0
FS-321
                                Notas del curso




Profesor: Rafael Barahona Paz
Campos Electromagnéticos
Libro de texto:
                           Roald K. Wangsness



                           Intro...
Capítulo I. Vectores
               z
                   
                   A

                            y
          x...
Donde x, y , z         son los vectores unitarios en las direcciones de los
           ˆˆˆ
ejes “x”, “y” y “z” respectivam...

El módulo de A lo encontramos usando:

              
              A=      Ax2 + A 2 + A 2
                           ...
Angulos directores:

Son los ángulos que forma el vector con cada uno de los ejes


                        z

           ...
z
                        
                        A

                                   y
              α
             A...
Los cosenos directores se definen como:

     x = cos α
     y = cos β
      z = cos γ

                               ...
Vector de posición:

           y

               P
                   
                   r
                            ...
Vector de posición relativa:


              y


                             
                             R
           ...
Producto escalar:
Sean dos vectores A y B:
    
    A = Ax x + Ay y + Az z
           ˆ       ˆ      ˆ
    
    B = Bx x...
Graficamente:

                         
                         A




                                 
         θ    ...
Producto escalar de vectores unitarios:

                                              x ⋅x= 1
                           ...
Algunas propiedades del producto escalar:


   
  A ⋅B= B ⋅ A
        2
   A ⋅ A= A
                   
   A ⋅ ...
Producto vectorial:
Sean dos vectores A y B:
    
    A = Ax x + Ay y + Az z
           ˆ       ˆ      ˆ
    
    B = Bx...
Producto vectorial:


         x           y          z
         ˆ           ˆ          ˆ
 
 A × B = Ax          Ay     ...
Producto vectorial:


         x           y         z
         ˆ           ˆ         ˆ
 
 A × B = Ax          Ay       ...
Producto vectorial:


          x            y          z
          ˆ            ˆ          ˆ
  
  A × B = Ax           ...
Producto vectorial de vectores unitarios:

                                             x ×x= 0
                          ...
Algunas propiedades del producto vectorial:


         
   A ×B= − B× A
   
   A × A= 0
                
   A × ...
Campo vectorial.

Velocidad del viento en un huracán





v = v x ( x, y , z ) x + v y ( x, y , z ) y + v z ( x , y , z )...
Campo escalar

Valor de la presión atmosférica en un huracán




  p = p ( x, y , z )

                         FS-321. UN...
Derivada de una función

              f
         1
       0.8
       0.6
       0.4
       0.2
                          ...
Gradiente
                                                                u = f ( x, y , z )
                       Potenc...
Gradiente de una función escalar

            
 du = ∇u ⋅ ds

        ∂u    ∂u    ∂u
 ∇u =      x+    y+    z
           ...
Gradiente de una función escalar

            
 du = ∇u ⋅ ds

        ∂u    ∂u    ∂u
 ∇u =      x+    y+    z
           ...
Gradiente de una función escalar

            
 du = ∇u ⋅ ds

        ∂u    ∂u    ∂u
 ∇u =      x+    y+    z
           ...
Gradiente de una función escalar

            
 du = ∇u ⋅ ds

        ∂u    ∂u    ∂u
 ∇u =      x+    y+    z
           ...
Gradiente de una función escalar

            
 du = ∇u ⋅ ds

        ∂u    ∂u    ∂u
 ∇u =      x+    y+    z
           ...
Propiedades importantes del Gradiente



•   Se aplica a funciones escalares

•   El gradiente de una función es un vector...
¿ Qué información tendremos al calcular el gradiente de la presión en
este caso?




                       FS-321. UNAH. ...
Ejemplo no. 1

Calcular el gradiente de la función:

                                   −( x2 + y 2 )
         f ( x, y ) ...
Fig . 1




  1

0.75
                                                                        2
 0.5
                     ...
2




 1.5




   1




 0.5




   0




-0.5




  -1




-1.5




          -1.5     -1     -0.5             0        0...
Fig . 1                                   2




                                                              1.5




    ...
Ejemplo no. 2

Calcular el gradiente de la función:


                                   (                )
              ...
Ejemplo no. 2

 Calcular el gradiente de la función:


                                       (                )
         ...
Ejemplo no. 2

 Calcular el gradiente de la función:


                                          (                       )...
Ejemplo no. 2

 Calcular el gradiente de la función:


                                              (                   )...
Ejemplo no. 2

 Calcular el gradiente de la función:


                                              (                    ...
Ejemplo no. 2

 Calcular el gradiente de la función:


                                                  (                ...
1
0.5
  0                                                           2
-0.5

                                              ...
2


 1.5


   1


 0.5


   0


-0.5


  -1


-1.5



        -1.5     -1       -0.5   0    0.5        1        1.5       ...
2


                                                       1.5


                                                         ...
Divergencia.




