TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI PRIMER PASO Partimos de un triángulo equilátero normal. Ya que el lado es 2 a, su perímetro es 6 a. Además, sabemos que el área de la región sombreada con color negro de esta figura es a 2  3 .

PRIMER PASO

Partimos de un triángulo equilátero normal. Ya que el lado es 2 a, su perímetro es 6 a.

Además, sabemos que el área de la región sombreada con color negro de esta figura es a 2  3 .

SEGUNDO PASO Ahora dividimos su área en 4 dejando de lado el pedazo de área del centro. El perímetro de los 3 triángulos es: 3 . 3 . a = 9 a Asimismo, el área de la región sombreada es igual a 3/4 a 2  3 .

SEGUNDO PASO

Ahora dividimos su área en 4 dejando de lado el pedazo de área del centro. El perímetro de los 3 triángulos es:

3 . 3 . a = 9 a

Asimismo, el área de la región sombreada es igual a 3/4 a 2  3 .

TERCER PASO Volvemos a aplicar este proceso, es decir, dividimos cada triángulo en 4 y dejamos de lado el pedazo de área central. El perímetro de los 9 triángulos será: 3 . 3 . 3 . (a/2) = 27/2 El área de la región sombreada es (3/4) 2 a 2  3 .

TERCER PASO

Volvemos a aplicar este proceso, es decir, dividimos cada triángulo en 4 y dejamos de lado el pedazo de área central. El perímetro de los 9 triángulos será:

3 . 3 . 3 . (a/2) = 27/2

El área de la región sombreada es (3/4) 2 a 2  3 .

CUARTO PASO Seguimos aplicando este proceso y obtenemos un triángulo como sigue. El perímetro (que sigue aumentando) de los 27 triángulos es: 3 . 3 . 3 . 3 . (a/4) = 81/4 El área es igual a (3/4) 3 a 2  3 .

CUARTO PASO

Seguimos aplicando este proceso y obtenemos un triángulo como sigue.

El perímetro (que sigue aumentando) de los 27 triángulos es: 3 . 3 . 3 . 3 . (a/4) = 81/4

El área es igual a (3/4) 3 a 2  3 .

QUINTO PASO En esta quinta fase aplicamos lo mismo. El nuevo perímetro será: 243/8 y el área será (3/4) 4 a 2  3 .

QUINTO PASO

En esta quinta fase aplicamos lo mismo. El nuevo perímetro será: 243/8 y el área será (3/4) 4 a 2  3 .

CONCLUSIÓN Como podemos apreciar este fractal manifiesta una relación poco común entre el área y su perímetro. Mientras que el perímetro tiende hacia el infinito, el área tiende a ser cero. En la geometría euclídea sucede que una figura con un área infinita tiene perímetro infinito y a su vez una figura con perímetro infinito tiene área infinita. Además, una figura con área igual a cero, no debería tener existencia gráfica, lo cual no sucede con el triángulo de Sierpinski. Asimismo, una figura con perímetro igual a infinito tiene por medidas de sus lados al infinito o bien tiene infinitos lados. Pero en el triángulo analizado llevado al infinito sucede que tan sólo se ven acumulaciones de puntos por doquier.

Como podemos apreciar este fractal manifiesta una relación poco común entre el área y su perímetro. Mientras que el perímetro tiende hacia el infinito, el área tiende a ser cero.

En la geometría euclídea sucede que una figura con un área infinita tiene perímetro infinito y a su vez una figura con perímetro infinito tiene área infinita.

Además, una figura con área igual a cero, no debería tener existencia gráfica, lo cual no sucede con el triángulo de Sierpinski.

Asimismo, una figura con perímetro igual a infinito tiene por medidas de sus lados al infinito o bien tiene infinitos lados. Pero en el triángulo analizado llevado al infinito sucede que tan sólo se ven acumulaciones de puntos por doquier.