13 PARADOJAS EXTRA
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13 PARADOJAS EXTRA

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ESTAS PARADOJAS SON TIPICAS DE LA FILOSOFIA

ESTAS PARADOJAS SON TIPICAS DE LA FILOSOFIA

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  • 1. 13 PARADOJAS EXTRA EXPOSITOR: RAFAEL FELIX MORA RAMIREZ
  • 2. 6 FORMAS DE LA PARADOJA DEL MENTIROSO
    • La paradoja del Mentiroso no puede solucionarse apelando a la prohibición de la autorreferencia. Pues, sin la autorreferencia es posible formular otras paradojas igual de problemáticas. Estas las conocemos como la familia oracional de paradojas del Mentiroso (FOPM). Ejemplos: Tarjeta de Jourdain, Libro Antinómico de Tarski, Paradoja de Yablo (para esta última ver diapositivas de “La Filosofía Analítica y …”). Estos sistemas de oraciones son paradójicos porque cada oración es verdadera si y solo si es falsa. Pero existen otros tipos de sistemas que parece que son paradójicos pero no lo son. Estas son las cuasiparadojas.
    • Ciertamente, puede pensarse que la paradoja del Mentiroso es demasiado técnica, demasiado formal. Incluso puede decirse que son trabalenguas antojadizos e inútiles tan comparables a los poemas redundantes. Pero, dicha paradoja ha sido formulada antes en la literatura. Por ejemplo, Cervantes Saavedra formuló una versión de la misma. Godement escribió el dilema de los canibales. Protágoras tiene su paradoja. Y, Kleene re-escribió el viejo dilema del cocodrilo. Estas paradojas forman parte de la familia argumental del mentiroso (FAPM). Veremos todas estas paradojas enseguida.
  • 3. TARJETA DE P. E. B. JOURDAIN (FOPM)
    • En la paradoja de la Tarjeta de Philip Edward Bertrand Jourdain se presenta una tarjeta en uno de cuyos lados esta escrita la oración:
    • (1) Al dorso de esta tarjeta hay una oración verdadera
    • Se da la vuelta a la tarjeta y se lee lo siguiente:
    • (2) Al dorso de esta tarjeta hay una oración falsa
    • La única forma genérica de esta paradoja es
    • (X) La oración (X + (-1) (X-1)) tiene la propiedad de ser Y, donde si X=1, Y es “verdadera”, y si X=2, Y es “falsa”. A continuación, recurriremos a la argumentación tanto en el argumento A como en el argumento B:
    • Argumento A: Si (1) es verdadera, entonces (2) tiene que ser verdadera, y, por lo tanto, (1) tiene que ser falsa. (V(1)->F(1)). Si (1) es falsa, entonces (2) tiene que ser falsa y, por lo tanto, (1) tiene que ser verdadera. (F(1)->V(1))
    • Argumento B: Si (2) es verdadera, entonces (1) tiene que ser falsa, y, por lo tanto, (2) tiene que ser falsa. (V(2)->F(2)). Si (2) es falsa, entonces (1) tiene que ser verdadera, y por lo tanto (2) tiene que ser verdadera. (F(2)->V(2)).
    • En consecuencia, tenemos dos situaciones paradójicas que se apoyan entre sí:
    • (1) es verdadera sii (1) es falsa. (V(1)↔F(1))
    • (2) es falsa sii (2) es verdadera . (F(2)↔V(2))
    • Observemos que así como el número de paradojas obtenidas depende del número de oraciones involucradas, la forma de todas esas paradójicas oraciones-conclusiones resultantes es reductible a ésta:  n V(n)↔F(n), donde n es el número de una oración de un sistema paradójico. También notemos que el menor número de oraciones necesario para dejar de lado la autorreferencia es dos, por este motivo todas aquellas oraciones autorreferentes que tengan la posibilidad de reproducir el Mentiroso y que tengan más de dos premisas podrán ser reducidas a la paradoja de la tarjeta de Jourdain, que a su vez se reduce a la del Mentiroso.
