FAMILIA ORACIONAL DE PARADOJAS DE RUSSELL Y TEORÍA DE PUNTOS FIJOS DE KRIPKE

INTRODUCCIÓN La paradoja de Russell, es decir, la paradoja de las clases también es una paradoja matemática que se basa en las paradojas de Cantor y Burali-Forti, pues es formulable mediante el lenguaje matemático de la Teoría de Conjuntos. En este sentido, la paradoja de Russell culmina las paradojas matemáticas del máximo ordinal y cardinal. Dicha paradoja se constituye como el eslabón perdido entre las paradojas en lenguaje natural y en las paradojas del lenguaje formal. Según Kurt Gödel en “ La Lógica Matemática de Russell ”: “ [Russell] [a]nalizando las paradojas a que había conducido la teoría de conjuntos de Cantor [acerca del máximo número ordinal o cardinal], las liberó de todos sus tecnicismos matemáticos, proporcionando así luz al asombroso hecho de que nuestras intuiciones lógicas (es decir, intuiciones relativas a nociones tales como verdad, concepto, ser, clase, etc.) son autocontradictorias. ” La paradoja de Russell puede ser derivada a partir de la paradoja de Cantor gracias a la aplicación de un lema que relaciona los conceptos de ‘conjunto potencia’, ‘equivalencia’ y ‘pertenencia’. Asimismo, la paradoja de Burali-Forti también está relacionada con la de Russell mediante la existencia del conjunto de todos los ordinales que es autoinclusivo. Ya que si ese conjunto es bien ordenado, debe tener un ordinal asociado y, por lo tanto, debe contenerse a sí mismo.

La paradoja de Russell, es decir, la paradoja de las clases también es una paradoja matemática que se basa en las paradojas de Cantor y Burali-Forti, pues es formulable mediante el lenguaje matemático de la Teoría de Conjuntos. En este sentido, la paradoja de Russell culmina las paradojas matemáticas del máximo ordinal y cardinal. Dicha paradoja se constituye como el eslabón perdido entre las paradojas en lenguaje natural y en las paradojas del lenguaje formal. Según Kurt Gödel en “ La Lógica Matemática de Russell ”:

“ [Russell] [a]nalizando las paradojas a que había conducido la teoría de conjuntos de Cantor [acerca del máximo número ordinal o cardinal], las liberó de todos sus tecnicismos matemáticos, proporcionando así luz al asombroso hecho de que nuestras intuiciones lógicas (es decir, intuiciones relativas a nociones tales como verdad, concepto, ser, clase, etc.) son autocontradictorias. ”

La paradoja de Russell puede ser derivada a partir de la paradoja de Cantor gracias a la aplicación de un lema que relaciona los conceptos de ‘conjunto potencia’, ‘equivalencia’ y ‘pertenencia’. Asimismo, la paradoja de Burali-Forti también está relacionada con la de Russell mediante la existencia del conjunto de todos los ordinales que es autoinclusivo. Ya que si ese conjunto es bien ordenado, debe tener un ordinal asociado y, por lo tanto, debe contenerse a sí mismo.

PARADOJAS TIPO ORACIÓN Ahora bien, sucede que la paradoja de Russell mantiene un estrecho vínculo con la paradoja del Mentiroso, vínculo que explica la oracionalidad de esta familia de Russell. Este vínculo se funda en el hecho de que las soluciones de una y otra paradoja limitan la universalidad expresiva de los lenguajes que las albergan. Además, existen tantos tipos de versiones de la paradoja de Russell como tipo de versiones de la paradoja del Mentiroso. La paradoja de Russell resulta tener dos familias, una oracional y una argumental. También se da el caso de que la familia oracional contiene a la versión más difundida de la paradoja de Russell, la versión clásica de la clase de todas las clases que no se incluyen a sí mismas.

Ahora bien, sucede que la paradoja de Russell mantiene un estrecho vínculo con la paradoja del Mentiroso, vínculo que explica la oracionalidad de esta familia de Russell. Este vínculo se funda en el hecho de que las soluciones de una y otra paradoja limitan la universalidad expresiva de los lenguajes que las albergan. Además, existen tantos tipos de versiones de la paradoja de Russell como tipo de versiones de la paradoja del Mentiroso. La paradoja de Russell resulta tener dos familias, una oracional y una argumental. También se da el caso de que la familia oracional contiene a la versión más difundida de la paradoja de Russell, la versión clásica de la clase de todas las clases que no se incluyen a sí mismas.

