TEORÍA DE PUNTOS
FIJOS DE SAÚL KRIPKE

CUASIPARADOJAS
• La paradoja puede presentarse o bien como una fórmula demostrable (general), o
bien como un argumento desorientador pero resoluble (particular). La primera
dimensión de lo paradójico nos permite definir a la paradoja, como aquella
oración que tiene las propiedades de autorreferencia infundada, círculo vicioso y
contradicción. Pero, aquellas oraciones que sólo tienen 2 de las 3 propiedades
antedichas serán consideradas como cuasiparadojas. Si consideramos que la
autorreferencia infundada es constante (se mantiene), entonces las
cuasiparadojas tendrán o bien la propiedad de la circularidad o bien la de la
contradicción. Tales entes encuentran soporte en la Teoría de Puntos Fijos de Saúl
Kripke según la cual además de las jerarquías tarskianas existe una regularidad de
nivel en la atribución de verdad que una oración le hace a otra.
• Esta teoría define dos puntos fijos que nos interesan: el punto fijo intrínseco y el
maximal. Las oraciones con punto fijo intrínseco que pueden ser sólo verdaderas o
sólo falsas se caracterizan por tener las propiedades de autorreferencia infundada
y contradicción. La ausencia de la circularidad se explica porque si “A” es una
oración con punto fijo intrínseco, entonces o bien V(A)→F(A) o bien F(A)→V(A), es
decir, V(A)↮F(A). Las oraciones con punto fijo máximo que pueden ser tanto
verdaderas como falsas. Se caracterizan por tener las propiedades de
autorreferencia infundada y circularidad. La ausencia de la contradicción se
justifica debido a que si “B” es una oración con punto fijo máximo, entonces
V(B)→V(B) y F(B)→F(B), es decir, V(B) ↔ F(B).

SEUDOPARADOJAS
• La segunda dimensión de lo paradójico nos permite definir a la paradoja, según el
criterio de la validez, como aquél argumento extraordinario, correcto pero incompleto
o inválido pero persuasivo. Este último tipo de argumentos extraordinarios que sean
inválidos y persuasivos serán llamados seudoparadójicos. La palabra “seudoparadoja”
fue introducida en la literatura hispana sobre lógica por Gerold Stahl (1971, pp. 94-96)
en su opúsculo titulado “Al explorar lo infinito”. Con esta palabra se alude a la calidad
de un argumento cuya conclusión es falsa e inverosímil. Este conjunto de entes estará
constituido por argumentos incorrectos que tendrán la apariencia de ser válidos, es
decir, estará constituido por falacias, pero no por cualquier tipo de falacias sino
solamente por aquellos malos argumentos considerados por la tradición como
problemáticos. Toda seudoparadoja es una falacia pero no toda falacia es una
seudoparadoja, porque si bien hay un error de razonamiento, éste necesita que el
argumento sea reinterpretado (reformulado, corregido y aumentado) de manera un
tanto diferente a la versión original para que ya no desafíe a lo razonable. Además, la
contradicción positiva (que hace “progresar” la ciencia en el sentido de continuar el
debate a lo largo de la historia) que cierra la paradoja sirve para comparar el
pensamiento científico y proto-científico.

PUNTOS FIJOS INTRÍNSECOS
• Kripke introduce los puntos fijos intrínsecos como aquellos que asignan valor de verdad verdadero
en Λσ a oraciones infundadas que no pueden ser falsas y, a la vez, valor de verdad falso a las que no
pueden ser verdaderas. Estos puntos (o interpretaciones) no hacen asignaciones arbitrarias de
verdad que entre en conflicto con otras asignaciones de verdad. Por ejemplo, oraciones, tales
como (a): No es cierto que (a) y su negación sean verdaderas a la vez; son infundadas, pero
verdaderas en todo punto fijo en el que tienen un valor de verdad. Esta clase de punto fijo es la
que nos permite dar cuenta, por ejemplo, de las instancias de las tautologías de la lógica clásica y
de los principios filosóficos-científicos. Pero, dicho punto no se construye de acuerdo a la idea de
fundamentación, ni explica la diferencia entre oraciones infundadas no paradójicas y paradójicas.
Según Kripke (1997, p. 134):
• “(...) Hay (…) oraciones infundadas no paradójicas que tienen el mismo valor de verdad en todos los puntos fijos en los que
tienen un valor de verdad. Un ejemplo es el siguiente:
•
• (12): o (12) o su negación es verdadera.
•
• Es fácil mostrar que hay puntos fijos que hacen verdadera a (12) y ninguno que la haga falsa. No obstante, (12) es
infundada (no tiene ningún valor de verdad en el punto fijo mínimo [es decir, en el lenguaje objeto básico].
• Llámese intrínseco a un punto fijo si y solo si no asigna a ninguna oración un valor de verdad que entre en conflicto con su
valor de verdad en cualquier otro punto fijo. (…)”
• Bajo este criterio, la paradoja de Epiménides también sería considerada una oración con valor de
verdad en un punto fijo intrínseco. Epiménides afirma: “Todos los cretenses son mentirosos”. Ésta
es una oración infundada, no paradójica y falsa en todos los puntos fijos en los que tiene un valor
de verdad.

