DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA

TRIÁNGULO DE SIERPINSKI: FRACTAL 1 PRIMER PASO Partimos de un triángulo equilátero normal. Ya que el lado es 2 a, su perímetro es 6 a. Además, sabemos que el área de la región sombreada con color negro de esta figura es a 2  3 .

PRIMER PASO

Partimos de un triángulo equilátero normal. Ya que el lado es 2 a, su perímetro es 6 a.

Además, sabemos que el área de la región sombreada con color negro de esta figura es a 2  3 .

SEGUNDO PASO Ahora dividimos su área en 4 dejando de lado el pedazo de área del centro. El perímetro de los 3 triángulos es: 3 . 3 . a = 9 a Asimismo, el área de la región sombreada es igual a 3/4 a 2  3 .

SEGUNDO PASO

Ahora dividimos su área en 4 dejando de lado el pedazo de área del centro. El perímetro de los 3 triángulos es:

3 . 3 . a = 9 a

Asimismo, el área de la región sombreada es igual a 3/4 a 2  3 .

TERCER PASO Volvemos a aplicar este proceso, es decir, dividimos cada triángulo en 4 y dejamos de lado el pedazo de área central. El perímetro de los 9 triángulos será: 3 . 3 . 3 . (a/2) = 27/2 El área de la región sombreada es (3/4) 2 a 2  3 .

TERCER PASO

Volvemos a aplicar este proceso, es decir, dividimos cada triángulo en 4 y dejamos de lado el pedazo de área central. El perímetro de los 9 triángulos será:

3 . 3 . 3 . (a/2) = 27/2

El área de la región sombreada es (3/4) 2 a 2  3 .

CUARTO PASO Seguimos aplicando este proceso y obtenemos un triángulo como sigue. El perímetro (que sigue aumentando) de los 27 triángulos es: 3 . 3 . 3 . 3 . (a/4) = 81/4 El área es igual a (3/4) 3 a 2  3 .

CUARTO PASO

Seguimos aplicando este proceso y obtenemos un triángulo como sigue.

El perímetro (que sigue aumentando) de los 27 triángulos es: 3 . 3 . 3 . 3 . (a/4) = 81/4

El área es igual a (3/4) 3 a 2  3 .

QUINTO PASO En esta quinta fase aplicamos lo mismo. El nuevo perímetro será: 243/8 y el área será (3/4) 4 a 2  3 .

QUINTO PASO

En esta quinta fase aplicamos lo mismo. El nuevo perímetro será: 243/8 y el área será (3/4) 4 a 2  3 .

CONCLUSIÓN Como podemos apreciar este fractal manifiesta una relación poco común entre el área y su perímetro. Mientras que el perímetro tiende hacia el infinito, el área tiende a ser cero. En la geometría euclídea sucede que una figura con un área infinita tiene perímetro infinito y a su vez una figura con perímetro infinito tiene área infinita. Además, una figura con área igual a cero, no debería tener existencia gráfica, lo cual no sucede con el triángulo de Sierpinski. Asimismo, una figura con perímetro igual a infinito tiene por medidas de sus lados al infinito o bien tiene infinitos lados. Pero en el triángulo analizado llevado al infinito sucede que tan sólo se ven acumulaciones de puntos por doquier.

Como podemos apreciar este fractal manifiesta una relación poco común entre el área y su perímetro. Mientras que el perímetro tiende hacia el infinito, el área tiende a ser cero.

En la geometría euclídea sucede que una figura con un área infinita tiene perímetro infinito y a su vez una figura con perímetro infinito tiene área infinita.

Además, una figura con área igual a cero, no debería tener existencia gráfica, lo cual no sucede con el triángulo de Sierpinski.

Asimismo, una figura con perímetro igual a infinito tiene por medidas de sus lados al infinito o bien tiene infinitos lados. Pero en el triángulo analizado llevado al infinito sucede que tan sólo se ven acumulaciones de puntos por doquier.

CURVA DE KOCH: FRACTAL 2 Copo de nieve de Koch . Comencemos analizando el perímetro de la siguiente figura que representa un triángulo equilátero. Si cada lado es igual a 1, su perímetro será 3. El área vale (  3)/4.