PARADOJA DE RUSSELL La paradoja de Russell puede ser reformulada con la ayuda del conjunto vacío gracias a que éste no se contiene a sí mismo. Sin embargo, hemos se señalar que esto no significa que no sea posible utilizar otro conjunto; podemos utilizar cualquier otro conjunto que no se contenga a sí mismo. Pero el conjunto vacío debido a que no contiene a ningún elemento, es más específico que cualquier otro conjunto que por casualidad no se contiene a sí mismo, pudiendo contenerse a sí mismo como ocurre en U ó  . Si  no contiene ningún conjunto, con mayor razón no se contendrá a sí mismo. Supongamos que existe el conjunto vacío.  . Como sabemos, este conjunto no se contiene a sí mismo, es decir  = E { }. Imaginemos que no existen otros conjuntos que no se contengan a sí mismos aunque pueden existir conjuntos que se contengan a sí mismos, por ejemplo U= E {U}, donde U es el conjunto universal (o de todos los conjuntos). Construyamos el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Llamémoslo R. Entonces tenemos que R= E {  }. A simple vista la definición por extensión del conjunto R muestra que no se pertenece a sí mismo. Pero, si R es el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos, entonces R que es un conjunto que no se contiene a sí mismo, debería pertenecer a R. Luego, tenemos que R= E {  , R}. Sin embargo, si R es un conjunto que tiene la propiedad de no estar contenido en sí mismo, tendríamos que quitar la R de este último conjunto R para respetar la definición. Por ello, R= E {  }. Y, nuevamente, si R no pertenece a R entonces R no se pertenece a sí mismo y debería ser un elemento del conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, es decir, de R. De ahí que R= E {  , R}. R resulta ser el conjunto infundado de la paradoja de Russell la misma que puede ser reconstruida con la sola existencia del conjunto vacío.

La paradoja de Russell puede ser reformulada con la ayuda del conjunto vacío gracias a que éste no se contiene a sí mismo. Sin embargo, hemos se señalar que esto no significa que no sea posible utilizar otro conjunto; podemos utilizar cualquier otro conjunto que no se contenga a sí mismo. Pero el conjunto vacío debido a que no contiene a ningún elemento, es más específico que cualquier otro conjunto que por casualidad no se contiene a sí mismo, pudiendo contenerse a sí mismo como ocurre en U ó  . Si  no contiene ningún conjunto, con mayor razón no se contendrá a sí mismo.

Supongamos que existe el conjunto vacío.  . Como sabemos, este conjunto no se contiene a sí mismo, es decir  = E { }. Imaginemos que no existen otros conjuntos que no se contengan a sí mismos aunque pueden existir conjuntos que se contengan a sí mismos, por ejemplo U= E {U}, donde U es el conjunto universal (o de todos los conjuntos).

Construyamos el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Llamémoslo R. Entonces tenemos que R= E {  }. A simple vista la definición por extensión del conjunto R muestra que no se pertenece a sí mismo. Pero, si R es el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos, entonces R que es un conjunto que no se contiene a sí mismo, debería pertenecer a R. Luego, tenemos que R= E {  , R}.

Sin embargo, si R es un conjunto que tiene la propiedad de no estar contenido en sí mismo, tendríamos que quitar la R de este último conjunto R para respetar la definición. Por ello, R= E {  }. Y, nuevamente, si R no pertenece a R entonces R no se pertenece a sí mismo y debería ser un elemento del conjunto de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos, es decir, de R. De ahí que R= E {  , R}.

R resulta ser el conjunto infundado de la paradoja de Russell la misma que puede ser reconstruida con la sola existencia del conjunto vacío.

