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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL      1.1 – Clasificación de los números reales1.1.2 – ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
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TEMA 1 – EL NÚMERO REAL         1.9 – Valor absoluto de un número real1.9.1 – DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número r...
TEMA 1 – EL NÚMERO REAL       1.10 – PotenciasPROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS a =1   0                         a ....
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Números Reales

  1. 1. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.1 – Clasificación de los números reales1.1.1 – TIPOS DE NÚMEROS• Los Números naturales (N) son: 0, 1, 2, 3, ..., 10, 11,....• Los Números enteros (Z) son: ..., -11, - 10, ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...,10, 11,....• Los Números fraccionarios (a/b) donde a no es múltiplo de b • Decimales exactos: a,bc • Decimales periódicos puros: a,bcbcbc..... • Decimales periódicos mixtos: a,bcccc....• Los Números racionales (Q) : incluyen los enteros y los fraccionarios• Los Números irracionales (I) : son aquellos que no son racionales: Decimalesno periódicos Π , 2 , 7 ,... 3
  2. 2. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.1 – Clasificación de los números reales1.1.2 – ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES
  3. 3. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa1.2.1 – PASAR DE FRACCIÓN A DECIMALSe efectúa la división: 8 = 2 ⇒ Natural 4 9 = 2,25 ⇒ Decimal exacto 4 4  = 1,3333... ≈ 1,3 ⇒ Decimal periódico puro 3 7 ˆ = 1,16666... ≈ 1,16 ⇒ Decimal periódico mixto 6
  4. 4. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversa .1.2.1 – PASAR DE DECIMAL A FRACCIÓN• Números decimales exactos Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para convertirlo en entero N = 2,38 100N = 238 Despejar N 238 119 N= Simplificar la fracción, si es posible N= 100 50
  5. 5. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversaNúmeros decimales periódicos puros Multiplicar por la potencia de 10 adecuada obtener otro número con el N = 2,383838... mismo periodo 100N = 238,3838...Restarlos Despejar N 99N = 236 236 236 N= Simplificar la fracción, si es posible N= 99 99
  6. 6. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 1.2 – Pasar de fracción a decimal y viceversaNúmeros decimales periódicos mixtos Multiplicar por la potencia de 10 adecuada un número periódico puroN = 2,3888... Multiplicar por la potencia de 10 adecuada para obtener un número con10N = 23,888... el mismo periodo.100N = 238,888... Restarlos 90N = 215 Despejar N 215 215 N= Simplificar la fracción, si es posible N= 90 90
  7. 7. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.3 – Números aproximados1.3.1 – EXPRESIÓN APROXIMADA DE UN NÚMERO. CIFRASSIGNIFICATIVASAl expresar números decimales para mediciones concretas, se deben dar conuna cantidad adecuada de cifras significativas.Se llaman cifras significativas a aquellas con las que se expresa un númeroaproximado. Sólo deben utilizarse aquellas cuya exactitud nos conste.Para expresar una cantidad con un número determinado de cifrassignificativas recurrimos al redondeo, si la primera cifra que despreciamoses mayor o igual que 5 aumentamos en una unidad la última cifrasignificativa y si es menor que cinco la dejamos con está.
  8. 8. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 1.3 – Números aproximados1.3.2 – CONTROL DEL ERROR COMETIDOCuando damos una medida aproximada, estamos cometiendo un error.El Error Absoluto es la diferencia entre el Valor Real y el Valor de medición Error Absoluto = |Valor Real – Valor Medición|El Error Relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real Error absoluto Error relativo = Valor RealLlamamos cotas de los errores a cantidades mayores o iguales que loserrores con menor o igual número de cifras significativas.
  9. 9. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.4 – Notación científica1.4.1 – DEFINICIÓNUn número puesto en notación científica consta de:• Una parte entera formada por una sola cifra que no es el cero (la de lasunidades).• El resto de cifras significativas puestas como parte decimal.• Una potencia de base 10 que da el orden de magnitud del número. N = a , bcd......x10 nSi n es positivo, el número N es “grande”.Si n es negativo, el número N es “pequeño”.