 Campo vectorial sin divergencia



                                                 Campo vectorial con ...
La divergencia calculada sobre un
volumen, es diferente de cero si el
                                                   C...
Conteo de líneas: una línea que entra al volumen la vamos a considerar negativa, si
sale la consideraremos positiva




  ...
Lineas que entran: 1
                   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz   48
Lineas que entran: 2
                   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz   49
Lineas que entran: 3
                   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz   50
Lineas que entran: 4
                   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz   51
Lineas que entran: 4                  Lineas que salen: 1
                   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz        52
Lineas que entran: 4                  Lineas que salen: 2
                   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz        53
Lineas que entran: 4                  Lineas que salen: 3
                   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz        54
Lineas que entran: 4                  Lineas que salen: 4
                   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz        55
La divergencia sobre el volumen es cero.


          FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz   56
La divergencia es diferente de cero, solamente si las lineas de
campo nacen o mueren en el interior del volumen considerad...
La divergencia sobre el volumen es diferente de cero.




            FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz           58
Divergencia.
Consideremos una función vectorial de la forma:
    
    A = Ax ( x, y, z ) x + Ay ( x, y, z ) y + Az ( x, y...
Propiedades importantes de la divergencia



•   Se aplica a funciones vectoriales

•   La divergencia de una función vect...
Ejemplo no. 1

Calcular la divergencia de la función:

          
          F ( x, y ) = sen x x + cos y y
              ...
X Component                                      Y Component



   1                                                1
 0.5...
Y
 4


 3


 2


 1


 0                                                     X


-1


-2


-3



     -3   -2    -1      0...
Y
 4


 3


 2


 1


 0                                                     X


-1


-2


-3



     -3   -2    -1      0...
2
1
                                                                4
0
-1                                                ...
Ejemplo no. 2

Calcular la divergencia de la función:

          
          F ( x, y ) = x cos y x − sen y y
            ...
X Component                                  Y Component


 4                                           1
 2              ...
Y
 4


 3


 2


 1


 0                                                           X


-1


-2


-3



     -3     -2     ...
Y
 4


 3


 2


 1


 0                                                           X


-1


-2


-3



     -3     -2     ...
Y
 4


 3


 2


 1


 0                                                           X


-1


-2


-3



     -3     -2     ...
Ejemplo no. 3

Calcular la divergencia de la función:
                             2
                                    ...
Ejemplo no. 3

Calcular la divergencia de la función:
                             2
                                    ...
Ejemplo no. 3

Calcular la divergencia de la función:
                             2
                                    ...
Ejemplo no. 3

Calcular la divergencia de la función:
                               2
                                   ...
Ejemplo no. 3

Calcular la divergencia de la función:
                               2
                                   ...
Ejemplo no. 3

 Calcular la divergencia de la función:
                                2
                                 ...
X Component                               Y Component


   1                                          0.5
                ...
Y



 4




 2




                                                   X
 0




-2




-4



     -4   -2            0     ...
0.5
                                                                  4
  0
                                              ...
Rotacional.




    El rotacional de un campo vectorial mide la circulación del campo


                         FS-321. U...
Campos vectoriales con rotacional pronunciado




           FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz    81
Campos vectoriales con rotacional pronunciado




           FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz    82
Campos vectoriales con rotacional igual a cero




            FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz    83
Rotacional.
Consideremos una función vectorial de la forma:
    
    A = Ax ( x, y, z ) x + Ay ( x, y, z ) y + Az ( x, y,...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
x      y        z
       ˆ      ˆ        ˆ
        ∂      ∂       ∂
   
∇× A =
       ∂x     ∂y      ∂z
       Ax     Ay ...
Ejemplo no. 1

Calcular el rotacional de la función:
               
               F ( x, y ) = − y x + x y
            ...
Ejemplo no. 1

Calcular el rotacional de la función:
               
               F ( x, y ) = − y x + x y
            ...
Ejemplo no. 1

Calcular el rotacional de la función:
               
               F ( x, y ) = − y x + x y
            ...
Ejemplo no. 1

Calcular el rotacional de la función:
               
               F ( x, y ) = − y x + x y
            ...
Ejemplo no. 1

Calcular el rotacional de la función:
               
               F ( x, y ) = − y x + x y
            ...
Ejemplo no. 1

Calcular el rotacional de la función:
               
               F ( x, y ) = − y x + x y
            ...
Ejemplo no. 1

 Calcular el rotacional de la función:
                
                F ( x, y ) = − y x + x y
         ...
Ejemplo no. 1

 Calcular el rotacional de la función:
                
                F ( x, y ) = − y x + x y
         ...
Ejemplo no. 1

                X Component                              Y Component



      4                            ...
Ejemplo no. 1
                                     Y
           4