DESARROLLO DE LA PARADOJA DE RUSSELL

PARADOJA DE LAS PROPIEDADES La paradoja de las propiedades impredicables mantiene una relación directa con una paradoja de la familia argumental de Russell, la paradoja de Grelling de los términos heterológicos. Por ello, sólo la exponemos, mas no la desarrollaremos: “ Russell mostró también como reconstruir su paradoja en términos que fuesen lógicos y no propiamente de teoría de conjuntos. Una propiedad es llamada ‘predicable’ si se aplica a sí misma, ‘impredicable’ si no se aplica a sí misma. Por ejemplo, la propiedad ‘abstracto’ es abstracta, y por tanto predicable; pero ‘concreto’ es también abstracta y no concreta, y por tanto es impredicable. ¿Qué sucede, a este respecto con la propiedad ‘impredicable’ ” El mismo Bertrand Russell razona por reducción al absurdo de la siguiente manera: “(…) Admitamos que “no predicable de sí mismo” es un predicado. Entonces suponer que él es o no predicable a sí mismo es contradictorio. La conclusión en este caso parece evidente: “no predicable a sí mismo” no es predicado”. En este caso el conjunto infundado es la propiedad impredicable. Además, tenemos que Imp(Imp)  Pred(Imp), lo cual es una contradicción manifiesta formalmente idéntica a V(  )↔F(  ), donde  = Imp(Imp) . Ahora, formularemos esta paradoja en lenguaje natural.

La paradoja de las propiedades impredicables mantiene una relación directa con una paradoja de la familia argumental de Russell, la paradoja de Grelling de los términos heterológicos. Por ello, sólo la exponemos, mas no la desarrollaremos:

“ Russell mostró también como reconstruir su paradoja en términos que fuesen lógicos y no propiamente de teoría de conjuntos. Una propiedad es llamada ‘predicable’ si se aplica a sí misma, ‘impredicable’ si no se aplica a sí misma. Por ejemplo, la propiedad ‘abstracto’ es abstracta, y por tanto predicable; pero ‘concreto’ es también abstracta y no concreta, y por tanto es impredicable. ¿Qué sucede, a este respecto con la propiedad ‘impredicable’ ”

El mismo Bertrand Russell razona por reducción al absurdo de la siguiente manera: “(…) Admitamos que “no predicable de sí mismo” es un predicado. Entonces suponer que él es o no predicable a sí mismo es contradictorio. La conclusión en este caso parece evidente: “no predicable a sí mismo” no es predicado”. En este caso el conjunto infundado es la propiedad impredicable. Además, tenemos que Imp(Imp)  Pred(Imp), lo cual es una contradicción manifiesta formalmente idéntica a V(  )↔F(  ), donde  = Imp(Imp) . Ahora, formularemos esta paradoja en lenguaje natural.

FORMALIZACIÓN

PARADOJA DE LAS RELACIONES La paradoja de las relaciones resulta de una generalización de la paradoja de las clases, puesto que la pertenencia es un tipo de relación. Esta paradoja también mantiene un estrecho parecido estructural con la paradoja del barbero y del catálogo. Nuevamente, sólo plantearemos la paradoja de las relaciones. Su desarrollo lo dejaremos pendiente hasta que lleguemos a la paradoja de los catálogos que está después de la del barbero. “ (…) Sea R una relación y consideramos la clase w de términos que no guardan la relación R respecto a sí mismos. Entonces es imposible que exista un término a respecto al cual todos ellos y ningún otro guarden la relación R . Por que si existiera un tal término, la función proposicional “x no guarda la relación R con x” sería equivalente a “x guarda la relación R con a”. Sustituyendo x por a, lo que es legítimo, pues la equivalencia es formal, encontramos una contradicción. Si en lugar de colocar R ponemos (…) llegamos a la contradicción anterior. (…)” La relación reflexiva R que vincula un término consigo mismo es el conjunto infundado que genera la circularidad y la contradicción. Asimismo, llegamos a concluir que R(aa) ¬R(aa), lo cual es una contradicción manifiesta formalmente idéntica a V(  )↔F(  ), donde  = R(aa) . En lenguaje natural este el argumento de la paradoja de las relaciones:

La paradoja de las relaciones resulta de una generalización de la paradoja de las clases, puesto que la pertenencia es un tipo de relación. Esta paradoja también mantiene un estrecho parecido estructural con la paradoja del barbero y del catálogo. Nuevamente, sólo plantearemos la paradoja de las relaciones. Su desarrollo lo dejaremos pendiente hasta que lleguemos a la paradoja de los catálogos que está después de la del barbero.