  10. 10. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.4 – Notación científica1.4.2– OPERACIONES EN NOTACIÓN CIENTÍFICA• Sumas y restas: Todos los sumandos deben tener la misma potencia de 10 parapoder sacarla factor común (si aumenta uno, disminuye el otro).• Productos y cocientes: Se multiplican (dividen) los números, por un lado y laspotencias de 10 por otro, teniendo en cuenta las reglas de las potencias: 10a.10 b = 10a + b 10 : 10 = 10 a b a −b• Potencias: Se eleva por un lado el número y por otro la potencia de 10,teniendo en cuenta las reglas de las potencias: (10 ) a b = 10 a .b
  11. 11. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL Matemáticas 1.4 – Notación científica1.4.3– CALCULADORA PARA NOTACIÓN CIENTÍFICA - Notación científica con 3 cifras significativas: MODE + 8 + 3 - Quitar la notación científica MODE + 9 Parte entera Parte decimal Exponente de base 10
  12. 12. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.4 – Notación científica1.4.4– ÓRDENES DE MAGNITUD Para designar órdenes de magnitud (grandes o pequeños), existen algunos prefijos: Giga 10 9 Nano 10 −9 Mega 10 6 Micro 10 −6 Kilo 10 3 Mili 10 −3 Hecto 10 2 Centi 10 −2 Deca 10 1 Deci 10 −1
  13. 13. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.5 – Números no racionalesLos números no racionales se llaman irracionales y son aquellos que no sepueden poner como cociente de dos números enteros: 2 es irracional p es irracional, si p no es un cuadrado perfecto n p es irracional, si p no es una potencia n - ésima π es irracional Los números decimales no periódicos son irracionalesEn cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitosnúmeros irracionales.
  14. 14. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.6 – Los números reales1.6.1 - DEFINICIÓNEl conjunto formado por los números racionales y los irracionales se le llamaconjunto de números reales y se designa por R1.6.2 – LA RECTA REALCada punto de la recta corresponde a un número racional o a un númeroirracional. Por eso a la recta numérica la llamaremos recta real.
  15. 15. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.7 – Representación de números sobre la recta real1.7.1 – NÚMEROS NATURALES O ENTEROS –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +61.7.2 – NÚMEROS DECIMALES EXACTOS –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 2,6 2,61 2,62 2,63 2,64 2,65 2,66 2,67 2,68 2,69 2,7
  16. 16. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.7 – Representación de números sobre la recta real1.7.3 – NÚMEROS FRACCIONARIOSSe divide cada unidad en tantaspartes como tenga eldenominador y se toman tantascomo tenga el numerador. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. O 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 U
  17. 17. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.7 – Representación de números sobre la recta real1.7.4 – NÚMEROS IRRACIONALES CUADRÁTICOSSe utiliza el teorema dePitágoras, donde la hipotenusaes lo que queremos dibujar. ( 2) 2 = 12 + 12 2 2
  18. 18. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.7 – Representación de números sobre la recta real1.7.5 – NÚMEROS DECIMALES NO EXACTOS –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 2,6 2,61 2,62 2,63 2,64 2,65 2,66 2,67 2,68 2,69 2,7
  19. 19. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.8 – Intervalos y semirrectas1.8.1 – INTERVALOS ABIERTOS Y CERRADOS • Intervalo abierto: (a, b) = {x∈R / a < x < b} a b Números comprendidos entre a y b • Intervalo cerrado: [a, b] = {x∈R / a ≤ x ≤ b} a b Números comprendidos entre a y b, incluidos a y b
  20. 20. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.8 – Intervalos y semirrectas1.8.2 – INTERVALOS SEMIABIERTOS • [a, b) = {x∈R / a ≤ x < b} a b Números comprendidos entre a y b, incluido a • (a, b] = {x∈R / a < x ≤ b} a b Números comprendidos entre a y b, incluido b