  • 4. LIBRO ANTINÓMICO DE TARSKI (FOPM)
    • Siguiendo a Alfred Tarski (2000, pp. 203-205), podemos construir una paradoja de 100 oraciones:
    • “ (…) Imaginemos (…) un libro de 100 páginas, con sólo una oración impresa en cada página.
    • En la página 1 leemos:
    • La oración impresa en la página 2 de este libro es verdadera
    • En la página 2 leemos:
    • La oración impresa en la página 3 de este libro es verdadera
    • Esto se repite hasta la página 99. Sin embargo, en la página 100 la última página de este libro encontramos:
    • La oración impresa en la página 1 de este libro es falsa.
    • Asumamos que la oración impresa en la página 1 es realmente falsa. Mediante un argumento que no es complicado pero es muy largo y requiere hojear todo el libro, concluimos que nuestra suposición está equivocada. De igual manera asumimos ahora que la oración impresa en la página 1 es verdadera y mediante un argumento que es tan simple y largo como el original, nos convencemos que la nueva suposición está equivocada. Así pues nuevamente nos enfrentamos a una antinomia.(…)”
    •   La forma lógica del libro antinómico de Tarski es ésta:
    • (1) (2) es verdadera
    • (2) (3) es verdadera
    • (3) (4) es verdadera
    • (98) (99) es verdadera
    • (99) (100) es verdadera
    • (100) (1) es falsa
    •   La forma lógica correspondiente que reduce todas las premisas a una sola será:
    • (X) La oración (X+1+(-100/99!)(X-1)(X-2)…(X-99)) tiene la propiedad de ser Y, donde si X=1, X=2, …, X=99, Y es el predicado “verdadera”; si X=100, Y es el predicado “falsa”.
    • Cualquier oración de esta secuencia es verdadera y falsa independientemente de las hipótesis acerca de su valor de verdad. A partir de ese esquema podemos deducir V(#)↔F(#), donde # = { 1, 2, 3, …, 98, 99, 100 }. Tendremos, así, 100 paradojas.
  • 5. PARADOJA DEL QUIJOTE (FAPM)
    • La paradoja de Miguel de Cervantes Saavedra o la paradoja del Quijote (1995, pp. 409-411) se narra, en la segunda parte de El Ingenioso Hidalgo Don Quijote de la Mancha. Se dice que apenas Sancho Panza logró ser alcalde de Barataria, tuvo que resolver una consulta jurídica inmediata que un forastero planteó detalladamente de la siguiente manera:
    • “ -Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un mismo señorío […] Sobre este río estaba una puente, y al cabo de ella, una horca y una como casa de audiencia, en la cual habían de ordinario cuatro jueces, que juzgaban la ley que puso el dueño del río, de la puente, y del señorío, que era en esta forma: “Si alguno pasare por esta puente de una parte a otra, ha de jurar primero adónde y a qué va; y si jurare verdad, déjenle pasar; y si dijere mentira, muera por ello ahorcado en la horca que allí se muestra, sin remisión alguna”. Sabida esta ley y la rigurosa condición de ella, pasaban muchos, y luego, en lo que juraban se echaba de ver que decían verdad, y los jueces los dejaban pasar libremente. Sucedió, pues, que tomando juramento a un hombre, juró y dijo que para el juramento que hacía, que iba a morir en aquella horca que allí estaba, y no otra cosa. Repararon los jueces en el juramento y dijeron: “Sisa este hombre le dejamos pasar libremente, mintió en su juramento y, conforme a la ley debe morir, y si le ahorcamos, él juró que iba a morir en aquella horca y, habiendo jurado verdad, por la misma ley debe ser libre. Pídese a vuestra merced, señor gobernador, qué harán los jueces…”
    •   Desde un punto de vista lógico, no se puede tomar una decisión, ya que si la oración “Voy a morir en la horca que allí está” es falsa, entonces debe ser colgado, lo cual implica que la oración es verdadera. F(t)->V(t). Por otra parte, si la oración es verdadera, entonces lo deben dejar pasar por el puente, pero cuando esto suceda la oración será falsa. V(t)->F(t). En esta paradoja se manifiesta en toda su extensión la circularidad y la contradicción representada por la fórmula V(t)↔F(t), donde t = “Voy a morir en la horca que allí está”.