“ (…) Sea R una relación y consideramos la clase w de términos que no guardan la relación R respecto a sí mismos. Entonces es imposible que exista un término a respecto al cual todos ellos y ningún otro guarden la relación R . Por que si existiera un tal término, la función proposicional “x no guarda la relación R con x” sería equivalente a “x guarda la relación R con a”. Sustituyendo x por a, lo que es legítimo, pues la equivalencia es formal, encontramos una contradicción. Si en lugar de colocar R ponemos (…) llegamos a la contradicción anterior. (…)”

La relación reflexiva R que vincula un término consigo mismo es el conjunto infundado que genera la circularidad y la contradicción. Asimismo, llegamos a concluir que R(aa) ¬R(aa), lo cual es una contradicción manifiesta formalmente idéntica a V(  )↔F(  ), donde  = R(aa) . En lenguaje natural este el argumento de la paradoja de las relaciones:

FORMALIZACIÓN

La Paradoja de Russell desde la perspectiva de Kripke SOBRE LA IMPORTANCIA Y TRASCENDENCIA DE LA PARADOJA DE LAS CLASES

2 MANERAS DE DEFINIR CONJUNTOS DEFINICIÓN POR EXTENSIÓN H = {a,e,i,o,u}. De ahí: a  H i  H o  H DEFINICIÓN POR COMPRENSIÓN H = {x / x es una vocal} = {x / V (x) }. De ahí: V (a) V (e) V (i)

DEFINICIÓN POR EXTENSIÓN

H = {a,e,i,o,u}. De ahí:

a  H

i  H

o  H

DEFINICIÓN POR COMPRENSIÓN

H = {x / x es una vocal} = {x / V (x) }. De ahí:

V (a)

V (e)

V (i)

APORTE DE FREGE Esquema de Comprensión : toda propiedad se relaciona con el conjunto de cosas que tienen esa propiedad. Este “Esquema” garantiza que es posible hablar de un conjunto cuyos elementos compartan cualquier propiedad en común. Formalmente: “ Todo y pertenece a un conjunto de elementos x tales que tienen la propiedad F, si y solo si, y tiene la propiedad F”. Simbólicamente:  y(y  {x/F(x)}↔F(y)). Ejemplos: “ Un gato pertenece a la clase de los x tales que tienen la propiedad de ser felinos, si y solo si, ese gato es felino” (g  {x/F(x)}↔F(g)). “ Un congresista pertenece a la clase de los x tales que tienen la propiedad de ser marxistas, si y solo si, ese congresista es marxista” (c  {x/M(x)}↔M(c)).

Esquema de Comprensión : toda propiedad se relaciona con el conjunto de cosas que tienen esa propiedad. Este “Esquema” garantiza que es posible hablar de un conjunto cuyos elementos compartan cualquier propiedad en común. Formalmente:

“ Todo y pertenece a un conjunto de elementos x tales que tienen la propiedad F, si y solo si, y tiene la propiedad F”.

Simbólicamente:  y(y  {x/F(x)}↔F(y)).

Ejemplos:

“ Un gato pertenece a la clase de los x tales que tienen la propiedad de ser felinos, si y solo si, ese gato es felino”

(g  {x/F(x)}↔F(g)).

“ Un congresista pertenece a la clase de los x tales que tienen la propiedad de ser marxistas, si y solo si, ese congresista es marxista”

(c  {x/M(x)}↔M(c)).

DOS PROPIEDADES OPUESTAS: DOS CLASES Tenemos el conjunto universal que contiene a todo conjunto. Pero él mismo es un conjunto, y, por ello, resulta que se pertenece a sí mismo: U  U. Nace así la propiedad “P” de pertenecerse a sí mismo (  x[P(x)=x  x]) Y “U” resulta ser un conjunto con esta propiedad. A su vez, también surge la propiedad opuesta “Q” de no pertenecerse a sí mismo. (  x[Q(x)=x  x]). Por ejemplo: N = {3,5,7}. ¿Vemos a N mismo entre sus elementos? No. Por ello, decimos que N no se pertenece: N  N. Recordemos esas propiedades “P” y “Q”.