  21. 21. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.8 – Intervalos y semirrectas1.8.3 – SEMIRRECTAS • (∞, a) = {x∈R / x < a} Números menores que a a • (∞, a] = {x∈R / x ≤ a} Números menores o iguales que a a • (a, ∞) = {x∈R / a < x} Números mayores que a a • [a, ∞) = {x∈R / a ≤ x} Números mayores o iguales que a a
  22. 22. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.8 – Entornos1.8.4 – Entornos • E(a,r) : Entorno de centro a y radio r = (a-r,a+r) a-r a+r • E*(a,r) : Entorno reducido de centro a y radio r = (a-r,a+r) –{a} a-r a a+r • E − (a , r ): Entorno por la izquierda de centro a y radio r = (a-r,a) a-r a • E + (a , r ) : Entorno por la derecha de centro a y radio r = (a,a+r) a a+r
  23. 23. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.9 – Valor absoluto de un número real1.9.1 – DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real, a, es el propionúmero, a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es negativo. a si a ≥ 0 a = - a si a < 01.9.2 – ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO: Seiguala lo de dentro del valor absoluto a más menos lo de fuera. x − a = b  x = a + b | x − a |= b ⇒  ⇒  ⇒ x ∈ { a − b, a + b}  x − a = −b x = a − b x − a = b  x = a + b | x − a |< b ⇒  ⇒  ⇒ x ∈ ( a − b, a + b ) x − a = − b  x = a − b x − a = b  x = a + b | x − a |≥ b ⇒  ⇒  ⇒ x ∈ (−∞, a − b]  [a + b,+∞)  x − a = −b  x = a − b
  24. 24. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.10 – PotenciasPROPIEDADES Y OPERACIONES CON POTENCIAS a =1 0 a .b = (a.b) n n n a : b = ( a : b) n a =a 1 n n a .a = a m n m+n 1 1 a = −1 a −n = n a a a :a = a m n m−n −n n  a  b  bn(a ) m n =a m.n   b =  = n a a
  25. 25. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.11 – Raíces1.11.1 – DEFINICIÓN n Índice b= a ⇔b = a n radical radicando1.11.2 – PECULIARIDADES Si a ≥ 0 ⇒ n a existe cualquiera que sea n. Si a < 0 ⇒ n a sólo existe si n es impar.1.11.3 – FORMA EXPONENCIAL DE LAS RAÍCES 1 m n a =a n n a =a m n
  26. 26. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.11 – Raíces1.11.4 – POTENCIAS Y RAÍCES CON CALCULADORARaíces cuadradas :" " 180 ⇒ " " "180" " =" ⇒ 13,41640786Potencias : " x y "264 ⇒ "2" " x y " "64" " =" ⇒ 1,84467440719 ⇒ 1,844674407.1019Raíces con la tecla : " x y " 25 483 ⇒ 483 ⇒ "483" " (" "2" ":" "5" " )" " =" ⇒ 11,84619432 2 5Tecla " x y " o " x " 1 15 350 = 350 ⇒ "350" " x ""5"" =" ⇒ 3,227108809 5 y
  27. 27. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.12 – Propiedades y operaciones con raíces1.12.1 – PROPIEDADES DE LAS RAÍCES a = n a (Se puede simplificar) np p n a .n b = n ab n a n a = n b b ( a)n p = n ap m n a = m.n a
  28. 28. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.12 – Propiedades y operaciones con raíces1.11.2 – OPERACIONES CON RAÍCESSuma o diferencia de radicales: Tienen que ser los radicalesiguales. (Habrá que sacar términos de las raíces y simplificarlas)Producto o cociente de radicales: Tienen que tener el mismoíndice. (Si no los tienen primero habrá que reducir a índice común) Racionalizar : Quitar las raíces del denominador • Si no hay sumas: Multiplicar y dividir por la raíz adecuada, para que se vaya la raíz del denominador. • Si hay sumas: Multiplicar y dividir por el conjugado.
  29. 29. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.13 – Logaritmos1.13.1 – DEFINICIÓN DE LOGARITMO Si a, P > 0 y a distinto de 1, se llama logaritmo en base a de P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P. log a P = x ⇔ a x = P1.13.2 – PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOSlog a a = 1 log a (P n ) = n. log a Plog a 1 = 0 log b P log a P =log a (P.Q) = log a P + log a Q log b alog a (P / Q) = log a P − log a Q
  30. 30. TEMA 1 – EL NÚMERO REAL 1.13 – Logaritmos1.13.3 – PRINCIPALES LOGARITMOSLogaritmo decimal o en base 10 : log10 P = log PLogaritmo neperiano o en base e : log e P = ln P

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