           3


           2


           1


         ...
Ejemplo no. 2

Calcular el rotacional de la función:

                       (x            )     (          )
        
  ...
Ejemplo no. 2

Calcular el rotacional de la función:

                       (x            )     (          )
        
  ...
Ejemplo no. 2

Calcular el rotacional de la función:

                       (x            )     (          )
        
  ...
Ejemplo no. 2

Calcular el rotacional de la función:

                       (x            )     (          )
        
  ...
Ejemplo no. 2

Calcular el rotacional de la función:

                       (x            )     (          )
        
  ...
Ejemplo no. 2

Calcular el rotacional de la función:

                       (x            )     (          )
        
  ...
Ejemplo no. 2

Calcular el rotacional de la función:

                       (x            )     (          )
        
  ...
Ejemplo no. 2

Calcular el rotacional de la función:

                       (x            )     (          )
        
  ...
Ejemplo no. 2

Calcular el rotacional de la función:

                        (x           )      (         )
       
   ...
Ejemplo no. 2

Calcular el rotacional de la función:

                        (x            )     (          )
        
 ...
X Component                                 Y Component


20                                          20
10               ...
Y
 4


 3


 2


 1


                                                               X
 0


-1


-2


-3



      -3    -2...
Y
 4


 3


 2


 1


                                                          X
 0


-1


-2


-3



      -3     -2    ...
Y
    1


 0.75


  0.5


 0.25


                                                                       X
    0


-0.25

...
Operador Nabla
           ∂     ∂     ∂
        ∇=    x+    y+    z
              ˆ     ˆ     ˆ
           ∂x    ∂y    ∂z
...
Operador Nabla
                ∂     ∂     ∂
             ∇=    x+    y+    z
                   ˆ     ˆ     ˆ
           ...
Operador Nabla
                  ∂     ∂     ∂
               ∇=    x+    y+    z
                     ˆ     ˆ     ˆ
     ...
Operador Nabla
                 ∂     ∂     ∂
              ∇=    x+    y+    z
                    ˆ     ˆ     ˆ
        ...
Laplaciano

                 ∂2  ∂2                  ∂2
     ∇ 2 = ∇ ⋅∇ = 2 + 2                +
                 ∂x  ∂y  ...
Laplaciano

                      ∂2  ∂2                       ∂2
          ∇ 2 = ∇ ⋅∇ = 2 + 2                     +
     ...
Cuando actúa sobre una función vectorial:


    ∇ A = ∇ 2 ( Ax x + Ay y + Az z )
      2
                   ˆ      ˆ     ...
Propiedades importantes



            
      ∇ ⋅∇× A = 0

      ∇ × ∇u = 0

                                    
    ...
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
FS321  Capitulo 1
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

FS321 Capitulo 1

2,294

Published on

Unidad 1 del curso de Electrícidad y Magnetismo I (FS321) servido por el profesor Rafael Barahona Paz en la Universidad Nacional Autónoma de Honduras

Published in: Education, Technology, Travel
0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
2,294
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
165
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "FS321 Capitulo 1"