Copo de nieve de Koch . Comencemos analizando el perímetro de la siguiente figura que representa un triángulo equilátero. Si cada lado es igual a 1, su perímetro será 3.

El área vale (  3)/4.

CURVA DE KOCH Dividamos cada lado en 3 partes y sobre las segundas partes construyamos otros triángulos equiláteros. Se han agregado 6 segmentos de 1/3, pero hemos borrado 3 segmentos de 1/3. En total hemos aumentado 3 segmentos de 1/3. El nuevo perímetro es: 3 + 1. El área vale (  3)/4 + (  3)/12

Dividamos cada lado en 3 partes y sobre las segundas partes construyamos otros triángulos equiláteros.

Se han agregado 6 segmentos de 1/3, pero hemos borrado 3 segmentos de 1/3. En total hemos aumentado 3 segmentos de 1/3. El nuevo perímetro es: 3 + 1.

El área vale (  3)/4 + (  3)/12

CURVA DE KOCH Volvamos a repetir el proceso. Comenzamos dividiendo en 3 partes esos segmentos de 1/3 y luego hacemos todo lo demás. Al final hemos de aumentar 24 segmentos de 1/9, pero también borramos 12 segmentos de 1/9. En total hemos aumentado 12 segmentos de 1/9, o sea 4/3. El nuevo perímetro es: 3 + 1 + 4/3. El área vale (  3)/4 + (  3)/12 + (  3)/54

Volvamos a repetir el proceso. Comenzamos dividiendo en 3 partes esos segmentos de 1/3 y luego hacemos todo lo demás. Al final hemos de aumentar 24 segmentos de 1/9, pero también borramos 12 segmentos de 1/9. En total hemos aumentado 12 segmentos de 1/9, o sea 4/3.

El nuevo perímetro es: 3 + 1 + 4/3.

El área vale (  3)/4 + (  3)/12 + (  3)/54

CURVA DE KOCH Nuevamente volvemos a realizar todo este procedimiento. El perímetro sería igual a: 3 + 1 + 4/3 + (4/3) 2 . Y si continuamos así cada vez aumentará un nueva potencia de (4/3). Tendremos, por ello, una figura cuyo perímetro “Z” Z = 3 + 1 + 4/3 + (4/3) 2 + (4/3) 3 + (4/3) 4 + … forzosamente tiene que ser infinito. Pero gráficamente observamos su finitud. El área “A” mide A= (  3)/4 + (  3)/12 + (  3)/54 + … . Esto significa que tiende a ser finito, y por ello, conserva ciertas propiedades de la figuras planas como la finitud del área pero distorsiona otras como la infinitud de su perímetro.

Nuevamente volvemos a realizar todo este procedimiento. El perímetro sería igual a: 3 + 1 + 4/3 + (4/3) 2 . Y si continuamos así cada vez aumentará un nueva potencia de (4/3). Tendremos, por ello, una figura cuyo perímetro “Z”

Z = 3 + 1 + 4/3 + (4/3) 2 + (4/3) 3 + (4/3) 4 + …

forzosamente tiene que ser infinito. Pero gráficamente observamos su finitud.

El área “A” mide

A= (  3)/4 + (  3)/12 + (  3)/54 + … .

Esto significa que tiende a ser finito, y por ello, conserva ciertas propiedades de la figuras planas como la finitud del área pero distorsiona otras como la infinitud de su perímetro.

CONCLUSIÓN Todas las figuras son planas de dos dimensiones tienen un perímetro finito porque están limitadas por líneas cerradas. Sin embargo, la figura analizada tiene un perímetro infinito a pesar de qué gráficamente es posible detectar su finitud. Por ello, la figura del copo de nieve es un fractal cuyas dimensiones son más que la de la línea (metros) y menos que la del plano (metros cuadrados), es decir, entre 1 y 2. (Exactamente es 1,2)

Todas las figuras son planas de dos dimensiones tienen un perímetro finito porque están limitadas por líneas cerradas.

Sin embargo, la figura analizada tiene un perímetro infinito a pesar de qué gráficamente es posible detectar su finitud.