  • 6. DILEMA DE LOS CANÍBALES (FAPM)
    • En su conocida obra titulada “ Álgebra ”, Godement (1967, p. 586) enuncia el dilema de los caníbales en la forma siguiente:
    • “ Los caníbales de una tribu están a punto de comerse un misionero. Deseando demostrarle su respeto a la dignidad y a la libertad humana, los caníbales proponen al misionero que decida él mismo su suerte, haciendo una corta declaración: Si ésta es verdadera, lo servirán asado, y, en caso contrario, lo servirán hervido. ¿Qué debe decir el misionero para salvar su vida? (según CERVANTES)”
    •   He aquí la circularidad: si la oración “Seré hervido” es falsa, entonces debe ser hervido, lo cual hace que la oración sea verdadera por el pacto. F(q)->V(q). Por otra parte, si la oración es verdadera, entonces lo servirán asado, pero cuando esto suceda la oración, por el pacto, será falsa. V(q)->F(q). Nuevamente advirtamos la fórmula V(q)↔F(q), donde q= “Seré hervido”. Es necesario recalcar que hasta el mismo Kleene (1974, p. 46) nos dice que “una forma de este enigma ocurre en “Don Quijote” ”. Si algún misionero dijera: “Seré hervido” para invocar el bucle milagroso , se salvará de ser engullido por estos caníbales. Sin embargo, parece que de todas maneras va a morir diga lo que diga.
  • 7. PARADOJA DE PROTÁGORAS (FAPM)
    • “ Pactó Protágoras con su discípulo Evatlo de enseñarle la oratoria forense por cierta paga, con la condición de que el discípulo daría de entrada la mitad de aquel tanto, y la otra mitad luego que defendiese algún pleito y lo ganase. Como se pasase mucho tiempo sin verificarse la condición pactada, pidió Protágoras el resto de la deuda, a lo que Evatlo satisfizo diciendo que todavía no había ganado ni orado causa alguna. Pero no se aquietó Protágoras, antes le puso pleito sobre ello; y hallándose ambos ante los jueces, dijo Protágoras:
    • -De cualquier modo que este pleito salga, debes pagarme; pues si te condenan a ello, me habrás de pagar por sentencia; y si te libran, me pagarás por nuestro pacto.-
    • A esto respondió Evatlo:
    • -Disculpe, pero por todo lo mismo no debo yo pagarle; pues si los jueces me absuelven, quedo libre por sentencia; y si pierdo el pleito, lo quedo por nuestro pacto.”
  • 8. DILEMA DEL COCODRILO (FAPM)
    • Stephen Cole Kleene re-escribió el prístino dilema del cocodrilo en su conocida obra Introducción a la Metamatemática : “En el antiguo “dilema del cocodrilo”, un cocodrilo ha robado un niño [evidentemente para comérselo]. El cocodrilo promete al padre devolverle su hijo, a condición de que adivine por conjetura si el animal le devolverá o no el niño . ¿Qué haría el cocodrilo si el padre conjeturase que el niño no le sería devuelto?” (Kleene, 1974, p. 46).
    • Expliquemos esto. Lo que el cocodrilo pacta con el padre es, por una parte, devolver al hijo a cambio de una información verdadera; por otra parte, comerselo si es que recibe una información verdadera. Esta información tiene que ser la respuesta a la pregunta ¿el cocodrilo le devolverá el niño a su padre? Ahora bien, ¿qué sucedería si el padre respondiera (contra todo pronóstico) “Te comerás a mi hijo”?
