Your SlideShare is downloading. ×
Bài 5. Các phép        i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác          BÀI 5. CÁC PHÉP   I BI N S CƠ B N VÀ ...
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương               t 2 + 6t − 3                      A       B       Ct + DGi ...
Bài 5. Các phép                         i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác         2  1        t−2    ...
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương3. D ng 3: R ( sinx, − cosx ) = −R ( sinx, cosx )                 cos 9 x ...
Bài 5. Các phép                          i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giácII. BI N         I VÀ        ...
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương    − cos x              3  − cos x 1 1 + cos x  − cos x   3cos x 3 1 + ...
Bài 5. Các phép                        i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác    1          1              ...
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương5. D NG 5: TÍCH PHÂN LIÊN K T              cosxdx                         ...
Bài 5. Các phép                 i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác           cos 2x                     ...
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương                          π2                                        π2    ...
Bài 5. Các phép       i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác 5α − 3β = 4               α = −1 34         ...
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n PhươngGi s          sin x + 2 cos x − 3 = α ( sin x − 2 cos x + 3) + β ( cos x +...
Bài 5. Các phép           i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác                 π2                         ...
Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương2. Các bài t p m u minh h a:                 7 sin x − 5 cos x• H1 =     ∫...
Bài 5. Các phép                  i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác                                     ...
Tich phan 210_ham_lg_co_ban_doi_bien_129
Tich phan 210_ham_lg_co_ban_doi_bien_129
Tich phan 210_ham_lg_co_ban_doi_bien_129
Tich phan 210_ham_lg_co_ban_doi_bien_129
Tich phan 210_ham_lg_co_ban_doi_bien_129
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Tich phan 210_ham_lg_co_ban_doi_bien_129

322

