LÓGICA DE PRIMER ORDEN
LA NECESIDAD DE LA LÓGICA DE PRIMER GRADO <ul><li>La lógica proposicional se revela como insuficiente al poder explicar la...
SINTAXIS BÁSICA <ul><li>1. Símbolos para individuos </li></ul><ul><li>1.1 Constantes individuales: a, b, c, d, … </li></ul...
SIMBOLIZACIÓN <ul><li>Pasemos “Juan es ingeniero” al lenguaje simbólico </li></ul><ul><li>I (j), donde el nombre j refiere...
CUANTIFICADORES USUALES <ul><li>Consideremos un universo de 2 personas: Marcos (m) y Ana (a). </li></ul><ul><li>PARTICULAR...
CUANTIFICADOR INUSUAL <ul><li>NADIE: ningún objeto x, es tal que  ->   x </li></ul><ul><li>Nadie es feliz  ->   x F(x)...
REGLAS DE INTERCAMBIO DE CUANTIFICADORES <ul><li> x P(x)  ↔ ~  x  ~ P(x) </li></ul><ul><li>Todos los x son justos sii no...
EJEMPLO <ul><li>Reduce. “Es imposible que cierta persona sea corruptible si es que es amable y bondadoso” </li></ul><ul><l...
USO DE LA LÓGICA DE PRIMER GRADO <ul><li>Ahora que ya tenemos mayor dominio podemos simbolizar la expresión que estábamos ...
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LóGica De Primer Orden

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LóGica De Primer Orden

  1. 1. LÓGICA DE PRIMER ORDEN
  2. 2. LA NECESIDAD DE LA LÓGICA DE PRIMER GRADO <ul><li>La lógica proposicional se revela como insuficiente al poder explicar la validez de enunciados como: “Si Gabriel le dio el libro a Diego entonces alguien le dio el libro a Diego”. Porque mediante la lógica proposicional cuando simbolizamos este argumento claramente válido obtenemos p -> q que no es tautológico sino más bien consistente. </li></ul><ul><li>Es por ello que tenemos que recurrir a una lógica de mayor capacidad analítica como la lógica de primer orden que nos va permitir darle cabida a nuestras intuiciones acerca de lo válido y lo inválido. Urge por lo tanto, ampliar el lenguaje para que pueda aumentar su expresividad. </li></ul>
  3. 3. SINTAXIS BÁSICA <ul><li>1. Símbolos para individuos </li></ul><ul><li>1.1 Constantes individuales: a, b, c, d, … </li></ul><ul><li>1.2. Variables individuales: x, y, z, … </li></ul><ul><li>2. Símbolos para predicados: F, G, H, … </li></ul><ul><li>3. Símbolos para relaciones: R, S, T, … </li></ul><ul><li>4. Símbolos para cuantificadores:  y  </li></ul><ul><li>5. Conectores lógicos:  ,  , ->, ↔, ↔,  </li></ul><ul><li>6. Símbolos de ordenación: (, ), [, ], {, }, … </li></ul>
  4. 4. SIMBOLIZACIÓN <ul><li>Pasemos “Juan es ingeniero” al lenguaje simbólico </li></ul><ul><li>I (j), donde el nombre j refiere al sujeto “Juan” e I refiere a la propiedad de “ser ingeniero”. </li></ul><ul><li>Hagamos lo propio con “Eva y Fico se aman” </li></ul><ul><li>A (e,f) donde los nombres e y f refieren a Eva y Fico respectivamente y A es la relación diádica de “amar a”. </li></ul><ul><li>Otra vez: “Teresa le debe 500 soles a José” </li></ul><ul><li>D (t, p, j), donde t, p y j refieren a Teresa, 500 y José y además, D es la relación triádica de “deber a” </li></ul><ul><li>Ahora: “Todos los santos son piadosos y todos los hombres aman a todas las mujeres” </li></ul><ul><li> x(S(x) ->P(x) )   x  y( H(x)  M(y) -> A(x,y) ) </li></ul>
  5. 5. CUANTIFICADORES USUALES <ul><li>Consideremos un universo de 2 personas: Marcos (m) y Ana (a). </li></ul><ul><li>PARTICULAR (EXISTENCIAL) </li></ul><ul><li>Alguien: Algún objeto, x, es tal que ->  x </li></ul><ul><li>Ejemplo: Alguien es feliz ->  x F(x) </li></ul><ul><li>Esto significa que F(m)  F(a) </li></ul><ul><li>UNIVERSAL </li></ul><ul><li>Todos: Cada objeto x, es tal que ->  x </li></ul><ul><li>Ejemplo: Todos son felices ->  x F(x) </li></ul><ul><li>Esto significa que F(m)  F(a) </li></ul>
  6. 6. CUANTIFICADOR INUSUAL <ul><li>NADIE: ningún objeto x, es tal que ->  x </li></ul><ul><li>Nadie es feliz ->  x F(x) </li></ul><ul><li>Esto significa que es imposible que alguien sea feliz, es decir, </li></ul><ul><li>~F(m)  ~F(a) </li></ul>
  7. 7. REGLAS DE INTERCAMBIO DE CUANTIFICADORES <ul><li> x P(x) ↔ ~  x ~ P(x) </li></ul><ul><li>Todos los x son justos sii no es el caso que algún x sea injusto (o no existe algún x que sea injusto, o no existe nadie que sea injusto) </li></ul><ul><li> x ~ P(x) ↔ ~  x P(x) </li></ul><ul><li>Todos los x son injustos sii no existe ni al menos un x que sea justo (o no hay nadie que sea justo) </li></ul><ul><li>~  x P(x) ↔  x ~ P(x) </li></ul><ul><li>No todo x es justo sii existe algún x que es injusto. </li></ul><ul><li>~  x ~P(x) ↔  x P(x) </li></ul><ul><li>No todo x es injusto sii existe algún x que es justo. </li></ul>
  8. 8. EJEMPLO <ul><li>Reduce. “Es imposible que cierta persona sea corruptible si es que es amable y bondadoso” </li></ul><ul><li>1. ~  x [(A(x)  B(x)) -> C(x) ] 2. ~~  x ~[(A(x)  B(x)) -> C(x) ] de 1por IC </li></ul><ul><li>3.  x ~[~(A(x)  B(x))  C(x) ] de 2 def. -> </li></ul><ul><li>4.  x ~~(A(x)  B(x))  ~C(x) de 3 DM </li></ul><ul><li>5.  x [(A(x)  B(x))  ~C(x)] de 4 por DN </li></ul><ul><li>5 se lee: “Todos las personas son amables, bondadosas y no corruptibles” </li></ul>
  9. 9. USO DE LA LÓGICA DE PRIMER GRADO <ul><li>Ahora que ya tenemos mayor dominio podemos simbolizar la expresión que estábamos analizando al comienzo: “Si Gabriel le dio el libro a Diego entonces alguien le dio el libro a Diego”. </li></ul><ul><li>D(g,d) ->  x D(x,d) </li></ul><ul><li>Este argumento como veremos en otra presentación es claramente válido. </li></ul>
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