Por ello, la figura del copo de nieve es un fractal cuyas dimensiones son más que la de la línea (metros) y menos que la del plano (metros cuadrados), es decir, entre 1 y 2. (Exactamente es 1,2)

¿Qué es pensar geométricamente? La geometría juega con la dimensión espacial y su percepción en la mente humana. Dominar la geometría requiere saber mover la figura básica para hallar figuras complejas Cuando dos figuras se entrecruzan lo importante es encontrar lo que significan esas líneas para sus figuras y las relaciones espaciales. Se piensa mejor cuando se razona sobre figuras regulares. Usar figuras regulares y perfectas como los triángulos equiláteros, notables, cuadrados, círculos, etc.

La geometría juega con la dimensión espacial y su percepción en la mente humana.

Dominar la geometría requiere saber mover la figura básica para hallar figuras complejas

Cuando dos figuras se entrecruzan lo importante es encontrar lo que significan esas líneas para sus figuras y las relaciones espaciales.

Se piensa mejor cuando se razona sobre figuras regulares. Usar figuras regulares y perfectas como los triángulos equiláteros, notables, cuadrados, círculos, etc.

Preferencias del alumno Procesa y acepta los datos del problema pero no suele pensar en la estrategia. Al no tener clara la idea de una estrategia proceden a aplicar sin ton ni son las fórmulas que más recuerdan. Tiende a unir los puntos que son datos del problema. Aprecian mucho el triángulo notable e isósceles de 45 y 45. Quiere él mismo demostrar los teoremas pero para ello es necesario educarlo en ejercicios sencillos previos. Esos ejemplos sencillo deben contener datos concretos no abstractos. En vez de decir, radio “R” mejor decir radio = 5 metros. Un ángulo de 45 grados no puede parecer de 10 o de 160 grados.

Procesa y acepta los datos del problema pero no suele pensar en la estrategia.

Al no tener clara la idea de una estrategia proceden a aplicar sin ton ni son las fórmulas que más recuerdan.

Tiende a unir los puntos que son datos del problema.

Aprecian mucho el triángulo notable e isósceles de 45 y 45.

Quiere él mismo demostrar los teoremas pero para ello es necesario educarlo en ejercicios sencillos previos.

Esos ejemplos sencillo deben contener datos concretos no abstractos. En vez de decir, radio “R” mejor decir radio = 5 metros. Un ángulo de 45 grados no puede parecer de 10 o de 160 grados.

Preferencias del alumno Tiende a trabajar con lo que el profesor le enseñó. Hay que enseñarle el lenguaje del problema al alumnado. Saber leer en matemáticas es vital para empezar bien. Debemos cultivar el razonamiento verbal en los maestros para que ellos puedan usar más palabras conocidas en vez de palabras muy técnicas. Tienen dificultades para asociar nuevos términos con propiedades y teoremas. Confunde teoremas parecidos. Es deber del profesor variar las formas de sus teoremas de mil maneras diversas tanto gráfica como algebraicamente.

Tiende a trabajar con lo que el profesor le enseñó.

Hay que enseñarle el lenguaje del problema al alumnado. Saber leer en matemáticas es vital para empezar bien. Debemos cultivar el razonamiento verbal en los maestros para que ellos puedan usar más palabras conocidas en vez de palabras muy técnicas.

Tienen dificultades para asociar nuevos términos con propiedades y teoremas.

Confunde teoremas parecidos. Es deber del profesor variar las formas de sus teoremas de mil maneras diversas tanto gráfica como algebraicamente.

RESULTADOS HECHO EVALUADO PROMEDIO A 4.03 B 3,184 C 14.49 D 6,416 E 0 F 0.944 G 0 H 0.9 I 0 J 12.466 K 2.188 L 2.372 M 52,978