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
322
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
1
Actions
Shares
0
Downloads
11
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Transcript of "Tich phan 210_ham_lg_co_ban_doi_bien_129"

  1. 1. Bài 5. Các phép i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác BÀI 5. CÁC PHÉP I BI N S CƠ B N VÀ NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM LƯ NG GIÁCI. CÁC D NG TÍCH PHÂN VÀ PHÉP BI N I CƠ B N• tv n : ∫Xét tích phân d ng I = R ( sin x,cos x ) dx1. i bi n s t ng quát: x 2 dt 2t 1− t2 t t = tg ⇒ x = 2 arctg t ;dx = ; sin x = ; cos x = 2 1+ t2 1 + t2 1 + t2  2  2 dtKhi ó: I = R ( sin x,cos x ) dx = R  2t 2 , 1 − t 2  ∫ ∫  1 + t 1 + t  1 + t2Ta xét 3 trư ng h p c bi t thư ng g p sau ây mà có th i bi n s b ngcách khác hàm s dư i d u tích phân nh n ư c ơn gi n hơn.2. N u R ( sinx, cosx ) là hàm l theo sin: R ( −sinx, cosx ) = −R ( sinx, cosx )thì c n bi n i hàm s và vi phân th c hi n phép i bi n t = cosx.3. N u R ( sinx, cosx ) là hàm l theo cosin: R ( sinx, − cosx ) = −R ( sinx, cosx )thì c n bi n i hàm s và vi phân th c hi n phép i bi n t = sinx.4. N u R ( sinx, cosx ) tho mãn i u ki n: R ( −sinx, − cosx ) = R ( sinx, cosx )thì c n bi n i hàm s và vi phân th c hi n phép i bi n t = tgx.II. CÁC BÀI T P M U MINH H A1. D ng 1: i bi n s t ng quát 3sin2x − 2cos2x − 1I= ∫ 3cos2x + 4sin2x + 5 dx 2 dt 2t 1− t t t = tg x ⇒ x = arctg t ; dx = 2 ; sin 2x = 2 ; cos 2x = 2 1+ t 1+ t 1+ t 3.2t − 2 (1 − t ) − (1 + t ) dt 1 ( t + 6t − 3) dt 2 2 2 2 1 t + 6t − 3 dt⇒ I= ∫ 3 (1 − t 2 ) + 4.2t + 5 (1+ t2 ) ⋅ 1+ t2 = ∫2 ⋅ 2 t + 4t + 4 1 + t 2 = ∫ 2 ( t + 2)2 (1 + t 2 ) 169
  2. 2. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương t 2 + 6t − 3 A B Ct + DGi s = + + , ∀t ( t + 2 ) (1 + t 2 ) 2 t + 2 (t + 2) 2 1 + t2⇔ t 2 + 6t − 3 = A ( t + 2 ) (1 + t 2 ) + B (1 + t 2 ) + ( Ct + D ) ( t + 2 ) , ∀t (*) 2⇔ t 2 + 6t − 3 = ( A + C) t 3 + ( 2A + B + 4C + D) t 2 + ( A + 4C + 4D) t + ( 2A + B + 4D)Thay t = −2 vào (*) thì −11 = 5B ⇒ B = −11/5 A + C = 0 A + C = 0 A = −34 25    2A + B + 4C + D = 1 2A + 4C + D = 16 5 B = −11 5(*) ⇔  ⇔ ⇔ A + 4C + 4D = 6 A + 4C + 4D = 6 C = 34 25 2A + B + 4D = −3 2A + 4D = −4 5 D = 12 25    2 1 t + 6t − 3 34 dt 11 dt 1 24t + 12I= ∫ 2 ( t + 2 ) (1 + t ) 2 2 dt = − − 25 t + 2 5 ( t + 2 ) 2 + ∫ 25 1 + t 2 dt ∫ ∫ 12 d ( t ) 12 2 34 dt 11 dt dt =− ∫ − 25 t + 2 5 ( t + 2 ) 2 + ∫ 25 1 + t 2 + 25 1 + t 2 ∫ ∫ 34 11 12 ( 12 ln 1 + t ) + 2 =− ln t + 2 + + arctg t + c 25 5 ( t + 2 ) 25 25 34 11 12 12 ln (1 + tg x ) + 2 =− ln tg x + 2 + + x+c 25 5 ( tg x + 2 ) 25 252. D ng 2: R ( −sinx, cosx ) = −R ( sinx, cosx ) sin2xdx 2 sin x cos xdx• J1 = ∫ cos 3 2 x − sin x − 1 = ∫ cos 3 x + cos 2 x − 2 2 sin x cos xR ( sin x, cos x ) = 3 2 ⇒ R ( − sin x, cos x ) = −R ( sin x, cos x ) cos x + cos x − 2 −2t dt −2t dt  A Bt + C  t t = cos x ⇒ J1 = ∫t 3 2 +t −2 = ∫ ( t − 1) ( t 2 + 2t + 2) ∫ = −2  + 2  dt  t − 1 t + 2t + 2  t A Bt + C ⇔ t = A ( t + 2t + 2) + ( Bt + C) ( t − 1) 2Ta có: = + 2 ( t − 1) ( t + 2t + 2) 2 t − 1 t + 2t + 2 A + B = 0 A = 1 5 2  ⇔ t = ( A + B ) t + ( 2A − B + C ) t + ( 2A − C ) ⇔ 2A − B + C = 1 ⇔ B = −1 5   2A − C = 0 C = 2 5170
  3. 3. Bài 5. Các phép i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác 2  1 t−2  2 dt 1 2t + 2 − 6J1 = − 5  ∫  t −1 − 2  dt = − 5 t − 1 + 5 2 t + 2t + 2  t + 2t + 2 dt ∫ ∫ 2 dt 1 d ( t 2 + 2t + 2 ) 6 dt =− ∫ + 5 t −1 5 2 t + 2t + 2 − ∫ 5 ( t + 1) 2 + 1 ∫ 2 1 2 6 = − ln t − 1 + ln t + 2t + 2 − arctg ( t + 1) + c 5 5 5 2 1 2 6 = − ln (1 − cos x ) + ln cos x + 2 cos x + 2 − arctg (1 + cos x ) + c 5 5 5 dx sin x dx −d ( cos x ) dt• J2 = ∫ 6 sinxcos x = sin 2 x cos 6 x = ∫ ∫ (1 − cos 2 x ) cos x6 = ∫t 6 ( t 2 − 1) t − ( t − 1)  1 t + t +1 6 6 4 2 t −1 1 1 1 = ∫ t ( t − 1) 6 2 dt =  2  t −1 − t 6  ∫  dt = ln + + 3 + 5 +c t + 1 t 3t 5t 1 − cos x 1 1 1 = ln + + + +c 1 + cos x cos x 3 cos3 x 5 cos5 x sinx + sin3x 2 sin 2 x cos x 4 sin x cos 2 x• J3 = ∫ cos2x dx = cos 2 x dx = ∫ 2 cos 2 x − 1 dx ∫ 2 2 4 cos xd ( cos x ) 4t dt  2  dt = ∫ 1 − 2 cos x 2 = ∫ 1 − 2t = ∫  1 − 2t 2 2 − 2  dt =  ∫ 1 −t 2 ∫ − 2 dt 2 1 1 + 2t 1 1 + 2 cos x = ln − 2t + c = ln − 2 cos x + c 2 1 − 2t 2 1 − 2 cos x π 2 π 2 π 2 4sin 3 x 4 sin 2 x 4 (1 − cos 2 x )• J4 = ∫ 0 1 + cosx dx = ∫0 1 + cos x sin x dx = − ∫0 1 + cos x d ( cos x ) 4 (1 − t ) 0 2 1 1 ∫ dt = 4 (1 − t ) dt = ( 4t − 2t ∫ )0 =4−2=2 2 =− 1 1+ t 0 π 2 π 2 π 2 π 2 sin 2 x sin 2 x dx sin x dx sin x dx• J5 = ∫ π6 sin3x dx = π 6 ∫ = = 3 sin x − 4 sin x π 6 3 − 4 sin x π 6 4 cos 2 x − 1 3 2 ∫ ∫ π6 3 2 3 2 3 2 d ( cos x ) dt 1 d ( 2t ) 1 2t − 1 1 = ∫ 2 = ∫ 2 = ∫ 2 = ln = ln ( 2 − 3 ) π2 4cos x − 1 0 4t − 1 2 0 ( 2t ) − 1 4 2t + 1 0 4 171
