¿QUÉ ES UNA PARADOJA? PRIMERA PARTE

ARGUMENTO VS ORACIÓN Empecemos por esclarecer los términos. Estrictamente, la paradoja lógica es la posibilidad increíble capaz de ser expresada, formalizada y estudiada mediante el lenguaje lógico. Técnicamente, la paradoja lógica se define como aquel argumento válido cuya conclusión es una contradicción del tipo p&¬p o del tipo V(p)↔F(p). Pero, si solo hay una premisa, dicha oración también será llamada paradoja lógica precisamente por ser el origen de la contradicción. Ahora bien, basándome en las declaraciones de los filósofos, he encontrado que las paradojas lógicas pueden ser entendidas en dos niveles. Por un lado, está el nivel argumentativo (defendido por autores como Hart, Russell y Northrop) y por otro lado, el nivel oracional (apoyado por autores como Popper, Kripke y García Zárate) . Si reduzco el argumento de la paradoja a la oración esencial “a” gracias a la cual derivamos que V(a)↔F(a), puedo decir que una paradoja oracional tiene las propiedades de autorreferencia infundada (directa o indirecta), circularidad y contradicción . Respecto a su definición técnica, la paradoja lógica entendida como un argumento tiene la forma lógica: P->(Q&¬Q) o P->(Q↔¬Q).

Empecemos por esclarecer los términos. Estrictamente, la paradoja lógica es la posibilidad increíble capaz de ser expresada, formalizada y estudiada mediante el lenguaje lógico.

Técnicamente, la paradoja lógica se define como aquel argumento válido cuya conclusión es una contradicción del tipo p&¬p o del tipo V(p)↔F(p). Pero, si solo hay una premisa, dicha oración también será llamada paradoja lógica precisamente por ser el origen de la contradicción.

Ahora bien, basándome en las declaraciones de los filósofos, he encontrado que las paradojas lógicas pueden ser entendidas en dos niveles. Por un lado, está el nivel argumentativo (defendido por autores como Hart, Russell y Northrop) y por otro lado, el nivel oracional (apoyado por autores como Popper, Kripke y García Zárate) .

Si reduzco el argumento de la paradoja a la oración esencial “a” gracias a la cual derivamos que V(a)↔F(a), puedo decir que una paradoja oracional tiene las propiedades de autorreferencia infundada (directa o indirecta), circularidad y contradicción .

Respecto a su definición técnica, la paradoja lógica entendida como un argumento tiene la forma lógica: P->(Q&¬Q) o P->(Q↔¬Q).

AUTORREFERENCIA La definición de ‘paradoja’ formulada por García Zárate (2007, p. 199) resalta formalmente su aspecto contradictorio y circular. Escribe en Lógica : “Las paradojas son tipos especiales de contradicción [aquella dada por una oración] cuya verdad implica su falsedad, del mismo modo que su falsedad implica su verdad” y como ejemplo de paradoja expone la paradoja del Mentiroso en su versión oracional más difundida: “Esta oración es falsa”. Notemos la presencia de la autorreferencia, es decir, la propiedad de un escrito, oración, proposición u otro ente de similares características de mencionarse a sí mismo mediante sus propios signos. Esta propiedad forma parte de muchas paradojas lógicas, pero no todas las oraciones autorreferidas son paradójicas. Por ejemplo, decir “Esta oración tiene 5 palabras” no genera una paradoja sino más bien una proposición verdadera. El problema surge cuando se usa el predicado de verdad en un sistema de oraciones. La autorreferencia está presente en la paradoja del Mentiroso, en la de la tarjeta de Jourdain, en la del libro antinómico de Tarski, y en otras versiones divulgadas por Kripke. Ella ha sido sospechosa de ser la principal causante del problema del fundamento de la verdad de oraciones como la del Mentiroso. Advertiremos que la ‘autorreferencia indirecta’ surge cuando se utiliza un sistema de oraciones en el que cada una se refiere a la siguiente oración afirmando que es verdadera a excepción de la última que afirma que la primera es falsa provocando así un ‘loop’ o ‘bucle extraño’. Veamos más de cerca los sistemas oracionales.

