación [8] se obtiene, 2  n  n un   u φc   uφ φc φc c   un = cosφc uφ sen 2φc c (2) 25 Aquí se debe estar muy atento ya que la incertidumbre está dada en grados, u φc  1o , y la forma como quedó operando en la ecuación (2) exige que se realice la conversión a radianes, u φc  0,017 444 rad Reemplazando φc = 41 y u φc  0,017 444 rad en las ecuaciones (1) y (2) se obtiene, o n = 1,524 u n =0,0266  0,03 y por lo tanto el resultado se reporta así, n = 1,52  0,03 Taller 1. Un péndulo simple tiene una longitud de 1,50 m. Si la amplitud de oscilación es de 15 .0 o calcular la longitud recorrida cuando ha realizado 20 oscilaciones completas. 2. La rueda de un camión tiene 90,0 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas? 3. Suponer que las magnitudes fundamentales de la mecánica son Fuerza (F), masa (M) y longitud (L). Con base en esto, decir las dimensiones de: tiempo t , aceleración a , energía E , y presión p . Rp: dim t  F  1 2 1 2 1 2 M L ; dim a  FM1 ; dim E  FL ; dim p  FL-2 4. Debido a los efectos de rozamiento, la amplitud A de un oscilador decrece exponencialmente con el tiempo. Es decir, A  A0 e  k t siendo A0 la amplitud inicial y t el tiempo. Determinar las dimensiones de A0 y de k .
  • 5. El ascenso h del agua a través de un tubo capilar es proporcional a la tensión superficial  del líquido y depende del radio r del tubo, de la densidad  del líquido y de la aceleración de la gravedad g . Si se supone que el ascenso capilar se puede expresar como un producto de potencias de esas magnitudes características, mostrar mediante análisis dimensional que: hk  rg 26 6. Decir cuántas cifras significativas tienen los siguientes datos: (a) 0,001 0 m (b) 21x104 cm (c) 4,00 A (d) 200 000 N 7. Se reporta una medida como 30,4 cm, ¿cuántas cifras significativas tiene? Reportar esta medida en mm, en m y en km ¿Aumentan o disminuyen las cifras significativas al hacer las conversiones? 8. Efectuar las siguientes operaciones y reportar cada resultado con el número correcto de cifras significativas o decimales, según el caso: (a) 2,5x3,2 (b) (2,34)2 (c) 3,2xπ (d) 2,38+3,284 (e) 20,3/2,3 (f) ln 4,389 9. Se hacen seis mediciones del diámetro de una varilla delgada y se obtienen los siguientes resultados: 0,251 cm; 0,248 cm; 0,250 cm; 0,249 cm; 0,250 cm; 0,252 cm ¿Cuál será el mejor valor y cómo estimaría la incertidumbre en esta medición? 10. Para medir el espesor de una moneda se siguen los siguientes dos procedimientos. Diga cuál permite obtener una mejor medida: a) Se mide el espesor de la moneda utilizando un vernier cuya apreciación es de 0,1 mm y se obtiene 1,3 mm, apreciación es de 1 mm y se obtiene 26 mm. b) se mide la altura de una pila de 20 monedas iguales utilizando una regla cuya apreciación es de 1 mm y se obtiene 26 mm. Luego se calcula el espesor de una moneda. 11. La velocidad de la luz es c = 299 797 km∙s–1 ±1 km∙ s–1. El tiempo de un destello de laser en ir desde la tierra a un reflector dejado en la Luna por los astronautas y regresar al laboratorio ha sido medido como t = 1, 935 472 s ± 1x10–6 s. ¿Qué distancia ha recorrido el destello de laser? 12. Una rendija de difracción se usa para medir la longitud de onda de la luz usando la ecuación d senφ = λ , siendo φ la posición angular del primer mínimo de difracción, d el ancho de la rendija y λ la longitud de onda de la luz. El valor medido de φ es de 130 34’± 2’. Suponiendo que el valor de d es 1 420 x 10—9 m y que se puede ignorar su incertidumbre, ¿cuál es la incertidumbre absoluta y la relativa en el valor de λ ? Rp: 0; 8 nm, 0,24% FIN
  • REFERENCIAS  Cena L.A., Unidades de las Magnitudes Físicas y sus Dimensiones, Editorial MIR, Moscú, 1979.  Díaz J, Jiménez J., López L., La Física en Problemas: Las Magnitudes Físicas, Ed Alhambra, Madrid, 1982.  Taylor J., An Introduction to Error Analysis: The study of uncertainties in physical measurements, University Science Books, Sausalito, California, 1982.  Aristizábal D., Restrepo R., Ramírez C., Taller Experimental: Términos Fundamentales usados en Metrología, Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Nacional de Colombia, Medellín, 2010. 27