    • Veamos la circularidad: si la oración “Te comerás a mi hijo” es falsa, entonces el niño deberá ser engullido por el cocodrilo en virtud del pacto entre padre y reptil, lo cual implica que la oración es verdadera. F(s)->V(s). Por otra parte, si la oración es verdadera, entonces lo debe devolver a su padre, pero cuando esto suceda la oración será falsa. V(s)->F(s). Hasta aquí la situación paradójica del bucle o ‘loop’.
  • 9. 3 PARADOJAS DE RUSSELL
    • Otros tipos de paradojas lo constituyen las paradoja de la familia de Russell. Ejemplos: Paradoja del Barbero, Paradoja de los catálogos y Paradoja de los alcaldes. Estas paradojas pueden “resolverse” apelando a cierta reducción al absurdo.
  • 10. PARADOJA DEL BARBERO
    • La paradoja del barbero es una popularización de la paradoja de Russell que hace alusión a un barbero que, por norma, afeita a todas aquellas personas de la aldea que no se afeitan a sí mismas y sólo a aquéllas. La pregunta desconcertante es ¿se afeita el barbero a sí mismo? Se plantea entonces una difícil situación circular y contradictoria.
    • 1) Si suponemos que el barbero se afeita a sí mismo, como es un habitante del lugar que se afeita a sí mismo, no debería ser afeitado por el barbero y, por consiguiente, no debería ser afeitado por sí mismo. Así pues, si suponemos que es afeitado por él mismo, entonces afirmamos que no debería ser afeitado por sí mismo. V(a)->F(a).
    • 2) Si suponemos que el barbero no se afeita a sí mismo, según la norma aceptada, debería ser afeitado por el barbero; es decir, debería ser afeitado por sí mismo. De nuevo se presenta el conflicto, ya que si el barbero no se afeita a sí mismo, debería ser afeitado por sí mismo. F(a)->V(a).
    • Conjuntando ambas posibilidades tenemos que el barbero se afeita a sí mismo, si y sólo si, no se afeita a sí mismo. Es decir, V(a)↔F(a) donde a=A(b,b).
  • 11. PARADOJA DE LOS CATÁLOGOS
    • Según la paradoja de los catálogos, partiendo de la base de que toda biblioteca tiene un catálogo (o bibliografía), se comprueba que en algunos casos estos catálogos se incluyen a sí mismos como libros de la biblioteca, y en otros casos, no. Supongamos ahora que quisiéramos construir una suerte de supercatálogo (o superbibliografía). Específicamente, queremos hacer un catálogo de todos aquellos catálogos que no se incluyen a sí mismos como libros de sus respectivas bibliotecas. Reflexionando un poco nos daremos cuenta que, se nos plantea un problema en el momento de incluir o no al supercatálogo mismo en nuestro supercatálogo. Razonemos por una doble reducción al absurdo. En tanto estamos catalogando los catálogos que no se incluyen a sí mismos deberíamos incluirlo. No obstante, el catálogo sería erróneo por incluir un catálogo que sí se incluye a sí mismo. V(a)->(P&¬P).->.F(a), donde a=I(cc). Pero, si a consecuencia de éste razonamiento, decidimos no incluirlo, incurriríamos en el error de construir un catálogo incompleto, en el que faltaría precisamente el catálogo que estamos haciendo, que por no incluirse a sí mismo debería ser incluido. F(a)->(P&¬P).->.V(a), donde a=I(cc).