La definición de ‘paradoja’ formulada por García Zárate (2007, p. 199) resalta formalmente su aspecto contradictorio y circular. Escribe en Lógica : “Las paradojas son tipos especiales de contradicción [aquella dada por una oración] cuya verdad implica su falsedad, del mismo modo que su falsedad implica su verdad” y como ejemplo de paradoja expone la paradoja del Mentiroso en su versión oracional más difundida: “Esta oración es falsa”.

Notemos la presencia de la autorreferencia, es decir, la propiedad de un escrito, oración, proposición u otro ente de similares características de mencionarse a sí mismo mediante sus propios signos.

Esta propiedad forma parte de muchas paradojas lógicas, pero no todas las oraciones autorreferidas son paradójicas. Por ejemplo, decir “Esta oración tiene 5 palabras” no genera una paradoja sino más bien una proposición verdadera. El problema surge cuando se usa el predicado de verdad en un sistema de oraciones.

La autorreferencia está presente en la paradoja del Mentiroso, en la de la tarjeta de Jourdain, en la del libro antinómico de Tarski, y en otras versiones divulgadas por Kripke. Ella ha sido sospechosa de ser la principal causante del problema del fundamento de la verdad de oraciones como la del Mentiroso. Advertiremos que la ‘autorreferencia indirecta’ surge cuando se utiliza un sistema de oraciones en el que cada una se refiere a la siguiente oración afirmando que es verdadera a excepción de la última que afirma que la primera es falsa provocando así un ‘loop’ o ‘bucle extraño’. Veamos más de cerca los sistemas oracionales.

SISTEMAS DE ORACIONES Los sistemas de oraciones con forma similar que utilizan la autorreferencia indirecta serán considerados la única premisa del argumento paradójico. Cuando veamos una paradoja que contiene más de una oración pensemos en si es posible subsumirlas en una sola. Esta idea encuentra justificación en la pretensión de Tarski de reducir toda paradoja a una oración autorrefererida construida con términos semánticos circulares; y en el hecho de que todo argumento es una oración. Pero la propuesta de Tarski olvida considerar los sistemas de oraciones los cuales tienen la propiedad de la autorreferencia indirecta como ocurre en la tarjeta de Jourdain, o en la paradoja del libro antinómico de Tarski. En apariencia son muchas oraciones pero formalmente son semejantes. Por ejemplo, observemos este bucle finito de 4 oraciones y este otro de sólo 3:

Los sistemas de oraciones con forma similar que utilizan la autorreferencia indirecta serán considerados la única premisa del argumento paradójico. Cuando veamos una paradoja que contiene más de una oración pensemos en si es posible subsumirlas en una sola.

Esta idea encuentra justificación en la pretensión de Tarski de reducir toda paradoja a una oración autorrefererida construida con términos semánticos circulares; y en el hecho de que todo argumento es una oración.

Pero la propuesta de Tarski olvida considerar los sistemas de oraciones los cuales tienen la propiedad de la autorreferencia indirecta como ocurre en la tarjeta de Jourdain, o en la paradoja del libro antinómico de Tarski. En apariencia son muchas oraciones pero formalmente son semejantes. Por ejemplo, observemos este bucle finito de 4 oraciones y este otro de sólo 3:

SISTEMAS DE ORACIONES SISTEMA 1 (S 1 ) SISTEMA 2 (S 2 ) (1) La oración (2) es verdadera. (1) Las oración (2) es verdadera. (2) La oración (3) es verdadera. (2) Las oración (3) es verdadera. (3) La oración (4) es verdadera. (3) Las oración (1) es falsa. (4) La oración (1) es falsa. El primer sistema finito oracional de 4 oraciones y el segundo sistema oracional de 3 oraciones serán consideradas cada una las únicas premisas genéricas de sus respectivos argumentos: Oración Genérica de (S 1 ) (X) La oración ((-2/3)X 3 +4X 2 +(-19/3)X+5) tiene la propiedad de ser Y, donde si X=1, X=2 y X=3, Y es el predicado ‘verdadera’, pero si X=4, Y es el predicado ‘falsa’. Oración Genérica de (S 2 ) (W) La oración ((-3/2)W 2 +(11/2)W-2) tiene la propiedad de ser Z, donde si W=1 y W=2, Z es el predicado ‘verdadero’, pero si W=3, Z es el predicado ‘falsa’.

SISTEMA 1 (S 1 ) SISTEMA 2 (S 2 )

(1) La oración (2) es verdadera. (1) Las oración (2) es verdadera.

