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FS321  Capitulo 1
 

FS321 Capitulo 1

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Unidad 1 del curso de Electrícidad y Magnetismo I (FS321) servido por el profesor Rafael Barahona Paz en la Universidad Nacional Autónoma de Honduras

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    FS321  Capitulo 1 FS321 Capitulo 1 Presentation Transcript

    • FS-321 Notas del curso Profesor: Rafael Barahona Paz
    • Campos Electromagnéticos Libro de texto: Roald K. Wangsness Introduction to Electrodynamics Libro de texto auxiliar: David Griffiths Otros materiales utilizados: Notebooks de Mathematica: Gradient John B. Schneider Tomado de www.wolfram.com Divergence John B. Schneider Tomado de www.wolfram.com Modelos en 3D y gráficos se hicieron utilizando “3D Studio Max”
    • Capítulo I. Vectores z  A y x Un vector puede representarse de la forma:  A = Ax x + Ay y + Az z ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 3
    • Donde x, y , z son los vectores unitarios en las direcciones de los ˆˆˆ ejes “x”, “y” y “z” respectivamente. Ax , Ay y Az son las componentes escalares del vector y  Ay A Ax x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 4
    •  El módulo de A lo encontramos usando:  A= Ax2 + A 2 + A 2 y z Vector unitario:  Un vector unitario en la dirección de A se define como:   A A a = = ˆ A Ax2 + A 2 + A z2 y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 5
    • Angulos directores: Son los ángulos que forma el vector con cada uno de los ejes z  A γ β α y x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 6
    • z  A y α Ax x De la figura se observa que: Ax = A cos α De igual forma: Ay = A cos β Az = A cos γ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 7
    • Los cosenos directores se definen como:  x = cos α  y = cos β  z = cos γ Ax Ax = A cos α →  x = A  Ay Ax A A a= = x+ y+ zz ˆ ˆ ˆ ˆ A A A A a = x x + y y + z z ˆ ˆ ˆ ˆ  2 +  2y +  2 = 1 x z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 8
    • Vector de posición: y P  r x  r = xx + y y + z z ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 9
    • Vector de posición relativa: y  R P’  P r'  r x  r = xx + y y + z z ˆ ˆ ˆ  r ' = x' x + y ' y + z ' z ˆ ˆ ˆ  R = ( x − x' ) x + ( y − y ' ) y + ( z − z ' ) z ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 10
    • Producto escalar: Sean dos vectores A y B:  A = Ax x + Ay y + Az z ˆ ˆ ˆ  B = Bx x + B y y + Bz z ˆ ˆ ˆ Entonces:  A ⋅ B = Ax B x + Ay B y + Az B z   A ⋅ B = A B cos θ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 11
    • Graficamente:  A  θ B A cos θ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 12
    • Producto escalar de vectores unitarios: x ⋅x= 1 ˆˆ x ⋅y= 0 ˆˆ x ⋅z= 0 y ⋅y= 1 ˆˆ ˆˆ y ⋅z= 0 ˆˆ z ⋅z= 1 ˆˆ Si e es un vector unitario en una dirección determinada, entonces la ˆ  componente de A en esa direccion es:  Ae = A ⋅ e ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 13
    • Algunas propiedades del producto escalar:   A ⋅B= B ⋅ A  2 A ⋅ A= A    A ⋅ B = 0 , si A ⊥ B FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 14
    • Producto vectorial: Sean dos vectores A y B:  A = Ax x + Ay y + Az z ˆ ˆ ˆ  B = Bx x + B y y + Bz z ˆ ˆ ˆ Entonces: x y z ˆ ˆ ˆ  A × B = Ax Ay Az Bx By Bz FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 15
    • Producto vectorial: x y z ˆ ˆ ˆ  A × B = Ax Ay Az Bx By Bz  A × B = ( Ay B z − Az B y ) x ... ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 16
    • Producto vectorial: x y z ˆ ˆ ˆ  A × B = Ax Ay Az Bx By Bz  A × B = ( Ay B z − Az B y ) x − ( Ax B z − Az B x ) y + ... ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 17
    • Producto vectorial: x y z ˆ ˆ ˆ  A × B = Ax Ay Az Bx By Bz  A × B = ( Ay B z − Az B y ) x − ( Ax B z − Az B x ) y + ( Ax B y − Ay B x ) z ˆ ˆ ˆ Ademas:   A × B = A B sen θ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 18
    • Producto vectorial de vectores unitarios: x ×x= 0 ˆˆ x ×y= z ˆˆˆ y ×z= x y ×y= 0 ˆˆˆ ˆˆ z ×x= y ˆˆˆ z ×z= 0 ˆˆ z ˆ y ˆ x ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 19
    • Algunas propiedades del producto vectorial:   A ×B= − B× A  A × A= 0   A × B = 0 , si A B     A × (B ×C ) = B ( A⋅C ) − C ( A⋅ B ) → Atrás del taxi FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 20
    • Campo vectorial. Velocidad del viento en un huracán  v = v x ( x, y , z ) x + v y ( x, y , z ) y + v z ( x , y , z ) z ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 21
    • Campo escalar Valor de la presión atmosférica en un huracán p = p ( x, y , z ) FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 22
    • Derivada de una función f 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 - 0.2 - 0.4  df  df =   dx  dx  derivada FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 23
    • Gradiente u = f ( x, y , z ) Potencial 4 de un dipolo z 2 0 -2 -4  0.2 du = ∇u ⋅ ds 0.1 V 0 ∇u → Gradiente de u -0.1 ∂u ∂u ∂u -0.2 ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ -4 ∂x ∂y ∂z -2 0 y 2 4 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 24
    • Gradiente de una función escalar  du = ∇u ⋅ ds ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z  ds = dx x + dy y + dz z ˆ ˆ ˆ  ∂u ∂u  ∂u  ∂x x + ∂y y + ∂z  ⋅ ( dx x + dy y + dz z ) du =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 25
    • Gradiente de una función escalar  du = ∇u ⋅ ds ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z  ds = dx x + dy y + dz z ˆ ˆ ˆ  ∂u ∂u  ∂u  ∂x x + ∂y y + ∂z  ⋅ ( dx x + dy y + dz z ) du =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ    ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 26
    • Gradiente de una función escalar  du = ∇u ⋅ ds ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z  ds = dx x + dy y + dz z ˆ ˆ ˆ  ∂u ∂u  ∂u  ∂x x + ∂y y + ∂z  ⋅ ( dx x + dy y + dz z ) du =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ    ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 27
    • Gradiente de una función escalar  du = ∇u ⋅ ds ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z  ds = dx x + dy y + dz z ˆ ˆ ˆ  ∂u ∂u  ∂u  ∂x x + ∂y y + ∂z  ⋅ ( dx x + dy y + dz z ) du =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ    ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 28
    • Gradiente de una función escalar  du = ∇u ⋅ ds ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z  ds = dx x + dy y + dz z ˆ ˆ ˆ  ∂u ∂u  ∂u  ∂x x + ∂y y + ∂z  ⋅ ( dx x + dy y + dz z ) du =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ    ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 29
    • Propiedades importantes del Gradiente • Se aplica a funciones escalares • El gradiente de una función es un vector • El gradiente apunta en la dirección de máximo cambio de la función  du = ∇u ⋅ ds = ∇u ds cos θ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 30
    • ¿ Qué información tendremos al calcular el gradiente de la presión en este caso? FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 31
    • Ejemplo no. 1 Calcular el gradiente de la función: −( x2 + y 2 ) f ( x, y ) = e ∂f ∂f ∇f = x+ y ˆ ˆ ∂x ∂y ( ) xˆ + ∂(e ) yˆ 2 2 −( x2 + y 2 ) ∂ e −( x + y ) ∇f = ∂x ∂y 2 + y2 ) 2 + y2 ) ∇f = − 2 x e − ( x x − 2 y e −( x y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 32
    • Fig . 1 1 0.75 2 0.5 1 0.25 0 -2 0 -1 -1 0 1 -2 2 −( x2 + y 2 ) f ( x, y ) = e FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 33
    • 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 + y2 ) 2 + y2 ) ∇f ( x , y ) = − 2 x e − ( x x − 2 y e −( x y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 34
    • Fig . 1 2 1.5 1 0.5 1 0.75 2 0 0.5 1 0.25 -0.5 0 -2 0 -1 -1 -1 0 -1.5 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 ∇f ( x , y ) f ( x, y ) FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 35
    • Ejemplo no. 2 Calcular el gradiente de la función: ( ) f ( x, y ) = sen x2 + y2 ∂f ∂f ∇f = x+ y ˆ ˆ ∂x ∂y ( ) ( ) ∂ 2  ∂ 2  ( ) ( ) 1 1 ∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y 2 2 2 2 y ˆ ˆ 2 2  ∂x ∂y   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 36
    • Ejemplo no. 2 Calcular el gradiente de la función: ( ) f ( x, y ) = sen x2 + y2 ∂f ∂f ∇f = x+ y ˆ ˆ ∂x ∂y ( ) ( ) ∂ 2  ∂ 2  ( ) ( ) 1 1 ∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y 2 2 2 2 y ˆ ˆ 2 2  ∂x ∂y   ( ) 1 ∇f = cos x 2 + y 2   2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 37
    • Ejemplo no. 2 Calcular el gradiente de la función: ( ) f ( x, y ) = sen x2 + y2 ∂f ∂f ∇f = x+ y ˆ ˆ ∂x ∂y ( ) ( ) ∂ 2  ∂ 2  ( ) ( ) 1 1 ∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y 2 2 2 2 y ˆ ˆ 2 2  ∂x ∂y   ( ) ( ) 1 1 − ∇f = cos x + y   x 2 + y 2 2 2 2 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 38
    • Ejemplo no. 2 Calcular el gradiente de la función: ( ) f ( x, y ) = sen x2 + y2 ∂f ∂f ∇f = x+ y ˆ ˆ ∂x ∂y ( ) ( ) ∂ 2  ∂ 2  ( ) ( ) 1 1 ∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y 2 2 2 2 y ˆ ˆ 2 2  ∂x ∂y   ( ) ( ) ( 2 x) x 1 1 − ∇f = cos x + y   x 2 + y 2 2 2 ˆ 2 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 39
    • Ejemplo no. 2 Calcular el gradiente de la función: ( ) f ( x, y ) = sen x2 + y2 ∂f ∂f ∇f = x+ y ˆ ˆ ∂x ∂y ( ) ( ) ∂ 2  ∂ 2  ( ) ( ) 1 1 ∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y 2 2 2 2 y ˆ ˆ 2 2  ∂x ∂y   ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 y) y 1 ( 2 x ) x + cos x + y  1  x 2 + y 2 1 1 − − ∇f = cos x + y   x 2 + y 2 2 2 2 2  ˆ ˆ 2 2 2 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 40
    • Ejemplo no. 2 Calcular el gradiente de la función: ( ) f ( x, y ) = sen x2 + y2 ∂f ∂f ∇f = x+ y ˆ ˆ ∂x ∂y ( ) ( ) ∂ 2  ∂ 2  ( ) ( ) 1 1 ∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y 2 2 2 2 y ˆ ˆ 2 2  ∂x ∂y   ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 y) y 1 ( 2 x ) x + cos x + y  1  x 2 + y 2 1 1 − − ∇f = cos x + y   x 2 + y 2 2 2 2 2  ˆ ˆ 2 2 2 2 x cos x 2 + y 2 y cos x 2 + y 2 ∇f = x+ y ˆ ˆ x +y x +y 2 2 2 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 41
    • 1 0.5 0 2 -0.5 0 -2 0 -2 2 ( ) f ( x, y ) = sen x2 + y2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 42
    • 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x cos x 2 + y 2 y cos x 2 + y 2 ∇f = x+ y ˆ ˆ x +y x +y 2 2 2 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 43
    • 2 1.5 1 0.5 1 0.5 0 0 2 -0.5 -0.5 0 -1 -2 -1.5 0 -2 2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ( ) x cos x 2 + y 2 y cos x 2 + y 2 f ( x, y ) = sen x +y2 2 ∇f = x+ y ˆ ˆ x +y x +y 2 2 2 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 44
    • Divergencia. Campo vectorial sin divergencia Campo vectorial con divergencia pronunciada Campo vectorial divergente FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 45
    • La divergencia calculada sobre un volumen, es diferente de cero si el Campo vectorial con divergencia número de líneas de campo que pronunciada entran al volumen no es igual al número de líneas que salen. FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 46
    • Conteo de líneas: una línea que entra al volumen la vamos a considerar negativa, si sale la consideraremos positiva FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 47
    • Lineas que entran: 1 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 48
    • Lineas que entran: 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 49
    • Lineas que entran: 3 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 50
    • Lineas que entran: 4 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 51
    • Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 1 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 52
    • Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 53
    • Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 3 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 54
    • Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 4 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 55
    • La divergencia sobre el volumen es cero. FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 56
    • La divergencia es diferente de cero, solamente si las lineas de campo nacen o mueren en el interior del volumen considerado. FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 57
    • La divergencia sobre el volumen es diferente de cero. FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 58
    • Divergencia. Consideremos una función vectorial de la forma:  A = Ax ( x, y, z ) x + Ay ( x, y, z ) y + Az ( x, y, z ) z ˆ ˆ ˆ  La divergencia de A se calcula de la siguiente manera: ∂Ay  ∂Ax ∂Az ∇⋅ A = + + ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 59
    • Propiedades importantes de la divergencia • Se aplica a funciones vectoriales • La divergencia de una función vectorial es un escalar • Cuando la divergencia calculada sobre un volumen es diferente de cero, significa que en el interior de ese volumen las líneas de campo nacen o mueren. − + FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 60
    • Ejemplo no. 1 Calcular la divergencia de la función:  F ( x, y ) = sen x x + cos y y ˆ ˆ ∂Fy  ∂Fx ∇⋅F = + ∂x ∂y  ∇ ⋅ F = cos x − sen y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 61
    • X Component Y Component 1 1 0.5 0.5 4 4 0 0 -0.5 -0.5 2 2 -1 -1 0Y 0Y -4 -4 -2 -2 -2 -2 0 0 X X 2 2 4 -4 4 -4 Y 4 3 2 1 X 0 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = sen x x + cos y y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 62
    • Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = sen x x + cos y y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 63
    • Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = sen x x + cos y y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 64
    • 2 1 4 0 -1 2 -2 0 -4 -2 -2 0 2 -4 4  ∇ ⋅ F = cos x − sen y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 65
    • Ejemplo no. 2 Calcular la divergencia de la función:  F ( x, y ) = x cos y x − sen y y ˆ ˆ ∂Fy  ∂Fx ∇⋅F = + ∂x ∂y  ∇ ⋅ F = cos y − cos y  ∇⋅F = 0 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 66
    • X Component Y Component 4 1 2 0.5 4 4 0 0 -2 -0.5 2 2 -4 -1 0Y 0Y -4 -4 -2 -2 -2 -2 0 0 X X 2 2 4 -4 4 -4 Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3-2-1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = x cos y x − sen y y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 67
    • Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = x cos y x − sen y y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 68
    • Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = x cos y x − sen y y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 69
    • Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = x cos y x − sen y y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 70
    • Ejemplo no. 3 Calcular la divergencia de la función: 2   x 2  0.5 −  y   y  −  F ( x, y ) = e x+ 4 ˆ 4  ˆ   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 71
    • Ejemplo no. 3 Calcular la divergencia de la función: 2   x 2  0.5 −  y   y  −  F ( x, y ) = e x+ 4 ˆ 4  ˆ   ∂Fy  ∂Fx ∇⋅F = + ∂x ∂y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 72
    • Ejemplo no. 3 Calcular la divergencia de la función: 2   x 2  0.5 −  y   y  −  F ( x, y ) = e x+ 4 ˆ 4  ˆ   ∂Fy  ∂Fx ∇⋅F = + ∂x ∂y  x2  −    16  ∇⋅F = e   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 73
    • Ejemplo no. 3 Calcular la divergencia de la función: 2   x 2  0.5 −  y   y  −  F ( x, y ) = e x+ 4 ˆ 4  ˆ   ∂Fy  ∂Fx ∇⋅F = + ∂x ∂y  x2  −   2x   16  ∇⋅F = e −     16  FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 74
    • Ejemplo no. 3 Calcular la divergencia de la función: 2   x 2  0.5 −  y   y  −  F ( x, y ) = e x+ 4 ˆ 4  ˆ   ∂Fy  ∂Fx ∇⋅F = + ∂x ∂y  x2  −   2 x  2y   16  ∇⋅F = e − −  16  16  FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 75
    • Ejemplo no. 3 Calcular la divergencia de la función: 2   x 2  0.5 −  y   y  −  F ( x, y ) = e x+ 4 ˆ 4  ˆ   ∂Fy  ∂Fx ∇⋅F = + ∂x ∂y  x2  −   2 x  2y   16  ∇⋅F = e − −  16  16   x2  −   x y  16  ∇⋅F = − e −  8 8 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 76
    • X Component Y Component 1 0.5 0.25 0.8 4 4 0 0.6 -0.25 2 2 0.4 -0.5 0Y 0Y -4 -4 -2 -2 -2 -2 0 0 X X 2 2 4 -4 4 -4 Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3-2-1 0 1 2 3 4 2   y  x 2  −  x +  0. 5 −    y F ( x, y ) = e 4 ˆ ˆ 4   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 77
    • Y 4 2 X 0 -2 -4 -4 -2 0 2 4 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 78
    • 0.5 4 0 2 -0.5 -4 0 -2 -2 0 2 -4 4  x2  −   x y  16  ∇⋅F = − e −  8 8 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 79
    • Rotacional. El rotacional de un campo vectorial mide la circulación del campo FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 80
    • Campos vectoriales con rotacional pronunciado FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 81
    • Campos vectoriales con rotacional pronunciado FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 82
    • Campos vectoriales con rotacional igual a cero FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 83
    • Rotacional. Consideremos una función vectorial de la forma:  A = Ax ( x, y, z ) x + Ay ( x, y, z ) y + Az ( x, y, z ) z ˆ ˆ ˆ  El rotacional de A se define como: x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ  ∂x ∂z   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 84
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 85
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 86
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 87
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 88
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 89
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 90
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 91
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 92
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 93
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 94
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 95
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 96
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 97
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 98
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 99
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 100
    • x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 101
    • Ejemplo no. 1 Calcular el rotacional de la función:  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 102
    • Ejemplo no. 1 Calcular el rotacional de la función:  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 103
    • Ejemplo no. 1 Calcular el rotacional de la función:  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 104
    • Ejemplo no. 1 Calcular el rotacional de la función:  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 105
    • Ejemplo no. 1 Calcular el rotacional de la función:  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 106
    • Ejemplo no. 1 Calcular el rotacional de la función:  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y      ∇ × F = (1 ) z ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 107
    • Ejemplo no. 1 Calcular el rotacional de la función:  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y      ∇ × F = (1 − (−1) ) z ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 108
    • Ejemplo no. 1 Calcular el rotacional de la función:  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y      ∇ × F = (1 − (−1) ) z ˆ  ∇× F = 2 z ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 109
    • Ejemplo no. 1 X Component Y Component 4 4 2 2 4 4 0 0 -2 -2 2 2 -4 -4 0Y 0Y -4 -4 -2 -2 -2 -2 0 0 X X 2 2 4 -4 4 -4 Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3-2-1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 110
    • Ejemplo no. 1 Y 4 3 2 1 X 0 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 111
    • Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 112
    • Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 113
    • Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 114
    • Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 115
    • Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 116
    • Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 117
    • Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 118
    • Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y      ∇ × F = (1) z ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 119
    • Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y      ∇ × F = (1 − (−1) ) z ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 120
    • Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y      ∇ × F = (1 − (−1) ) z ˆ  ∇× F = 2 z ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 121
    • X Component Y Component 20 20 10 4 10 4 0 0 2 2 0Y 0Y -4 -4 -2 -2 -2 -2 0 0 X X 2 2 4 -4 4 -4 Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3-2-1 0 1 2 3 4 (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 122
    • Y 4 3 2 1 X 0 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 123
    • Y 4 3 2 1 X 0 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 124
    • Y 1 0.75 0.5 0.25 X 0 -0.25 -0.5 -0.75 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 125
    • Operador Nabla ∂ ∂ ∂ ∇= x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 126
    • Operador Nabla ∂ ∂ ∂ ∇= x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z Gradiente: ∂ ∂ ∂  ∂x x + ∂y y + ∂z z  ( u )  ˆ ˆ ˆ   ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 127
    • Operador Nabla ∂ ∂ ∂ ∇= x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z Divergencia: ∂ ∂ ∂  ∂x x + ∂y y + ∂z z  • ( Ax x + Ay y + Az z )  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ   ∂Ay  ∂Ax ∂Az ∇⋅ A = + + ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 128
    • Operador Nabla ∂ ∂ ∂ ∇= x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z Rotacional: ∂ ∂ ∂  ∂x x + ∂y y + ∂z z  × ( Ax x + Ay y + Az z )  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ     ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 129
    • Laplaciano ∂2 ∂2 ∂2 ∇ 2 = ∇ ⋅∇ = 2 + 2 + ∂x ∂y ∂z 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 130
    • Laplaciano ∂2 ∂2 ∂2 ∇ 2 = ∇ ⋅∇ = 2 + 2 + ∂x ∂y ∂z 2 Cuando actúa sobre una función escalar: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∇ 2u = +2 + ∂x ∂y ∂z 2 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 131
    • Cuando actúa sobre una función vectorial: ∇ A = ∇ 2 ( Ax x + Ay y + Az z ) 2 ˆ ˆ ˆ = ∇ 2 Ax x + ∇ 2 Ay y + ∇ 2 Az z ˆ ˆ ˆ  ∂ 2 Ax  ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax  x  ∂x 2 + ∂y 2 + ˆ ∂z 2    2 ∂ 2 Ay   ∂ Ay ∂ 2 Ay  y ∇ A= 2 + +  2 ˆ ∂x ∂y 2 ∂z  2  2  ∂ Az ∂ 2 Az  ∂ 2 Az  z + + 2ˆ  ∂x 2 ∂y 2 ∂z   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 132
    • Propiedades importantes  ∇ ⋅∇× A = 0 ∇ × ∇u = 0    ∇ × ( ∇ × A) = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ A 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 133
    • Esto exclamó el Papa al firmar la bula con que furioso excomulgó a Lutero: La divergencia del rotacional es nula y el rotacional de un gradiente es siempre cero. El gran fraile Alemán invoco a Dios y exclamó con su habitual vehemencia: El rotacional del rotacional mas nabla dos da el gradiente de toda divergencia. * De Enrique Leodel Palumbo tomado de: Electrodinámica: Luis Epele, Huner Fanchiotti, Carlos García Canal. FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 134