Tenemos el conjunto universal que contiene a todo conjunto. Pero él mismo es un conjunto, y, por ello, resulta que se pertenece a sí mismo:

U  U.

Nace así la propiedad “P” de pertenecerse a sí mismo

(  x[P(x)=x  x])

Y “U” resulta ser un conjunto con esta propiedad. A su vez, también surge la propiedad opuesta “Q” de no pertenecerse a sí mismo.

(  x[Q(x)=x  x]).

Por ejemplo: N = {3,5,7}. ¿Vemos a N mismo entre sus elementos? No. Por ello, decimos que N no se pertenece:

N  N.

Recordemos esas propiedades “P” y “Q”.

LA PARADOJA DE RUSSELL Bertrand Russell construyó el conjunto “K” conformado por elementos que cumplen la primera propiedad “P” (de pertenecerse a sí mismo) y al conjunto “R” conformado por elementos que cumplen la propiedad opuesta “Q”. Estos dos conjuntos “K” y “R” son opuestos (uno es la negación del otro), disjuntos (no tienen elementos en común) y complementarios (juntos conforman la totalidad)

Bertrand Russell construyó el conjunto “K” conformado por elementos que cumplen la primera propiedad “P” (de pertenecerse a sí mismo) y al conjunto “R” conformado por elementos que cumplen la propiedad opuesta “Q”. Estos dos conjuntos “K” y “R” son opuestos (uno es la negación del otro), disjuntos (no tienen elementos en común) y complementarios (juntos conforman la totalidad)

ANÁLISIS DE “K”: LA VERSIÓN INOCUA Versión inocua de la paradoja de Russell . El conjunto “K” asociado a la propiedad “P” por ser un conjunto o bien se pertenece o bien no se pertenece. Es decir, Si K={x/P(x)} (hipótesis), ¿(K  K)? Recordemos el Esquema de Comprensión  y(y  {x/F(x)}↔F(y)). Ejemplificando universalmente la letra “y” por la “K”, y considerando la propiedad genérica “F” como la propiedad específica “P” tenemos (K  {x/P(x)}↔ P(K) )...(  ). Enseguida, reemplacemos en (  ), {x/P(x)} y P(K) por sus equivalentes K (por la hipótesis) y K  K (por la propiedad “P”) respectivamente. Recordemos que si algo tiene la propiedad P, se pertenece. De ahí obtenemos (K  K)↔(K  K). OBSERVACIÓN: Esta expresión es una tautología, pero el valor de verdad de la proposición anterior (K  K) es incierto debido a que sus elementos han sido definidos usando al mismo conjunto K. Para que K pertenezca a K es necesario y suficiente que pertenezca a K. Cualquier opción o bien que (K  K) o bien (K  K) hará que el sistema permanezca consistente. Esto provoca la crisis del principio del tercero excluido ya que K  K puede ser verdadera o falsa indeterminandamente, sin ninguna restricción. (Es problemático pero inocuo, es decir, no dañino)

Versión inocua de la paradoja de Russell . El conjunto “K” asociado a la propiedad “P” por ser un conjunto o bien se pertenece o bien no se pertenece. Es decir,

Si K={x/P(x)} (hipótesis), ¿(K  K)?

Recordemos el Esquema de Comprensión

 y(y  {x/F(x)}↔F(y)).

Ejemplificando universalmente la letra “y” por la “K”, y considerando la propiedad genérica “F” como la propiedad específica “P” tenemos

(K  {x/P(x)}↔ P(K) )...(  ).

Enseguida, reemplacemos en (  ), {x/P(x)} y P(K) por sus equivalentes K (por la hipótesis) y K  K (por la propiedad “P”) respectivamente. Recordemos que si algo tiene la propiedad P, se pertenece.

De ahí obtenemos (K  K)↔(K  K).