  1. 1. FS-321 Notas del curso Profesor: Rafael Barahona Paz
  2. 2. Campos Electromagnéticos Libro de texto: Roald K. Wangsness Introduction to Electrodynamics Libro de texto auxiliar: David Griffiths Otros materiales utilizados: Notebooks de Mathematica: Gradient John B. Schneider Tomado de www.wolfram.com Divergence John B. Schneider Tomado de www.wolfram.com Modelos en 3D y gráficos se hicieron utilizando “3D Studio Max”
  3. 3. Capítulo I. Vectores z  A y x Un vector puede representarse de la forma:  A = Ax x + Ay y + Az z ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 3
  4. 4. Donde x, y , z son los vectores unitarios en las direcciones de los ˆˆˆ ejes “x”, “y” y “z” respectivamente. Ax , Ay y Az son las componentes escalares del vector y  Ay A Ax x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 4
  5. 5.  El módulo de A lo encontramos usando:  A= Ax2 + A 2 + A 2 y z Vector unitario:  Un vector unitario en la dirección de A se define como:   A A a = = ˆ A Ax2 + A 2 + A z2 y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 5
  6. 6. Angulos directores: Son los ángulos que forma el vector con cada uno de los ejes z  A γ β α y x FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 6
  7. 7. z  A y α Ax x De la figura se observa que: Ax = A cos α De igual forma: Ay = A cos β Az = A cos γ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 7
  8. 8. Los cosenos directores se definen como:  x = cos α  y = cos β  z = cos γ Ax Ax = A cos α →  x = A  Ay Ax A A a= = x+ y+ zz ˆ ˆ ˆ ˆ A A A A a = x x + y y + z z ˆ ˆ ˆ ˆ  2 +  2y +  2 = 1 x z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 8
  9. 9. Vector de posición: y P  r x  r = xx + y y + z z ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 9
  10. 10. Vector de posición relativa: y  R P’  P r'  r x  r = xx + y y + z z ˆ ˆ ˆ  r ' = x' x + y ' y + z ' z ˆ ˆ ˆ  R = ( x − x' ) x + ( y − y ' ) y + ( z − z ' ) z ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 10
  11. 11. Producto escalar: Sean dos vectores A y B:  A = Ax x + Ay y + Az z ˆ ˆ ˆ  B = Bx x + B y y + Bz z ˆ ˆ ˆ Entonces:  A ⋅ B = Ax B x + Ay B y + Az B z   A ⋅ B = A B cos θ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 11
  12. 12. Graficamente:  A  θ B A cos θ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 12
  13. 13. Producto escalar de vectores unitarios: x ⋅x= 1 ˆˆ x ⋅y= 0 ˆˆ x ⋅z= 0 y ⋅y= 1 ˆˆ ˆˆ y ⋅z= 0 ˆˆ z ⋅z= 1 ˆˆ Si e es un vector unitario en una dirección determinada, entonces la ˆ  componente de A en esa direccion es:  Ae = A ⋅ e ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 13
  14. 14. Algunas propiedades del producto escalar:   A ⋅B= B ⋅ A  2 A ⋅ A= A    A ⋅ B = 0 , si A ⊥ B FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 14
  15. 15. Producto vectorial: Sean dos vectores A y B:  A = Ax x + Ay y + Az z ˆ ˆ ˆ  B = Bx x + B y y + Bz z ˆ ˆ ˆ Entonces: x y z ˆ ˆ ˆ  A × B = Ax Ay Az Bx By Bz FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 15
  16. 16. Producto vectorial: x y z ˆ ˆ ˆ  A × B = Ax Ay Az Bx By Bz  A × B = ( Ay B z − Az B y ) x ... ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 16
  17. 17. Producto vectorial: x y z ˆ ˆ ˆ  A × B = Ax Ay Az Bx By Bz  A × B = ( Ay B z − Az B y ) x − ( Ax B z − Az B x ) y + ... ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 17
  18. 18. Producto vectorial: x y z ˆ ˆ ˆ  A × B = Ax Ay Az Bx By Bz  A × B = ( Ay B z − Az B y ) x − ( Ax B z − Az B x ) y + ( Ax B y − Ay B x ) z ˆ ˆ ˆ Ademas:   A × B = A B sen θ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 18
  19. 19. Producto vectorial de vectores unitarios: x ×x= 0 ˆˆ x ×y= z ˆˆˆ y ×z= x y ×y= 0 ˆˆˆ ˆˆ z ×x= y ˆˆˆ z ×z= 0 ˆˆ z ˆ y ˆ x ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 19
  20. 20. Algunas propiedades del producto vectorial:   A ×B= − B× A  A × A= 0   A × B = 0 , si A B     A × (B ×C ) = B ( A⋅C ) − C ( A⋅ B ) → Atrás del taxi FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 20
  21. 21. Campo vectorial. Velocidad del viento en un huracán  v = v x ( x, y , z ) x + v y ( x, y , z ) y + v z ( x , y , z ) z ˆ ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 21
  22. 22. Campo escalar Valor de la presión atmosférica en un huracán p = p ( x, y , z ) FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 22
  23. 23. Derivada de una función f 1 0.8 0.6 0.4 0.2 x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 - 0.2 - 0.4  df  df =   dx  dx  derivada FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 23
  24. 24. Gradiente u = f ( x, y , z ) Potencial 4 de un dipolo z 2 0 -2 -4  0.2 du = ∇u ⋅ ds 0.1 V 0 ∇u → Gradiente de u -0.1 ∂u ∂u ∂u -0.2 ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ -4 ∂x ∂y ∂z -2 0 y 2 4 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 24