    • Integral de línea  A   f ∫ ∫ A ⋅ ds = A ⋅ ds i C f C i FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 135
    • Integral de línea  ∫ ∫ A ds cos θ A ⋅ ds = C C  ds θ  A FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 136
    • Integral de línea  ∫ ∫ A ds cos θ A ⋅ ds = C C  ds θ  A FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 137
    • Integral de línea  ∫ ∫ A ds cos θ A ⋅ ds = C C  ds θ  A FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 138
    • Integral de línea  ∫ ∫ A ds cos θ A ⋅ ds = C C  ds θ  A FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 139
    • Integral de línea  ∫ ∫ A ds cos θ A ⋅ ds = C C  ds θ  A FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 140
    • Integral de línea  A En general:   ∫ ∫ A ⋅ ds ≠ A ⋅ ds C' C C' f C i FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 141
    • Integral de línea ∫ (A x + Ay y + Az z ) ⋅ ( dx x + dy y + dz z )  ∫ A ⋅ ds = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x C C ∫ ( A dx + Ay dy + Az dz ) = x C Al evaluar este integral debemos recordar que las coordenadas “x”, “y” y “z” están relacionadas entre sí por la ecuación de la curva.  A y dy f f i x i dx FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 142
    • Ejemplo no. 1  Calcular la integral de línea de la función v = y x + 2 x ( y + 1 ) y 2 ˆ ˆ desde el punto a(1,1,0) al punto b(2,2,0) a lo largo de las trayectoria (1) y (2) mostradas en figura. y b 2 (2) a 1 (1) x 1 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 143
    • Trayectoria 1 y b 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 (1) x 1 2 Para el tramo horizontal: y=1 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 144
    • Trayectoria 1 y b 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 (1) x 1 2 Para el tramo horizontal: y=1  v = x + 2 x (1 + 1) y = x + 4 x y ˆ ˆˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 145
    • Trayectoria 1 y b 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 (1) x 1 2 Para el tramo horizontal: y=1  v = x + 2 x (1 + 1) y = x + 4 x y ˆ ˆˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dx x ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 146
    • Trayectoria 1 y b 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 (1) x 1 2 Para el tramo horizontal: y=1  v = x + 2 x (1 + 1) y = x + 4 x y ˆ ˆˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dx x ˆ ˆ ˆ  ∫ v ⋅ ds = ∫ ( x + 4 x y ) ⋅ (dx) x ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 147
    • Trayectoria 1 y b 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 (1) x 1 2 Para el tramo horizontal: y=1  v = x + 2 x (1 + 1) y = x + 4 x y ˆ ˆˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dx x ˆ ˆ ˆ  ∫ v ⋅ ds = ∫ ( x + 4 x y ) ⋅ dx x ˆ ˆ ˆ 2 ∫ dx 1 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 148
    • Trayectoria 1 y b 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 (1) x 1 2 Para el tramo horizontal: y=1  v = x + 2 x (1 + 1) y = x + 4 x y ˆ ˆˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dx x ˆ ˆ ˆ  ∫ v ⋅ ds = ∫ ( x + 4 x y ) ⋅ dx x ˆ ˆ ˆ 2 ∫ x ⋅y= 0 dx ˆˆ 1 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 149
    • Trayectoria 1 y b 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 (1) x 1 2 Para el tramo horizontal: y=1  v = x + 2 x (1 + 1) y = x + 4 x y ˆ ˆˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dx x ˆ ˆ ˆ  ∫ v ⋅ ds = ∫ ( x + 4 x y ) ⋅ dx x ˆ ˆ ˆ 2 ∫ dx = 1 x ⋅y= 0 ˆˆ 1 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 150
    • Trayectoria 1 y b 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 (1) x 1 2 Para el tramo vertical: x=2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 151
    • Trayectoria 1 y b 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 (1) x 1 2 Para el tramo vertical: x=2  v = y 2 x + 2(2) ( y + 1 ) y = y 2 x + (4 y + 4) y ˆ ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 152
    • Trayectoria 1 y b 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 (1) x 1 2 Para el tramo vertical: x=2  v = y 2 x + 2(2) ( y + 1 ) y = y 2 x + (4 y + 4) y ˆ ˆ ˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dy y ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 153
    • Trayectoria 1 y b 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 (1) x 1 2 Para el tramo vertical: x=2  v = y 2 x + 2(2) ( y + 1 ) y = y 2 x + (4 y + 4) y ˆ ˆ ˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dy y ˆ ˆ ˆ ∫[y ]  ∫ v ⋅ ds = x + (4 y + 4) y ⋅ dy y 2 ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 154
    • Trayectoria 1 y b 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 (1) x 1 2 Para el tramo vertical: x=2  v = y 2 x + 2(2) ( y + 1 ) y = y 2 x + (4 y + 4) y ˆ ˆ ˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dy y ˆ ˆ ˆ ∫[y ]  ∫ x ⋅y= 0 v ⋅ ds = x + (4 y + 4) y ⋅ dy y 2 ˆˆ ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 155
    • Trayectoria 1 y b 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 (1) x 1 2 Para el tramo vertical: x=2  v = y 2 x + 2(2) ( y + 1 ) y = y 2 x + (4 y + 4) y ˆ ˆ ˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dy y ˆ ˆ ˆ ∫[y ]  ∫ v ⋅ ds = x + (4 y + 4) y ⋅ dy y 2 ˆ ˆ ˆ 2 ∫ (4 y + 4 ) dy 1 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 156
    • Trayectoria 1 y b 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 (1) x 1 2 Para el tramo vertical: x=2  v = y 2 x + 2(2) ( y + 1 ) y = y 2 x + (4 y + 4) y ˆ ˆ ˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dy y ˆ ˆ ˆ ∫[y ]  ∫ v ⋅ ds = x + (4 y + 4) y ⋅ dy y 2 ˆ ˆ ˆ 2 2 ∫ (4 y + 4 ) dy = 2 y 2 + 4 y 1 1 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 157
    • Trayectoria 1 y b 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 (1) x 1 2 Para el tramo vertical: x=2  v = y 2 x + 2(2) ( y + 1 ) y = y 2 x + (4 y + 4) y ˆ ˆ ˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dy y ˆ ˆ ˆ ∫[y ]  ∫ v ⋅ ds = x + (4 y + 4) y ⋅ dy y 2 ˆ ˆ ˆ 2 2 ∫ (4 y + 4 ) dy = 2 y 2 + 4 y = ( 8 + 8) − ( 2 + 4 ) = 10 1 1 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 158
    • Trayectoria 1 y b 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 (1) x 1 2     b ( 2, 2 ) ( 2 ,1) ( 2, 2 ) ∫ ∫ ∫ ∫ v ⋅ ds = v ⋅ ds = v ⋅ ds + v ⋅ ds a (1,1) (1,1) ( 2 ,1)  b ∫ v ⋅ ds = 1 + 10 = 11 a FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 159
    • Trayectoria 2 y y=x b (2) 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 x 1 2 En esta trayectoria: y=x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 160
    • Trayectoria 2 y b (2) 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 x 1 2 En esta trayectoria: y=x  v = x 2 x + 2 x ( x + 1) y = x 2 x + (2 x 2 + 2 x ) y ˆ ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 161
    • Trayectoria 2 y b (2) 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 x 1 2 En esta trayectoria: y=x  v = x 2 x + 2 x ( x + 1) y = x 2 x + (2 x 2 + 2 x ) y ˆ ˆ ˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dx x + dx y ˆ ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 162
    • Trayectoria 2 y b (2) 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 x 1 2 En esta trayectoria: y=x  v = x 2 x + 2 x ( x + 1) y = x 2 x + (2 x 2 + 2 x ) y ˆ ˆ ˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dx x + dx y ˆ ˆ ˆ ˆ ∫ [x ]  ∫ v ⋅ ds = x + ( 2 x 2 + 2 x ) y ⋅ ( dx x + dx y ) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 163
    • Trayectoria 2 y b (2) 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 x 1 2 En esta trayectoria: y=x  v = x 2 x + 2 x ( x + 1) y = x 2 x + (2 x 2 + 2 x ) y ˆ ˆ ˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dx x + dx y ˆ ˆ ˆ ˆ ∫ [x ]  ∫ v ⋅ ds = x + ( 2 x 2 + 2 x ) y ⋅ ( dx x + dx y ) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ∫ [x ] 2 dx FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 164
    • Trayectoria 2 y b (2) 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 x 1 2 En esta trayectoria: y=x  v = x 2 x + 2 x ( x + 1) y = x 2 x + (2 x 2 + 2 x ) y ˆ ˆ ˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dx x + dx y ˆ ˆ ˆ ˆ ∫ [x ]  ∫ v ⋅ ds = x + ( 2 x 2 + 2 x ) y ⋅ ( dx x + dx y ) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ∫ [x ] 2 dx FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 165
    • Trayectoria 2 y b (2) 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 x 1 2 En esta trayectoria: y=x  v = x 2 x + 2 x ( x + 1) y = x 2 x + (2 x 2 + 2 x ) y ˆ ˆ ˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dx x + dx y ˆ ˆ ˆ ˆ ∫ [x ]  ∫ v ⋅ ds = x + ( 2 x 2 + 2 x ) y ⋅ ( dx x + dx y ) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ∫ [x ] 2 dx FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 166
    • Trayectoria 2 y b (2) 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 x 1 2 En esta trayectoria: y=x  v = x 2 x + 2 x ( x + 1) y = x 2 x + (2 x 2 + 2 x ) y ˆ ˆ ˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dx x + dx y ˆ ˆ ˆ ˆ ∫ [x ]  ∫ v ⋅ ds = x + ( 2 x 2 + 2 x ) y ⋅ ( dx x + dx y ) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ∫ [x ] dx + ( 2 x 2 + 2 x ) dx 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 167
    • Trayectoria 2 y b (2) 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 x 1 2 En esta trayectoria: y=x  v = x 2 x + 2 x ( x + 1) y = x 2 x + (2 x 2 + 2 x ) y ˆ ˆ ˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dx x + dx y ˆ ˆ ˆ ˆ ∫ [x ]  ∫ v ⋅ ds = x + ( 2 x 2 + 2 x ) y ⋅ ( dx x + dx y ) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ∫ [x ]∫ 2 dx + ( 2 x + 2 x ) dx = (3 x 2 + 2 x ) dx 2 2 1 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 168
    • Trayectoria 2 y b (2) 2  v = y 2 x + 2 x ( y +1) y ˆ ˆ a 1 x 1 2 En esta trayectoria: y=x  v = x 2 x + 2 x ( x + 1) y = x 2 x + (2 x 2 + 2 x ) y ˆ ˆ ˆ ˆ  ds = dx x + dy y = dx x + dx y ˆ ˆ ˆ ˆ ∫ [x ]  ∫ v ⋅ ds = x + ( 2 x 2 + 2 x ) y ⋅ ( dx x + dx y ) 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ∫ [x ]∫ 2 22 dx + ( 2 x + 2 x ) dx = (3 x + 2 x ) dx = x + x = (12 ) − ( 2 ) = 10 2 2 2 3 1 1 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 169
    • Integral de superficie  ∫ A ⋅ da S Superficie abierta  ∫ A ⋅ da S Superficie cerrada FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 170
    • Vector de area: • Su magnitud es igual a la del area a la que representa. • Es perpendicular a la superficie. FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 171
    • Vector de area: • Su magnitud es igual a la del area a la que representa. • Es perpendicular a la superficie. • Para una superfie abierta su sentido se escoge de acuerdo a la regla de la mano derecha. FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 172
    • Vector de area: • Su magnitud es igual a la del area a la que representa. • Es perpendicular a la superficie. • Para una superfie abierta su sentido se escoge de acuerdo a la regla de la mano derecha. FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 173
    • Vector de area: • Su magnitud es igual a la del area a la que representa. • Es perpendicular a la superficie. • Para una superfie abierta su sentido se escoge de acuerdo a la regla de la mano derecha. • Para una superficie cerrada apunta hacia afuera de la superficie. FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 174
    • ¿ Como representamos mediante un vector de area una superficie irregular ? FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 175
