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La Paradoja De Russell Desde La Perspectiva De Kripke
 

La Paradoja De Russell Desde La Perspectiva De Kripke

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ponencia presentada en UNMSM por el dia mundial de la filosofía

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    La Paradoja De Russell Desde La Perspectiva De Kripke La Paradoja De Russell Desde La Perspectiva De Kripke Presentation Transcript

    • La Paradoja de Russell desde la perspectiva de Kripke DEDICADO A J. D. de J. V. S. POR SU EXTRAORDINARIA LABOR COMO PERSONA, HERMANO, HIJO, AMIGO, FILÓSOFO Y LÓGICO
    • 2 MANERAS DE DEFINIR CONJUNTOS
      • DEFINICIÓN POR EXTENSIÓN
      • H = {a,e,i,o,u}. De ahí:
      • a  H
      • i  H
      • o  H
      • DEFINICIÓN POR COMPRENSIÓN
      • H = {x / x es una vocal} = {x / V (x) }. De ahí:
      • V (a)
      • V (e)
      • V (i)
    • APORTE DE FREGE
      • Esquema de Comprensión : toda propiedad se relaciona con el conjunto de cosas que tienen esa propiedad. Este “Esquema” garantiza que es posible hablar de un conjunto cuyos elementos compartan cualquier propiedad en común. Formalmente:
      • “ Todo y pertenece a un conjunto de elementos x tales que tienen la propiedad F, si y solo si, y tiene la propiedad F”.
      • Formalmente,  y(y  {x/F(x)}↔F(y)). (Priest, 2008)
      • Ejemplos:
      • “ Un gato pertenece a la clase de los x tales que tienen la propiedad de ser felinos, si y solo si, ese gatos es felino”
      • (g  {x/F(x)}↔F(g)).
      • “ Un congresista pertenece a la clase de los x tales que tienen la propiedad de ser marxistas, si y solo si, ese congresista es marxista”
      • (c  {x/M(x)}↔M(c)).
    • DOS PROPIEDADES OPUESTAS: DOS CLASES
      • Tenemos el conjunto universal que contiene a todo conjunto. Pero él mismo es un conjunto, y, por ello, resulta que se pertenece a sí mismo:
      • U  U.
      • Nace así la propiedad “P” de pertenecerse a sí mismo
      • (  x[P(x)=x  x])
      • Y “U” resulta ser un conjunto con esta propiedad. A su vez, también surge la propiedad opuesta “Q” de no pertenecerse a sí mismo.
      • (  x[Q(x)=x  x]).
      • Por ejemplo: N = {3,5,7}. ¿Vemos a N mismo entre sus elementos? No. Por ello, decimos que N no se pertenece:
      • N  N.
      • Recordemos esas propiedades “P” y “Q”.
    • LA PARADOJA DE RUSSELL
      • Bertrand Russell construyó el conjunto “K” conformado por elementos que cumplen la primera propiedad “P” (de pertenecerse a sí mismo) y al conjunto “R” conformado por elementos que cumplen la propiedad opuesta “Q”. Estos dos conjuntos “K” y “R” son opuestos (uno es la negación del otro), disjuntos (no tienen elementos en común) y complementarios (juntos conforman la totalidad)
    • ANÁLISIS DE “K”: LA VERSIÓN INOCUA
      • El conjunto “K” asociado a la propiedad “P” por ser un conjunto o bien se pertenece o bien no se pertenece. Es decir,
      • Si K={x/P(x)}, ¿(K  K)?
      • Recordemos el Esquema de Comprensión
      •  y(y  {x/F(x)}↔F(y)).
      • Ejemplificando universalmente la letra “y” por la “K”, y considerando la propiedad genérica “F” como la propiedad específica “P” tenemos
      • (K  {x/P(x)}↔ P(K) )...(  ).
      • Enseguida, reemplacemos en (  ): {x/P(x)} y P(K) por sus equivalentes K y K  K respectivamente. Recordemos que si algo tiene la propiedad P, se pertenece.
      • De ahí obtenemos (K  K)↔(K  K).
      • OBSERVACIÓN:
      • Esta expresión es una tautología, pero el valor de verdad de la proposición anterior (K  K) es incierto debido a que sus elementos han sido definidos usando al mismo conjunto K. Para que K pertenezca a K es necesario y suficiente que pertenezca a K. Cualquier opción o bien que (K  K) o bien (K  K) hará que el sistema permanezca consistente. Esto provoca la crisis del principio del tercero excluido ya que K  K puede ser verdadera o falsa, sin ninguna restricción.
    • ANÁLISIS DE “R”: PARADOJA RUSSELLIANA
      • Si R = {x / Q(x)}, ¿(R  R)? Recordemos el Esquema de Comprensión
      •  y(y  {x/F(x)}↔F(y)).
      • Ejemplificando universalmente la letra “y” por la “R”, y reemplazando la propiedad “F” por la “Q” tenemos
      • (R  {x/Q(x)}↔ Q(R) )…(  ).
      • Reemplacemos en (  ): {x/Q(x)} y Q(R) por sus equivalentes R y R  R, respectivamente. Recordemos que si algo tiene la propiedad Q, no se pertenece.
      • De ahí se sigue que, (R  R)↔(R  R).
      • De esto se deduce: (R  R)  (R  R).
      • En este caso entra en crisis el principio de no contradicción y el del tercero excluido . Dada una proposición se deduce su contradictoria, y viceversa. Esa proposición, aunque como en el caso anterior no tiene un valor de verdad determinado, resulta mucho más grave a nivel lógico formal. (Priest y Tanaka, 2008)
    • LA PROPUESTA DE KRIPKE