  25. 25. Gradiente de una función escalar  du = ∇u ⋅ ds ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z  ds = dx x + dy y + dz z ˆ ˆ ˆ  ∂u ∂u  ∂u  ∂x x + ∂y y + ∂z  ⋅ ( dx x + dy y + dz z ) du =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 25
  26. 26. Gradiente de una función escalar  du = ∇u ⋅ ds ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z  ds = dx x + dy y + dz z ˆ ˆ ˆ  ∂u ∂u  ∂u  ∂x x + ∂y y + ∂z  ⋅ ( dx x + dy y + dz z ) du =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ    ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 26
  27. 27. Gradiente de una función escalar  du = ∇u ⋅ ds ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z  ds = dx x + dy y + dz z ˆ ˆ ˆ  ∂u ∂u  ∂u  ∂x x + ∂y y + ∂z  ⋅ ( dx x + dy y + dz z ) du =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ    ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 27
  28. 28. Gradiente de una función escalar  du = ∇u ⋅ ds ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z  ds = dx x + dy y + dz z ˆ ˆ ˆ  ∂u ∂u  ∂u  ∂x x + ∂y y + ∂z  ⋅ ( dx x + dy y + dz z ) du =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ    ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 28
  29. 29. Gradiente de una función escalar  du = ∇u ⋅ ds ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z  ds = dx x + dy y + dz z ˆ ˆ ˆ  ∂u ∂u  ∂u  ∂x x + ∂y y + ∂z  ⋅ ( dx x + dy y + dz z ) du =  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ    ∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 29
  30. 30. Propiedades importantes del Gradiente • Se aplica a funciones escalares • El gradiente de una función es un vector • El gradiente apunta en la dirección de máximo cambio de la función  du = ∇u ⋅ ds = ∇u ds cos θ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 30
  31. 31. ¿ Qué información tendremos al calcular el gradiente de la presión en este caso? FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 31
  32. 32. Ejemplo no. 1 Calcular el gradiente de la función: −( x2 + y 2 ) f ( x, y ) = e ∂f ∂f ∇f = x+ y ˆ ˆ ∂x ∂y ( ) xˆ + ∂(e ) yˆ 2 2 −( x2 + y 2 ) ∂ e −( x + y ) ∇f = ∂x ∂y 2 + y2 ) 2 + y2 ) ∇f = − 2 x e − ( x x − 2 y e −( x y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 32
  33. 33. Fig . 1 1 0.75 2 0.5 1 0.25 0 -2 0 -1 -1 0 1 -2 2 −( x2 + y 2 ) f ( x, y ) = e FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 33
  34. 34. 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 + y2 ) 2 + y2 ) ∇f ( x , y ) = − 2 x e − ( x x − 2 y e −( x y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 34
  35. 35. Fig . 1 2 1.5 1 0.5 1 0.75 2 0 0.5 1 0.25 -0.5 0 -2 0 -1 -1 -1 0 -1.5 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2 ∇f ( x , y ) f ( x, y ) FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 35
  36. 36. Ejemplo no. 2 Calcular el gradiente de la función: ( ) f ( x, y ) = sen x2 + y2 ∂f ∂f ∇f = x+ y ˆ ˆ ∂x ∂y ( ) ( ) ∂ 2  ∂ 2  ( ) ( ) 1 1 ∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y 2 2 2 2 y ˆ ˆ 2 2  ∂x ∂y   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 36
  37. 37. Ejemplo no. 2 Calcular el gradiente de la función: ( ) f ( x, y ) = sen x2 + y2 ∂f ∂f ∇f = x+ y ˆ ˆ ∂x ∂y ( ) ( ) ∂ 2  ∂ 2  ( ) ( ) 1 1 ∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y 2 2 2 2 y ˆ ˆ 2 2  ∂x ∂y   ( ) 1 ∇f = cos x 2 + y 2   2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 37
  38. 38. Ejemplo no. 2 Calcular el gradiente de la función: ( ) f ( x, y ) = sen x2 + y2 ∂f ∂f ∇f = x+ y ˆ ˆ ∂x ∂y ( ) ( ) ∂ 2  ∂ 2  ( ) ( ) 1 1 ∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y 2 2 2 2 y ˆ ˆ 2 2  ∂x ∂y   ( ) ( ) 1 1 − ∇f = cos x + y   x 2 + y 2 2 2 2 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 38
  39. 39. Ejemplo no. 2 Calcular el gradiente de la función: ( ) f ( x, y ) = sen x2 + y2 ∂f ∂f ∇f = x+ y ˆ ˆ ∂x ∂y ( ) ( ) ∂ 2  ∂ 2  ( ) ( ) 1 1 ∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y 2 2 2 2 y ˆ ˆ 2 2  ∂x ∂y   ( ) ( ) ( 2 x) x 1 1 − ∇f = cos x + y   x 2 + y 2 2 2 ˆ 2 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 39
  40. 40. Ejemplo no. 2 Calcular el gradiente de la función: ( ) f ( x, y ) = sen x2 + y2 ∂f ∂f ∇f = x+ y ˆ ˆ ∂x ∂y ( ) ( ) ∂ 2  ∂ 2  ( ) ( ) 1 1 ∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y 2 2 2 2 y ˆ ˆ 2 2  ∂x ∂y   ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 y) y 1 ( 2 x ) x + cos x + y  1  x 2 + y 2 1 1 − − ∇f = cos x + y   x 2 + y 2 2 2 2 2  ˆ ˆ 2 2 2 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 40
  41. 41. Ejemplo no. 2 Calcular el gradiente de la función: ( ) f ( x, y ) = sen x2 + y2 ∂f ∂f ∇f = x+ y ˆ ˆ ∂x ∂y ( ) ( ) ∂ 2  ∂ 2  ( ) ( ) 1 1 ∇f = cos x + y x +y x + cos x 2 + y 2 x +y 2 2 2 2 y ˆ ˆ 2 2  ∂x ∂y   ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 y) y 1 ( 2 x ) x + cos x + y  1  x 2 + y 2 1 1 − − ∇f = cos x + y   x 2 + y 2 2 2 2 2  ˆ ˆ 2 2 2 2 x cos x 2 + y 2 y cos x 2 + y 2 ∇f = x+ y ˆ ˆ x +y x +y 2 2 2 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 41