    • ¿ Como representamos mediante un vector de area una superficie irregular ? FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 176
    • ¿ Como representamos mediante un vector de area una superficie irregular ? FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 177
    • Integral de superficie  ∫ A ⋅ da S  da  A θ  A ⋅ da = A da cos θ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 178
    • Integral de superficie  ∫ A ⋅ da S  da  A  A ⋅ da > 0  da  A ⋅ da < 0  A FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 179
    • Integral de superficie  ∫ A ⋅ da S ∫(A x + Ay y + Az z ) ⋅ ( da x x + da y y + da z z ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x ∫(A da x + Ay da y + Az da z ) x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 180
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). z 2 2 y 2 x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 181
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 1:  ∫ v ⋅ da S1 z  da = dx dy z ˆ 2  da dx dy 2 y 2 x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 182
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 1:  ∫ v ⋅ da S1 z  da = dx dy z ˆ 2   ∫ ∫∫ v ⋅ da = y ( z 2 − 3 ) dx dy da S1 2 y 2 x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 183
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 1:  ∫ v ⋅ da S1 z  da = dx dy z ˆ 2   ∫ ∫∫ v ⋅ da = y ( z 2 − 3 ) dx dy z=2 da S1 ∫ ∫ y (1) dx dy = 2 y 2 x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 184
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 1:  ∫ v ⋅ da S1 z  da = dx dy z 0 ˆ 0 2   ∫ ∫∫ v ⋅ da = y ( z 2 − 3 ) dx dy da 2 S1 y (1) dx dy =  ∫ dx   ∫ y dy  2 2 2 2 ∫∫ =  0  0     0 0 2 1 2  = [ x] 0  2 y  = ( 2) ( 2 ) = 4 2 2 y  0 2 x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 185
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 2:  ∫ v ⋅ da S2 z  da = dy dz x ˆ 2 dy dz 2  da y 2 x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 186
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 2:  ∫ v ⋅ da S2 z  da = dy dz x ˆ 2  ∫ ∫∫ v ⋅ da = 2 xz dy dz S2 2  da y 2 x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 187
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 2:  ∫ v ⋅ da S2 z  da = dy dz x ˆ 2  ∫ ∫∫ v ⋅ da = 2 xz dy dz S2 4 z dy dz = 4 ∫ dy   ∫ z dz  2 2 2 2 ∫∫ =  0  0     0 0 2  da y 2 x x=2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 188
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 2:  ∫ v ⋅ da S2 z  da = dy dz x ˆ 2  ∫ ∫∫ v ⋅ da = 2 xz dy dz S2 4 z dy dz = 4 ∫ dy   ∫ z dz  2 2 2 2 ∫∫ =  0  0     0 0 2 1 2  = 4 [ y] 0 2  2 z  = (8) ( 2 ) = 16 2  da y  0 2 x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 189
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 3:  ∫ v ⋅ da z S3  da = dy dz (− x ) ˆ 2 dz  da dy 2 y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 190
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 3:  ∫ v ⋅ da z S3  da = dy dz (− x ) ˆ 2  ∫ ∫∫ v ⋅ da = − 2 xz dy dz S3  da 2 y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 191
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 3:  ∫ v ⋅ da z S3  da = dy dz (− x ) ˆ 2  ∫ ∫∫ v ⋅ da = − 2 xz dy dz S3  da =0 x=0 2 y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 192
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 4:  ∫ v ⋅ da z S4  da = dx dz y 2 ˆ dx  da dz 2 2 x y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 193
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 4:  ∫ v ⋅ da z S4  da = dx dz y 2 ˆ  ∫ ∫∫ v ⋅ da = ( x + 2 ) dx dz S4  da 2 2 x y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 194
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 4:  ∫ v ⋅ da z S4  da = dx dz y 2 ˆ  ∫ ∫∫ v ⋅ da = ( x + 2 ) dx dz S4 =  ∫ ( x + 2 ) dx   ∫ dz  2 2 0  0      da 2 2 x y y=2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 195
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 4:  ∫ v ⋅ da z S4  da = dx dz y 2 ˆ  ∫ ∫∫ v ⋅ da = ( x + 2 ) dx dz S4 =  ∫ ( x + 2 ) dx   ∫ dz  2 2 0  0      da 2 2 1  2 =  x 2 + 2 x  [ z ] 0 = (2 + 4) ( 2 ) = 12 x 2 2 0 y y=2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 196
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 5:  ∫ v ⋅ da z S5  da = dx dz ( − y ) 2 ˆ dx y dz  da 2 x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 197
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 5:  ∫ v ⋅ da z S5  da = dx dz ( − y ) 2 ˆ  ∫ ∫ ∫ − ( x + 2 ) dx dz v ⋅ da = S5 y  da 2 x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 198
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). Cara 5:  ∫ v ⋅ da z S5  da = dx dz ( − y ) 2 ˆ  ∫ ∫ ∫ − ( x + 2 ) dx dz v ⋅ da = S5 y = − ∫ ( x + 2 ) dx   ∫ dz  2 2  da 0  0     2 1  = − x 2 − 2 x  [ z ] 0 = (−2 − 4) ( 2 ) = − 12 2 2 0 2 x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 199
    • Ejemplo no. 1  v = 2 xz x + ( x + 2 ) y + y ( z 2 − 3) z ˆ ˆ ˆ Calcular la integral de superficie de sobre los cinco lados del cubo mostrado en la figura (excluyendo la cara inferior). z  ∫ v ⋅ da = 4 + 16 + 12 − 12 = 20 2 S 2 y 2 x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 200
    • Teorema de la divergencia   ( ∇ ⋅ A ) dτ = ∫ ∫ A ⋅ da V S FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 201
    • Teorema del rotacional (Stokes)   ( ∇ × A ) ⋅ da =  ∫ ∫ A ⋅ ds S C FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 202
    • Coordenadas rectangulares z P y y x x z z y x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 203
    • Coordenadas rectangulares z P y x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 204
    • Coordenadas cilíndricas z ρ P y x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 205
    • Coordenadas cilíndricas z ρ P y ϕ x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 206
    • Coordenadas cilíndricas z z y ϕ x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 207
    • Coordenadas cilíndricas z x z ˆ ρ ˆ ϕ ˆ  A = Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 208
    • Coordenadas cilíndricas z z ˆ x ϕ ρ ⋅ ρ = ϕ ⋅ϕ = z ⋅ z = 1 ρ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ρ ⋅ϕ = ϕ ⋅ z = z ⋅ ρ = 0 ˆˆ ˆˆ ˆˆ ρ ×ϕ = z ˆˆ ˆ ϕ×z= ρ ˆˆ ˆ z×ρ =ϕ ˆˆˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 209
    • Coordenadas cilíndricas z ρ  r y ϕ x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 210
    • Coordenadas cilíndricas  r= ρρ + zz ˆ ˆ z  r= ρρ + zz ˆ ˆ  z r y ρ x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 211
    • Coordenadas cilíndricas  r= ρρ + zz ˆ ˆ x = ρ cos ϕ (1) y = ρ senϕ (2) z=z (3) y Dividiendo (2) entre (1): ϕ ρ y ρ sen ϕ = x ρ cos ϕ y x tan ϕ = x Sumando el cuadraro de (1) con el de (2): x 2 + y 2 = ρ 2 cos 2 ϕ + ρ 2 sen 2 ϕ ρ= → x2 + y2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 212
    • Coordenadas cilíndricas  r= ρρ + zz ˆ ˆ z ˆ ϕ ˆ ρ ˆ y ϕ x x ϕ ϕ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 213
    • Coordenadas cilíndricas  r= ρρ + zz ˆ ˆ ρ =ρ x x + ρ y y ˆ ˆ ˆ ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ ρ x = ρ cos ϕ = cos ϕ ˆ ρ y = ρ sen ϕ = sen ϕ ˆ ρy ρx y ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ ϕ ˆ ρ ˆ x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 214
    • Coordenadas cilíndricas  r= ρρ + zz ˆ ˆ ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ z ˆ ϕ ˆ ρ ˆ y ϕ x x ϕ ϕ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 215
    • Coordenadas cilíndricas  r= ρρ + zz ˆ ˆ ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ ϕ ϕ 90 − ϕ y x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 216
    • Coordenadas cilíndricas  r= ρρ + zz ˆ ˆ x(-) ϕ = ϕx x + ϕy y ˆ ˆ ˆ ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ ϕ x = − ϕ sen ϕ = − sen ϕ ˆ ϕx ϕ ϕy = ϕ cos ϕ = cos ϕ ˆ ˆ ϕ ϕy ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ y x(+) FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 217
    • Coordenadas cilíndricas  r= ρρ + zz ˆ ˆ ρ = cos ϕ x + sen ϕ y x(-) ˆ ˆ ˆ ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ ϕx ∂ρ ˆ =ϕ ˆ ∂ϕ ϕ ˆ ∂ρ ˆ ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ∂ϕ ˆ ∂ϕ = −ρ ˆ ∂ϕ ϕy ∂ρ ˆ =ϕ ˆ ∂ϕ y ∂ϕ ˆ = − cos ϕ x − sen ϕ y ˆ ˆ x(+) ∂ϕ ∂ϕ ˆ = −ρ ˆ ∂ϕ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 218
    • Coordenadas cilíndricas  r= ρρ + zz ˆ ˆ x = cos ϕ ρ − sen ϕ ϕ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ˆ =ϕ ˆ ϕ ∂ϕ ˆ ϕ ∂ϕ ˆ = −ρ ˆ ∂ϕ x ˆ ϕ ρ ˆ y ϕ x(+) 90 − ϕ ϕ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 219
    • Coordenadas cilíndricas  r= ρρ + zz ˆ ˆ y = sen ϕ ρ + cos ϕ ϕ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ˆ =ϕ ˆ ϕ ∂ϕ ˆ ϕ ∂ϕ ˆ y ˆ = −ρ ˆ ∂ϕ ρ ˆ y x(+) FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 220
    • Coordenadas cilíndricas  r= ρρ + zz ˆ ˆ z ∂ρ ∂ρ ˆ ˆ =ϕ =ϕ ˆ ˆ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ρ ˆ = −ρ ˆ ∂ϕ dρ = dϕ ϕ ˆ ˆ z  r y x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 221
    • Coordenadas cilíndricas  r= ρρ + zz ˆ ˆ z ∂ρ ∂ρ ˆ ˆ =ϕ =ϕ ˆ ˆ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ρ ˆ = −ρ ˆ ∂ϕ dρ = dϕ ϕ ˆ ˆ z  r y  r= ρρ + zz ˆ ˆ  dr = dρ ρ + ρ dρ + dz z ˆ ˆ ˆ x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 222
    • Coordenadas cilíndricas  r= ρρ + zz ˆ ˆ z ∂ρ ∂ρ ˆ ˆ =ϕ =ϕ ˆ ˆ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ρ ˆ = −ρ ˆ ∂ϕ dρ = dϕ ϕ ˆ ˆ z  r y  r= ρρ + zz ˆ ˆ  dr = dρ ρ + ρ dρ + dz z ˆ ˆ ˆ x  dr = dρ ρ + ρ dϕ ϕ + dz z ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 223
    • Coordenadas cilíndricas  dz dϕ dr dρ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 224
    • Coordenadas cilíndricas ρ dϕ dϕ ρ dϕ dρ ρ dϕ ρ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 225
    • Coordenadas cilíndricas ρ dϕ dτ = ( ρ dϕ ) ( dρ ) ( dz ) dz dτ = ρ dρ dϕ dz dρ z dϕ y  r x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 226
    • Coordenadas cilíndricas dz dϕ dρ   r= ρρ + zz dr ˆ ˆ dz dϕ  dr = dρ ρ + ρ dϕ ϕ + dz z ˆ ˆ ˆ dρ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 227
    • Coordenadas cilíndricas dz dϕ dρ daϕ = ± dρ dz dz ρ dϕ dρ dϕ dϕ ρ da ρ = ± ρ dϕ dz FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 228
    • Coordenadas cilíndricas dρ dz dϕ da z = ± ρ dρ dϕ ρ dϕ dϕ ρ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 229
    • Coordenadas cilíndricas Si tenemos una función escalar u = f ( ρ , ϕ , z ), entonces : ∂u ∂u ∂u dρ + dϕ + du = dz ∂ρ ∂ϕ ∂z Además :  dr = dρ ρ + ρ dϕ ϕ + dz z ˆ ˆ ˆ La definición general del gradiente dice que :  du = ∇u ⋅ dr FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 230
    • Coordenadas cilíndricas Si tenemos una función escalar u = f ( ρ , ϕ , z ), entonces : ∂u ∂u ∂u dρ + dϕ + du = dz ∂ρ ∂ϕ ∂z Además :  dr = dρ ρ + ρ dϕ ϕ + dz z ˆ ˆ ˆ La definición general del gradiente dice que :  du = ∇u ⋅ dr ∂u ∂u ∂u dz = ( ∇ ρ u ρ + ∇ ϕ u ϕ + ∇ z u z ) ⋅ ( dρ ρ + ρ dϕ ϕ + dz z ) dρ + dϕ + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ∂ϕ ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 231
    • Coordenadas cilíndricas ∂u ∂u ∂u dz = ( ∇ ρ u ρ + ∇ ϕ u ϕ + ∇ z u z ) ⋅ ( dρ ρ + ρ dϕ ϕ + dz z ) dρ + dϕ + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ∂ϕ ∂z ∂u ∂u ∂ ∇ ρ u dρ = dρ → ∇ρ u = → ∇ρ = ∂ρ ∂ρ ∂ρ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 232
    • Coordenadas cilíndricas ∂u ∂u ∂u dz = ( ∇ ρ u ρ + ∇ ϕ u ϕ + ∇ z u z ) ⋅ ( dρ ρ + ρ dϕ ϕ + dz z ) dρ + dϕ + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ∂ϕ ∂z ∂u ∂u ∂ ∇ ρ u dρ = dρ → ∇ρ u = → ∇ρ = ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂u ∂u 1∂ ∇ ϕ u ρ dϕ = dϕ → ∇ ϕ u ρ = → ∇ϕ = ∂ϕ ∂ϕ ρ ∂ϕ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 233