PUNTOS FIJOS MÁXIMOS
• Kripke (1997, pp. 114-115) llama puntos fijos maximales o máximos a los que otorgan,
consistentemente, tantos valores de verdad como es posible, en Λσ, a oraciones infundadas que
pueden ser verdaderas o falsas para las cuales existe una asignación de valores de verdad
consistente. De acuerdo a Kripke:
• “Desde hace mucho tiempo se ha reconocido que parte del problema intuitivo que tenemos con
oraciones del tipo del Mentiroso también se encuentra en oraciones como:
•
• (3): (3) es verdadera
•
• las cuales, aunque no son paradójicas, tampoco dan lugar a condiciones de verdad determinadas.
(…) Las oraciones como (3), aunque no son paradójicas, son infundadas. (…)”
•
• El punto fijo máximo nos permite trazar la distinción entre aquellas oraciones paradójicas y
aquellas meramente infundadas. La oración del Honesto (“Esta oración es verdadera”) puede ser
consistentemente verdadera o falsa, y conserva el mismo valor a lo largo de todo el proceso de
construcción del punto fijo, aunque la decisión por uno u otro valor es arbitraria. Sin embargo, no
podemos hacer lo mismo con el Mentiroso, porque en cuanto le adscribimos un valor definitivo,
éste fluctúa constantemente entre verdad y falsedad. (De Marco, 2007). Según Gupta y Belnap
(1993, p. 100): “Lo esencial acerca del Mentiroso parece ser su inestabilidad bajo la evaluación
semántica: no importa cual hipoteticemos que sea su valor, la evaluación semántica refuta nuestra
hipótesis”. Así, este punto fijo da cuenta de la diferencia intuitiva que hay en una y otra oración. El
Honesto es el modelo de las oraciones infundadas y no paradójicas, y el Mentiroso es el modelo de
oraciones infundadas y paradójicas. Luego, una oración será paradójica cuando no es posible
asignarle valores de verdad de modo consistente.

BUCLES O LOOPS
• El planteamiento de este punto fijo da lugar a lo que denominamos bucles
o loops. Los bucles o loops son ejemplos de paradojas circulares o de
sistemas de oraciones no autorreferentes. El valor de verdad de cada
oración de este tipo de sistemas está determinado como verdadero o
como falso, pues son oraciones con punto fijo máximo. La circularidad en
este tipo de oraciones hace que nunca en la explicitación de sus
condiciones veritativas nos encontremos con condiciones que no
contengan la noción de verdad aplicada a la misma oración. Cuatro
ejemplos podrán aclararnos el asunto. Este es el primer sistema finito
ideado por Kripke en su Esbozo: “Un par de oraciones cada una de las
cuales dice de la otra que es verdadera”.
• (1): (2) es verdadero
• (2): (1) es verdadero
• Aparentemente contradictorio con este primer esquema de oraciones, la
paradoja de Protágoras interpretada como un tipo de sistema de
oraciones también constituye un sistema de oraciones con punto fijo
máximo. De acuerdo a las ideas de Saúl Kripke, la paradoja de Protágoras
es una forma de oración infundada no paradójica, ya que aunque existe
autorreferencia indirecta o circularidad, no hay contradicción.

PARADOJA DE PROTÁGORAS
• “(…) Esta paradoja (…) se puede simplificar en el siguiente esquema de
proposiciones:
• Euatle dice: “Lo que dice Protágoras es falso” (A)
• Protágoras dice: “Lo que dice Euatle es falso” (B) ” (Pino, 2007)
• Si le damos la razón a Protágoras, lo que dice Euatle (llamemóslo A) es falso, es
decir B→∼A . Si dudamos de lo que dice Euatle, lo que dice Protágoras
(llamémoslo B) no es falso, es decir, ∼A→∼∼B. Si le damos la razón a Euatle, lo
que dice Protágoras es falso, es decir, A→∼B. Si dudamos de lo que dice
Protágoras, lo que dice Euatle no es falso, es decir, ∼B→∼∼A. Diremos a la luz de
estos resultados intuitivos que ¬A↔¬¬B así como que ¬B↔¬¬A. Esto genera dos
equivalencias tautológicas: A↔A y B↔B. Y si analizásemos de la misma forma:
• Protágoras dice: “Lo que dice Euatle es cierto”
• Euatle: “Lo que dice Protágoras es cierto“
• llegaríamos al mismo resultado. Este otro sistema es idéntico al primer sistema
finito de oraciones ideado por Kripke. Luego, en cuanto a la validez o verdad solo
existe circularidad, redundancia o trivialidad pero no contradicción.

MÁS EJEMPLOS DE LOOPS
• Enseguida, el tercer sistema finito cuyas oraciones tienen punto fijo máximo:
• (1): (2) es falsa
• (2): (3) es verdadera
• (3): (4) es verdadera
• (4): (1) no es verdadera
•
• Como sabemos este sistema también es verdadero o falso pero no fundado. Otro ejemplo
propuesto por el mismo Kripke lo constituye, el de una secuencia infinita de oraciones P, en
donde Pi dice que Pi+1 es verdadera. Este es el cuarto sistema de Kripke de infinitas oraciones:
• (1): (2) es verdadero
• (2): (3) es verdadero
• (3): (4) es verdadero
• (4): (5) es verdadero
• ...
• (Pi): Pi + 1 es verdadero
• ...
• todos estos 4 sistemas de oraciones o bucles tienen punto fijo máximo.