  42. 42. 1 0.5 0 2 -0.5 0 -2 0 -2 2 ( ) f ( x, y ) = sen x2 + y2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 42
  43. 43. 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 x cos x 2 + y 2 y cos x 2 + y 2 ∇f = x+ y ˆ ˆ x +y x +y 2 2 2 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 43
  44. 44. 2 1.5 1 0.5 1 0.5 0 0 2 -0.5 -0.5 0 -1 -2 -1.5 0 -2 2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ( ) x cos x 2 + y 2 y cos x 2 + y 2 f ( x, y ) = sen x +y2 2 ∇f = x+ y ˆ ˆ x +y x +y 2 2 2 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 44
  45. 45. Divergencia. Campo vectorial sin divergencia Campo vectorial con divergencia pronunciada Campo vectorial divergente FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 45
  46. 46. La divergencia calculada sobre un volumen, es diferente de cero si el Campo vectorial con divergencia número de líneas de campo que pronunciada entran al volumen no es igual al número de líneas que salen. FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 46
  47. 47. Conteo de líneas: una línea que entra al volumen la vamos a considerar negativa, si sale la consideraremos positiva FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 47
  48. 48. Lineas que entran: 1 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 48
  49. 49. Lineas que entran: 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 49
  50. 50. Lineas que entran: 3 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 50
  51. 51. Lineas que entran: 4 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 51
  52. 52. Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 1 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 52
  53. 53. Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 53
  54. 54. Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 3 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 54
  55. 55. Lineas que entran: 4 Lineas que salen: 4 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 55
  56. 56. La divergencia sobre el volumen es cero. FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 56
  57. 57. La divergencia es diferente de cero, solamente si las lineas de campo nacen o mueren en el interior del volumen considerado. FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 57
  58. 58. La divergencia sobre el volumen es diferente de cero. FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 58
  59. 59. Divergencia. Consideremos una función vectorial de la forma:  A = Ax ( x, y, z ) x + Ay ( x, y, z ) y + Az ( x, y, z ) z ˆ ˆ ˆ  La divergencia de A se calcula de la siguiente manera: ∂Ay  ∂Ax ∂Az ∇⋅ A = + + ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 59
  60. 60. Propiedades importantes de la divergencia • Se aplica a funciones vectoriales • La divergencia de una función vectorial es un escalar • Cuando la divergencia calculada sobre un volumen es diferente de cero, significa que en el interior de ese volumen las líneas de campo nacen o mueren. − + FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 60
  61. 61. Ejemplo no. 1 Calcular la divergencia de la función:  F ( x, y ) = sen x x + cos y y ˆ ˆ ∂Fy  ∂Fx ∇⋅F = + ∂x ∂y  ∇ ⋅ F = cos x − sen y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 61
  62. 62. X Component Y Component 1 1 0.5 0.5 4 4 0 0 -0.5 -0.5 2 2 -1 -1 0Y 0Y -4 -4 -2 -2 -2 -2 0 0 X X 2 2 4 -4 4 -4 Y 4 3 2 1 X 0 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = sen x x + cos y y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 62
  63. 63. Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = sen x x + cos y y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 63
  64. 64. Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = sen x x + cos y y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 64
  65. 65. 2 1 4 0 -1 2 -2 0 -4 -2 -2 0 2 -4 4  ∇ ⋅ F = cos x − sen y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 65
  66. 66. Ejemplo no. 2 Calcular la divergencia de la función:  F ( x, y ) = x cos y x − sen y y ˆ ˆ ∂Fy  ∂Fx ∇⋅F = + ∂x ∂y  ∇ ⋅ F = cos y − cos y  ∇⋅F = 0 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 66
  67. 67. X Component Y Component 4 1 2 0.5 4 4 0 0 -2 -0.5 2 2 -4 -1 0Y 0Y -4 -4 -2 -2 -2 -2 0 0 X X 2 2 4 -4 4 -4 Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3-2-1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = x cos y x − sen y y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 67
  68. 68. Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = x cos y x − sen y y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 68