    • Coordenadas cilíndricas ∂u ∂u ∂u dz = ( ∇ ρ u ρ + ∇ ϕ u ϕ + ∇ z u z ) ⋅ ( dρ ρ + ρ dϕ ϕ + dz z ) dρ + dϕ + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ∂ϕ ∂z ∂u ∂u ∂ ∇ ρ u dρ = dρ → ∇ρ u = → ∇ρ = ∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂u ∂u 1∂ ∇ ϕ u ρ dϕ = dϕ → ∇ ϕ u ρ = → ∇ϕ = ∂ϕ ∂ϕ ρ ∂ϕ ∂u ∂u ∂ ∇ z u dz = dz → ∇z u = → ∇z = ∂z ∂z ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 234
    • Coordenadas cilíndricas ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z Divergencia:  ∂ ∂ 1∂ z  ⋅ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z ) ρ+ ϕ+ ∇⋅A =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z   ∂ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  + = ρ ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 235
    • Coordenadas cilíndricas ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z Divergencia:  ∂ ∂ 1∂ z  ⋅ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z ) ρ+ ϕ+ ∇⋅A =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z   ∂ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  + = ρ ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ   ∂ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z ) + 1 ϕ ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ∂ϕ  FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 236
    • Coordenadas cilíndricas ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z Divergencia:  ∂ ∂ 1∂ z  ⋅ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z ) ρ+ ϕ+ ∇⋅A =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z   ∂ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  + = ρ ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ   ∂ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z ) + 1 ϕ ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ∂ϕ  ∂  z ⋅  ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  ˆ ˆ ˆ ˆ ∂z   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 237
    • Coordenadas cilíndricas ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z Divergencia:  ∂ ∂ 1∂ z  ⋅ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z ) ρ+ ϕ+ ∇⋅A =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z   ∂ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  + = ρ ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ   ∂ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z ) + 1 ϕ ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ∂ϕ ∂ Aρ  ∂ρ ˆ ρ + Aρ ˆ ∂ρ ∂ρ ∂  z ⋅  ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  ˆ ˆ ˆ ˆ ∂z   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 238
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y Coordenadas cilíndricas ˆ ˆ ˆ ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ ∂ 1∂ ∂ z=z ˆˆ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂ϕ ∂ρ ˆ ˆ = −ρ =ϕ ˆ ˆ ∂ϕ ∂ϕ Divergencia:  ∂ ∂ 1∂ z  ⋅ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z ) ρ+ ϕ+ ∇⋅A =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z   ∂ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  + = ρ ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ   ∂ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z ) + 1 ϕ ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ∂ϕ  ∂  z ⋅  ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  ˆ ˆ ˆ ˆ ∂z   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 239
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y Coordenadas cilíndricas ˆ ˆ ˆ ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ ∂ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  + z=z  ˆˆ ∇ ⋅ A = ρ ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ ρ  ∂ϕ ∂ρ ˆ ˆ = −ρ =ϕ ˆ ˆ ∂  ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z ) + 1 ∂ϕ ∂ϕ ϕ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ∂ϕ  ∂  z ⋅  ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  ˆ ˆ ˆ ˆ ∂z    ∂ Aρ ∂ Aϕ ∂ Az   ∇ ⋅ A = ρ ⋅ ρ+ ϕ+ z + ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ∂ρ ∂ρ   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 240
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y Coordenadas cilíndricas ˆ ˆ ˆ ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ ∂ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  + z=z  ˆˆ ∇ ⋅ A = ρ ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ ρ  ∂ϕ ∂ρ ˆ ˆ = −ρ =ϕ ˆ ˆ ∂  ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z ) + 1 ∂ϕ ∂ϕ ϕ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ∂ϕ  ∂  z ⋅  ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  ˆ ˆ ˆ ˆ ∂z    ∂ Aρ ∂ Aϕ ∂ Az   ∇ ⋅ A = ρ ⋅ ρ+ ϕ+ z + ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ∂ρ ∂ρ    ∂ Aρ ∂ ρ ∂ Aϕ ∂ Az  ∂ϕ 1 ˆ ˆ ϕ ⋅ ρ + Aρ ϕ + Aϕ + + z + ˆ ˆ ˆ ˆ ρ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ  FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 241
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y Coordenadas cilíndricas ˆ ˆ ˆ ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ ∂ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  + z=z  ˆˆ ∇ ⋅ A = ρ ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ ρ  ∂ϕ ∂ρ ˆ ˆ = −ρ =ϕ ˆ ˆ ∂  ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z ) + 1 ∂ϕ ∂ϕ ϕ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ∂ϕ  ∂  z ⋅  ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  ˆ ˆ ˆ ˆ ∂z    ∂ Aρ ∂ Aϕ ∂ Az   ∇ ⋅ A = ρ ⋅ ρ+ ϕ+ z + ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ∂ρ ∂ρ    ∂ Aρ ∂ ρ ∂ Aϕ ∂ Az  ∂ϕ 1 ˆ ˆ ϕ ⋅ ρ + Aρ ϕ + Aϕ + + z + ˆ ˆ ˆ ˆ ρ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ  FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 242
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y Coordenadas cilíndricas ˆ ˆ ˆ ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ ∂ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  + z=z  ˆˆ ∇ ⋅ A = ρ ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ ρ  ∂ϕ ∂ρ ˆ ˆ = −ρ =ϕ ˆ ˆ ∂  ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z ) + 1 ∂ϕ ∂ϕ ϕ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ∂ϕ  ∂  z ⋅  ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  ˆ ˆ ˆ ˆ ∂z    ∂ Aρ ∂ Aϕ ∂ Az   ∇ ⋅ A = ρ ⋅ ρ+ ϕ+ z + ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ∂ρ ∂ρ    ∂ Aρ ∂ ρ ∂ Aϕ ∂ Az  ∂ϕ 1 ˆ ˆ ϕ ⋅ ρ + Aρ ϕ + Aϕ + + z + ˆ ˆ ˆ ˆ ρ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ   ∂ Aρ ∂ Aϕ ∂ Az  ρ+ ϕ+ z⋅ z ˆ ˆ ˆ ˆ  ∂z ∂z ∂z  FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 243
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y Coordenadas cilíndricas ˆ ˆ ˆ ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ ∂ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  + z=z  ˆˆ ∇ ⋅ A = ρ ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ ρ  ∂ϕ ∂ρ ˆ ˆ = −ρ =ϕ ˆ ˆ ∂  ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z ) + 1 ∂ϕ ∂ϕ ϕ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ∂ϕ  ∂  z ⋅  ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  ˆ ˆ ˆ ˆ ∂z    ∂ Aρ ∂ Aϕ ∂ Az   ∇ ⋅ A = ρ ⋅ ρ+ ϕ+ z + ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ∂ρ ∂ρ   −ρ ϕ ˆ ˆ  ∂ Aρ ∂ ρ ∂ Aϕ ∂ Az  ∂ϕ 1 ˆ ˆ ϕ ⋅ ρ + Aρ ϕ + Aϕ + + z + ˆ ˆ ˆ ˆ ρ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ   ∂ Aρ ∂ Aϕ ∂ Az  ρ+ ϕ+ z⋅ z ˆ ˆ ˆ ˆ ∂z ∂z ∂z   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 244
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y Coordenadas cilíndricas ˆ ˆ ˆ ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ ∂ ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  + z=z  ˆˆ ∇ ⋅ A = ρ ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ ρ  ∂ϕ ∂ρ ˆ ˆ = −ρ =ϕ ˆ ˆ ∂  ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z ) + 1 ∂ϕ ∂ϕ ϕ⋅ ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ∂ϕ  ∂  z ⋅  ( Aρ ρ + Aϕ ϕ + Az z )  ˆ ˆ ˆ ˆ ∂z    ∂ Aρ ∂ Aϕ ∂ Az   ∇ ⋅ A = ρ ⋅ ρ+ ϕ+ z + ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ∂ρ ∂ρ   −ρ ϕ ˆ ˆ  ∂ Aρ ∂ ρ ∂ Aϕ ∂ Az  ∂ϕ 1 ˆ ˆ ϕ ⋅ ρ + Aρ ϕ + Aϕ + + z + ˆ ˆ ˆ ˆ ρ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ   ∂ Aρ ∂ Aϕ ∂ Aρ 1 ∂ Aϕ ∂ Az  Aρ ∂ Az ρ+ ϕ+ z⋅ z = + + + ˆ ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂z ∂z  ∂z  FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 245
    • Coordenadas cilíndricas ∂ Aρ Aρ + + ∂ρ ρ 1 ∂ Aϕ ∂ Az + ρ ∂ϕ ∂ϕ ( ρ Aρ ) + 1 ∂ Aϕ + ∂ Az 1∂  ∇⋅ A = ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z  1 ∂ Az ∂ Aϕ  ∂ Aρ ( ρ Aϕ ) − 1 ∂ Aρ  z   1 ∂ ∂ Az  = ρ +  ϕ +  ∇× A  ρ ∂ϕ − ∂ z  ˆ  ∂z − ∂ρ ˆ ˆ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ       1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇u = 2  ρ ∂ρ   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 246
    • Coordenadas esféricas P (r , ... ) z P  r y x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 247
    • Coordenadas esféricas z P(r ,θ , ... ) P θ y x z P  r y x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 248
    • Coordenadas esféricas z P (r ,θ , ϕ ) P  r y ϕ x y ϕ x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 249
    • Coordenadas esféricas  r z  r = rr ˆ r ˆ ϕ ˆ θˆ  A = Ar r + Aθ θ + Aϕ ϕ ˆ ˆ ˆ x y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 250
    • Coordenadas esféricas z r ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ r ⋅ r = θ ⋅θ = ϕ ⋅ϕ = 1 ˆˆ ˆˆ ˆˆ r ⋅θ = θ ⋅ ϕ = ϕ ⋅ r = 0 ˆˆ ˆ r ×θ = ϕ ϕ ˆ θˆ ×ϕ = r ˆ ˆ θˆ ˆˆ ˆ ϕ ×r = θ x y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 251
    • Coordenadas esféricas r sen θ z = r cos θ r cos θ  θ r y r sen θ x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 252
    • Coordenadas esféricas y r sen θ r sen θ y x ϕ z = r cos θ x = r sen θ cos ϕ y = r sen θ sen ϕ x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 253
    • Coordenadas esféricas xϕ x2 + y2 y r= x2 + y2 + z2  θ y r tan ϕ = x y x2 + y2 tan θ = z x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 254
    • Coordenadas esféricas z r ˆ r ˆ y y x r ˆ r ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 255
    • Coordenadas esféricas z rz = cos θ ˆ r ˆ r cos θ = cos θ ˆ θ rz = cos θ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 256
    • Coordenadas esféricas z rz = cos θ ˆ r sen θ = sen θ ˆ r ˆ θ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 257
    • Coordenadas esféricas ry ˆ rz = cos θ ˆ sen θ y ϕ rx ˆ ϕ r = sen θ cos ϕ x + sen θ sen ϕ y + cos θ z ˆ ˆ ˆ ˆ x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 258
    • Coordenadas esféricas z r ˆ ˆ θ x y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 259
    • Coordenadas esféricas y ϕ ˆ θ r ˆ x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 260
    • Coordenadas esféricas z r ˆ  r ˆ θ θ y θ x r ˆ ˆ θ ϕ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 261
    • Coordenadas esféricas θ z = − sen θ ˆ z  r θ x ˆ − θ sen θ ˆ θ z = − sen θ ˆ θ ϕ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 262
    • Coordenadas esféricas θ z = − sen θ ˆ z  r ˆ θ cos θ = cos θ θ x ˆ θ ϕ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 263
    • Coordenadas esféricas θ z = − sen θ y ˆ cos θ cos θ cos ϕ ϕ cos θ sen ϕ θˆ = cos θ cos ϕ x + cos θ sen ϕ y − sen θ z ˆ ˆ ˆ x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 264
    • Coordenadas esféricas ϕ y ϕ ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 265
    • Coordenadas esféricas r = sen θ cos ϕ x + sen θ sen ϕ y + cos θ z ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ θ = cos θ cos ϕ x + cos θ sen ϕ y − sen θ z ˆ ˆ ˆ ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ  A AB = A cos θ   Si A = B entonces AB = B A B A = B cos θ θ  B ˆ x = sen θ cos ϕ r + cos θ cos ϕ θ − sen ϕ ϕ ˆ ˆ ˆ ˆ y = sen θ sen ϕ r + cos θ sen ϕ θ + cos ϕ ϕ ˆ ˆ ˆ ˆ cos θ r − sen θ θ z= ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 266
