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Grandes Ideas De La FilosofíA. Historia de la LóGica
 

Grandes Ideas De La FilosofíA. Historia de la LóGica

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un poco de todo de lógica. se incluye teorema de Gödel acerca de la incompletud de la matemática.

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    Grandes Ideas De La FilosofíA. Historia de la LóGica Grandes Ideas De La FilosofíA. Historia de la LóGica Presentation Transcript

    • I17A RAFAEL MORA -TRANSCRIPCIÓN- GRANDES IDEAS DE LA FILOSOFIA: LÓGICA
    • ¿QUÉ ES LA LÓGICA?
      • La lógica es el lenguaje del razonamiento, el término lógica proviene del griego logos que significa discurso pero se aplica al campo de la inteligibilidad y del pensamiento ordenado. La lógica se define formalmente como la ciencia que se ocupa de la validez de la inferencia y demostración. La profunda comprensión de la lógica presenta más matices y se revela sumamente atractiva para los filósofos.
      • La lógica se ocupa principalmente de los principios del razonamiento válido, como, por ejemplo, qué es necesario para considerar que una argumentación sea lógicamente válida; es decir, trata de explicar qué son los principios del razonamiento válido de la manera más sistemática posible.
      • Al ser implementada por un hábil profesional la lógica se convierte en una poderosa herramienta para interrogar al mundo en el que vivimos. La lógica filosófica introduce el rigor y la claridad de la matemática al lenguaje de los filósofos.
      • Hoy en día cuando hablamos de lógica solemos referirnos, en realidad, a una rama de la matemática. Cuando los filósofos hablan de “la lógica” se refieren a “la lógica moderna” que antes solía llamarse “lógica simbólica” pero se la denomina virtualmente “lógica matemática”. Las mismas comprenden la teoría de los conjuntos y la teoría de las funciones computables que es el aspecto matemático de lo que se conoce como ciencia de la computación.
      • Como medio para describir el pensamiento racional la lógica trasciende muchos límites filosóficos y se adentra en el campo de la metafísica, la epistemología y la filosofía de la mente y del lenguaje. Es una herramienta para trabajar sobre ciertas nociones básicas como la referencia, la predicación, la identidad, la verdad, la cuantificación, la existencia, la necesidad, la definición y la consecuencia.
    • LA LÓGICA DE ARISTÓTELES
      • El origen de la lógica se remonta a Aristóteles quien vivió la edad de oro en la cultura griega en el siglo IV antes de Cristo. Sus reflexiones sobre la lógica pueden apreciarse en algunas de sus obras entre las que podemos mencionar Primeros Analíticos, Segundos Analíticos, Categorías y Sobre la Interpretación , que en conjunto se conocer bajo el nombre de Organon . Aristóteles deseaba establecer reglas que permitieran a los ciudadanos griegos detectar una argumentación válida y correcta de otra inválida y, por lo tanto, incorrecta.
      • El principio de no contradicción y del tercero excluido son fundamentales en la lógica aristotélica. El principio de no contradicción sostiene que ninguna proposición puede ser verdadera y falsa a la vez. Mientras que el principio del tercero excluido sostiene que una proposición debe ser o bien verdadera o bien falsa.
      • Aristóteles creó su sistema de lógica formal a fin de poder determinar la validez de una argumentación, independientemente de su contenido, el centro de la lógica formal aristotélica es el silogismo, una forma de argumentación compuesta de 2 premisas y una conclusión. Como, por ejemplo,
        • 1. Todos los hombres son mortales
        • 2. Sócrates es un hombre .
        • Por lo tanto, Sócrates el mortal
    • EL SILOGISMO
      • Durante mucho tiempo la lógica estuvo dominada por Aristóteles y su teoría del silogismo. Podría decirse que él tenía una visión muy simple acerca de lo que es un razonamiento. Un típico ejemplo de razonamiento para él sería:
      • 1. Todo A es B
      • 2. Todo B es C .
      • Por lo tanto, Todo A es C
      • Escribe Aristóteles (s. IV a.c.):
      • “ Un silogismo es un discurso en el que una vez concedidas ciertas cosas, se siguen, o concluyen, necesariamente otras distintas. Me refiero con esta última frase a que las mismas producen la consecuencia y, por ello, no se requiere de ningún otro término adicional para hacer que la consecuencia sea necesaria.”
