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LóGica De Primer Orden
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LóGica De Primer Orden

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SOBRE LOGICA DE PRIMER ORDEN

SOBRE LOGICA DE PRIMER ORDEN

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  • 1. LÓGICA DE PRIMER ORDEN
  • 2. LA NECESIDAD DE LA LÓGICA DE PRIMER GRADO
    • La lógica proposicional se revela como insuficiente al poder explicar la validez de enunciados como: “Si Gabriel le dio el libro a Diego entonces alguien le dio el libro a Diego”. Porque mediante la lógica proposicional cuando simbolizamos este argumento claramente válido obtenemos p -> q que no es tautológico sino más bien consistente.
    • Es por ello que tenemos que recurrir a una lógica de mayor capacidad analítica como la lógica de primer orden que nos va permitir darle cabida a nuestras intuiciones acerca de lo válido y lo inválido. Urge por lo tanto, ampliar el lenguaje para que pueda aumentar su expresividad.
  • 3. SINTAXIS BÁSICA
    • 1. Símbolos para individuos
    • 1.1 Constantes individuales: a, b, c, d, …
    • 1.2. Variables individuales: x, y, z, …
    • 2. Símbolos para predicados: F, G, H, …
    • 3. Símbolos para relaciones: R, S, T, …
    • 4. Símbolos para cuantificadores:  y 
    • 5. Conectores lógicos:  ,  , ->, ↔, ↔, 
    • 6. Símbolos de ordenación: (, ), [, ], {, }, …
  • 4. SIMBOLIZACIÓN
    • Pasemos “Juan es ingeniero” al lenguaje simbólico
    • I (j), donde el nombre j refiere al sujeto “Juan” e I refiere a la propiedad de “ser ingeniero”.
    • Hagamos lo propio con “Eva y Fico se aman”
    • A (e,f) donde los nombres e y f refieren a Eva y Fico respectivamente y A es la relación diádica de “amar a”.
    • Otra vez: “Teresa le debe 500 soles a José”
    • D (t, p, j), donde t, p y j refieren a Teresa, 500 y José y además, D es la relación triádica de “deber a”
    • Ahora: “Todos los santos son piadosos y todos los hombres aman a todas las mujeres”
    •  x(S(x) ->P(x) )   x  y( H(x)  M(y) -> A(x,y) )
  • 5. CUANTIFICADORES USUALES
    • Consideremos un universo de 2 personas: Marcos (m) y Ana (a).
    • PARTICULAR (EXISTENCIAL)
    • Alguien: Algún objeto, x, es tal que ->  x
    • Ejemplo: Alguien es feliz ->  x F(x)
    • Esto significa que F(m)  F(a)
    • UNIVERSAL
    • Todos: Cada objeto x, es tal que ->  x
    • Ejemplo: Todos son felices ->  x F(x)
    • Esto significa que F(m)  F(a)
  • 6. CUANTIFICADOR INUSUAL
    • NADIE: ningún objeto x, es tal que ->  x
    • Nadie es feliz ->  x F(x)
    • Esto significa que es imposible que alguien sea feliz, es decir,
    • ~F(m)  ~F(a)
  • 7. REGLAS DE INTERCAMBIO DE CUANTIFICADORES
    •  x P(x) ↔ ~  x ~ P(x)
    • Todos los x son justos sii no es el caso que algún x sea injusto (o no existe algún x que sea injusto, o no existe nadie que sea injusto)
    •  x ~ P(x) ↔ ~  x P(x)
    • Todos los x son injustos sii no existe ni al menos un x que sea justo (o no hay nadie que sea justo)
    • ~  x P(x) ↔  x ~ P(x)
    • No todo x es justo sii existe algún x que es injusto.
    • ~  x ~P(x) ↔  x P(x)
    • No todo x es injusto sii existe algún x que es justo.
  • 8. EJEMPLO
    • Reduce. “Es imposible que cierta persona sea corruptible si es que es amable y bondadoso”
    • 1. ~  x [(A(x)  B(x)) -> C(x) ] 2. ~~  x ~[(A(x)  B(x)) -> C(x) ] de 1por IC
    • 3.  x ~[~(A(x)  B(x))  C(x) ] de 2 def. ->
    • 4.  x ~~(A(x)  B(x))  ~C(x) de 3 DM
    • 5.  x [(A(x)  B(x))  ~C(x)] de 4 por DN
    • 5 se lee: “Todos las personas son amables, bondadosas y no corruptibles”
  • 9. USO DE LA LÓGICA DE PRIMER GRADO
    • Ahora que ya tenemos mayor dominio podemos simbolizar la expresión que estábamos analizando al comienzo: “Si Gabriel le dio el libro a Diego entonces alguien le dio el libro a Diego”.
    • D(g,d) ->  x D(x,d)
    • Este argumento como veremos en otra presentación es claramente válido.

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