  • 12. PARADOJA DE LOS ALCALDES
    • De acuerdo a la paradoja de los alcaldes, todo distrito ha de tener un alcalde, y no puede haber dos distritos que tengan el mismo alcalde. Sucede a veces que el alcalde no reside en su propio distrito. Supongamos que se promulga una ley en la cual se delimita un área especial S, exclusivamente para aquéllos alcaldes que no residen en su propio distrito, y se obliga a todos esos alcaldes a residir allí. Supóngase, por añadidura, que hay tantos alcaldes no-residentes, que S ha de ser constituido en distrito. La pregunta conflictiva es ¿dónde residirá el alcalde de S? Existen dos posibilidades: que el alcalde resida en su propio distrito y que el alcalde no resida en su propio distrito.
    • 1) Si el alcalde reside en su propio distrito, que es el distrito de los alcaldes, ya que allí solo residen los que no residen en su propio distrito, no debería residir en el distrito de los alcaldes. V(a)->F(a).
    • 2) Si el alcalde no reside en su propio distrito, que es el de los alcaldes, ya que allí solo residen los que no residen en su propio distrito, debería residir en el distrito de los alcaldes. F(a)->V(a).
    • La forma: V(a)↔F(a) donde a=V(b,s), sigue siendo la que indica la circularidad y la contradicción. Como podemos darnos cuenta ambas soluciones nos conducen a contradicciones.
  • 13. 4 SEUDOPARADOJAS
    • Sin embargo, algunas paradojas son sólo sofismas, es decir, falacias. Esto significa que dichas paradojas pueden solucionarse. Por ello, de lo que se trata en estas ‘paradojas’ es de hallar el fallo del razonamiento. Ejemplos: Paradoja de Aquiles y la Tortuga, Paradoja de Galileo, Primera Antinomia de Kant, Paradoja de Epiménides.
  • 14. PARADOJA DE AQUILES Y LA TORTUGA
    • Según Aristóteles en la Física al respecto de las paradojas de Zenón: “Cuatro son los argumentos de Zenón sobre el movimiento que crean dificultades a los que tratan de resolver los problemas que plantean.” El segundo argumento es el llamado de “Aquiles” (o de Aquiles y la tortuga) y consiste en lo siguiente: “ (…) el corredor más lento no será nunca adelantado por el más rápido; pues es necesario que antes llegue el perseguidor al punto de dónde partió el perseguido, de modo que es preciso que el más lento vaya siempre algo delante. (…)”. (Kirk, Raven y Schofield, 1983, p. 389). Jorge Luis Borges (1966, p. 114) en La perpetua carrera de Aquiles y la Tortuga reinterpreta esta paradoja de la siguiente manera:
      • “ Aquiles, símbolo de rapidez, tiene que alcanzar la tortuga, símbolo de morosidad. Aquiles corre diez veces más ligero que la tortuga y le da diez metros de ventaja. Aquiles corre esos diez metros, la tortuga corre uno; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un decímetro; Aquiles corre ese decímetro, la tortuga corre un centímetro; Aquiles corre ese centímetro, la tortuga un milímetro; Aquiles el milímetro, la tortuga un décimo de milímetro, y así infinitamente, de modo que Aquiles puede correr para siempre sin alcanzarla. Así la paradoja inmortal.”
    • La distancia que separa a las elaboraciones paradójicas de Zenón de las del ultraísta literario tiene la misma naturaleza que la distancia entre un caso general y uno particular. En el primer caso, las velocidades del corredor y la tortuga no son datos necesarios, lo único que importa comprender es que el perseguidor necesita llegar al punto de donde partió el perseguido. En el segundo caso, los datos se explicitan: la relación entre las velocidades de Aquiles y la tortuga son como 1 es a 10 y la ventaja que le da Aquiles a su rival es de 10 metros. La seudoparadoja se presenta porque, por un lado, Aquiles no alcanzaría a la tortuga, y por el otro, sí. Aquiles no alcanzaría a la tortuga, porque después de haber corrido 10 m, la tortuga ha avanzado 1 m, después de haber corrido 1m, la tortuga habrá avanzado 10 cm.(o 1/10 metros), etc. Sin embargo, vemos también que la puede alcanzar sin dificultad. Incluso se puede calcular que la debe alcanzar antes de los 12 m, precisamente a los 11, 111 … m, o sea a los m.