      • “ A syllogism is discourse in which, certain things being stated, something other than what is stated follows of necessity from their being so. I mean by the last phrase that they produce the consequence, and by this, that the further term is required from without in order to make consequence necessary.”
      • En el silogismo aristotélico la conclusión se deduce de las premisas. Si no sabemos que Sócrates es mortal, entonces el hecho de que todos los hombres sean mortales y que Sócrates sea un hombre puede ofrecerse como prueba para afirmar efectivamente que Sócrates es mortal. Este es un razonamiento deductivo, es decir, que la conclusión es la consecuencia necesaria de las premisas. La característica de un silogismo disyuntivo exitoso consiste en que al ser ejecutado directamente no pueden inferirse conclusiones falsas de premisas verdaderas. Tomemos el siguiente ejemplo:
      • 1. Todos los árboles son plantas
      • 2. Todos los robles son árboles .
      • Por lo tanto, Todos los robles son plantas
    • EL SILOGISMO
      • Podemos formalizar el anterior razonamiento y expresarlo de esta manera
      • 1. Todo M es P
      • 2. Todo S es M .
      • Por lo tanto, Todo S es P
      • Esta forma de argumentación es válida y su validez es totalmente independiente de la verdad de los enunciados que la componen.
      • Por ejemplo, tomemos un razonamiento tan discutible como el siguiente:
      • 1. Todos los árboles son ángeles
      • 2. Todos los pájaros son árboles .
      • Por lo tanto, todos los pájaros son ángeles
      • A pesar de las apariencias este argumento es totalmente válido aunque sus premisas y conclusión sean falsas. Asimismo, tambien puede ser válido un razonamiento con premisas falsas y conclusión verdadera
      • 1. Todos los árboles son flores
      • 2. Todos los claveles son árboles .
      • Por lo tanto, Todos los claveles son flores
    • INDUCCIÓN
      • La otra forma básica de razonamiento lógico es el inductivo. Que establece cómo inferir generalizaciones confiables de los hechos observables.
      • Aristóteles no hablaba únicamente sobre la deducción sino también sobre la inducción . Desde ya el no empleaba el término en latin sino el término griego del que fue traducido. Si bien no tiene una explicación satisfactoria acerca de la inducción considera que la ciencia requiere tanto del conocimiento deductivo como del inductivo . Menciona como ejemplo, creo que es en Segundos Analíticos, la siguiente situación. Hay personas que están muriendo a causa de una sustancia venenosa, pero no se sabe cuál es. De pronto surge la hipótesis de que es debido a algo que ha estado comiendo, algo que es venenoso. Él usa una metáfora muy gráfica y compara el pasaje de tener datos desordenados a construir una hipótesis con un ejército en retirada. De pronto, mientras se están retirando las tropas un valiente soldado se pone de pie y dice: “No, pónganse de pie conmigo nosotros podemos vencer a estos hombres, y luego el ejército se organiza y vence en la batalla ”
      • Al pasar de lo particular a lo general un razonamiento inductivo no debe garantizar la transferencia de la verdad de las premisas a su conclusión. Tomemos el siguiente ejemplo en el que tanto las premisas como la conclusión son verdaderas.
      • 1. Esta barra de plata es metal y es conductor de la electricidad.
      • 2. Esta barra de oro es metal y es conductor de la electricidad
      • 3. Esta barra de cobre es metal y es conductor de la electricidad .
      • Por lo tanto, concluimos inductivamente que todo lo que es metal es conductor de la electricidad.
    • INDUCCIÓN
      • Si encontramos un razonamiento deductivo que tenga premisas verdaderas y conclusión falsa, decimos que dicha forma es inválida.
      • Pero observemos qué sucede si lo intentamos con un razonamiento inductivo
      • 1. Esta barra de plata es metal y es sólida.
      • 2. Esta barra de oro es metal y es sólida.
      • 3. Esta barra de cobre es metal y es sólida .
      • Por lo tanto, todo lo que es metal es sólido.
      • Desde ya, esta conclusión es falsa: el mercurio (Hg) es metal y es líquido.
      • A diferencia de lo sucedido con el razonamiento deductivo, Aristóteles no pudo encontrar en la inducción un método formal para determinar su validez. Es por ello que Aristóteles afirmaba que la inducción no es demostrativa y la relegó a un segundo nivel de importancia.