    • Coordenadas esféricas ∂r ˆ ˆ r = sen θ cos ϕ x + sen θ sen ϕ y + cos θ z =θ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂θ ˆ θ = cos θ cos ϕ x + cos θ sen ϕ y − sen θ z ˆ ˆ ˆ ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ θ Derivando respecto a ∂r ˆ ˆ = cos θ cos ϕ x + cos θ sen ϕ y − sen θ z = θ ˆ ˆ ˆ ∂θ ˆ ∂θ = − sen θ cos ϕ x − sen θ sen ϕ y − cos θ z = − r ˆ ˆ ˆ ˆ ∂θ ∂ϕˆ =0 ∂θ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 267
    • Coordenadas esféricas ∂r ˆ ˆ r = sen θ cos ϕ x + sen θ sen ϕ y + cos θ z =θ ˆ ˆ ˆ ˆ ∂θ ˆ θ = cos θ cos ϕ x + cos θ sen ϕ y − sen θ z ˆ ˆ ˆ ∂r ˆ = sen θ ϕ ˆ ∂ϕ ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ ϕ Derivando respecto a ∂r ˆ = − sen θ sen ϕ x + sen θ cos ϕ y = sen θ ϕ ˆ ˆ ˆ ∂ϕ ˆ ∂θ = − cos θ sen ϕ x + cos θ cos ϕ y = cos θ ϕ ˆ ˆ ˆ ∂ϕ ∂ϕ ˆ ˆ = − cos ϕ x − sen ϕ y = − sen θ r − cos θ θ ˆ ˆ ˆ ∂ϕ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 268
    • Coordenadas esféricas  r = rr ˆ ∂r z ˆ ˆ =θ ∂θ r ˆ ∂r ˆ  = sen θ ϕ ˆ d r = d(r r ) ∂ϕ ˆ  r  d r = r d r + r dr ˆ ˆ y ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u x dθ + dϕ du = dr + ∂θ ∂ϕ ∂r r = sen θ cos ϕ x + sen θ sen ϕ y + cos θ z ˆ ˆ ˆ ˆ ∂r ∂r ∂r ˆ ˆ ˆ  dθ + dϕ ˆ d r = r dr + r ( dθ θ + sen θ dϕ ϕ ) dr = dr + ˆ ˆ ˆ ∂θ ∂ϕ ∂r  ˆ d r = dr r + r dθ θ + r sen θ dϕ ϕ ˆ ˆ d r = θ dθ + sen θ ϕ dϕ ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 269
    • Coordenadas esféricas z dϕ  r y x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 270
    • Coordenadas esféricas r sen θ  r θ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 271
    • Coordenadas esféricas dϕ r sen θ r sen θ dϕ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 272
    • Coordenadas esféricas θ dθ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 273
    • Coordenadas esféricas r dθ  r dθ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 274
    • Coordenadas esféricas FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 275
    • Coordenadas esféricas z y ϕ ϕ ˆ ˆ  r  θ r ˆ x x y Vista frontal Vista superior z z r ˆ   r θ y y x x Vista lateral FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 276
    • Coordenadas esféricas r dθ r sen θ dϕ r sen θ dϕ dτ = ( r sen θ dϕ ) ( r dθ ) ( dr ) r dθ dτ = r 2 sen θ dr dϕ dθ dr FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 277
    • Coordenadas esféricas r sen θ dϕ r dθ dr daθ = ± r sen θ dr dϕ daϕ = ± r dr dθ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 278
    • Coordenadas esféricas r sen θ dϕ r dθ dr da r = ± r sen θ dθ dϕ 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 279
    • Coordenadas esféricas Si tenemos una función escalar u = f (r , θ , ϕ ), entonces : ∂u ∂u ∂u dθ + dϕ du = dr + ∂θ ∂ϕ ∂r Además :  ˆ d r = dr r + r dθ θ + r sen θ dϕ ϕ ˆ ˆ La definición general del gradiente dice que :  du = ∇u ⋅ dr ∂u ∂u ∂u dθ + dϕ = dr + ∂θ ∂ϕ ∂r ( ∇ u rˆ + ∇ u θ + ∇ ϕ u ϕ ) ⋅ ( dr r + r dθ θ + r sen θ dϕ ϕ ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ θ r FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 280
    • Coordenadas esféricas ∂u ∂u ∂u dϕ = ( ∇ r u r + ∇ θ u θ + ∇ ϕ u ϕ ) ⋅ ( dr r + r dθ θ + r sen θ dϕ ϕ ) ˆ ˆ dθ + dr + ˆ ˆ ˆ ˆ ∂θ ∂ϕ ∂r ∂u ∂u ∂ ∇ r u dr = dr → ∇r u = → ∇r = ∂r ∂r ∂r FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 281
    • Coordenadas esféricas ∂u ∂u ∂u dϕ = ( ∇ r u r + ∇ θ u θ + ∇ ϕ u ϕ ) ⋅ ( dr r + r dθ θ + r sen θ dϕ ϕ ) ˆ ˆ dθ + dr + ˆ ˆ ˆ ˆ ∂θ ∂ϕ ∂r ∂u ∂u ∂ ∇ r u dr = dr → ∇r u = → ∇r = ∂r ∂r ∂r ∂u ∂u 1∂ ∇ θ u r dθ = dθ → ∇ θ u r = → ∇θ = ∂θ ∂θ r ∂θ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 282
    • Coordenadas esféricas ∂u ∂u ∂u dϕ = ( ∇ r u r + ∇ θ u θ + ∇ ϕ u ϕ ) ⋅ ( dr r + r dθ θ + r sen θ dϕ ϕ ) ˆ ˆ dθ + dr + ˆ ˆ ˆ ˆ ∂θ ∂ϕ ∂r ∂u ∂u ∂ ∇ r u dr = dr → ∇r u = → ∇r = ∂r ∂r ∂r ∂u ∂u 1∂ ∇ θ u r dθ = dθ → ∇ θ u r = → ∇θ = ∂θ ∂θ r ∂θ ∂u 1 ∂u ∂ 1 ∇ ϕ u r sen θ dϕ = dϕ → ∇ ϕ u = → ∇ϕ = ∂ϕ r sen θ ∂ ϕ r sen θ ∂ ϕ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 283
    • Coordenadas esféricas ∂ 1∂ ˆ ∂ 1 θ+ ϕ ∇= r+ ˆ ˆ r ∂θ r sen θ ∂ ϕ ∂r 1 ∂ Aϕ 1∂ 2 ∂ ( )  1 ( sen θ Aθ ) + ∇⋅ A =2 r Ar + r sen θ ∂ θ r sen θ ∂ ϕ r ∂r ∂  1  1 ∂ Ar ( r Aϕ )  ϕ ( senθ Aϕ ) − ∂ Aθ ∂  1 ∇× A = r+  − ˆ  ˆ r sen θ ∂ ϕ ∂θ r sen θ ∂ϕ ∂r     1 ∂ ∂ Ar  ( r Aθ ) − ϕ + ˆ ∂θ  r  ∂r  1 ∂  2 ∂u  ∂ ∂u  ∂2 u 1 1 r  ∂ r  + r 2 sen θ ∂ θ  sen θ ∂ θ  + r 2 sen 2 θ ∂ ϕ 2 ∇u = 2 2    r ∂r     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 284
    • Yo si entiendo la teoría, sólo que no puedo resolver los problemas. Tomado de: Campos electromagneticos, Roald Wangsness FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 285
    • Problemas FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 286
    • Problema no. 8 Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u. FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 287
    • Problema no. 8 Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u. u = xy ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 288
    • Problema no. 8 Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u. u = xy ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z ∇u = y x + x y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 289
    • Problema no. 8 Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u. u = xy ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z ∇u = y x + x y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 290
    • Problema no. 8 Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u. u = xy ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z ∇u = y x + x y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 291
    • Problema no. 8 Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u. u = xy ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z ∇u = y x + x y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 292
    • Problema no. 8 Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u. ∇u = y x + x y ˆ ˆ  b. Dado el vector: A = 3 x + 2 y + 4 z ˆ ˆ ˆ Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2  Ae = A ⋅ e ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 293
    • Problema no. 8 Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u. ∇u = y x + x y ˆ ˆ  b. Dado el vector: A = 3 x + 2 y + 4 z ˆ ˆ ˆ Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2  Ae = A ⋅ e ˆ yx+ xy ˆ ˆ e= ˆ x2 + y2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 294
    • Problema no. 8 Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u. ∇u = y x + x y ˆ ˆ  b. Dado el vector: A = 3 x + 2 y + 4 z ˆ ˆ ˆ Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2  Ae = A ⋅ e ˆ yx+ xy ˆ ˆ e= ˆ x2 + y2  y x + x y ˆ ˆ Ae = ( 3 x + 2 y + 4 z ) ⋅  ˆ ˆ ˆ  x2 + y2    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 295
    • Problema no. 8 Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u. ∇u = y x + x y ˆ ˆ  b. Dado el vector: A = 3 x + 2 y + 4 z ˆ ˆ ˆ Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2  3y 2x Ae = A ⋅ e ˆ Ae = + x2 + y2 x2 + y2 yx+ xy ˆ ˆ e= ˆ x2 + y2  y x + x y ˆ ˆ Ae = ( 3 x + 2 y + 4 z ) ⋅  ˆ ˆ ˆ  x2 + y2    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 296
    • Problema no. 8 Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u. ∇u = y x + x y ˆ ˆ  b. Dado el vector: A = 3 x + 2 y + 4 z ˆ ˆ ˆ Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2  3y 2x Ae = A ⋅ e ˆ Ae = + x2 + y2 x2 + y2 yx+ xy ˆ ˆ e= ˆ x2 + y2  y x + x y ˆ ˆ Ae = ( 3 x + 2 y + 4 z ) ⋅  ˆ ˆ ˆ  x2 + y2    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 297
    • Problema no. 8 Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u. ∇u = y x + x y ˆ ˆ  b. Dado el vector: A = 3 x + 2 y + 4 z ˆ ˆ ˆ Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2  3y 2x Ae = A ⋅ e ˆ Ae = + x2 + y2 x2 + y2 yx+ xy ˆ ˆ e= 3 ˆ u = x y → 3 = (2) y → y = x +y 2 2 2  y x + x y ˆ ˆ Ae = ( 3 x + 2 y + 4 z ) ⋅  ˆ ˆ ˆ  x2 + y2    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 298
    • Problema no. 8 Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u. ∇u = y x + x y ˆ ˆ  b. Dado el vector: A = 3 x + 2 y + 4 z ˆ ˆ ˆ Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2  3y 2x Ae = A ⋅ e ˆ Ae = + x2 + y2 x2 + y2 yx+ xy ˆ ˆ e= 3 ˆ u = x y → 3 = (2) y → y = x +y 2 2 2  y x + x y Sustituyendo x = 2, y = 1.5: ˆ ˆ Ae = ( 3 x + 2 y + 4 z ) ⋅  ˆ ˆ ˆ  x2 + y2    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 299
    • Problema no. 8 Una familia de hipérbolas sobre el plano xy está dada por u = xy. a. Encontrar el gradiente de u. ∇u = y x + x y ˆ ˆ  b. Dado el vector: A = 3 x + 2 y + 4 z ˆ ˆ ˆ Encontrar la componente de A, en la dirección del gradiente de u, en el punto sobre la curva para la cual u = 3 y en el que x = 2  3y 2x Ae = A ⋅ e ˆ Ae = + x2 + y2 x2 + y2 yx+ xy ˆ ˆ e= 3 ˆ u = x y → 3 = (2) y → y = x +y 2 2 2  y x + x y Sustituyendo x = 2, y = 1.5: ˆ ˆ Ae = ( 3 x + 2 y + 4 z ) ⋅  ˆ ˆ ˆ  x2 + y2  Ae = 3.40   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 300
    • Problema no. 9 x2 y2 z2 u= 2 + 2 + 2 La ecuación de una familia de elipsoides es: a b c Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides. FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 301
    • Problema no. 9 x2 y2 z2 u= 2 + 2 + 2 La ecuación de una familia de elipsoides es: a b c Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides. ∇u n= ˆ ∇u FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 302
    • Problema no. 9 x2 y2 z2 u= 2 + 2 + 2 La ecuación de una familia de elipsoides es: a b c Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides. ∇u n= ˆ ∇u ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 303
    • Problema no. 9 x2 y2 z2 u= 2 + 2 + 2 La ecuación de una familia de elipsoides es: a b c Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides. ∇u n= ˆ ∇u ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z 2x 2y 2z ∇u = x+ 2 y + 2 z ˆ ˆ ˆ a2 b c FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 304
    • Problema no. 9 x2 y2 z2 u= 2 + 2 + 2 La ecuación de una familia de elipsoides es: a b c Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides. ∇u n= ˆ ∇u ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z 2x 2y 2z ∇u = x+ 2 y + 2 z ˆ ˆ ˆ a2 b c FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 305
    • Problema no. 9 x2 y2 z2 u= 2 + 2 + 2 La ecuación de una familia de elipsoides es: a b c Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides. ∇u n= ˆ ∇u ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z 2x 2y 2z ∇u = x+ 2 y + 2 z ˆ ˆ ˆ a2 b c FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 306
    • Problema no. 9 x2 y2 z2 u= 2 + 2 + 2 La ecuación de una familia de elipsoides es: a b c Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides. ∇u n= ˆ ∇u ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z 2x 2y 2z ∇u = x+ 2 y + 2 z ˆ ˆ ˆ a2 b c 4x 2 4 y 2 4z 2 ∇u = +4+ 4 4 a b c 1  x z 2 2 2 y 2 ∇u = 2  4 + 4 + 4  a c b   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 307
    • Problema no. 9 x2 y2 z2 u= 2 + 2 + 2 La ecuación de una familia de elipsoides es: a b c Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides.  − 1 z   1  x2 z2  2  y2 x y ∇u n = 2 2 x + 2 y + 2 z    4 + 4 + 4   ˆ ˆ ˆ ˆ n= ˆ c   2 a  a b b c  ∇u   ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z 2x 2y 2z ∇u = x+ 2 y + 2 z ˆ ˆ ˆ a2 b c 4x 2 4 y 2 4z 2 ∇u = +4+ 4 4 a b c 1  x z 2 2 2 y 2 ∇u = 2  4 + 4 + 4  a c b   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 308
    • Problema no. 9 x2 y2 z2 u= 2 + 2 + 2 La ecuación de una familia de elipsoides es: a b c Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides.  − 1 z   1  x2 z2  2  y2 x y ∇u n = 2 2 x + 2 y + 2 z    4 + 4 + 4   ˆ ˆ ˆ ˆ n= ˆ c   2 a  a b b c  ∇u   ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z 2x 2y 2z ∇u = x+ 2 y + 2 z ˆ ˆ ˆ a2 b c 4x 2 4 y 2 4z 2 ∇u = +4+ 4 4 a b c 1  x z 2 2 2 y 2 ∇u = 2  4 + 4 + 4  a c b   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 309
