FUENTE: PRIEST, Graham.  Paraconsistency and Dialetheism EXPOSITOR: Rafael Mora
<ul><li>El desarrollo de la lógica moderna esta conectada con el tema de los fundamentos de la matemática. Cuando se logro...
<ul><li>Los matematicos frente a esto propusieron varios formas de restriccion en el anterior principio. Pero se critica s...
<ul><li>Las paradojas de la teoría de conjuntos constituyen pruebas para el dialeteismo. Las soluciones que se han dado co...
<ul><li>Pero un punto de vista dialeteico ni altera el esquema de comprensión ni niega las contradicciones. Recordemos que...
<ul><li>Tenemos dos consideraciones concernientes a la extensionalidad. La natural condicion de identidad conjuntista es c...
<ul><li>El problema es que de la misma manera que hay mas de un nulo, podría haber mas de un universal. Esto implica que l...
<ul><li>El primer teorema de Gödel dice que cualquier teoría consistente de la aritmética es incompleta. La paraconsistenc...
<ul><li>Consideremos T, hay una sentencia de variable libre   (x) tal que para alguna oración,   , si      T,   (<  ...
<ul><li>La paraconsistencia no destruye los Teoremas de Gödel. Supuesta la consistencia de una teoría ella socaba cualquie...
<ul><li>¿Cuál es la oración indecidible? Usemos ‘├’ para designar la noción de probabilidad. Es cierto que lo que es proba...
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Los Fundamentos De Las MatemáTicas

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Los Fundamentos De Las MatemáTicas

  1. 1. FUENTE: PRIEST, Graham. Paraconsistency and Dialetheism EXPOSITOR: Rafael Mora
  2. 2. <ul><li>El desarrollo de la lógica moderna esta conectada con el tema de los fundamentos de la matemática. Cuando se logro definir a los números racionales, irracionales y complejos en base a los números naturales se quiso entender la naturaleza de estos últimos. La vía logicista de Frege sostenía que ellos son susceptibles de ser formulados en términos lógicos. El principio de comprensión establecía que para cada propiedad hay una extensión asociada a ella: </li></ul><ul><li> y(y  {x;  (x)}↔  (y)), esto se lee: “Para todo y, y pertenece al conjunto de x tales que se le aplican la función  , si y solo si a y se le aplica la función  . </li></ul><ul><li>Sin embargo esta teoría de conjuntos era inconsistente. Russell basándose en las paradojas de Cantor y Burali-Forti elaboro la suya. Para formularla reemplacemos la fórmula  (x) por x  x en el principio antedicho: </li></ul><ul><li> y(y  {x; x  x }↔y  y) </li></ul><ul><li>Ahora escribamos {x; x  x } como r, e instanciemos el cuantificador con esta r, esto producirá la siguiente fórmula, si aceptamos principios lógicos tales como la ley del tercio excluido o la consecuencia mirabilis: (¬A->A.->.A) (estudiemosla por medio de una reduccion al absurdo) </li></ul><ul><li>r  r↔ r  r </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Los matematicos frente a esto propusieron varios formas de restriccion en el anterior principio. Pero se critica si la teoría de conjuntos es parte de la lógica o de la matemática. Hilbert quería que la matemática fuese formulada sobre unas bases sólidas y completamente lógicas. Creía que, en principio, esto podía lograrse, mostrando que: </li></ul><ul><li>toda la matemática se sigue de un sistema finito de axiomas escogidos correctamente; y </li></ul><ul><li>que tal sistema axiomático se puede probar consistente. </li></ul><ul><li>Pero, su intento de dar soporte a la matemática axiomatizada con principios definidos, que eliminaría las incertidumbres teóricas, iba sin embargo a acabar en derrota. Gödel mostró que en la teoria consistente de la aritmética habian sentencias que ni elllas ni su negación se podían probar. Una teoría consistente que contenga enunciados aritmetico no puede probar su consistencia en ella misma. Para confundir aún más Gödel demostró que dada una teoría intuitivamente correcta algunas sentencias improbables en el mismo sistema se podrían demostrar que eran verdaderas. </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Las paradojas de la teoría de conjuntos constituyen pruebas para el dialeteismo. Las soluciones que se han dado consisten en restringir el esquema de comprensión. Aquí pasa lo mismo que en las paradojas semánticas. La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel es un modelo intuitivo (la jerarquía acumulativa) que describe una estructura conjuntista que empieza desde el conjunto vacío aplicando el conjunto potencia iterativamente. La construcción se puede hacer con números ordinales. De esta forma se controla el principio de comprensión haciendo que sus instancias sean coherentes con este esquema restringido. </li></ul><ul><li>Sin embargo, es dificil pensar que fuera de la jerarquia no hay conjuntos. Nada impide que existan nuevos contraejemplos