  69. 69. Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = x cos y x − sen y y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 69
  70. 70. Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = x cos y x − sen y y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 70
  71. 71. Ejemplo no. 3 Calcular la divergencia de la función: 2   x 2  0.5 −  y   y  −  F ( x, y ) = e x+ 4 ˆ 4  ˆ   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 71
  72. 72. Ejemplo no. 3 Calcular la divergencia de la función: 2   x 2  0.5 −  y   y  −  F ( x, y ) = e x+ 4 ˆ 4  ˆ   ∂Fy  ∂Fx ∇⋅F = + ∂x ∂y FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 72
  73. 73. Ejemplo no. 3 Calcular la divergencia de la función: 2   x 2  0.5 −  y   y  −  F ( x, y ) = e x+ 4 ˆ 4  ˆ   ∂Fy  ∂Fx ∇⋅F = + ∂x ∂y  x2  −    16  ∇⋅F = e   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 73
  74. 74. Ejemplo no. 3 Calcular la divergencia de la función: 2   x 2  0.5 −  y   y  −  F ( x, y ) = e x+ 4 ˆ 4  ˆ   ∂Fy  ∂Fx ∇⋅F = + ∂x ∂y  x2  −   2x   16  ∇⋅F = e −     16  FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 74
  75. 75. Ejemplo no. 3 Calcular la divergencia de la función: 2   x 2  0.5 −  y   y  −  F ( x, y ) = e x+ 4 ˆ 4  ˆ   ∂Fy  ∂Fx ∇⋅F = + ∂x ∂y  x2  −   2 x  2y   16  ∇⋅F = e − −  16  16  FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 75
  76. 76. Ejemplo no. 3 Calcular la divergencia de la función: 2   x 2  0.5 −  y   y  −  F ( x, y ) = e x+ 4 ˆ 4  ˆ   ∂Fy  ∂Fx ∇⋅F = + ∂x ∂y  x2  −   2 x  2y   16  ∇⋅F = e − −  16  16   x2  −   x y  16  ∇⋅F = − e −  8 8 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 76
  77. 77. X Component Y Component 1 0.5 0.25 0.8 4 4 0 0.6 -0.25 2 2 0.4 -0.5 0Y 0Y -4 -4 -2 -2 -2 -2 0 0 X X 2 2 4 -4 4 -4 Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3-2-1 0 1 2 3 4 2   y  x 2  −  x +  0. 5 −    y F ( x, y ) = e 4 ˆ ˆ 4   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 77
  78. 78. Y 4 2 X 0 -2 -4 -4 -2 0 2 4 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 78
  79. 79. 0.5 4 0 2 -0.5 -4 0 -2 -2 0 2 -4 4  x2  −   x y  16  ∇⋅F = − e −  8 8 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 79
  80. 80. Rotacional. El rotacional de un campo vectorial mide la circulación del campo FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 80
  81. 81. Campos vectoriales con rotacional pronunciado FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 81
  82. 82. Campos vectoriales con rotacional pronunciado FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 82
  83. 83. Campos vectoriales con rotacional igual a cero FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 83
  84. 84. Rotacional. Consideremos una función vectorial de la forma:  A = Ax ( x, y, z ) x + Ay ( x, y, z ) y + Az ( x, y, z ) z ˆ ˆ ˆ  El rotacional de A se define como: x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ  ∂x ∂z   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 84
  85. 85. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 85
  86. 86. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 86
  87. 87. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 87
  88. 88. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 88
  89. 89. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 89
  90. 90. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 90
  91. 91. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 91
  92. 92. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 92
  93. 93. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 93
  94. 94. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 94
  95. 95. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 95
  96. 96. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 96
  97. 97. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 97
  98. 98. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 98
  99. 99. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 99
  100. 100. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 100
  101. 101. x y z ˆ ˆ ˆ ∂ ∂ ∂  ∇× A = ∂x ∂y ∂z Ax Ay Az   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Az ∂ Ax  ∇× A =  x−  y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ ˆ ˆ ∂x ∂z  ∂x ∂y      x z y   ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 101
  102. 102. Ejemplo no. 1 Calcular el rotacional de la función:  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 102
  103. 103. Ejemplo no. 1 Calcular el rotacional de la función:  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 103
  104. 104. Ejemplo no. 1 Calcular el rotacional de la función:  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 104
  105. 105. Ejemplo no. 1 Calcular el rotacional de la función:  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 105
  106. 106. Ejemplo no. 1 Calcular el rotacional de la función:  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 106