CONCLUSIONES A partir del cuadro nos podremos dar cuenta de que se trata de exámenes con un nivel de dificultad no tan elevado pues vemos que la mayoría responde bien las preguntas, si vemos M. Si vemos J y la C nos daremos cuenta de que son los errores que se cometen con más frecuencia: aplicar la estrategia. Una vez que identifica bien los datos en el gráfico el alumno se queda en el aire, no sabe qué hacer, no sabe por donde empezar, se siente perdido, no sabe qué preguntas hacerse. Enseguida tenemos la D, a veces los alumnos se mandan con todo lo que saben sin saber poner orden a sus ideas y, por ello, equivocan el camino en vez de dar en el clavo. Aplican otros teoremas y no llega a resultado alguno. No usan buenas y eficaces estrategias de solución Luego, existe el llamado error de traducción. Los alumnos a veces no entienden lo que quiere decir el problema o se marean con su simbolismo. Es necesario otorgarle al alumno una interpretación coherente en cada ejercicio. Recordar qué es lo que nos piden. Leer con paciencia el problema para rescatar los datos. Subrayar la incógnita. Las claves F y L, los errores de cálculo no son tan frecuentes

A partir del cuadro nos podremos dar cuenta de que se trata de exámenes con un nivel de dificultad no tan elevado pues vemos que la mayoría responde bien las preguntas, si vemos M.

Si vemos J y la C nos daremos cuenta de que son los errores que se cometen con más frecuencia: aplicar la estrategia. Una vez que identifica bien los datos en el gráfico el alumno se queda en el aire, no sabe qué hacer, no sabe por donde empezar, se siente perdido, no sabe qué preguntas hacerse.

Enseguida tenemos la D, a veces los alumnos se mandan con todo lo que saben sin saber poner orden a sus ideas y, por ello, equivocan el camino en vez de dar en el clavo. Aplican otros teoremas y no llega a resultado alguno. No usan buenas y eficaces estrategias de solución

Luego, existe el llamado error de traducción. Los alumnos a veces no entienden lo que quiere decir el problema o se marean con su simbolismo. Es necesario otorgarle al alumno una interpretación coherente en cada ejercicio. Recordar qué es lo que nos piden. Leer con paciencia el problema para rescatar los datos. Subrayar la incógnita.

Las claves F y L, los errores de cálculo no son tan frecuentes

PREGUNTAS ESTRATÉGICAS Es necesario plantear una estrategia mediante preguntas sencillas: ¿Qué me piden? ¿Cómo lo obtengo? ¿Qué puedo conseguir combinando los datos? ¿Debo combinarlos de tal o cual manera? ¿Me bastan los datos para lograr mis objetivos? ¿Ellos me permitirán estar más cerca o más lejos de la meta o necesito sacar otros datos a partir de éstos? Enseguida plasmamos el conocimiento y lo fundamentamos en la pizarra.

Es necesario plantear una estrategia mediante preguntas sencillas:

¿Qué me piden?

¿Cómo lo obtengo?

¿Qué puedo conseguir combinando los datos?

¿Debo combinarlos de tal o cual manera?

¿Me bastan los datos para lograr mis objetivos?

¿Ellos me permitirán estar más cerca o más lejos de la meta o necesito sacar otros datos a partir de éstos?

Enseguida plasmamos el conocimiento y lo fundamentamos en la pizarra.

NIVEL 1 1. Determinar valores de BC y AB 2. Aplicar el teorema de la bisectriz 3. Despejar “MC” MC El alumno a veces no sabe cómo interpretar la ecuación que es dato del problema. No recuerda bien la fórmula.

El alumno a veces no sabe cómo interpretar la ecuación que es dato del problema.

No recuerda bien la fórmula.

NIVEL 2 1.Hallar AB, BC y DC 2. Aplicar teorema del ángulo exterior. Ecuación 1 3. Usar el dato de que toda la circunferencia mide 360. Ecuación 2 4. Usar Ecuaciones 1 y 2 y obtener AMD. El alumno pone los datos en el gráfico pero no sabe cuando y por qué usar tal o cual fórmula. No piensa estratégicamente.

El alumno pone los datos en el gráfico pero no sabe cuando y por qué usar tal o cual fórmula. No piensa estratégicamente.

NIVEL 3 1. Notar que EB, FC Y GD son paralelas 2. Aplicar teorema de Tales entre AC y EG 3. Aplicar teorema de Tales entre EG y BD 4. Despejar “CD” El alumno traduce bien el problema, pero no sabe ubicar el teorema de Tales. Tiene dificultades para desarrollar y expandir su percepción espacial.

El alumno traduce bien el problema, pero no sabe ubicar el teorema de Tales. Tiene dificultades para desarrollar y expandir su percepción espacial.

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