      • Según Aristóteles:
      • “ No podemos establecer por inducción una verdad universal sobre la evidencia aportada por grupos de particulares que no ofrecen ninguna excepción, porque la inducción no demuestra cuál es la naturaleza esencial de una cosa sino si la misma tiene o carece de un cierto atributo”.
      • “ We may not proceed by induction to establish a universal on the evidence of groups of particulars which offer no exception, because induction proves not what the essential nature of a thing is but that it has or has not some attribute.”
      • Si bien la lógica aristotélica es fundacional según los parámetros modernos no se considera que dicho sistema sea fuerte. Con el paso del tiempo presentó grandes defectos formales y depositó demasiada confianza en el silogismo disyuntivo. No obstante, aun permanece abierta la pregunta acerca de hasta qué punto la debilidad de su lógica socavó la totalidad de su obra filosófica.
    • TIPOS DE LÓGICA
      • Dice Kit Fine (Professor of Philosophy New York University): “Aunque la lógica aristotélica fuera pobre no creo que su pensamiento filosófico se viera empobrecido como resultado de ello. Muchas personas consideran lo contrario: que un pensador puede trascender su propia opinión acerca de cómo se debe proceder en el campo de la lógica. Aunque uno considere que esta sea la manera en que debe realizarse un razonamiento lógico uno va a razonar en la manera en que le parezca que lo debe hacer independientemente de lo que piense acerca de cómo se debería proceder”.
      • Una de las restricciones del sistema aristotélico fue combinar dos proposiciones para dar lugar a una tercera más compleja. Los filósofos estoicos que prosperaron en Atenas aproximadamente 20 años después de la muerte de Aristóteles crearon una lógica proposicional que estudiaba enunciados en cuanto son necesariamente verdaderos o falsos y las condiciones de su verdad o falsedad.
      • Hay dos tipos fundamentales de lógica:
      • La lógica proposicional y la lógica predicativa. La lógica proposicional se ocupa de aquellos enunciados que pueden ser verdaderos o falsos sin estudiarlos en cuanto a su significado. La lógica predicativa es una herramienta más poderosa con reglas de inferencia adicionales que pueden presentar variables y expresar equivalencias entre proposiciones como:
      • “ No todas las rosas son rojas”
      • “ Algunas rosas no son rojas”
    • EL NOVUM ORGANUM DE BACON
      • Por supuesto, la lógica predicativa es la lógica de los predicados y lo notable acerca de la misma es el sistema de variables y cuantificadores que utiliza, emplea variables simples como x, y y z y cuantificadores como “Para Todos” y “Algunos”. La lógica predicativa se utiliza de cierta manera en forma opuesta a la lógica proposicional, en donde tomamos a un enunciado como unidad y no analizamos al que denominamos, “p”, por ejemplo. Mientras que en la lógica predicativa analizamos dicho enunciado dividiéndolo en sujeto y predicado.
      • El aporte que los estoicos hicieron a la lógica pasó virtualmente inadvertido durante siglos. Algunos filósofos medievales como por ejemplo Walter Burley, Guillermo de Ockham, John Buridan, Alberto de Sajonia y Paolo de Venecia se concentraron en reforzar la lógica aristotélica y hacer importantes aportes a la misma. Sin embargo, el avance inexorable de la ciencia hizo necesaria la aparición de nuevos sistemas de pensamiento. Y fue el filósofo inglés Francis Bacon quien formuló un sistema que habría de desafiar la ortodoxia del órganon de Aristóteles.
      • Bacon no fue muy modesto al presentarse a sí mismo como el creador del nuevo órganon, de una nueva lógica para interrogar al mundo. La lógica antigua era útil para presentar lo que uno ya sabía pero no para descubrir cosas nuevas. Lo que Bacon intentó hacer en el nuevo órganon fue precisamente proveer un método para interrogar al mundo que implicara ir por el mundo recogiendo datos y organizándolos en diferentes tablas y poder extraer conclusiones teóricas de los datos que hallamos ingresado a dichas tablas. Bacon quiso presentar una manera racional de organizar la experiencia y de interrogar la naturaleza de forma tal que con esta combinación de razón y experiencia realmente pudiéramos progresar.