al nuevo principio de comprensión. Por ejemplo, los conjunto no bien fundados. Además, la misma practica matemática exige hablar de todos los conjuntos. ¿Que pasa cuando hablamos de todos los conjuntos? Se supone que no está en la jerarquia, pues si lo fuese se produciría contradicción debido a que habría conjuntos que se contienen a sí mismos. </li></ul><ul><li>Otro argumento más fundamental va de la mano con el principio de dominio enunciado por Cantor: si los enunciados cuantificados tienen sentido, entonces ellos deben estar en una cierta totalidad de la cuantificación. Por ejemplo, si x 2 =4, entonces si x está en el dominio de los reales, habrán dos raíces, pero si está sobre los naturales habra solo uno. Ahora, las oraciones de la teoría de conjuntos que hablan sobre todos los conjuntos deberían tener un sentido. Pero esta colección no está localizada en la teoría, a pesar de su sentido asociado. </li></ul>
  5. 5. <ul><li>Pero un punto de vista dialeteico ni altera el esquema de comprensión ni niega las contradicciones. Recordemos que una lógica es paraconsistente si no permite la explosión, es decir, si sólo algunas fórmulas son verdaderas de tal modo que no haya trivialidad. Esto ocurre, por ejemplo, con la lógica relevante de Brady (1989) quien para evitar una explosión al estilo de las paradojas de Curry deja de lado la antes mencionada contracción. Si tenemos como esquema de comprensión a : </li></ul><ul><li> y(y  {x; x  x->  }↔(y  y->  )) </li></ul><ul><li>Podemos reemplazar lo que esta entre parentesis con c, y luego de ejemplificar usando c podemos obtener: </li></ul><ul><li>c  c↔(c  c->  ) </li></ul><ul><li>En este caso, la teoría de conjuntos basados en el esquema de comprensión resulta inconsistente, pero no trivial. Llamemosla teoría relevante ingenua de conjuntos. </li></ul><ul><li>A partir de este tipo de teoría conjuntista queremos obtener la teoría de conjuntos estandar. Para ello preguntaremos si podemos obtener una reducción de la teoría de números a la de conjuntos. Pero estas preguntas aun son una cuestion no resuelta del todo. </li></ul>
  6. 6. <ul><li>Tenemos dos consideraciones concernientes a la extensionalidad. La natural condicion de identidad conjuntista es co-extensional: dos conjuntos son los mismos si tienen los mismos miembros. </li></ul><ul><li> x(  )->{x;  }={x;  }; donde  es el condicional material (a  b) = (a&b) o (¬b&¬a) </li></ul><ul><li>En el caso de la teoría relevante ingenua de conjuntos esta equivalencia produce problemas: dejemos que r sea {x;x  x}. Podemos demostrar que: r  r & r  r. Ahora podemos tener que  r  r. y si ejemplificamos debidamente el esquema de identidad podemos obtener por modus ponens {x;  }={x; r  r}. De aquí se sigue que todos los conjuntos son idénticos. El problema se hara relativo a la no identidad de conjutnos vacíos si reemplazamos  por ↔, ya que si bien es cierto que </li></ul><ul><li>¬  z z  x  x c y ¬  z z  y  y c donde x c es el complemente de x, {y;y  x} </li></ul><ul><li>De aquí se deduce que x  x c y también y  y c aunque son vacios no son idénticos pues las contradicciones arbitrarias no son equivalentes; </li></ul><ul><li>((z  x) & (z  x) ↔ (z  y) & (z  y)) </li></ul>
  7. 7. <ul><li>El problema es que de la misma manera que hay mas de un nulo, podría haber mas de un universal. Esto implica que la extensionalidad sea parte esencial de la teoría de conjuntos. Pero, ¿cómo pueden ayudar en este caso las explicaciones dialeteicas de los conjuntos? Podríamos redefinir todo en términos de materiales condicionales y bicondicionales. De esta forma el argumento de que todos los conjuntos son identicos no se deriva pues no se acepta el Silogismo Disyuntivo. Esta teoría como la de ZF es muy débil. </li></ul><ul><li>Afortunadamente, podemos hacer de algun modelo ZF que sea extendido a un modelo simple e ingenuo de TC (teoría de conjuntos). Por ello la TC puede ser interpretada como una descripcion de una consistente subestructura del universo de los conjuntos. Esto es malo para el logicismo pues se llega a conclusión de que los principios artiméticos no se derivan de los axiomas de TC. </li></ul>