(2) La oración (3) es verdadera. (2) Las oración (3) es verdadera.

(3) La oración (4) es verdadera. (3) Las oración (1) es falsa.

(4) La oración (1) es falsa.

El primer sistema finito oracional de 4 oraciones y el segundo sistema oracional de 3 oraciones serán consideradas cada una las únicas premisas genéricas de sus respectivos argumentos:

Oración Genérica de (S 1 )

(X) La oración ((-2/3)X 3 +4X 2 +(-19/3)X+5) tiene la propiedad de ser Y,

donde si X=1, X=2 y X=3, Y es el predicado ‘verdadera’, pero si X=4, Y es el predicado ‘falsa’.

Oración Genérica de (S 2 )

(W) La oración ((-3/2)W 2 +(11/2)W-2) tiene la propiedad de ser Z,

donde si W=1 y W=2, Z es el predicado ‘verdadero’, pero si W=3, Z es el predicado ‘falsa’.

TARJETA DE P. E. B. JOURDAIN En la paradoja de la Tarjeta de Philip Edward Bertrand Jourdain se presenta una tarjeta en uno de cuyos lados esta escrita la oración: (1) Al dorso de esta tarjeta hay una oración verdadera Se da la vuelta a la tarjeta y se lee lo siguiente: (2) Al dorso de esta tarjeta hay una oración falsa La única forma genérica de esta paradoja es (X) La oración (X + (-1) (X-1)) tiene la propiedad de ser Y, donde si X=1, Y es “verdadera”, y si X=2, Y es “falsa”. A continuación, recurriremos a la argumentación tanto en el argumento A como en el argumento B: Argumento A : Si (1) es verdadera, entonces (2) tiene que ser verdadera, y, por lo tanto, (1) tiene que ser falsa. (V(1)->F(1)). Si (1) es falsa, entonces (2) tiene que ser falsa y, por lo tanto, (1) tiene que ser verdadera. (F(1)->V(1)) Argumento B : Si (2) es verdadera, entonces (1) tiene que ser falsa, y, por lo tanto, (2) tiene que ser falsa. (V(2)->F(2)). Si (2) es falsa, entonces (1) tiene que ser verdadera, y por lo tanto (2) tiene que ser verdadera. (F(2)->V(2)). En consecuencia, tenemos dos situaciones paradójicas que se apoyan entre sí: (1) es verdadera sii (1) es falsa. (V(1)↔F(1)) (2) es falsa sii (2) es verdadera . (F(2)↔V(2))

En la paradoja de la Tarjeta de Philip Edward Bertrand Jourdain se presenta una tarjeta en uno de cuyos lados esta escrita la oración:

(1) Al dorso de esta tarjeta hay una oración verdadera

Se da la vuelta a la tarjeta y se lee lo siguiente:

(2) Al dorso de esta tarjeta hay una oración falsa

La única forma genérica de esta paradoja es

(X) La oración (X + (-1) (X-1)) tiene la propiedad de ser Y, donde si X=1, Y es “verdadera”, y si X=2, Y es “falsa”. A continuación, recurriremos a la argumentación tanto en el argumento A como en el argumento B:

Argumento A : Si (1) es verdadera, entonces (2) tiene que ser verdadera, y, por lo tanto, (1) tiene que ser falsa. (V(1)->F(1)). Si (1) es falsa, entonces (2) tiene que ser falsa y, por lo tanto, (1) tiene que ser verdadera. (F(1)->V(1))

Argumento B : Si (2) es verdadera, entonces (1) tiene que ser falsa, y, por lo tanto, (2) tiene que ser falsa. (V(2)->F(2)). Si (2) es falsa, entonces (1) tiene que ser verdadera, y por lo tanto (2) tiene que ser verdadera. (F(2)->V(2)).