OBSERVACIÓN:

Esta expresión es una tautología, pero el valor de verdad de la proposición anterior (K  K) es incierto debido a que sus elementos han sido definidos usando al mismo conjunto K. Para que K pertenezca a K es necesario y suficiente que pertenezca a K. Cualquier opción o bien que (K  K) o bien (K  K) hará que el sistema permanezca consistente. Esto provoca la crisis del principio del tercero excluido ya que K  K puede ser verdadera o falsa indeterminandamente, sin ninguna restricción. (Es problemático pero inocuo, es decir, no dañino)

ANÁLISIS DE “R”: PARADOJA RUSSELLIANA Si R = {x / Q(x)} (por hipótesis), ¿(R  R)? Recordemos el Esquema de Comprensión  y(y  {x/F(x)}↔F(y)). Ejemplificando universalmente la letra “y” por la “R”, y especificando la propiedad “F” por la “Q” tenemos (R  {x/Q(x)}↔ Q(R) )…(  ). Reemplacemos en (  ), {x/Q(x)} y Q(R) por sus equivalentes R (por hipótesis) y R  R (por la propiedad “Q”) respectivamente. Recordemos que si algo tiene la propiedad Q, no se pertenece. De ahí se sigue que, (R  R)↔(R  R). De esto se deduce: (R  R)  (R  R). En este caso entra en crisis el principio de no contradicción y el del tercero excluido . Dada una proposición se deduce su contradictoria, y viceversa. Esa proposición, aunque como en el caso de “K” no tiene un valor de verdad determinado (ya que es verdadero y falso), resulta mucho más grave a nivel lógico formal porque deriva en una contradicción y en tautología. Veamos por qué.

Si R = {x / Q(x)} (por hipótesis), ¿(R  R)?

Recordemos el Esquema de Comprensión

 y(y  {x/F(x)}↔F(y)).

Ejemplificando universalmente la letra “y” por la “R”, y especificando la propiedad “F” por la “Q” tenemos

(R  {x/Q(x)}↔ Q(R) )…(  ).

Reemplacemos en (  ), {x/Q(x)} y Q(R) por sus equivalentes R (por hipótesis) y R  R (por la propiedad “Q”) respectivamente. Recordemos que si algo tiene la propiedad Q, no se pertenece.

De ahí se sigue que, (R  R)↔(R  R).

De esto se deduce: (R  R)  (R  R).

En este caso entra en crisis el principio de no contradicción y el del tercero excluido . Dada una proposición se deduce su contradictoria, y viceversa. Esa proposición, aunque como en el caso de “K” no tiene un valor de verdad determinado (ya que es verdadero y falso), resulta mucho más grave a nivel lógico formal porque deriva en una contradicción y en tautología. Veamos por qué.

TAUTOLOGÍA Hagamos un cambio de variable, en (R  R)↔(R  R). Reemplacemos R  R por C y R  R por ¬C. Entonces tenemos: A = (C ↔ ¬C) DEMOSTRACIÓN DE QUE A IMPLICA TAUTOLOGÍAS 1. C ↔ ¬C //  C -> C (PRINCIPIO DE IDENTIDAD) 2. (C -> ¬C)  (¬C -> C) de 1 por def. ↔ 3. C -> C de 2 por SH

Hagamos un cambio de variable, en (R  R)↔(R  R). Reemplacemos R  R por C y R  R por ¬C. Entonces tenemos: A = (C ↔ ¬C)

DEMOSTRACIÓN DE QUE A IMPLICA TAUTOLOGÍAS

1. C ↔ ¬C //  C -> C (PRINCIPIO DE IDENTIDAD)

2. (C -> ¬C)  (¬C -> C) de 1 por def. ↔

3. C -> C de 2 por SH

CONTRADICCIÓN DEMOSTRACIÓN DE QUE A IMPLICA CONTRADICCIONES 1. C ↔ ¬C //  ¬C  C 2. (C -> ¬C)  (¬C -> C) de 1 por def. ↔ 3. C -> ¬C de 2 por Simp. 4. ¬C -> C de 2 por Simp. 5. ¬C de 3 por def. -> 6. C de 4 por def. -> 7. ¬C  C de 5 y 6 conj.

