Reglas Para Cuantificadores

PROPOSICIONES CATEGÓRICAS Y REGLAS PARA CUANTIFICADORES

NOCIONES

PREVIAS

NOCIONES PREVIAS

PROPOSICIÓN SINGULAR

Aquella que tiene sujeto y predicado, pero carece de cuantificadores. Resultar ser un caso específico. Ej :

Juan es ingeniero

Alberto está casado con María

PROPOSICIÓN PARTICULAR (Proposiciones categóricas I y O)

Aquella cuantificada existencialmente. Muestra generalización parcial. Ej :

Algunas mujeres son reinas de belleza

Ciertas personas son honradas

PROPOSICIÓN UNIVESAL (Proposiciones categóricas A y E)

Aquella cuantificada universalmente. Muestra generalización total. Ej :

Todos los genios son matemáticos

El 100% de los obreros son humildes

PROPOSICIÓN CATEGÓRICA

Son aquellas proposiciones que establecen una relación de inclusión o exclusión (total o parcial) entre dos conjuntos de individuos: un sujeto y un predicado. A estos conjunto de individuos se les llama categorías y, precisamente por eso, al tipo de proposiciones que se construye con base en ellas se les llama proposiciones categóricas.

Ejemplos sencillos de proposiciones categóricas:

-Todas las aves son animales

-Todo león no es un pez

-Algún perro es consentido

-Alguna ave no es gallina

-Todos los pensionistas son pobres

-Ningún felino es lento

-Algún oso es viejo

-Algún libro no es comprado

CLASIFICACIÓN DE PROPOSICIONES CATEGÓRICAS

La cualidad o calidad de una proposición categórica indica si afirmamos algo del sujeto, o si negamos algo del mismo. Lo que afirmamos o negamos del sujeto es el predicado; por eso, cuando la cualidad es afirmativa decimos que el sujeto está incluido en el predicado, y cuando es negativa decimos que no lo está, que más bien está excluido . Las expresiones “son” y “no son” cumplen la función de unir o separar los términos de la proposición y por eso se les conoce con el nombre de cópula.

Según el verbo copulativo:

Afirmativas : Cuando se afirma que el sujeto está incluido en el predicado. Ejemplo: Todos los misioneros son humildes

Negativas : Cuando se niega que un sujeto esté incluido en un predicado. Ejemplo: Ningún gato es manso

CLASIFICACIÓN DE PROP. CATEGÓRICAS

Una vez que el verbo nos dice si hay un caso de exclusión o inclusión, nos preguntamos si se trata de una exclusión-inclusión total o parcial . La cantidad de una proposición categórica indica de cuántos individuos estamos hablando. Sin embargo, en la lógica aristotélica no se trata de decir en números de cuantos individuos hablamos, sino de decir solamente si hablamos de todos los individuos de un conjunto o de algunos de ellos. Las expresiones “Todos”, “Ningún” o “Algunos” cumplen la función de determinar la cantidad de la proposición y se les conoce con el nombre de cuantificadores . Estos indican si el término sujeto se toma en toda su extensión o solo en parte. En lógica de predicados las representaremos como una A y una E invertidas, así:  ( total inclusión o exclusión) y  ( parcial inclusión o exclusión).

Según su cantidad del término sujeto:

Universales : Cuando se detecta la presencia del cuantificador universal y se determina una relación de inclusión total. Ejemplo: Todas las plantas son seres vivos

Particulares : Cuando se detecta la presencia del cuantificador existencial y se determina una relación de inclusión parcial. Ejemplo: Algunas vacas son sagradas

CLASIFICACIÓN TOTAL

La cantidad y la cualidad de una proposición categórica son las que permiten definir completamente su estructura. Esto es algo muy útil, pues como solo hay dos tipos de cantidades, universal o particular, y solamente dos tipos de cualidad, afirmativa o negativa, entonces resulta que únicamente hay cuatro combinaciones posibles de cantidad y cualidad, es decir, solo 4 tipos posibles de proposiciones categóricas según su estructura, que son las siguientes:

Universales Afirmativas (llamadas tipo A)

Sea la proposición “Todo pez es acuático”. Esta indica que la clase pez está incluida totalmente en la clase acuático. Esta es una relación de inclusión total y se expresa por: “Todo S es P”

Universales Negativas (llamadas tipo E)

“ Ningún niño es viejo”. La anterior proposición indica que ningún elementos de la clase de los niños pertenece a la clase de los viejos. Esta es una relación de exclusión total y se expresa por “Ningún S es P”