En consecuencia, tenemos dos situaciones paradójicas que se apoyan entre sí:

(1) es verdadera sii (1) es falsa. (V(1)↔F(1))

(2) es falsa sii (2) es verdadera . (F(2)↔V(2))

TEOREMA El número de paradojas obtenidas depende del número de oraciones involucradas. Por ello en la paradoja de Jourdain tenemos 2 paradojas, en la del sistema S 1 tenemos 4 paradojas, etc. Además, la forma de todas esas paradójicas oraciones-conclusiones resultantes es reductible a ésta:  n V(n)↔F(n), donde n es el número de una oración de un sistema paradójico. También notemos que el menor número de oraciones necesario para dejar de lado la autorreferencia (directa) es dos, por este motivo todas aquellas oraciones autorreferentes que tengan la posibilidad de reproducir el Mentiroso y que tengan más de dos premisas podrán ser reducidas a la paradoja de la tarjeta de Jourdain, que a su vez se reduce a la del Mentiroso.

El número de paradojas obtenidas depende del número de oraciones involucradas. Por ello en la paradoja de Jourdain tenemos 2 paradojas, en la del sistema S 1 tenemos 4 paradojas, etc.

Además, la forma de todas esas paradójicas oraciones-conclusiones resultantes es reductible a ésta:

 n V(n)↔F(n), donde n es el número de una oración de un sistema paradójico.

También notemos que el menor número de oraciones necesario para dejar de lado la autorreferencia (directa) es dos, por este motivo todas aquellas oraciones autorreferentes que tengan la posibilidad de reproducir el Mentiroso y que tengan más de dos premisas podrán ser reducidas a la paradoja de la tarjeta de Jourdain, que a su vez se reduce a la del Mentiroso.

También conocida como la ‘paradoja de los términos heterológicos’. Según ella, muchas expresiones del lenguaje corriente pueden dividirse en autológicas y heterológicas. Expresiones autológicas son las que se refieren, describen o designan a sí mismas, esto es, expresiones de la forma: ‘ t ’ es t . Ejemplos de ellas en español son: ‘breve’ (que es breve); ‘escrito en español’ (que está escrito en español); ‘impreso en negro’ (que está impreso en negro); ‘consta de cuatro palabras’ (que consta de cuatro palabras); 'polisilábica' (la cual es polisilábica), ‘inglés' (la cual está en inglés), ‘nombre‘ (que es un nombre (sustantivo)). Expresiones heterológicas son las que no se describen a sí mismas, esto es expresiones de la forma: ‘ t ’ no es t . Ejemplos de ellas son: ‘escrito en francés’ (que no está escrito en francés); ‘impreso en rojo’ (que no está impreso en rojo); ‘consta de dos palabras’ (que no consta de dos palabras); ‘monosilábico‘ (que no es monosilábico), ‘chino‘ (que no está en chino), 'verbo' (que no es un verbo), etc. Ahora se presenta el siguiente enigma: ¿ ‘heterológica‘ es heterológica o autológica?. Si ‘heterológica’ es heterológica, entonces ya que se describe a sí misma, ella es autológica. Pero, si ‘heterológica’ es autológica, entonces ya que es una palabra que no se describe a sí misma, ella es heterológica. PARADOJA DE GRELLING

También conocida como la ‘paradoja de los términos heterológicos’. Según ella, muchas expresiones del lenguaje corriente pueden dividirse en autológicas y heterológicas.

Expresiones autológicas son las que se refieren, describen o designan a sí mismas, esto es, expresiones de la forma: ‘ t ’ es t . Ejemplos de ellas en español son: ‘breve’ (que es breve); ‘escrito en español’ (que está escrito en español); ‘impreso en negro’ (que está impreso en negro); ‘consta de cuatro palabras’ (que consta de cuatro palabras); 'polisilábica' (la cual es polisilábica), ‘inglés' (la cual está en inglés), ‘nombre‘ (que es un nombre (sustantivo)).

Expresiones heterológicas son las que no se describen a sí mismas, esto es expresiones de la forma: ‘ t ’ no es t . Ejemplos de ellas son: ‘escrito en francés’ (que no está escrito en francés); ‘impreso en rojo’ (que no está impreso en rojo); ‘consta de dos palabras’ (que no consta de dos palabras); ‘monosilábico‘ (que no es monosilábico), ‘chino‘ (que no está en chino), 'verbo' (que no es un verbo), etc.

Ahora se presenta el siguiente enigma: ¿ ‘heterológica‘ es heterológica o autológica?.

Si ‘heterológica’ es heterológica, entonces ya que se describe a sí misma, ella es autológica. Pero, si ‘heterológica’ es autológica, entonces ya que es una palabra que no se describe a sí misma, ella es heterológica.