DEMOSTRACIÓN DE QUE A IMPLICA CONTRADICCIONES

1. C ↔ ¬C //  ¬C  C

2. (C -> ¬C)  (¬C -> C) de 1 por def. ↔

3. C -> ¬C de 2 por Simp.

4. ¬C -> C de 2 por Simp.

5. ¬C de 3 por def. ->

6. C de 4 por def. ->

7. ¬C  C de 5 y 6 conj.

LA PROPUESTA DE KRIPKE “ No considero que ninguna propuesta, incluyendo la que he de presentar aquí, sea definitiva en el sentido de suministrar la interpretación del uso ordinario de “verdadero”, o de dar solución a las paradojas semánticas. Por el contrario, por ahora no he pensado a fondo en una justificación filosófica detallada de la propuesta, ni estoy seguro de cuáles son las áreas exactas y las limitaciones de su aplicabilidad. Espero que el modelo aquí suministrado tenga dos virtudes: primera, que proporcione un área rica en propiedades matemáticas y relativas a la estructura formal; segunda, que estas propiedades recojan en buena medida algunas intuiciones importantes . Así, pues, el modelo ha de ser puesto a prueba por su fertilidad técnica. No tiene que recoger todas las intuiciones, pero se espera que recoja muchas de ellas.” KRIPKE, S. (1986) Esbozo de una teoría de la verdad.

“ No considero que ninguna propuesta, incluyendo la que he de presentar aquí, sea definitiva en el sentido de suministrar la interpretación del uso ordinario de “verdadero”, o de dar solución a las paradojas semánticas. Por el contrario, por ahora no he pensado a fondo en una justificación filosófica detallada de la propuesta, ni estoy seguro de cuáles son las áreas exactas y las limitaciones de su aplicabilidad. Espero que el modelo aquí suministrado tenga dos virtudes: primera, que proporcione un área rica en propiedades matemáticas y relativas a la estructura formal; segunda, que estas propiedades recojan en buena medida algunas intuiciones importantes . Así, pues, el modelo ha de ser puesto a prueba por su fertilidad técnica. No tiene que recoger todas las intuiciones, pero se espera que recoja muchas de ellas.”

KRIPKE, S. (1986) Esbozo de una teoría de la verdad.

PUNTO FIJO MÍNIMO Una oración está fundada si adquiere un valor de verdad en algún nivel del proceso de construcción del punto fijo mínimo, esto es, siempre y cuando su valor de verdad pueda ser determinado en última instancia a partir de cuestiones empíricas. En caso contrario, decimos que dicha oración está infundada. Así, el valor de verdad de “ Es verdad que la nieve es blanca” (1) queda determinado por el valor de “ La nieve es blanca” (2), que es verdadera según el color de la nieve. Luego, tanto la oración (1) como la (2) están fundadas y son verdaderas. En teoría de conjuntos diríamos que el conjunto de los vertebrados V = {P, N, A,R,M} existe, si sus elementos (Peces, aNfibios, Aves, Reptiles y Mamíferos) no contienen otros conjuntos a los que pertenezcan. Y esto realmente se verifica puesto que, por ejemplo, la clase de los peces no se pertenece o no contiene a la clase V (a la que sí pertenece). Por ello, P, N, A, R y M existen lógicamente, y desde luego, G es fundado .

Una oración está fundada si adquiere un valor de verdad en algún nivel del proceso de construcción del punto fijo mínimo, esto es, siempre y cuando su valor de verdad pueda ser determinado en última instancia a partir de cuestiones empíricas. En caso contrario, decimos que dicha oración está infundada. Así, el valor de verdad de

“ Es verdad que la nieve es blanca” (1)

queda determinado por el valor de

“ La nieve es blanca” (2),

que es verdadera según el color de la nieve. Luego, tanto la oración (1) como la (2) están fundadas y son verdaderas.

En teoría de conjuntos diríamos que el conjunto de los vertebrados

V = {P, N, A,R,M}

existe, si sus elementos (Peces, aNfibios, Aves, Reptiles y Mamíferos) no contienen otros conjuntos a los que pertenezcan. Y esto realmente se verifica puesto que, por ejemplo, la clase de los peces no se pertenece o no contiene a la clase V (a la que sí pertenece). Por ello, P, N, A, R y M existen lógicamente, y desde luego, G es fundado .