      • De acuerdo a F. Bacon: “Si bien mi método es difícil de practicar es, no obstante, sencillo de explicar y consiste en lo siguiente. Propongo establecer etapas de certeza progresivas. Acepto la evidencia de los sentidos guiada y protegida por un proceso de corrección cierto, pero rechazo en su mayor parte la operación mental que sigue al acto sensorial. En lugar de ello, introduzco y expongo un nuevo camino seguro en el que la mente pueda trabajar comenzando directamente con la más simple de las percepciones sensoriales.”
      • “ Now my method though hard to practice, is easy to explain; and it is this. I propose to establish progressive stages of certainty. The evidence of the sense, helped and guarded by a certain process of correction, I retain. But the mental operation which follows the act of sense I for the most part reject; and instead of it I open an lay out a new and certain path for the mind to proceed in, starting directly from the simple sensuous perception.”
    • LA LÓGICA MODERNA: GEORGE BOOLE
      • En el siglo XIX los filósofos comenzaron aplicar activamente estructuras matemáticas al campo de la lógica. Esta revolución matemática marcó el comienzo de lo que hoy se conoce como la lógica moderna.
      • La lógica hizo eclosión después de 1854 cuando George Boole un gran matemático inglés, que también hizo grandes aportes a la teoría de las ecuaciones diferenciales y creó lo que se conoce como el calculo de las secuencia finitas, inventó el álgebra de la lógica o álgebra de clases un aporte que si bien hoy en día es considerado como algo elemental todavía representa un logro importante. Después de 1854 la lógica no dejó de evolucionar.
      • Boole un matemático autodidacta amplió la obra del filósofo alemán Godfried Leibnitz y creó la primera álgebra de la lógica. Boole descubrió que los símbolos de la lógica se comportaban de la misma manera que los algebraicos y utilizó a estos últimos para expresar proposiciones hipotéticas, tales como:
      • 1. Si A y B, entonces C y D
      • 2. Pero A y B .
      • Entonces C y D
      • Pero en lugar de tratar los términos del silogismo A, B, C y D estimó más importante considerar, en general, la verdad de las proposiciones.
      • Entonces, si P es verdadera, entonces Q será verdadera, donde P y Q representan proposiciones. Este razonamiento será perfeccionado por el matemático Gottlob Frege dando origen a la lógica proposicional.
    • GOTTLOB FREGE
      • El avance decisivo realmente se produjo en el siglo XIX y aunque diversas personas estuvieran interesadas en cómo o qué podían mejorar en la obra aristotélica fue Frege quien logró el verdadero progreso e introdujo la era moderna de la lógica con lo cual las dos figuras principales serían Aristóteles o Frege.
      • Gottlob Frege era un intelectual poco conocido en su época, un matemático que se propuso demostrar que las leyes aritméticas podían reducirse en ultima instancia a la lógica lo cual se conoce bajo el nombre de logicismo. Hizo el aporte individual mas importante para el estudio de la lógica en la historia de dicha disciplina. Fue el primero en identificar la distinción entre los axiomas lógicos y las reglas que son necesarias para realizar una deducción. Dio los primeros pasos hacia la axiomatización de la lógica, creó el calculo proposicional y refinó la noción aristotélica de la cuantificación. El pasaje de la era aristotélica a la era moderna había concluido.
      • Aristóteles tenía una visión muy simple acerca de qué tipos de enunciados podían incluirse en un razonamiento lógico. Presentaba fundamentalmente 4 formas.
      • Toda A es B
      • Ninguna A es B
      • Alguna A es B
      • Alguna A no es B
      • Y básicamente intentó descifrar cuales son los patrones de inferencia válidos involucrados en dichos enunciados: un logro verdaderamente importante. Pero el principal problema con la lógica es que presentaba un visión muy empobrecida de lo que puede afirmarse.
    • GOTTLOB FREGE
      • El enunciado: “Todo niño ama a una niña” no puede enmarcarse fácilmente dentro del tipo de enunciados que Aristóteles tenía en consideración, entonces, él no podría abordar el razonamiento que estos enunciados implican. El gran avance de Frege fue ver cómo organizar estos enunciados diferentes de manera sistemática y una de sus grandes innovaciones fue explicitar el uso de las variables en la lógica, entonces él expresaría el enunciado “Todo niño ama a una niña” de la siguiente manera: para cada x, siendo x un niño hay una y luego y es una niña amada, entonces x ama a y , e introdujo este sistema de variables y cuantificadores lo cual le permite expresar una variedad mucho mas amplia de enunciados y proveer una explicación mucho más integral de lo que puede ser el razonamiento lógico.
