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TeoríA De Conjuntos
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TeoríA De Conjuntos

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SOBRE LOS CONJUNTOS

SOBRE LOS CONJUNTOS

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  • 1. TEORÍA DE CONJUNTOS PRIMERA PARTE
  • 2. DEFINICIÓN DE CONJUNTO • Se suele definir el conjunto como una colección de objetos. Así decimos que el conjunto de los jugadores de fútbol en la cancha por equipo tiene 11 elementos. Pero, esta forma de definición es circular. En primer lugar, así como un ‘conjunto’ puede definirse como una ‘colección’, fácilmente una ‘colección’ también podría definirse como un ‘conjunto’. En segundo lugar, el término ‘colección’ resulta tan oscuro como el término ‘conjunto’: lo único que puede decirse es que en el primer caso se alude a una actividad y en el segundo caso al resultado de esa actividad. • Necesariamente, las palabras que definan al conjunto deberán incluir información sobre su número de elementos (cardinal) y sus tipos de elementos. Tanto uno como el otro dato determinan de alguna manera la existencia de los conjuntos. Por ejemplo, una colección de 7 pares de medias no es la misma que 14 medias, pues difieren en sus cardinales (o números de elementos) y, además, mientras que los elementos del primer conjunto son conjuntos pares, los del segundo son conjuntos unitarios.
  • 3. DETERMINACIÓN DEL CONJUNTO • Intuitivamente, podemos decir que un conjunto es el resultado de reunir un grupo de elementos cualesquiera en forma explícita por extensión y por comprensión. Formalmente, un conjunto se representa mediante llaves. Por ejemplo: A = { X } (X representa el interior de un conjunto que podría estar dado por una sucesión). • Si definimos por extensión (=E) al conjunto A, dentro de esas llaves y en lugar de esa X escribiremos todos y cada uno de sus elementos. Por ejemplo: S1 =E {a, e, i, o, u} y S2 =E {2, 4, 6, ... } • Si definimos por comprensión (=C) al conjunto A, escribiremos una fórmula, regla, propiedad o característica que se cumpla para todos y cada uno de sus elementos. Por ejemplo: S1=C {x / x es una vocal del castellano } y S2=C {x / x es un número par}
  • 4. TIPOS DE CONJUNTOS CONJUNTO UNIVERSAL • Es el conjunto de todos los conjuntos. Por ejemplo si tenemos el conjunto de los leones (L), el • de los delfines (D), el de los monos (M), etc., podemos reunirlas en el conjunto de los mamíferos que los abarca a todos. El conjunto U de los mamíferos es el conjunto universal. U={L, D, M, …} • Es de notar que la clase universal es un concepto relativo por necesidad, puesto que si se • supone que el conjunto universal contiene a todos los conjuntos entonces estará contenido dentro de sí mismo y será un conjunto infundado o como diría Cantor una totalidad inconsistente que genera una regresión al infinito cuando tratamos de definirlo. Gráficamente, se representa mediante un cuadrilátero con una U en la esquina superior • derecha.
  • 5. TIPOS DE CONJUNTOS  CONJUNTO VACÍO  Es el conjunto formado por todos los objetos que no existen, es decir, no contiene elementos. Por ejemplo, el conjunto de todos los objetos que son círculos cuadrados. Esta cualidad ciertamente, es un absurdo, pero siento una cualidad, permite constituir un conjunto, si bien carente de elementos. Simbólicamente se representa por la letra griega “φ”. Representa como un diagrama sombreado.  Resaltemos que esta clase es en sí misma paradójica. Un conjunto que no tiene elementos sencillamente no es un conjunto. Además, dado que cero veces una cantidad es igual a cero, entonces 0 manzanas = 0 seres amarillos = 0 arañas, etc. Esto permite comprender que los elementos del conjunto vacío cumplen cualquier propiedad. Por ello, podemos afirmar que dichos elementos tienen todas las propiedades. Pero si esto es verdad, entonces también deberían tener la propiedad de no tener propiedades. Por ello, los elementos de φ no tienen todas las propiedades.
  • 6. TIPO DE CONJUNTOS CONJUNTO NO VACÍO • Es el conjunto que tiene al menos un elemento. Por ejemplo, el conjunto de • presidentes, o de constituciones, etc. Se representa mediante un diagrama con una X encima. El conjunto unitario de sólo un elemento también parece ser un sinsentido • como ocurre con e conjunto vacío. Ocurre que una colección debe ser de cosas pero mínimo de 2. Si un conjunto tiene solo 1 elementos no podría haber reunión o colección de objetos.
  • 7. TIPOS DE CONJUNTOS COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO • El conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los • elementos que no pertenecen a A. Por ejemplo, el conjunto complemento del conjunto de lo dulce, es el conjunto de lo agrio, el de los honrados, el conjunto de los deshonestos, etc. Entenderemos al conjunto complemento como aquello que le falta al conjunto para ser el conjunto universal. El símbolo del complemento es “–” (o una “ c ”) que se coloca encima de la letra del conjunto en referencia. Veamos dos posibles situaciones
  • 8. TIPOS DE CONJUNTOS RELACIONES DE DOS CONJUNTOS • Este es el diagrama de dos conjuntos, en el se representan las relación de inclusión o exclusión • que encontraremos en la proposición. Por lo tanto, describiremos las áreas numeradas. Área 1: Están los elementos que no pertenecen a S y que no pertenecen a P. • Área 2: Están los elementos que pertenecen a S pero que no pertenecen a P. • Área 3: Están los elementos que pertenecen a S y a la vez a P. • Área 4: Están los elementos que, no pertenecen a S pero si a P. •
  • 9. CARDINAL • El cardinal de un conjunto es su número de elementos. Como hemos podido darnos cuenta, el número de elementos es un criterio fundamental para clasificar a los conjuntos. • Básicamente, podemos dividir a los conjuntos en dos grandes grupos: aquellos que tienen cardinal finito (como el conjunto unitario o los no vacíos) y los que tienen cardinal infinito. Ejemplos: • Los Conjuntos Numéricos • N= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … } • Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …} • Q ={ …, 1/2, 1/3, 1/4, … } • C= {…, i, 2i, i -4, …} • N, Z Q C Y N tienen infinitos elementos. Pero no son igual de infinitos. Esto plantea la existencia de más de un infinito, una escala (tal vez infinita) de infinitos.