    • La seudoparadoja se origina, porque en lugar de tomar la suma entera, se consideran los infinitos sumandos . Aquiles no puede recorrer en un tiempo finito uno por uno los infinitos segmentos correspondientes a los sumandos. En cambio, puede recorrer perfectamente en un tiempo finito el segmento que corresponde a la suma entera, y para alcanzar a la tortuga hará exactamente eso. Así no hay contradicción y el estado de shock en el que nos pretendió dejar esta paradoja desaparece. Lo que podemos concluir es que existe la creencia gratuita de que la suma de infinitos sumandos, todos números reales, no puede tener un valor finito. Aquiles corre tranquilamente sin preocuparse de los infinitos segmentos en que Zenón le fraccionó su recorrido; alcanzará a la tortuga a los 11, 111 … m demorándose para ello 1, 111… segundos. La oposición entre el pensamiento y la realidad, que Zenón trazó en este caso no existe; sólo apareció una oposición entre el pensamiento proto-científico y el científico , pues en esa época aún no se desarrollaban suficientemente las bases para el cálculo infinitesimal por aproximación del valor de las series convergentes de infinitos términos.
  • 15. PARADOJA DE GALILEO
    • Escribe Galileo Galilei (1945, pp. 57-59) en sus Diálogos sobre dos nuevas ciencias:
    • “ SALVIATI. (…) Supongo muy bien sabido de vosotros, cuáles son los números cuadrados y cuáles los no cuadrados.
    • SIMPLICIO. Sé muy bien que el número cuadrado es el que resulta de la multiplicación de otro número por sí mismo: así el cuatro y el nueve, etc., son número cuadrados, ya que se originan uno de dos y el otro del tres, multiplicados por sí mismos.
    • SALVIATI. Muy bien; y sabéis, además, que así como los productos se llaman cuadrados, los que los producen, o sea los que se multiplican se llaman lados ( lati ) o raíces. Por consiguiente, los otros que no nacen de números multiplicados por sí mismos, no son cuadrados. De dónde, si yo dijere que todos los números incluyendo los cuadrados y los no cuadrados, son más que los cuadrados solos, habré enunciado una proposición realmente verdadera, ¿No es así?
    • SIMPLICIO. No se puede decir lo contrario.
    • SALVIATI. Si después yo preguntare, cuantos son los número cuadrados, se podría con toda verdad responder, que son tantos como son sus respectivas raíces, puesto que todo cuadrado tiene su raíz, y toda raíz su cuadrado, sin que haya ningún cuadrado que tenga más de una raíz, ni raíz ninguna que tenga más de un cuadrado.
    • SIMPLICIO. Así es.
    • SALVIATI. Mas si yo preguntare, cuántas son las raíces, no podrá negarse que son tantas como sean todos los números, porque no hay ningún número que no sea raíz de algún otro; y sentado esto, habrá que decir que los números cuadrados son tantos como sean todos los números, ya que son tantos como sus raíces, y raíces son todos los números. Y sin embargo nosotros en un principio dijimos que los números en conjunto son muchos más que todos los cuadrados, por ser no cuadrados la mayor parte. Todavía más, la multitud de cuadrados va disminuyendo progresivamente, a medida que pasamos a números más grandes; porque hasta cien hay diez cuadrados, que es como decir que son cuadrados una décima parte; en diez mil, sólo la centésima parte son cuadrados; en un millón solo la milésima. Y sin embargo, en un número infinito, si pudiéramos concebirlo, sería necesario decir que son tantos los cuadrados, cuantos son todos los números en conjunto.