      • Gracias a Boole y Frege los filósofos desarrollaron una notación más rigurosa para el análisis lógico. Según la lógica aristotélica en un razonamiento la verdad de la conclusión está implicada en la verdad de las premisas. Por lo tanto, es posible convertir cualquier razonamiento en un condicional respetando la estructura “si… entonces”. Si las premisas son verdaderas entonces la conclusión también será verdadera lo cual puede simbolizarse así.
      • P->Q
      • “ P” expresa las premisas y “Q” la conclusión y el símbolo entre las mismas (->) la relación entre ambas. Por ejemplo, la afirmación si corro, entonces me canso, puede simbolizarse dicha manera. Aquí el antecedente “Si corro” es condición suficiente pero no necesaria para que se cumpla el consecuente “entonces me canso”. Es decir, que es suficiente que corra para que me canse pero no necesario porque puedo cansarme por cualquier otra causa. Una condición suficiente es aquella que siendo verdadera implica necesariamente que sus consecuencias también lo sean. Pero no ocurre lo mismo a la inversa. El consecuente puede ser verdadero y antecedente falso sin afectar el valor de verdad del condicional. Este tipo de análisis es fundamental dentro de la filosofía moderna.
      • La obra monumental de Frege Los fundamentos de la Aritmética influyó profundamente al filósofo inglés Bertrand Russell, su obra Principia Mathematica escrita en colaboración con su mentor Alfred North Whitehead le debió mucho a la obra pionera de Frege.
    • RUSSELL & WHITEHEAD
      • Junto con el órganon de Aristóteles Principia Mathematica es, sin dudas, la obra más influyente dentro del campo de la lógica. En ella Russell tomó el desarrollo del logicismo iniciado por Frege.
      • Frege es una figura sumamente importante debido a que anticipó la reducción de la matemática a la lógica simbólica y se discute si se trata realmente de una reducción. Pero había una falla en su sistema. Russell le escribió una famosa carta en la que le señalaba que la denominada paradoja de Russell podía verificarse en el sistema de Frege lo cual representaba una verdadera inconsistencia e hizo que Frege desistiera de su teoría. Russell formuló la paradoja que encontró en la lógica de Frege de la siguiente manera:
      • La clase de todas las clases que no pertenecen a sí mismas pertenece a sí misma si y solo si no pertenece a sí misma.
      • The set of all sets that are not members of themselves is a member of itself, if and only if it is not a member of itself.
      • La crítica que Russell le hizo a Frege hoy conocida como la paradoja de Russell es uno de los tantos dilemas falacias y paradojas que ponen a prueba la verdadera capacidad de los lógicos. Dentro de las más conocidas podemos mencionar a la infame paradoja del Mentiroso que a cautivado a los filósofos desde que Epiménides de Creta declarara que todos los cretenses eran mentirosos.
      • Si bien esta es no es su forma más antigua la paradoja del mentiroso consiste en lo siguiente, digamos que escribo en una hoja de papel una única oración que dice “La única frase en esta hoja de papel es falsa” o también “la única frase en esta hoja de papel no es verdadera”. Usted pregunta si la única frase en esa hoja de papel es verdadera, respondería que si lo fuera entonces no lo sería porque eso es lo que dice la frase misma. Entonces, por oposición, podemos decir que no es verdadera, pero es la única frase en esa hoja de papel, entonces es verdadera.
      • Escriben Bertrand Russell y Alfred North Whitehead: “Los círculos viciosos surgen de suponer que un conjunto de objetos pueden contener miembros que solo pueden definirse a través del conjunto considerado como un todo.”
      • “ Vicious circles [arise] from supposing that a collection of objects may contain members which can only be defined by means of the collection as a whole.”
    • ALFRED TARSKI
      • El enfoque de Bertrand Russell sobre el lenguaje fue retomado por el lógico polaco Alfred Tarski, fundador de la lógica semántica. Su aporte más importante es su teoría semántica de la verdad. Tarski sostuvo que si usted tiene un sistema de notación formal, por ejemplo, un lenguaje formal como el que crearon Russell y Whitehead en el que se puede expresar toda la matemática moderna inclusive la prueba de Bayes o el teorema de Fermat, o si usted tiene un lenguaje formal como el creado por la ciencia de la computación cuyas implicancias filosóficas serán discutidos por mucho tiemp, advirtió que era posible decir que un enunciado era verdadero sin utilizar el término “verdadero” simplemente repitiendo el enunciado uno puede decir que el enunciado “la nieve es blanca es verdadero” pero no hay necesidad de mencionar la palabra “verdadero”. Simplemente diremos la nieve es blanca. Entonces ¿para qué necesitamos el “término” verdadero?