  107. 107. Ejemplo no. 1 Calcular el rotacional de la función:  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y      ∇ × F = (1 ) z ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 107
  108. 108. Ejemplo no. 1 Calcular el rotacional de la función:  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y      ∇ × F = (1 − (−1) ) z ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 108
  109. 109. Ejemplo no. 1 Calcular el rotacional de la función:  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y      ∇ × F = (1 − (−1) ) z ˆ  ∇× F = 2 z ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 109
  110. 110. Ejemplo no. 1 X Component Y Component 4 4 2 2 4 4 0 0 -2 -2 2 2 -4 -4 0Y 0Y -4 -4 -2 -2 -2 -2 0 0 X X 2 2 4 -4 4 -4 Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3-2-1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 110
  111. 111. Ejemplo no. 1 Y 4 3 2 1 X 0 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4  F ( x, y ) = − y x + x y ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 111
  112. 112. Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 112
  113. 113. Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 113
  114. 114. Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 114
  115. 115. Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 115
  116. 116. Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 116
  117. 117. Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 117
  118. 118. Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y     FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 118
  119. 119. Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y      ∇ × F = (1) z ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 119
  120. 120. Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y      ∇ × F = (1 − (−1) ) z ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 120
  121. 121. Ejemplo no. 2 Calcular el rotacional de la función: (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ   ∂ Fz ∂ Fy   ∂ Fy ∂ Fx  ∂F ∂ Fz   x+ x−  y+ z ∇× F =  − − ˆ ˆ ˆ ∂y ∂z  ∂z ∂x  ∂x ∂y      ∇ × F = (1 − (−1) ) z ˆ  ∇× F = 2 z ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 121
  122. 122. X Component Y Component 20 20 10 4 10 4 0 0 2 2 0Y 0Y -4 -4 -2 -2 -2 -2 0 0 X X 2 2 4 -4 4 -4 Y 4 3 2 1 0 X -1 -2 -3 -3-2-1 0 1 2 3 4 (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 122
  123. 123. Y 4 3 2 1 X 0 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 123
  124. 124. Y 4 3 2 1 X 0 -1 -2 -3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 124
  125. 125. Y 1 0.75 0.5 0.25 X 0 -0.25 -0.5 -0.75 -0.75 -0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 (x ) ( )  F ( x, y ) = − y x + x + y2 y 2 ˆ ˆ FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 125
  126. 126. Operador Nabla ∂ ∂ ∂ ∇= x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 126
  127. 127. Operador Nabla ∂ ∂ ∂ ∇= x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z Gradiente: ∂ ∂ ∂  ∂x x + ∂y y + ∂z z  ( u )  ˆ ˆ ˆ   ∂u ∂u ∂u ∇u = x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 127
  128. 128. Operador Nabla ∂ ∂ ∂ ∇= x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z Divergencia: ∂ ∂ ∂  ∂x x + ∂y y + ∂z z  • ( Ax x + Ay y + Az z )  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ   ∂Ay  ∂Ax ∂Az ∇⋅ A = + + ∂x ∂y ∂z FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 128
  129. 129. Operador Nabla ∂ ∂ ∂ ∇= x+ y+ z ˆ ˆ ˆ ∂x ∂y ∂z Rotacional: ∂ ∂ ∂  ∂x x + ∂y y + ∂z z  × ( Ax x + Ay y + Az z )  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ     ∂ Az ∂ Ay  ∂ Ay ∂ Ax    ∂ Ax ∂ Az  ∇× A =  x+ y+ z  ∂y − ∂z − − ˆ  ˆ ˆ  ∂z ∂x   ∂x ∂y    FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 129
  130. 130. Laplaciano ∂2 ∂2 ∂2 ∇ 2 = ∇ ⋅∇ = 2 + 2 + ∂x ∂y ∂z 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 130
  131. 131. Laplaciano ∂2 ∂2 ∂2 ∇ 2 = ∇ ⋅∇ = 2 + 2 + ∂x ∂y ∂z 2 Cuando actúa sobre una función escalar: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∇ 2u = +2 + ∂x ∂y ∂z 2 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 131
  132. 132. Cuando actúa sobre una función vectorial: ∇ A = ∇ 2 ( Ax x + Ay y + Az z ) 2 ˆ ˆ ˆ = ∇ 2 Ax x + ∇ 2 Ay y + ∇ 2 Az z ˆ ˆ ˆ  ∂ 2 Ax  ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax  x  ∂x 2 + ∂y 2 + ˆ ∂z 2    2 ∂ 2 Ay   ∂ Ay ∂ 2 Ay  y ∇ A= 2 + +  2 ˆ ∂x ∂y 2 ∂z  2  2  ∂ Az ∂ 2 Az  ∂ 2 Az  z + + 2ˆ  ∂x 2 ∂y 2 ∂z   FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 132
  133. 133. Propiedades importantes  ∇ ⋅∇× A = 0 ∇ × ∇u = 0    ∇ × ( ∇ × A) = ∇ ( ∇ ⋅ A ) − ∇ A 2 FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz 133
  1. A particular slide catching your eye?

    Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later.

×