Particulares Afirmativas (llamadas tipo I)

“ Algunos alumnos son artistas” es una proposición que señala que hay al menos uno de la clase de los alumnos que está incluido en la clase de los artistas. Esta es una relación de inclusión parcial y se expresa mediante “Algunos S son P”

Particulares Negativas (llamadas tipo O)

La proposición “Algunas rosas no son rojas” expresa que al menos una de las rosas no pertenecen a la clase de lo rojo. Aquí se establece una relación de exclusión parcial y se denota como “Algunos S no son P”

ANÁLISIS DE PROPOSICIONES CATEGÓRICAS TÍPICAS

“ Todo socialista es progresista”

ESTRUCTURA FORMAL

“ Todo S es P”

CANTIDAD Y CALIDAD

Universal y Afirmativa

LETRA TÍPICA

A

FÓRMULA TÍPICA

SaP

DIAGRAMA DE VENN

FÓRMULA BOOLEANA

DIAGRAMA DE VENN

“ Ningún serbio es polaco”

ESTRUCTURA FORMAL

“ Ningún S es P”

CANTIDAD Y CALIDAD

Universal y Negativa

LETRA TÍPICA

E

FÓRMULA TÍPICA

SeP

DIAGRAMA DE VENN

FÓRMULA BOOLEANA

DIAGRAMA DE VENN

“ Algún sacerdote es puntual”

ESTRUCTURA FORMAL

“ Algún S es P”

CANTIDAD Y CALIDAD

Particular y Afirmativa

LETRA TÍPICA

I

FÓRMULA TÍPICA

SiP

DIAGRAMA DE VENN

FÓRMULA BOOLEANA

DIAGRAMA DE VENN

“ Algún sólido no es plástico”

ESTRUCTURA FORMAL

“ Algún S no es P”

CANTIDAD Y CALIDAD

Particular y Negativa

LETRA TÍPICA

O

FÓRMULA TÍPICA

SoP

DIAGRAMA DE VENN

FÓRMULA BOOLEANA

DIAGRAMA DE VENN

REGLAS

REGLA DE EJEMPLIFICACIÓN UNIVERSAL (EU)

Podemos pasar de una proposición universal a una proposición singular.

1.  x B (x)

Significa:

Todos son buenos

Cualquier cosa es buena

Todo el mundo es bueno

Todo es bueno

En virtud de este significado, asumimos que si todos los elementos tienen cierta propiedad entonces cada uno de ellos tienen cierta propiedad.

Demostrar: “No existe ningún x que sea mamífero y que no sea vertebrado. Por ello, ya que el perro es mamífero, el perro es vertebrado”.

1.   x ( M(x)   V(x) ) //  M(p) -> V(p)

2.  x  ( M(x)   V(x) ) de 1 por IC

3.  x (  M(x)  V(x) ) de 2 por DM

4.  x ( M(x) -> V(x) ) de 3 por Def. ->

5. M(p) -> V(p) de 4 por EU

REGLA DE GENERALIZACIÓN UNIVERSAL (GU)

Podemos pasar de una proposición singular a una universal siempre y cuando dicha proposición particular provenga de una proposición universal.

De A(x) podemos derivar  x A(x) siempre y cuando la variable no sea débil o no este libre. Cuando una fórmula tiene cuantificadores sobre todas sus variables, se dice que tiene variables ligadas. Pero si alguna variable no estuviera cuantificada, se dice que está libre, libre de cuantificadores.

1.  x M(x)

2. M(p) de 1 por EU

3.  z M(z) de 2 por GU

Este es el famoso cambio de variable. Es lógico aceptar que si todos son felices, entonces pepe es feliz y si pepe es feliz, entonces todos son felices. Esto se explica ya que es contradictorio afirmar que si Juan es santo, entonces todos son santos.

REGLA DE EJEMPLIFICACIÓN EXISTENCIAL (EE)

Podemos pasar de una proposición particular a una singular si y solo si hablemos de un sujeto que cumple con la propiedad mencionada en la prop. particular

 x(A(x)  J(x)) . -> . A(  )  J(  )

Se lee: “Si algunos ahijados son justos, entonces  es ahijado y juez”.

 es una variable ambigua, pues aunque no se sabe a quien refiere se sabe que refiere al objeto indicado. Dos proposiciones particulares que cuantifican sobre las mismas variables no puede ejemplificarse con la misma variable ambigua. Ello derivaría en contradicciones.