      • “ No considero que ninguna propuesta, incluyendo la que he de presentar aquí, sea definitiva en el sentido de suministrar la interpretación del uso ordinario de “verdadero”, o de dar solución a las paradojas semánticas. Por el contrario, por ahora no he pensado a fondo en una justificación filosófica detallada de la propuesta, ni estoy seguro de cuáles son las áreas exactas y las limitaciones de su aplicabilidad. Espero que el modelo aquí suministrado tenga dos virtudes: primera, que proporcione un área rica en propiedades matemáticas y relativas a la estructura formal; segunda, que estas propiedades recojan en buena medida algunas intuiciones importantes . Así, pues, el modelo ha de ser puesto a prueba por su fertilidad técnica. No tiene que recoger todas las intuiciones, pero se espera que recoja muchas de ellas.”
      • KRIPKE, S. (1986) Esbozo de una teoría de la verdad. P. III.
    • PUNTO FIJO MÍNIMO
      • Una oración está fundada si adquiere un valor de verdad en algún nivel del proceso de construcción del punto fijo mínimo, esto es, siempre y cuando su valor de verdad pueda ser determinado en última instancia a partir de cuestiones empíricas. En caso contrario, decimos que dicha oración está infundada. Así, el valor de verdad de
      • “ Es verdad que la nieve es blanca” (1)
      • queda determinado por el valor de
      • “ La nieve es blanca” (2),
      • que es verdadera según el color de la nieve. Luego, tanto la oración (1) como la (2) están fundadas y son verdaderas.
      • En teoría de conjuntos diríamos que el conjunto de los vertebrados
      • V = {P, N, A,R,M}
      • existe, si sus elementos (Peces, aNfibios, Aves, Reptiles y Mamíferos) no contienen otros conjuntos a los que pertenezcan. Y esto realmente se verifica puesto que, por ejemplo, la clase de los peces no se pertenece o no contiene a la clase V (a la que sí pertenece). Por ello, P, N, A, R y M existen lógicamente, y desde luego, G es fundado .
    • PUNTO FIJO MÁXIMO
      • El problema surge con las oraciones infundadas , las cuales no tienen algún valor de verdad que pueda ser determinado. Existen dos tipos de puntos para estas oraciones: el punto fijo máximo y el intrínseco.
      • Veamos el punto fijo máximo.
      • Por ejemplo: el valor de verdad de
      • “ Esta oración es verdadera” (3)
      • queda determinado por el valor de verdad de la oración (3), que es verdadera o no según el valor de verdad de (3).
      • Por ello, si (3) es falsa, “Esta oración es verdadera” será falsa y si (3) es verdadera, “Esta oración es verdadera” será verdadera.
      • Esta oración tiene valor de verdad en el punto fijo máximo, es decir, acapara todos los valores de verdad.
      • Lo mismo ocurre con la versión inocua de la paradoja de Russell : el conjunto de todos los conjuntos que se contienen a sí mismos, es decir, (K={U, K, …}) depende de sus elementos. Si esos componentes (U, K, etc.) están definidos, K los contiene, y si no, K no los contiene. Pero, como sabemos esto no afecta a la teoría en sí puesto que no agrede al principio de no contradicción. La consistencia del sistema está garantizada.
    • PARADOJAS
      • Sin embargo, existen oraciones infundadas que no tienen valor de verdad en ningún punto fijo. Por ejemplo:
      • “ La oración 5 es verdadera” (4)
      • y
      • “ La oración 4 es falsa” (5).
      • Si la oración 4 es verdadera, 5 será verdadera. Y si 5 es verdadera, 4 será falsa. Si suponemos un valor para (4), este resulta refutado. Lo mismo pasa si suponemos una valor veritativo para (5). Luego, estas oraciones son paradójicas, pues ambas no tienen un valor de verdad consistente.
      • De la misma manera el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos (R={x/Q(x)}) no estará definido puesto que, en resumen, contiene y no contiene a R. Así, R es un conjunto infundado puesto que su valor de verdad no es conocido y, además, paradójico porque cualquier valor de verdad que se le atribuya generará una contradicción: si R se contiene, entonces no se contiene y si no se contiene resulta que se contiene.
    • FUENTES
      • HAACK, S. (1982) Filosofía de las lógicas . Madrid: Cátedra.
      • KRIPKE, S. (1984) Esbozo de una teoría de la verdad . México: UNAM.
      • MOSTERÍN, J. (1980) Teoría Axiomática de Conjuntos. Barcelona: Arial.
      • PRIEST, G. (2008) Paraconsistency and Dialetheism. En: Handbook of the History and Philosophy of Logic, editado por D. Gabbay & J. Woods (inédito)
      • PRIEST, G. & K. TANAKA. (2007) Paraconsistente Logic. Disponible en: http://plato.stanford.edu/entries/logic-paraconsistent/
      • SARTORIO, A. (2000) Conjuntos e Infinitos. Buenos Aires: Eudeba.
    • ESPACIOS VIRTUALES
      • ¡MUCHAS GRACIAS!
      • Diapositivas
      • www.slideshare.net/rafael.mora
      • Artículos
      • http://www.scribd.com/people/view/872757-articulos