PUNTO FIJO MÁXIMO El problema surge con las oraciones infundadas , las cuales no tienen algún valor de verdad que pueda ser determinado. Existen dos tipos de puntos para estas oraciones: el punto fijo máximo y el intrínseco. Veamos el punto fijo máximo. Por ejemplo: el valor de verdad de “ Esta oración es verdadera” (3) queda determinado por el valor de verdad de la oración (3), que es verdadera o no según el valor de verdad de (3). Por ello, si (3) es falsa, “Esta oración es verdadera” será falsa y si (3) es verdadera, “Esta oración es verdadera” será verdadera. Esta oración tiene valor de verdad en el punto fijo máximo, es decir, acapara todos los valores de verdad. Lo mismo ocurre con la versión inocua de la paradoja de Russell : el conjunto de todos los conjuntos que se contienen a sí mismos, es decir, (K={U, K, …}) depende de sus elementos. Si esos componentes (U, K, etc.) están definidos, K los contiene, y si no, K no los contiene. Pero, como sabemos esto no afecta a la teoría en sí puesto que no agrede al principio de no contradicción. La consistencia del sistema está garantizada.

El problema surge con las oraciones infundadas , las cuales no tienen algún valor de verdad que pueda ser determinado. Existen dos tipos de puntos para estas oraciones: el punto fijo máximo y el intrínseco.

Veamos el punto fijo máximo.

Por ejemplo: el valor de verdad de

“ Esta oración es verdadera” (3)

queda determinado por el valor de verdad de la oración (3), que es verdadera o no según el valor de verdad de (3).

Por ello, si (3) es falsa, “Esta oración es verdadera” será falsa y si (3) es verdadera, “Esta oración es verdadera” será verdadera.

Esta oración tiene valor de verdad en el punto fijo máximo, es decir, acapara todos los valores de verdad.

Lo mismo ocurre con la versión inocua de la paradoja de Russell : el conjunto de todos los conjuntos que se contienen a sí mismos, es decir, (K={U, K, …}) depende de sus elementos. Si esos componentes (U, K, etc.) están definidos, K los contiene, y si no, K no los contiene. Pero, como sabemos esto no afecta a la teoría en sí puesto que no agrede al principio de no contradicción. La consistencia del sistema está garantizada.

PARADOJAS Sin embargo, existen oraciones infundadas que no tienen valor de verdad en ningún punto fijo. Por ejemplo: “ La oración 5 es verdadera” (4) y “ La oración 4 es falsa” (5). Si la oración 4 es verdadera, 5 será verdadera. Y si 5 es verdadera, 4 será falsa. Si suponemos un valor para (4), este resulta refutado. Lo mismo pasa si suponemos una valor veritativo para (5). Luego, estas oraciones son paradójicas, pues ambas no tienen un valor de verdad consistente. De la misma manera el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos (R={x/Q(x)}) no estará definido puesto que, en resumen, contiene y no contiene a R. Así, R es un conjunto infundado puesto que su valor de verdad no es conocido y, además, paradójico porque cualquier valor de verdad que se le atribuya generará una contradicción: si R se contiene, entonces no se contiene y si no se contiene resulta que se contiene.

Sin embargo, existen oraciones infundadas que no tienen valor de verdad en ningún punto fijo. Por ejemplo:

“ La oración 5 es verdadera” (4)

y

“ La oración 4 es falsa” (5).

Si la oración 4 es verdadera, 5 será verdadera. Y si 5 es verdadera, 4 será falsa. Si suponemos un valor para (4), este resulta refutado. Lo mismo pasa si suponemos una valor veritativo para (5). Luego, estas oraciones son paradójicas, pues ambas no tienen un valor de verdad consistente.

De la misma manera el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos (R={x/Q(x)}) no estará definido puesto que, en resumen, contiene y no contiene a R. Así, R es un conjunto infundado puesto que su valor de verdad no es conocido y, además, paradójico porque cualquier valor de verdad que se le atribuya generará una contradicción: si R se contiene, entonces no se contiene y si no se contiene resulta que se contiene.