  4. 4. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương3. D ng 3: R ( sinx, − cosx ) = −R ( sinx, cosx ) cos 9 x cos8 x (1 − sin 2 x )4 (1 − t 2 )4• K1 = ∫ sin 20 x dx = sin 20 x ∫ cos x dx = ∫ sin 20 x d ( sin x ) = ∫ t 20 dt 1 − 4t 2 + 6t 4 − 4t 6 + t 8 −1 4 6 4 1 = ∫ t 20 dt = 19t19 + 17t 17 − 15 + 13 − 11 + c 15t 13t 11t −1 4 6 4 1 = 19 + 17 − 15 + 13 − 11 +c 19 ( sin x ) 17 ( sin x ) 15 ( sin x ) 13 ( sin x ) 11 ( sin x ) cos 3 x + cos5 x ( cos2 x + cos4 x ) ( cos2 x + cos4 x )• K2 = ∫ sin2 x + sin4 x dx = ∫ sin2 x + sin4 x cos x dx = ∫ sin2 x + sin4 x d ( sin x ) 2 1 − t 2 + (1 − t 2 ) t 4 − 3t 2 + 2  2 6  = ∫ 2 t +t 4 dt = ∫ t 2 (1 + t ) 2  ∫ dt =  1 + 2 − t 1 + t2  dt  2 2 =t− − 6 arctg t + c = sin x − − 6 arctg ( sin x ) + c t sin x4. D ng 4: R ( −sinx, − cosx ) = R ( sinx, cosx ) π6 π6 π6 dx dx d ( tg x) 3− 3 ∫ ∫ cos ∫ π6• L1 = = = = ln tg x −1 0 = ln 0 cosx ( sinx − cosx ) 0 2 x ( tg x −1) 0 tg x −1 3 π 3 π 3 π 3 π 3 dx dx dx d ( tg x )• L2 = ∫ 4 3 5 = ∫ 4 3 8 = ∫ 2 cos x . 4 tg x 3 = ∫ 3 π 4 sin xcos x π 4 tg x cos x π 4 π 4 ( tg x ) 4 π3 −3 1 π3 = 4 ( 3 ) − 1 = 4 ( 8 3 − 1) 14 = π4 ∫ ( tg x ) 4 d ( tg x ) = 4 ( tg x ) 4 π4   π 4 π 4 sin 2 xdx cos 4 x sin 2 x dx• L3 = ∫ cosx ( 2sin 0 3 x + 3cos 3 x ) = ∫0 cos x ( 2 sin3 x + 3 cos 3 x ) cos x 4 d ( 3 + 2 tg 3 x ) π4 π4 π4 tg 2 x tg 2 x 1 = ∫ ⋅ dx = ∫ d ( tg x ) = ∫ 0 3 + 2 tg x cos 2 x 3 0 3 3 + 2 tg x 6 0 3 + 2 tg 3 x π4 1 1 1 5 = ln ( 3 + 2 tg 3 x ) = ( ln 5 − ln 3) = ln 6 0 6 6 3172
  5. 5. Bài 5. Các phép i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giácII. BI N I VÀ I BI N NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM S LƯ NG GIÁC dx1. D NG 1: M U S LÀ BI U TH C THU N NH T C A SIN ∫ ( sinx ) n 2 dx dx dx 1 ( 1 + tg 2 x 2 ) d (tg 2 ) x• A1 = ∫ sin3 x = ∫ 3 = 3 6 ∫ 3 = ∫ 2 sin x cos x 2 2 ( 8 tg x cos x 2 2 ) ( )( ) 4 (tg 2 ) x 2 x 4 x 1 1 + 2 tg 2 + tg 2 1  −1 2  = ∫ 3 d tg x =  2 2 ( ) x 1 + 2 ln tg + tg x  + c 2 ( ) 4 tg x 2 ( ) 4   2 tg x 2 2 2    ( ) dx sin x d x d ( cos x ) d ( cos x )Cách 2: A1 = ∫ 3 =∫ 4 = −∫ 2 = −∫ sin x sin x (1 − cos 2 x ) [(1 + cos x ) (1 − cos x )] 2 2 2 −1  (1 + cos x ) + (1 − cos x )  1  1 1 = 4  ∫  (1 + cos x ) (1 − cos x )  d ( cos x ) = 4  1 − cos x + 1 + cos x  d ( cos x )    ∫ −1  1 1 2  ( − cos x 1 1 + cos x=  ∫ 2 + 2 + 2  4  (1 − cos x ) (1 + cos x ) 1 − cos x  d cos x ) = − ln 2sin 2 x 2 1 − cos x +c dx dx dx• A2 = ∫ sin 