      • Según Tarski:
      • “ Las personas no han advertido que el lenguaje sobre el cual hablamos no debe coincidir necesariamente con el lenguaje con el que hablamos. [Ellos] han desarrollado una semántica del lenguaje en este mismo lenguaje y, en términos generales, procedieron como si sólo hubiera un tipo de lenguaje en el mundo”.
      • “ People have not being aware that the language about which we speak need by no means coincide with the language in which we speak. They have carried out the semantics of a language in that language itself and generally speaking they have proceed as though there was only one language in the world”
    • DAVID HILBERT
      • El matemático alemán David Hilbert, a comienzos de la década de 1920, formuló una propuesta para formalizar la matemática de manera axiomática. A esta propuesta se la denominó el programa de Hilbert e introdujo a la lógica dentro del campo del lenguaje.
      • La lógica dio un giro lingüístico no tanto con Frege sino más que nada con Hilbert quien elaboró un programa: la Filosofia de la Matemática; en el que debía probar que la matemática era realmente consistente. Entonces tenía que tratar a la matemática en sí como un objeto matemático, por lo cual, centró su atención no en los objetos matemáticos en sí sino en los símbolos matemáticos. Esto es lo que se conoce como Metamatemática y la lógica realmente despegó a partir de ese momento. Gran parte de la lógica no se ocupaba de las cosas reales en sí, es decir, de aquello sobre lo que estamos hablando sino del lenguaje real que utilizamos para referirnos a ellas. Entonces, si bien creo que dicho enfoque puede resultar extraño para Frege y Russell había dudas acerca de si estaban refiriéndose a lo que dicho lenguaje representa o al lenguaje en sí.
      • El programa de Hilbert ejerció una influencia decisiva sobre el matemático y lógico checo Kurt Gödel, quien sostenía que todos los sistemas lógicos eran esencialmente incompletos. A medida que la matemática fue alejándose de la visión euclidiana tradicional, los matemáticos buscaron nuevas formas de desentrañar las posibles inconsistencias internas de su obra. Querían ver si podían excluir la posibilidad de que para un teorema ya probado también pudiera verificarse un teorema opuesto haciendo que su sistema careciera de sentido. Para ello, era necesario garantizar la integridad de sus sistemas, es decir, que hubiese una manera de probarlo o refutarlo. Esto podría ser difícil para un teorema en particular pero los matemáticos estaban convencidos de que era cierto en principio.
    • KURT GÖDEL
      • La visión de Gödel es la siguiente: esta es la paradoja del Mentiroso a menos que no se verifique que un enunciado o su negación debe ser demostrable. Entonces, gracias a que “demostrable” no es lo mismo que “verdadero” pudimos evitar que lograra producir la paradoja del Mentiroso, lo cual hubiera sido negativo ya que a diferencia de la paradoja de Russell que requiere de una teoría de conjuntos muy fuerte para poder desarrollarla, el teorema de Gödel es un teorema de aritmética elemental que podría demostrar que toda la teoría de los números es inconsistente, es decir, que tiene ciertas contradicciones. Es como si Gödel hubiese estado jugando al juego de la gallina para ver qué tan cerca podía estar de probar que existen inconsistencias en la parte más elemental de la matemática y en lugar de chocar contra la pared o contra otro automóvil produjo esta maravillosa paradoja cuyo significado será objeto de análisis filosófico por siempre.
      • Gödel demostró que un sistema axiomático formal sencillamente no puede ser consistente y completo a la vez, o bien no puede probarse todo dentro de un sistema particular o no se puede garantizar que no haya alguna contradicción. Para los matemáticos no podían ocurrir ambas cosas a la vez.
      • Después de Russell la figura más importante fue Gödel. Ello se debe principalmente no solo a sus grandes logros en el campo de la Metamatemática sino a los resultados obtenidos sobre los límites de los sistemas formales. Presentó un sistema matemático mediante el cual es posible referirse razonablemente acerca de los números. Pero el hecho de si es o no consistente no puede probarse dentro del sistema. Y también demostró que si es consistente entonces habrá ciertos enunciados dentro del sistema para los que no será posible comprobar si son verdaderos o falsos. Esta sería una formulación bien elemental acerca de los resultados de Gödel que fueron un logro extraordinario de enorme significado filosófico.