    • Problema no. 9 x2 y2 z2 u= 2 + 2 + 2 La ecuación de una familia de elipsoides es: a b c Encontrar el vector unitario normal a cada punto de la superficie de estas elipsoides.  − 1 z   1  x2 z2  2  y2 x y ∇u n = 2 2 x + 2 y + 2 z    4 + 4 + 4   ˆ ˆ ˆ ˆ n= ˆ c   2 a  a b b c  ∇u   ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z  1 −  z   x2 y2 z2  x y  2 n=  2 x+ 2 y + 2 z 4 + 4 + 4 ˆ ˆ ˆ ˆ 2x 2y 2z c ∇u = x+ 2 y + 2 z a c  a b b ˆ ˆ ˆ  a2 b c 4x 2 4 y 2 4z 2 ∇u = +4+ 4 4 a b c x2 y2 z2 ∇u = 2 +4+4 4 a b c FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 310
    • Problema no. 12 Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen. FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 311
    • Problema no. 12 Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.  ∫ A ⋅ da S  ∫ r ⋅ da S  r FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 312
    • Problema no. 12 Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.  ∫ A ⋅ da S  ∫  r ⋅ da r = rr ˆ S z r ˆ  r ϕ ˆ θˆ x y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 313
    • Problema no. 12 Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.  ∫ A ⋅ da S  ∫ r ⋅ da  r = rr ˆ S r sen θ dϕ  da = r 2 sen θ dθ dϕ r ˆ r dθ dr FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 314
    • Problema no. 12 Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.  ∫ A ⋅ da S  ∫ r ⋅ da  r = rr ˆ S ( r r ) ⋅ ( r 2 sen θ dθ dϕ r ) ∫S ˆ ˆ  da = r 2 sen θ dθ dϕ r ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 315
    • Problema no. 12 Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.  ∫ A ⋅ da S  ∫ r ⋅ da S ( r r ) ⋅ ( r 2 sen θ dθ dϕ r ) ∫S ˆ ˆ ∫ (r ) sen θ dθ dϕ 3 S FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 316
    • Problema no. 12 Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.  ∫ A ⋅ da z S  ∫ r ⋅ da S P ( r r ) ⋅ ( r 2 sen θ dθ dϕ r ) θ ∫S ˆ ˆ ∫ (r ) sen θ dθ dϕ 3 S y x  π sen θ dθ  dϕ 2π a3 ∫  ∫0    0 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 317
    • Problema no. 12 Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen. z  ∫ A ⋅ da S  ∫ r ⋅ da S P ( r r ) ⋅ ( r 2 sen θ dθ dϕ r )  ∫S ˆ r ˆ ∫ (r ) sen θ dθ dϕ 3 y ϕ S  π sen θ dθ  dϕ 2π a3 ∫  ∫0    0 x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 318
    • Problema no. 12 Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.  ∫ A ⋅ da S  ∫ r ⋅ da S ( r r ) ⋅ ( r 2 sen θ dθ dϕ r ) ∫S ˆ ˆ ∫ (r ) y sen θ dθ dϕ 3 ϕ S  π sen θ dθ  dϕ 2π a3 ∫  ∫0    0 x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 319
    • Problema no. 12 Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.  ∫ A ⋅ da S  ∫ r ⋅ da S ( r r ) ⋅ ( r 2 sen θ dθ dϕ r ) ∫S ˆ ˆ ∫ (r ) sen θ dθ dϕ 3 S  π sen θ dθ  dϕ 2π = a3 ∫  ∫0    0 ∫ [ − cos θ ] dϕ 2π π =a 3 0 0 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 320
    • Problema no. 12 Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.  ∫ [ − 1 −1] dϕ A ⋅ da 2π = − a3 ∫ S 0  ∫ r ⋅ da S ( r r ) ⋅ ( r 2 sen θ dθ dϕ r ) ∫S ˆ ˆ ∫ (r ) sen θ dθ dϕ 3 S  π sen θ dθ  dϕ 2π = a3 ∫  ∫0    0 ∫ [ − cos θ ] dϕ 2π π =a 3 0 0 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 321
    • Problema no. 12 Encontrar la integral de superficie de r sobre la superficie de una esfera de radio “a” y centro en el origen.  ∫ [ − 1 −1] dϕ A ⋅ da 2π = − a3 ∫ S 0  ∫ r ⋅ da 2π = 2 a3 ∫ dϕ S 0 ( r r ) ⋅ ( r 2 sen θ dθ dϕ r ) ∫S ˆ ˆ = 2 a 3 ( 2π ) ∫ (r ) sen θ dθ dϕ 3 S = 4π a 3  π sen θ dθ  dϕ 2π = a3 ∫  ∫0    0 ∫ [ − cos θ ] dϕ 2π π =a 3 0 0 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 322
    • Problema no. 12 b. Encontrar tambien la integral de volumen de la divergencia de r y comparar resultados FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 323
    • Problema no. 12 b. Encontrar tambien la integral de volumen de la divergencia de r y comparar resultados  r = rr ˆ ∂ Aϕ 1∂ 2 ∂ ( )  1 ( sen θ Aθ ) + 1 ∇⋅ A = r Ar + r sen θ ∂ θ r sen θ ∂ ϕ r2 ∂r FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 324
    • Problema no. 12 b. Encontrar tambien la integral de volumen de la divergencia de r y comparar resultados  r = rr ˆ ∂ Aϕ 1∂ 2 ∂ ( )  1 ( sen θ Aθ ) + 1 ∇⋅ A = r Ar + r sen θ ∂ θ r sen θ ∂ ϕ r2 ∂r ∂ Aϕ 1∂ 2 ∂ ( ) 1 ( sen θ Aθ ) + 1  ∇⋅r = rr+ r sen θ ∂ θ r sen θ ∂ ϕ r2 ∂r FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 325
    • Problema no. 12 b. Encontrar tambien la integral de volumen de la divergencia de r y comparar resultados  r = rr ˆ ∂ Aϕ 1∂ 2 ∂ ( )  1 ( sen θ Aθ ) + 1 ∇⋅ A = r Ar + r sen θ ∂ θ r sen θ ∂ ϕ r2 ∂r ∂ Aϕ 1∂ 2 ∂ ( ) 1 ( sen θ Aθ ) + 1  ∇⋅r = rr+ r sen θ ∂ θ r sen θ ∂ ϕ r2 ∂r ( ) 1  ∇⋅r = =3 3r 2 r2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 326
    • Problema no. 12 b. Encontrar tambien la integral de volumen de la divergencia de r y comparar resultados  r = rr ˆ ∂ Aϕ 1∂ 2 ∂ ( )  1 ( sen θ Aθ ) + 1 ∇⋅ A = r Ar + r sen θ ∂ θ r sen θ ∂ ϕ r2 ∂r ∂ Aϕ 1∂ 2 ∂ ( ) 1 ( sen θ Aθ ) + 1  ∇⋅r = rr+ r sen θ ∂ θ r sen θ ∂ ϕ r2 ∂r ( ) 1  ∇⋅r = =3 3r 2 r2 4  ∫ ∫ (3) dτ = 3 ∫ dτ = 3 ( π r 3 ) = 4 π r 3 ( ∇ ⋅ r ) dτ = 3 v v v FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 327
    • Problema no. 12 b. Encontrar tambien la integral de volumen de la divergencia de r y comparar resultados  r = rr ˆ ∂ Aϕ 1∂ 2 ∂ ( )  1 ( sen θ Aθ ) + 1 ∇⋅ A = r Ar + r sen θ ∂ θ r sen θ ∂ ϕ r2 ∂r ∂ Aϕ 1∂ 2 ∂ ( ) 1 ( sen θ Aθ ) + 1  ∇⋅r = rr+ r sen θ ∂ θ r sen θ ∂ ϕ r2 ∂r ( ) 1  ∇⋅r = =3 3r 2 r2 4  ∫ ∫ (3) dτ = 3 ∫ dτ = 3 ( π r 3 ) = 4 π r 3 ( ∇ ⋅ r ) dτ = 3 v v v = 4π a 3 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 328
    • Problema no. 12 b. Encontrar tambien la integral de volumen de la divergencia de r y comparar resultados se comprueba que :   ( ∇ ⋅ A ) dτ = ∫ ∫ A ⋅ da V S FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 329
    • Problema no. 13  A = xy x + yz y + zx z ˆ ˆ ˆ Dado el campo vectorial: Evaluar el flujo de A a través de la superficie de un paralelopípedo rectangular de lados a,b,c con el origen en uno de los vértices y las aristas a lo largo de las direcciones positivas de los ejes rectangulares. Cara 1: z   ∫ da A ⋅ da c c1  da = dx dy z ˆ b  ∫ A ⋅ da = ∫ ∫ a y ( z x ) dx dy c1 x  a x dx  dy b = z∫  ∫0    0 1 2  1 b = c∫ a  dy = a 2 b c 2  2  0 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 330
    • Problema no. 13  A = xy x + yz y + zx z ˆ ˆ ˆ Dado el campo vectorial: Evaluar el flujo de A a través de la superficie de un paralelopípedo rectangular de lados a,b,c con el origen en uno de los vértices y las aristas a lo largo de las direcciones positivas de los ejes rectangulares. Cara 2:  ∫ A ⋅ da c2 z y  da = − dx dy z x ˆ z=0 a b  ∫ A ⋅ da = − ∫ ∫ ( z x ) dx dy  da c2 = 0 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 331
    • Problema no. 13  A = xy x + yz y + zx z ˆ ˆ ˆ Dado el campo vectorial: Evaluar el flujo de A a través de la superficie de un paralelopípedo rectangular de lados a,b,c con el origen en uno de los vértices y las aristas a lo largo de las direcciones positivas de los ejes rectangulares. Cara 3: z  ∫ A ⋅ da c3 c  da = dy dz x ˆ  da  b ∫ ∫∫ A ⋅ da = a ( x y ) dy dz y c3 x  b y dy  dz c = x∫  ∫0    0 1  1 c = a ∫  b 2  dy = a b 2 c 2  2 0 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 332
    • Problema no. 13  A = xy x + yz y + zx z ˆ ˆ ˆ Dado el campo vectorial: Evaluar el flujo de A a través de la superficie de un paralelopípedo rectangular de lados a,b,c con el origen en uno de los vértices y las aristas a lo largo de las direcciones positivas de los ejes rectangulares. Cara 4: z  ∫ A ⋅ da c4  da = − dy dz x ˆ x x=0 c  ∫ A ⋅ da = − ∫ ∫ ( x y ) dy dz  da c4 b y = 0 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 333
    • Problema no. 13  A = xy x + yz y + zx z ˆ ˆ ˆ Dado el campo vectorial: Evaluar el flujo de A a través de la superficie de un paralelopípedo rectangular de lados a,b,c con el origen en uno de los vértices y las aristas a lo largo de las direcciones positivas de los ejes rectangulares. Cara 5:  ∫ A ⋅ da z c5  da = dx dz y ˆ c  ∫ ∫∫ A ⋅ da = ( y z ) dx dz b c5  da  c z dz  dx a a y = y∫  ∫0    0 x 1  1 a = b ∫  c 2  dx = a b c 2 2  2 0 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 334
    • Problema no. 13  A = xy x + yz y + zx z ˆ ˆ ˆ Dado el campo vectorial: Evaluar el flujo de A a través de la superficie de un paralelopípedo rectangular de lados a,b,c con el origen en uno de los vértices y las aristas a lo largo de las direcciones positivas de los ejes rectangulares. Cara 6: z  ∫ A ⋅ da c6 y  da = − dx dz y ˆ c y=0  ∫ A ⋅ da = − ∫ ∫ ( y z ) dx dz  c6 da a x = 0 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 335
    • Problema no. 13  A = xy x + yz y + zx z ˆ ˆ ˆ Dado el campo vectorial: Evaluar el flujo de A a través de la superficie de un paralelopípedo rectangular de lados a,b,c con el origen en uno de los vértices y las aristas a lo largo de las direcciones positivas de los ejes rectangulares.  1 1 1 ∫ A ⋅ da = a 2 b c + a b 2 c + a b c 2 2 2 2 1 ( a b c )( a + b + c ) = 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 336
    • Problema no. 13  (∇⋅ A) dτ ∫ Evaluar: Sobre el volumen del paralelopípedo V  A = xy x + yz y + zx z ˆ ˆ ˆ ∂Ay  ∂Ax ∂Az ∇⋅ A = + + ∂x ∂y ∂z c  ∇⋅ A = y + z + x b a FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 337
    • Problema no. 13  (∇⋅ A) dτ ∫ Evaluar: Sobre el volumen del paralelopípedo V  A = xy x + yz y + zx z ˆ ˆ ˆ ∂Ay  ∂Ax ∂Az ∇⋅ A = + + ∂x ∂y ∂z c  ∇⋅ A = y + z + x b a  (∇⋅ A) dτ = ∫ ( x + y + z ) dτ ; ∫ dτ = dx dy dz V V FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 338
    • Problema no. 13  (∇⋅ A) dτ ∫ Evaluar: Sobre el volumen del paralelopípedo V  A = xy x + yz y + zx z ˆ ˆ ˆ ∂Ay  ∂Ax ∂Az ∇⋅ A = + + ∂x ∂y ∂z c  ∇⋅ A = y + z + x b a  (∇⋅ A) dτ = ∫ ( x + y + z ) dτ ; ∫ dτ = dx dy dz V V ∫ ∫ ∫ ( x + y + z ) dx dy dz c b a 0 0 0 c b a c b a c b a ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ = x dx dy dz + y dx dy dz + z dx dy dz 0 00 0 00 0 00 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 339
    • Problema no. 13  (∇⋅ A) dτ ∫ Evaluar: Sobre el volumen del paralelopípedo V  A = xy x + yz y + zx z ˆ ˆ ˆ ∂Ay  ∂Ax ∂Az ∇⋅ A = + + ∂x ∂y ∂z c  ∇⋅ A = y + z + x b a  (∇⋅ A) dτ = ∫ ( x + y + z ) dτ ; ∫ dτ = dx dy dz V V ∫ ∫ ∫ ( x + y + z ) dx dy dz c b a 0 0 0 c b a c b a c b a ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ = x dx dy dz + y dx dy dz + z dx dy dz 0 00 0 00 0 00 12 1 1 1 ( a b c )( a + b + c ) = a b c + a b2 c + a b c2 = 2 2 2 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 340
    • Problema no. 23  A = 4 r +3θ − 2ϕ ˆ Dado el vector: ˆ ˆ Encontrar su integral de línea sobre la trayectoria mostrada. y r0 x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 341
    • Problema no. 23  A = 4 r +3θ − 2ϕ ˆ Dado el vector: ˆ ˆ Encontrar su integral de línea sobre la trayectoria mostrada. Tramo 1: y  ds = dr r ˆ ∫ ( 4 rˆ + 3 θˆ − 2 ϕ ) ⋅ dr rˆ  r0 ∫ A ⋅ ds = ˆ x r0 ∫ 4 dr = 4 r0 0 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 342
    • Problema no. 23  A = 4 r +3θ − 2ϕ ˆ Dado el vector: ˆ ˆ Encontrar su integral de línea sobre la trayectoria mostrada. Tramo 2: y  ds = r dϕ ϕ ˆ ∫ ( 4 rˆ + 3 θˆ − 2 ϕ ) ⋅ ( r dϕ ϕ )  r0 ∫ A ⋅ ds = ˆ ˆ x π  π /2 ∫ − 2 r dϕ = − 2   r0 = − π r0 2 0 ϕ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 343
    • Problema no. 23  A = 4 r +3θ − 2ϕ ˆ Dado el vector: ˆ ˆ Encontrar su integral de línea sobre la trayectoria mostrada. Tramo 3: y  ds = − dr r ˆ ∫ ( 4 rˆ + 3 θˆ − 2 ϕ ) ⋅ ( − dr rˆ )  r0 ∫ A ⋅ ds = ˆ x r0 − ∫ 4 dr = − 4 r0 0  ∫ A ⋅ ds = 4 r0 − π r0 − 4 r0 = − π r0 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 344