    • Hagamos gráficos nuestros razonamientos. Se d ice que una totalidad es infinita cuando no se puede contar sus elementos en un periodo finito de tiempo, ya que siempre habrá un elemento posterior. Ejemplos de totalidades infinitas:
    • 1) El conjunto de los números naturales:
    • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…
    • 2) El conjunto de los cuadrados perfectos de los números naturales:
    • 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …
    • Estos conjuntos tienen la propiedad de que es imposible agotar sus miembros contándolos en cualquier periodo finito de tiempo, por muy grande que sea, es decir, son conjuntos de infinitos elementos. Pero, tomemos 1) el conjunto de todos los naturales y 2) el conjunto de los cuadrados perfectos de todos los números naturales. Es cierto que todos los elementos del segundo conjunto, lo son también del primero, mientras que hay muchos del primero que no lo son del segundo. Podríamos decir que a pesar de que ambos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la infinitud del primero es, de un modo u otro, mayor que la del segundo. Esta es la paradoja de Galileo: los números naturales son más que los cuadrados, (por ejemplos, en 100 naturales hay 10 cuadrados, en 1000 hay 100, etc.) pero en realidad son igual de infinitos.
  • 16. PRIMERA ANTINOMIA DE KANT -I-
    • Según Inmanuel Kant, la antinomia (conflicto de leyes) “ (…) de la razón pura pondrá a la vista los principios trascendentales de una presunta cosmología pura (racional) no para considerarla valedera y apropiársela, sino, como ya indica el nombre de conflicto de la razón, [para] exponerla en su apariencia deslumbradora, pero falsa, como una idea que no puede conciliarse con ningún fenómeno.” Éste es para Kant (1984, p. 315) el primer conflicto de las ideas trascendentales:
    • “ TESIS
    • El mundo tiene un comienzo en el tiempo y con respecto al espacio también está encerrado entre límites.
    • DEMOSTRACIÓN
    • En efecto, supongamos que el mundo no tenga comienzo en el tiempo: siendo así, hasta cualquier momento dado habrá transcurrido una eternidad y, en consecuencia, habrá transcurrido una infinita serie de estados de las cosas del mundo que se suceden unos a otros. Ahora bien, la infinidad de una serie consiste en que no puede completarse nunca por medio de sucesivas síntesis. Por lo tanto, es imposible una serie cósmica infinita transcurrida y, en consecuencia, un comienzo del mundo es condición necesaria de su existencia, que es lo que había que demostrar primero.”
    •  
    •  “ ANTITESIS
    • El mundo no tiene comienzo ni límites en el espacio, sino que es infinito tanto en el tiempo como en el espacio.
    • DEMOSTRACIÓN
    • En efecto, pongamos que tenga un comienzo. Como el comienzo es una existencia que va precedida de un tiempo en que no existe la cosa, es preciso que haya precedido un tiempo en el que el mundo no fuera, o sea, un tiempo vacío. Ahora bien, en un tiempo vacío no es posible que nazca cosa alguna, porque ninguna parte de tal tiempo tiene, ante otra, condición distintiva alguna de la existencia de preferencia a la de la no existencia (tanto si se admite que nace por sí misma como por otra causa). Por consiguiente, aunque en el mundo pueden comenzar varias series de cosas, el mundo mismo no puede tener comienzo y, por lo tanto, es infinito respecto del tiempo pasado.(…)”
  • 17. PRIMERA ANTINOMIA DE KANT -II-
    • Kant fue el primero en acuñar el término ‘antinomia’ cuando escribió la primera antinomia de la razón pura que trató de demostrar tanto la tesis: “ el mundo tiene un principio en el tiempo ” como la antítesis: “ el mundo no tiene principio sino que es infinito ”. La validez de este “primer conflicto de las ideas trascendentales” garantiza la antinomia que se constituye en una contradicción. Ahora bien, sabemos que existe el prejuicio de que algo infinito (en términos matemáticos: un conjunto ordenado infinito) no puede tener fin . Efectivamente, existen conjunto ordenados infinitos sin principio ni fin, como el de los números enteros (negativos y positivos) o el de los reales. Pero, también existen otros con principio y sin fin, por ejemplo:
    • {0, 1, 2, 3, …}
    • sin principio y con fin, como:
    • {…, -3, -2, -1, 0}
    • y con principio y con fin, como los números reales entre 0 y 1, ambos incluidos, los conjuntos con el número ordinal  +1 y muchos otros más. El prejuicio mencionado, en lo que se refiere al fin, se presenta explícitamente en la primera antinomia de la razón pura de Kant. El trata de demostrar tanto la tesis “El mundo tiene un principio en el tiempo” como la antítesis “El mundo no tiene principio … sino es … infinito”, lo que, si las demostraciones fueran correctas, constituiría una contradicción. Aquí nos interesa la supuesta demostración de la tesis, o sea, la supuesta refutación de la antítesis: Si el mundo no tuviera principio en el tiempo, entonces una eternidad (un conjunto ordenado de infinitos segundos) habría transcurrido (tendría en el segundo actual su segundo final) (es decir, el tiempo sería infinito). Según la concepción kantiana de lo infinito, esto no es posible, porque, su “no-completabilidad por síntesis sucesiva” excluiría, según él, que una infinita secuencia pueda haber transcurrido (aquí entra el prejuicio). Sin embargo, según el tratamiento matemático, es perfectamente posible que un conjunto ordenado de infinitos segundos tenga un segundo final:
    • { …, f }
    • Así, para la matemática moderna no rige la antinomia kantiana. Lo único que tal vez queda demostrado es que solo la concepción kantiana de lo infinito puede conducir a antinomias. (Sthal, 1971, pp. 91-94)
  • 18. PARADOJA DE EPIMÉNIDES
    • En la Carta a Tito escrita por San Pablo en el Nuevo Testamento de la Biblia pueden leerse estas líneas: “Dijo uno de ellos [Epiménides], propio profeta o adivino de esos mismos isleños: Son los Cretenses siempre mentirosos (…). Este testimonio es verdadero” .
    • Si debemos creerle a Epiménides, entonces tenemos derecho a dudar de lo que dice. Pero, si dudamos de lo que dice, ¿por qué tiene que ser él, el elegido para enunciar testimonios verdaderos?
    • Es decir, cuando la oración “Todos los cretenses son mentirosos” es verdadera, instantáneamente, siendo un cretense el que lo dice, debería ser calificada de mentira (porque, el cretense cae bajo el concepto que designa esa oración o, simplemente, porque esta oración está referida a él ).
    • Pero, cuando la oración “Todos los cretenses son mentirosos” es falsa, debemos pensar que la oración “Algún cretense no es mentiroso” es verdadera, y, por lo tanto, que la oración “Algún cretense dice la verdad” es verdadera.
    • Ahora bien, dado que Epiménides (siglo VI a. c.) pertenece al conjunto de los cretenses, no podemos asegurar que sea él necesariamente el que dice la verdad, porque el conjunto de los cretenses no es un conjunto unitario de tal modo que lo dicho por “todos los cretenses” sea lo mismo que lo dicho por “un cretense, Epiménides”.
    • Así, la paradoja, no se produce, pues aunque podemos demostrar que la oración pronunciada por el cretense no es verdadera (ya que asumiendo que es verdadera obtenemos como resultado de nuestras indagaciones que es falsa), no podemos demostrar (o descartar) que no sea falsa (ya que puede serlo sin ocasionar problemas conceptuales).
    • Y recordemos que una oración es paradójica cuando se puede demostrar que es verdadera y falsa.
  • 19. BIBLIOGRAFÍA
    • BORGES, Jorge Luis. “La perpetua carrera de Aquiles y la Tortuga ”. En: Jorge Luis Borges. Discusión . Buenos Aires, EMECÉ, 1966, pp. 113-120.
    • CERVANTES SAAVEDRA, M. (1995). El Ingenioso hidalgo Don Quijote de la Mancha . Madrid: Ediciones Cátedra.
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