      • Según Gödel: “No es posible afirmar con certeza sobre ningún sistema formal que todas las consideraciones conceptuales pueden representarse dentro del mismo”.
      • “ One cannot claim with certainly of any formal system that all conceptual considerations are representable in it”
    • CÍRCULO DE VIENA y ALAN TURING
      • Gödel frecuentaba un grupo de pensadores que se reunía en Viena para discutir aspectos filosóficos. Este grupo conocido como Círculo de Viena estaba compuesto por: Moritz Schlick, Rudolf Carnap, Otto Neurath y muchos otros.
      • Se inspiraron en los rápidos avances de la ciencia y la lógica e iniciaron un movimiento llamado Positivismo Lógico. Según la visión positivista, un enunciado acerca del mundo podía tener sentido, si y solo si, podía verificase empíricamente o si se podía demostrar su verdad a través del análisis lógico de sus signos o símbolos. La lógica se había ubicado en el centro del debate filosófico.
      • A medida que la lógica evolucionó en el siglo XX, la misma influyó decisivamente en el desarrollo de la ciencia de la computación. George Boole había expresado enunciados usando un código binario compuesto por “1” y “0” (unos y ceros) que le resultará familiar a cualquier programador contemporáneo. La máquina de Turing es la representación abstracta del funcionamiento de una computadora y recibió su nombre en honor al lógico matemático inglés AlanTuring. La máquina de Turing es un invento destinado a formalizar el funcionamiento de una computadora. Esta consiste realmente en un procedimiento mecánico que procesará cierto resultado. Entonces, en realidad la máquina de Turing es un conjunto de instrucciones expresadas que hoy en día recibirían el nombre algoritmos a las que uno presentara un problema y las mismas nos proveerán un resultado sin necesidad de usar el entendimiento, el ingenio o la creatividad. Y eso es precisamente lo que hace una computadora. Es un simple conjunto de reglas mecánicas. Turing descubrió la manera de hacer una máquina que comprende una cinta que se mueve y borra ciertos elementos. Es precisamente la idea de una computadora. La máquina de Turing es simplemente una computadora, un sistema completamente mecánico que manipula símbolos .
    • EL PROBLEMA DE LA INDUCCIÓN
      • Uno de los aspectos de la lógica que ha intrigado a los filósofos por siglos es la inducción que regula cómo inferimos reglas generales de los hechos que observamos. Como no ofrecía la certeza lógica de la deducción, Aristóteles tenía profunda sospechas acerca del razonamiento inductivo, sospechas que luego fueron compartidas por muchos filósofos.
      • En realidad, la inducción no jugó un papel muy importante debido a la idea equivocada de Aristóteles de que la inducción era un sostén provisorio y que cuando uno descifrara que estaba sucediendo era posible encontrar ciertos principios intuitivos a priori a partir de los cuales se podía aplicar la deducción. Dicho error resultó extremadamente costoso ya que no fue sino hasta la generación de Francis Bacon que se advirtió que no se puede hacer ciencia por métodos a priori, sino que es necesario usar la inducción. La inducción no es un sostén provisorio ni algo que deba ser superado por una reflexión apodíctica sino que es esencial.
      • La importancia del papel de la inducción para la ciencia, según la cual las hipótesis están respaldadas por la acumulación de evidencia instó a muchos filósofos a intentar ubicarla dentro del razonamiento válido, en caso de que ello fuera posible.
      • El filósofo austriaco Karl Popper sostuvo que en la vida diaria utilizamos un método de prueba y error que puede parecer inductivo pero cuya estructura lógica era completamente diferente.
      • Peter Strawson sostuvo que la inducción no debía hacerse pasar por la deducción para ser considerada válida, ya que existe un principio de uniformidad en la naturaleza que convalida las conclusiones del razonamiento inductivo.
      • El filósofo estadounidense Nelson Woodman argumentó que no era posible crear un sistema formal de lógica inductiva ya que para cada hipótesis confirmada por la evidencia existe un número infinito de hipótesis alternativas que también podían ser confirmadas por dicha evidencia.