    • Problema no. 18 Comprobar que en coordenadas cilíndricas: 1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= 2  ρ ∂ρ   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 345
    • Problema no. 18 Comprobar que en coordenadas cilíndricas: 1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= 2  ρ ∂ρ   ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂ ∂   ∂u ∂u  1 ∂u 1∂ ρ+ ϕ+ ρ+ ϕ+ ∇ 2u = ∇ ⋅ ∇ u =  z  • z ∂ρ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ∂z  ρ ∂ϕ ∂z  ∂ρ ρ ∂ϕ   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 346
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ Problema no. 18 ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ Comprobar que en coordenadas cilíndricas: z=z ˆˆ 1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ∂ϕ ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= ∂ρ 2 ˆ ˆ  = −ρ =ϕ ρ ∂ρ  ˆ ˆ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂ ∂   ∂u ∂u  1 ∂u 1∂ ρ+ ϕ+ ρ+ ϕ+ ∇ 2u = ∇ ⋅ ∇ u =  z  • z ∂ρ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ∂z  ρ ∂ϕ ∂z  ∂ρ ρ ∂ϕ   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 347
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ Problema no. 18 ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ Comprobar que en coordenadas cilíndricas: z=z ˆˆ 1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ∂ϕ ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= ∂ρ 2 ˆ ˆ  = −ρ =ϕ ρ ∂ρ  ˆ ˆ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂ ∂   ∂u ∂u  1 ∂u 1∂ ρ+ ϕ+ ρ+ ϕ+ ∇ 2u = ∇ ⋅ ∇ u =  z  • z ∂ρ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ∂z  ρ ∂ϕ ∂z  ∂ρ ρ ∂ϕ   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 348
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ Problema no. 18 ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ Comprobar que en coordenadas cilíndricas: z=z ˆˆ 1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ∂ϕ ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= ∂ρ 2 ˆ ˆ  = −ρ =ϕ ρ ∂ρ  ˆ ˆ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂ ∂   ∂u ∂u  1 ∂u 1∂ ρ+ ϕ+ ρ+ ϕ+ ∇ 2u = ∇ ⋅ ∇ u =  z  • z ∂ρ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ∂z  ρ ∂ϕ ∂z  ∂ρ ρ ∂ϕ   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 349
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ Problema no. 18 ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ Comprobar que en coordenadas cilíndricas: z=z ˆˆ 1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ∂ϕ ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= ∂ρ 2 ˆ ˆ  = −ρ =ϕ ρ ∂ρ  ˆ ˆ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂ ∂   ∂u ∂u  1 ∂u 1∂ ρ+ ϕ+ ρ+ ϕ+ ∇ 2u = ∇ ⋅ ∇ u =  z  • z ∂ρ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ∂z  ρ ∂ϕ ∂z  ∂ρ ρ ∂ϕ   ∂ 2u ∇ u= 2 2 ∂ρ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 350
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ Problema no. 18 ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ Comprobar que en coordenadas cilíndricas: z=z ˆˆ 1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ∂ϕ ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= ∂ρ 2 ˆ ˆ  = −ρ =ϕ ρ ∂ρ  ˆ ˆ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂ ∂   ∂u ∂u  1 ∂u 1∂ ρ+ ϕ+ ρ+ ϕ+ ∇ 2u = ∇ ⋅ ∇ u =  z  • z ∂ρ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ∂z  ρ ∂ϕ ∂z  ∂ρ ρ ∂ϕ   1 ∂ ∂  ∂ ∂ 2u 1∂   ∂ ρ ρ + ρ ∂ ϕ ϕ + ∂ z z  +ϕ ∇ u= 2 ⋅ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ  ρ ∂ϕ ∂ρ   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 351
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ Problema no. 18 ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ Comprobar que en coordenadas cilíndricas: z=z ˆˆ 1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ∂ϕ ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= ∂ρ 2 ˆ ˆ  = −ρ =ϕ ρ ∂ρ  ˆ ˆ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂ ∂   ∂u ∂u  1 ∂u 1∂ ρ+ ϕ+ ρ+ ϕ+ ∇ 2u = ∇ ⋅ ∇ u =  z  • z ∂ρ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ∂z  ρ ∂ϕ ∂z  ∂ρ ρ ∂ϕ   1 ∂ ∂ u   ∂u 1 ∂u ∂ 2u   ∂ ρ ρ + ρ ∂ ϕ ϕ + ∂ z z  +ϕ ∇ u= 2 ⋅ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ  ρ ∂ϕ ∂ρ   1  ∂  ∂u  ∂u ∂ ρ  1  ∂  ∂u  ∂u  1 ∂  ∂u  ˆ   ∂ ρ ρ  = ρ ∂ϕ  ∂ ρ  ρ + ∂ ρ ∂ϕ  = ρ ∂ϕ  ∂ ρ  ρ + ∂ ρ ϕ  ˆ ˆ ˆ ˆ   ρ ∂ϕ           FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 352
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ Problema no. 18 ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ Comprobar que en coordenadas cilíndricas: z=z ˆˆ 1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ∂ϕ ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= ∂ρ 2 ˆ ˆ  = −ρ =ϕ ρ ∂ρ  ˆ ˆ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂ ∂   ∂u ∂u  1 ∂u 1∂ ρ+ ϕ+ ρ+ ϕ+ ∇ 2u = ∇ ⋅ ∇ u =  z  • z ∂ρ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ∂z  ρ ∂ϕ ∂z  ∂ρ ρ ∂ϕ   1 ∂u ρ ∂ρ 1 ∂ ∂ u   ∂u 1 ∂u ∂ 2u   ∂ ρ ρ + ρ ∂ ϕ ϕ + ∂ z z  +ϕ ∇ u= 2 ⋅ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ  ρ ∂ϕ ∂ρ   1  ∂  ∂u  ∂u ∂ ρ  1  ∂  ∂u  ∂u  1 ∂  ∂u  ˆ   ∂ ρ ρ  = ρ ∂ϕ  ∂ ρ  ρ + ∂ ρ ∂ϕ  = ρ ∂ϕ  ∂ ρ  ρ + ∂ ρ ϕ  ˆ ˆ ˆ ˆ   ρ ∂ϕ           FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 353
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ Problema no. 18 ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ Comprobar que en coordenadas cilíndricas: z=z ˆˆ 1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ∂ϕ ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= ∂ρ 2 ˆ ˆ  = −ρ =ϕ ρ ∂ρ  ˆ ˆ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂ ∂   ∂u ∂u  1 ∂u 1∂ ρ+ ϕ+ ρ+ ϕ+ ∇ 2u = ∇ ⋅ ∇ u =  z  • z ∂ρ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ∂z  ρ ∂ϕ ∂z  ∂ρ ρ ∂ϕ   1 ∂u ρ ∂ρ 1 ∂ ∂ u   ∂u 1 ∂u ∂ 2u   ∂ ρ ρ + ρ ∂ ϕ ϕ + ∂ z z  +ϕ ∇ u= 2 ⋅ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ  ρ ∂ϕ ∂ρ   1 ∂2 u ∂ u ∂ϕ  1  ∂2 u  1 ∂  ∂u  ∂u ˆ  ∂ϕ ϕ  = ρ 2 ∂2 ϕ ϕ + ∂ϕ ∂ϕ  = ρ 2 ∂ 2 ϕ ϕ + ∂ϕ ( − ρ )   ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ∂ϕ  2      FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 354
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ Problema no. 18 ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ Comprobar que en coordenadas cilíndricas: z=z ˆˆ 1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ∂ϕ ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= ∂ρ 2 ˆ ˆ  = −ρ =ϕ ρ ∂ρ  ˆ ˆ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂ ∂   ∂u ∂u  1 ∂u 1∂ ρ+ ϕ+ ρ+ ϕ+ ∇ 2u = ∇ ⋅ ∇ u =  z  • z ∂ρ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ∂z  ρ ∂ϕ ∂z  ∂ρ ρ ∂ϕ   1 ∂u 1∂u 2 ρ ∂ρ ρ 2 ∂ϕ 2 1 ∂ ∂ u   ∂u 1 ∂u ∂ 2u   ∂ ρ ρ + ρ ∂ ϕ ϕ + ∂ z z  +ϕ ∇ u= 2 ⋅ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ  ρ ∂ϕ ∂ρ   1 ∂2 u ∂ u ∂ϕ  1  ∂2 u  1 ∂  ∂u  ∂u ˆ  ∂ϕ ϕ  = ρ 2 ∂2 ϕ ϕ + ∂ϕ ∂ϕ  = ρ 2 ∂ 2 ϕ ϕ + ∂ϕ ( − ρ )   ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ∂ϕ  2      FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 355
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ Problema no. 18 ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ Comprobar que en coordenadas cilíndricas: z=z ˆˆ 1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ∂ϕ ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= ∂ρ 2 ˆ ˆ  = −ρ =ϕ ρ ∂ρ  ˆ ˆ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂ ∂   ∂u ∂u  1 ∂u 1∂ ρ+ ϕ+ ρ+ ϕ+ ∇ 2u = ∇ ⋅ ∇ u =  z  • z ∂ρ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ∂z  ρ ∂ϕ ∂z  ∂ρ ρ ∂ϕ   1 ∂u 1∂u 2 ρ ∂ρ ρ 2 ∂ϕ 2 1 ∂ ∂ u   ∂u 1 ∂u ∂ 2u   ∂ ρ ρ + ρ ∂ ϕ ϕ + ∂ z z  +ϕ ∇ u= 2 ⋅ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ  ρ ∂ϕ ∂ρ   1  ∂  ∂u  ∂u ∂ z  1 ∂  ∂u  ˆ  z =   z + = 0 ˆ ˆ ρ ∂ϕ  ∂ z ∂z ρ ∂ϕ   ∂ z ∂ϕ    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 356
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ Problema no. 18 ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ Comprobar que en coordenadas cilíndricas: z=z ˆˆ 1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ∂ϕ ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= ∂ρ 2 ˆ ˆ  = −ρ =ϕ ρ ∂ρ  ˆ ˆ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂ ∂   ∂u ∂u  1 ∂u 1∂ ρ+ ϕ+ ρ+ ϕ+ ∇ 2u = ∇ ⋅ ∇ u =  z  • z ∂ρ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ∂z  ρ ∂ϕ ∂z  ∂ρ ρ ∂ϕ   1 ∂u 1∂u 2 0 ρ ∂ρ ρ 2 ∂ϕ 2 1 ∂ ∂ u   ∂u 1 ∂u ∂ 2u   ∂ ρ ρ + ρ ∂ ϕ ϕ + ∂ z z  +ϕ ∇ u= 2 ⋅ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ  ρ ∂ϕ ∂ρ   1  ∂  ∂u  ∂u ∂ z  1 ∂  ∂u  ˆ  z =   z + = 0 ˆ ˆ ρ ∂ϕ  ∂ z ∂z ρ ∂ϕ   ∂ z ∂ϕ    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 357
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ Problema no. 18 ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ Comprobar que en coordenadas cilíndricas: z=z ˆˆ 1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ∂ϕ ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= ∂ρ 2 ˆ ˆ  = −ρ =ϕ ρ ∂ρ  ˆ ˆ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂ ∂   ∂u ∂u  1 ∂u 1∂ ρ+ ϕ+ ρ+ ϕ+ ∇ 2u = ∇ ⋅ ∇ u =  z  • z ∂ρ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ∂z  ρ ∂ϕ ∂z  ∂ρ ρ ∂ϕ   1 ∂u 1∂u 2 0 ρ ∂ρ ρ 2 ∂ϕ 2 1 ∂ ∂ u   ∂u 1 ∂u ∂ 2u   ∂ ρ ρ + ρ ∂ ϕ ϕ + ∂ z z  +ϕ ∇ u= 2 ⋅ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ  ρ ∂ϕ ∂ρ   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 358
    • ρ = cos ϕ x + sen ϕ y ˆ ˆ ˆ Problema no. 18 ϕ = − sen ϕ x + cos ϕ y ˆ ˆ ˆ Comprobar que en coordenadas cilíndricas: z=z ˆˆ 1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ∂ϕ ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= ∂ρ 2 ˆ ˆ  = −ρ =ϕ ρ ∂ρ  ˆ ˆ  ∂ϕ ∂ϕ ∂ 1∂ ∂ ρ+ ϕ+ ∇= z ˆ ˆ ˆ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z ∂ ∂   ∂u ∂u  1 ∂u 1∂ ρ+ ϕ+ ρ+ ϕ+ ∇ 2u = ∇ ⋅ ∇ u =  z  • z ∂ρ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ  ˆ ∂z  ρ ∂ϕ ∂z  ∂ρ ρ ∂ϕ   1 ∂u 1∂u 2 0 ρ ∂ρ ρ 2 ∂ϕ 2 1 ∂ ∂ u   ∂u 1 ∂u ∂ 2u   ∂ ρ ρ + ρ ∂ ϕ ϕ + ∂ z z  +ϕ ∇ u= 2 ⋅ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ  ρ ∂ϕ ∂ρ   1 ∂u 1 ∂2 u ∂2 u ∂ 2u ∇ u= 2 + + + 2 ρ ∂ ρ ρ 2 ∂ϕ 2 ∂ρ ∂ z2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 359
    • Problema no. 18 1 ∂u 1 ∂2 u ∂2 u ∂ 2u ∇ 2u = 2 + +2 + ρ ∂ ρ ρ ∂ϕ ∂ρ ∂ z2 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 360
    • Problema no. 18 1 ∂u 1 ∂2 u ∂2 u ∂ 2u ∇ 2u = 2 + +2 + ρ ∂ ρ ρ ∂ϕ ∂ρ ∂ z2 2 1 ∂  ∂ u  1 ∂ ρ ∂ u ∂2 u  1 ∂u ∂2 u ρ  ∂ ρ  = ρ ∂ ρ ∂ ρ + ρ ∂ ρ 2  = ρ ∂ ρ + ∂ ρ 2  ρ ∂ρ     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 361
    • Problema no. 18 1 ∂u 1 ∂2 u ∂2 u ∂ 2u ∇ 2u = 2 + +2 + ρ ∂ ρ ρ ∂ϕ ∂ρ ∂ z2 2 1 ∂  ∂ u  1 ∂ ρ ∂ u ∂2 u  1 ∂u ∂2 u ρ  ∂ ρ  = ρ ∂ ρ ∂ ρ + ρ ∂ ρ 2  = ρ ∂ ρ + ∂ ρ 2  ρ ∂ρ     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 362
    • Problema no. 18 1 ∂u 1 ∂2 u ∂2 u ∂ 2u ∇ 2u = 2 + +2 + ρ ∂ ρ ρ ∂ϕ ∂ρ ∂ z2 2 1 ∂  ∂ u  1 ∂ ρ ∂ u ∂2 u  1 ∂u ∂2 u ρ  ∂ ρ  = ρ ∂ ρ ∂ ρ + ρ ∂ ρ 2  = ρ ∂ ρ + ∂ ρ 2  ρ ∂ρ     1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= 2  ρ ∂ρ   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 363
    • Problema no. 18 1 ∂u 1 ∂2 u ∂2 u ∂ 2u ∇ 2u = 2 + +2 + ρ ∂ ρ ρ ∂ϕ ∂ρ ∂ z2 2 1 ∂  ∂ u  1 ∂ ρ ∂ u ∂2 u  1 ∂u ∂2 u ρ  ∂ ρ  = ρ ∂ ρ ∂ ρ + ρ ∂ ρ 2  = ρ ∂ ρ + ∂ ρ 2  ρ ∂ρ     1 ∂  ∂u  1 ∂2 u ∂2 u ρ  ∂ ρ  + ρ 2 ∂ϕ 2 + ∂ z 2 ∇ u= 2  ρ ∂ρ   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 364
    • Problema no. 25 Aplicar el teorema de la divergencia al caso especial en el cual A es constante pero arbitraria, y demostrar que el área vectorial total de una superficie cerrada es cero.   ( ∇ ⋅ A) dτ = ∫ ∫ A ⋅ da V S   Si A = cte. → ∇ ⋅ A = 0   ∫ ∫ A ⋅ da = 0 → da = 0 S S FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 365
    • Problema no. 25  ∫ ds = 0 De manera similar demostrar que: S   ( ∇ × A) ⋅ da = ∫ ∫ A ⋅ ds S C   Si A = cte. → ∇ × A = 0   ∫ ∫ A ⋅ ds = 0 → ds = 0 C C FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 366