  8. 8. <ul><li>El primer teorema de Gödel dice que cualquier teoría consistente de la aritmética es incompleta. La paraconsistencia muestra que esto es absolutamente necesario. </li></ul><ul><li>La existencia de teorías completas pero inconsistentes se sigue de una construcción modelo-teórica llamada Lema de Colapso. Este lema establece que cualquier verdad en la original interpretación es verdad en la interpretación colapsada. Esto hace que cosas sin identidad alguna puedan ser relacionadas mediante el signo de la identidad por lo mismo que el modelo se trivializa. Este lema aplicado a la interpretación simbólica da lugar a un modelo de una teoría inconsistente que contiene la aritmética clásica. </li></ul><ul><li>Ahora, elijamos una relación que haga colapsar a un modelo finito. Sea T la teoría del modelo colapsado. Desde que tiene un modelo finito que es decidible, T también será decidible. Y forzosamente, será axiomática. Por ello, T será una axiomática teoría de la aritmética. Ella será inconsistente y completa. </li></ul><ul><li>Demos ahora el segundo teorema de la aritmética: Si una teoría de la aritmética es consistente, la consistencia de la teoría no puede ser probada en la teoría misma. Se piensa que la consistencia y la no-trivialidad son iguales. Pero en la lógica paraconsistente esto no es así. T por ejemplo es inconsistente pero no trivial. Un problema serio sería considerar si la no-trivialidad de una inconsistente pero no trivial teoría puede ser probada en la misma teoría es algo real. </li></ul>
  9. 9. <ul><li>Consideremos T, hay una sentencia de variable libre  (x) tal que para alguna oración,  , si   T,  (<  >) es verdad, y si  T entonces ¬  (<  >) es verdad (<  > es el numeral del numero codificado de  . Si una relación de = no se da, entonces tenemos que 1=0  T, y entonces ¬  (<1=0>)  T. De aquí, T es no trivial y la oración de T que dice que T es no trivial es probable en T. Entonces, el segundo teorema de incompletud de Gödel falla porque no puede dar cuenta de que la no-trivialidad no es sinónimo de consistencia. </li></ul><ul><li>¿Qué pasa con el programa de Hilbert? Si bien este programa requiere una entera formalización de la matemática, las motivaciones de Hilbert no necesitan de la formalización para ser consistente. Instrumentalmente, no importa lo que suceda fuera del núcleo. El punto es que una extensión sea conservativa sobre el área nuclear. En este sentido, la teoría inconsistente es compatible con el programa de Hilbert. Sin embargo, en este caso lo buscado no es lo mismo que lo proporcionado. Y esto por dos motivos: en primer lugar, si podemos obtener tanto la oración de que T es no-trivial y de que no lo es, la prueba anterior sería discutible; en segundo lugar, T no es una extensión conservativa de las ecuaciones numéricas verdaderas. Si no hay garantías de que la teoría sea axiomatizable, entonces el modelo colapsado no es finito. (Problema sin resolver: ¿Hay o no colapsos de modelos no estándar de esta clase donde la teoría del modelo colapsado es axiomatizable o hay otras teorías axiomáticas inconsistentes con partes ecuacionales consistentes?) </li></ul>
  10. 10. <ul><li>La paraconsistencia no destruye los Teoremas de Gödel. Supuesta la consistencia de una teoría ella socaba cualquier consecuencia discutible. Pero estamos interesados en las teorías verdaderas. Desde que el dialeteismo es tenido en cuenta no podemos asumir que cualquier teoría matemática verdadera es consistente. ¿Qué pasa con la Aritmética? ¿podemos suponer que es inconsistente? </li></ul><ul><li>Por el teorema de Gödel mencionado ya: dada una axiomática e intuitivamente correcta teoría de la aritmética; hay una sentencia que no es probable en la teoría, pero que puede ser verdadera por un razonamiento intuitivo. Es la fórmula que dice de sí misma que no es probable. </li></ul><ul><li> = ¬  (<  >) </li></ul><ul><li>Al igual que los estudiantes aprenden matemáticas por absorción y de pronto reconocen sentencias coherentes y las distinguen de las falsas; de la misma manera, podemos reconocer un número infinito de oraciones gramaticales con sentido. Consideremos  para este sistema de prueba. Por el teorema, si es sistema es consistente, no podemos probarla en el sistema. Pero (por el mismo teorema) podemos probarla en una forma intuitiva. Luego por modus ponens, se sigue que el sistema es inconsistente. Este es un nuevo argumento a favor del dialeteismo. </li></ul>
  11. 11. <ul><li>¿Cuál es la oración indecidible? Usemos ‘├’ para designar la noción de probabilidad. Es cierto que lo que es probable es verdad. </li></ul><ul><li> ├  (<  >)  </li></ul><ul><li>En particular, ├  (<  >)  ¬  (<  >) </li></ul><ul><li>De aquí se sigue que ├¬  (<  >), es decir, ├  . </li></ul><ul><li>Ahora bien desde que probamos  , también demostramos que ├  (<  >), es decir, ├¬  </li></ul><ul><li>De este modo vemos que la sentencia indecidible es una de las contradicciones. Si T es un sistema formal, tanto  como ¬  están en T. Entonces,  T ó  T. Pero en este caso, ¬  (<  >)  T , luego (phi-out)  T. Pero, entonces  (<  >)  T, y luego (phi-in) ¬  T . </li></ul><ul><li>La aritmética es inconsistente, pues podemos probar ciertas contradicciones como  . De hecho, ella es como la paradoja del mentiroso: “Esta oración no es demostrable”. Si es probable, es verdadera y luego será no probable. Pero justamente lo que hemos demostrado es que es demostrable. Esta será la paradoja de Gödel. </li></ul>
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