      • La teoría de la confirmación Bayesiana que debe su nombre al matemático inglés del siglo XVIII Thomas Bayes . Es un método que apoya la lógica inductiva basándose en la probabilidad estadística mediante la combinación del sentido común y la evidencia observacional.
    • LOS DIFERENTES SISTEMAS LÓGICOS
      • Así como la lógica fue ejerciendo cada vez mas influencia sobre la filosofía también aumentó el número de sistemas destinados a abordar las diferentes áreas de investigación.
      • La lógica extensiva (Extensional Logic) fue creada para hacer afirmaciones sobre objetos, relaciones entre objetos y las relaciones en sí.
      • La lógica modal introduce los operadores necesario y posible pero no tiene en cuenta la existencia de lo necesario o de lo posible.
      • El filósofo estadounidense Clarence Irving Lewis inició el análisis moderno de la modalidad con la publicación en 1918 de su libro Investigación sobre la lógica simbólica .
      • Existe un movimiento moderno que comenzó con Lewis a comienzos del siglo pasado y persiste hasta nuestros días. La lógica modal se convirtió en una parte muy importante no tanto de la filosofía sino de la ciencia de la computación y de la lingüística. Muchos movimientos lingüísticos y enfoques importantes sobre el comportamiento de programas se basaron en la lógica modal. Asimismo la lógica modal es de suma utilidad para discutir aspectos de la filosofía del tiempo. Entonces, es una rama de la lógica que tiene gran influencia tanto dentro como fuera del campo de la filosofía.
    • LOS DIFERENTES SISTEMAS LÓGICOS
      • La lógica deóntica introduce los operadores “debe” y “puede” dentro del lenguaje lógico y presenta un nuevo tipo de lenguaje en la discusión filosófica de la ética. La lógica deóntica analiza el aspecto del deber y trata de comprender proposiciones tales como
      • “ Es obligatorio …”
      • “ Está permitido …”
      • “ Está prohibido …”
      • La lógica epistémica, tal como lo indica su nombre, se ocupa de los aspectos epistemológicos inherentes a proposiciones del tipo de:
      • “ Tomas sabe …”
      • "María supone …”
      • “ Yo creo …”
      • La lógica divergente (Deviant logic) rechaza el principio del tercero excluido que desde la época de Aristóteles elimina cualquier posibilidad entre la verdad y la falsedad. A este grupo pertenecen la lógica plurivalente (multi-valued logic), la lógica universal (universal logic) y la lógica difusa (fuzzy logic).
      • La lógica plurivalente acepta más de dos valores de verdad. Mientras que la lógica universal aspira a construir sistemas válidos para todos los mundos posibles. Por su parte, la lógica difusa reconoce infinitos valores de verdad y se ha convertido en una herramienta muy importante de la que se está valiendo la economía donde deben tomarse decisiones en un ambiente de gran incertidumbre.
    • EPÍLOGO
      • El diálogo constante entre la lógica y la filosofía cuenta con una larga y compleja historia uno de los puntos críticos es: ¿Dónde debe poner el énfasis la lógica? ¿sobre el formalismo y el rigor? ¿o sobre el contenido semántico?
      • Después de Hilbert pasó a ser muy habitual hablar directamente sobre el lenguaje en sí y gran parte de la lógica de hoy en día consiste simplemente en el estudio de los simbolismos. En opinión de Kit Fine esto no es del todo bueno. “Creo que de cierto modo perdimos el sentido de la inocencia que Frege y Russell tenían y que sería bueno recuperar ya que el principal interés radica en lo que el lenguaje representa y no en el lenguaje en sí. ¿Por qué no hablar directamente sobre eso? No me opongo a estas investigaciones de orientación lingüística. Simplemente pienso que tal vez hemos dejado algo afuera al concentrarnos tanto en ese aspecto exclusivamente”.
      • Epílogo:
      • Para algunos la lógica representa un gigantesco sistema de reglas y símbolos arcaicos para otros un símbolo de claridad y orden. Tal vez la descripción más acertada sea la de una herramienta absolutamente versátil que se emplea constantemente aun cuando todavía se encuentra en vías de desarrollo. Quizás quien haya logrado capturar mejor la naturaleza de la lógica sea Lewis Carroll cuando escribió:
      • “ Si ocurrió, puede ser, y si ocurriera, sería. Pero como no ocurre, no es. Eso es la lógica”
      • “ If it was so, it might be; and if it were so, it would be; but as isn´t, it ain´t. That´s Logic”.