REALIZADO POR FABIAN DIAZ RIOS SEGUNDO BIMESTRE PERIODO ACADEMICO MARZO - JULIO 2013

1. F U N C I O N E S R E AL E S Y G R AF I C A S
R E P R E S E N TA C I Ó N
D O M I N I O Y R E C O R R I D O
C O N S TR U C C I Ó N D E G R AF I C A S
C AR A C T E R Í S TI C A S D E L AS F U N C I O N E S
R E AL I Z A D O P O R : R AM I R O FAB I Á N D Í AZ R Í O S
P E R I O D O AC A D E M I C O M AR Z O J U L I O 2 0 1 3
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA
EQUINOCCIAL

2.  Concepto función
 Grafica de una función
 Dominio y Recorrido de una
función
 Clasificación de la funciones
 Función Inversa
 Operaciones con Funciones
 Ejemplos
 Terminar

3. Una función de un conjunto A no vacío en un conjunto B
no vacío, es una relación que se establece entre ambos
conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le
corresponde un único de B . En símbolos matemáticos
!x A IR y B IR y f x
En forma de esquema
xfyx
IRBIRAf :
: Variable Independientex
: ariable Dependientey f x V
es la imagen def x x
: es la preimagen dex f x
Definición de Función
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4. Elementos de una función
Conjunto de salida
Conjunto de llegada
dominio
rango
Función Inyectiva
Función Sobreyectiva
Función Biyectiva

5. Graficación
Graficación de
funciones definidas
por partes
Ecuaciones de
funciones
f(x)= mx + b (se llama función
lineal)
f(x)= b (se llama función
constante)
Se define mediante
formulas distintas en su
dominio, depende de la
variable independiente
x.
Funciones lineales
f(x) = mx + b
Funciones exponenciales
f(x) = x^n
Funciones de raiz
f(x) = x
Funciones recíprocas
f(x) = 1/x^n
Función valor absoluto
f(x) = IxI

6. ¿ Cuál es Función ?
Menú

7. Dominio y Recorrido
Recorrido Sea A y B dos conjuntos no vacío, y f una función de A en B, a
un sub conjunto del conjunto B se llama recorrido de la
función a
( )y B x A f x y
Y lo denotaremos por Re c f

8. Dominio y Recorrido en el plano cartesiano

9. ¿Cual es el Dominio y Recorrido de la
siguiente función?
4 2f x x
2
4 2y x
Dominio
Recorrido
2 0x
2x
2;Dom f
4 2y x
2
4 2y x
4 2y x
Re 4;c f
Buscar condiciones para la variable Buscar condiciones para la variablex y

10. Y su grafica es
Menú
Tabla de Evaluación

11. Clasificación de las funciones
f x mx bFunción Lineal
Función Cuadráticas
Función Cúbica
Función Potencia
2
f x ax bx c
3
f x ax
c
f x x
Función Raíz f x x donde 0x
Función Reciproca
1
f x
x
donde 0x

12. Funciones Racionales
1
1 1 0
1
1 1 0
n n
n n
m m
m m
p x a x a x a x a
f x
q x b x b x b x b


Funciones Irracionales f x mx b
Función Valor Absoluto f x x
donde
0
0 0
0
x si x
x si x
x si x

13. Función Exponenciales
Función Logarítmicas
x
f x b
l gb
f x o x
Funciones Trigonométricas
f x Sen x
f x Cos x
f x Tang x

14. Funciones Hiperbólicas
2
x x
e e
f x Senh x
2
x x
e e
f x Cosh x
x x
x x
e e
f x Tangh x
e e

15. Propiedades de las funcione
Se dice que
es una Función Inyectiva si
Función Inyectiva (1-1)
Función Epiyectiva (sobre)
Función Biyectiva
fDombababfaf ,
IRBIRAf :
Se dice que IRBIRAf :
es una Función Sobre si BfcRe
Se dice que IRBIRAf : es una Función Biyectiva si
es inyectiva y sobre a la vez
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16. Función Inversa
Sea :f A B una función biyectiva, entonces la función inversa
de
y
1
f f es una función biyectiva tal que
1
:f B A
1
f y x y f x
Gráficamente podemos representar estas funciones de la manera
siguiente:

17. Ejemplo
Hallar la inversa y grafica de la siguiente función 2 1f x x
Solución
Para hallar la inversa de la función debemos despejar la variable x
2 1y x
1 2y x
1
2
y
x
Por lo tanto
1 1
2
x
f x

18. Y ambas grafica en el mismo plano cartesiano son
12 xxf
1
2
x
f x
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19. Operaciones con funciones
Suma de f y g xgxfxgf
f g x f x g x
f g x f x g x
0
f xf
x g x
g g x
Sean :f A C :g B D
Resta de f y g
Producto de f y g
Cociente de f y g
dos funciones tal que
Dom f Dom g
y
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20. Ejemplo
42
43 xxxf
xfxf
a) ¿es par o impar?.
b) Utilizando Winplot grafique
Dada la función
Solución
Analizaremos si la función es par, para ello debe cumplir que
Para este caso 2 4
3 4f x x x
2 4
3 4x x
f x
Por lo tanto esta función es par

21. Función Impar
Decimos que una función es impar siempre que
para todo valor de la variable independiente
perteneciente al dominio se cumpla que:
f x f x
El carácter par o impar de una función es lo que
conocemos como su paridad. Las funciones que
no son ni pares, ni impares, carecen de paridad.
Función sin paridad

22. Ejemplo
3 1
2
g x x x
a) ¿es par o impar?.
b) Utilizando Winplot grafique
Dada la función
Solución
Analizaremos si la función es impar, para ello debe cumplir que f x f x
Para este caso
3 1
2
g x x x
g x
Por lo tanto esta función es impar
3 1
2
x x
3 1
2
x x

23. Para cada una de las siguientes relaciones, determine Dominio para
que sea función
21
1
xx
x
xf
3 5 1
( ) 2 1 1
3 1 3
x si x
f x si x
x si x
2
1
x
f x
x
a)
b)
3.- Trace la grafica de la siguiente función
a)
b)
28
202
065
)(
2
xsix
xsi
xsix
xf

24. Usando alguna aplicación grafica determine Dominio, Recorrido
23xxf
2
4
4
h x
x
1
f x Sen
x
log 1f x x
1
23
1
x
x
xf
2
4
x
h x
x
a)
b)
c)
d)
e)
f)

25. Función Lineal Función Cuadráticas Función Cúbica
Función Potencia Función Raíz Función Reciproca

26. Función Valor Absoluto Función Exponenciales Función Logarítmicas
Funciones Trigonométricas
f x Sen x f x Cos x f x Tang x

27. f x Senh x f x Cosh x f x Tangh x
Funciones Hiperbólicas
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