5 = ∫ 5 = ∫ 5 10 x ( 2 sin x cos x 2 2 ) ( )( 32 tg x 2 cos x 2 ) 4 1 + tg x ) d ( tg x ) 1 ( 2 2 x + 6 tg 4 x + 4 tg 6 x + tg8 x 1 1 + 4 tg= ∫ 2 2 = ∫ 5 2 2 5 2 2 d tg x 2 ( ) 16 ( tg x ) 2 16 ( ) tg x 2 1  −1  2 4 + 6 ln tg + 2 ( tg x ) + ( tg x )  + c 2 x 1=  4 − 2 2 2 16    4 tg x 2( ) ( tg x ) 2 2 4    dx sin x dx d ( cos x ) d ( cos x )Cách 2: A2 = ∫ sin 5 x = ∫ 6 sin x =− ∫ (1 − cos2 x ) 3 =− (1 + cos x ) (1 − cos x ) 3∫   3 3 −1  (1 + cos x ) + (1 − cos x )  1  1 1 = 8  ∫  (1 + cos x ) (1 − cos x )  d ( cos x ) = 8  1 − cos x + 1 + cos x  d ( cos x )    ∫ −1  1 1 3 d ( cos x )  − cos x 3=  8  2 (1 − cos x ) 2 − 2 (1 + cos x ) 2 + 2 ∫ (1 − cos 2 x) 2 = − A  4 sin 4 x 4 1   173
  6. 6. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương − cos x 3  − cos x 1 1 + cos x  − cos x 3cos x 3 1 + cos x= 4 −  − ln = + + ln +c 4 sin x 4  2 sin x 2 1 − cos x  4 sin x 8sin 2 x 8 1 − cos x 2 4 dx dx• A3 = ∫ ( sinx ) 2n+1 = ∫ 2 n +1 ( 2 sin x cos x 2 2 ) 2n =∫ dx 1 (1 + tg x ) d ( tg x ) 2 2 2 2 n +1 = ∫ 4n+2 2n 2 n +1 2 ( tg x ) ( cos x ) 2 2 n +1 2 2 ( tg x ) 2 n 2n C + C tg x + ... + C ( tg x ) + ... + C ( tg x ) 0 1 2 n 2 2n 2 d ( tg x ) 1 2n 2n 2n 2n 2 2 2 2 ∫ = 2n 2 n +1 2 ( tg x ) 2 1  −C  0 n −1 n +1 2 2n 2n = 2n 2   2n ( tg x ) 2n − ... − C 2n 2 ( tg x ) + C ln tg + x C 2 2 ( tg x ) + ... + C2n ( tg x )  + c 2n 2 2 n 2n 2 2n 2n   2 2   dx n• A10 = ∫ sin 2n+ 2 x ∫ = − (1 + cotg 2 x ) d ( cotg x ) = = − C0 + C1 cotg 2 x + ... + Cn ( cotg2 x ) + ... + Cn ( cotg 2 x )  d ( cotg x )  k n ∫ k n n n   0 Cn 1 Cn k 2k +1 Cn n  = − Cn ( cotg x ) + 3 cotg x + ... + ( cotg x ) + ... + ( cotg x )2n +1  + c  3 2k + 1 2n + 1  dx2. D NG 2: M U S LÀ BI U TH C THU N NH T C A COSIN ∫ ( cos x ) nB1 = ∫ dx = d x+ π 2 = du = ( du ) du cos 3 x ∫ sin 3 x + π ∫ sin 3 u ∫ =∫ 2 ( 2 sin u cos u 2 2 ) ( ) 3 ( )( 8 tg u 2 3 cos u 2 ) 6 2 (1 + tg 2 u ) d ( tg u ) = 1  −1 ( )  + c ; (u = x + π ) 2=1∫ 2 2 + 2 ln tg u + 1 tg u 4 3 4 2 2 2 2 2 tg u ) ( 2  2 ( tg u )  2  dx cos x d x d ( sin x ) d ( sin x )Cách 2: B 1 = ∫ =∫ =∫ =∫ cos 3 x cos 4 x (1 − sin 2 x ) 2 [(1 + sin x ) (1 − sin x )] 2 2 2 1  (1 + sin x ) + (1 − sin x )  1  1 1 = ∫  (1 + sin x ) (1 − sin x )  d ( sin x ) = 4 ∫  1 − sin x + 1 + sin x  d ( sin x ) 4    174
  7. 7. Bài 5. Các phép i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác 1  1 1 2  ( sin x 1 1 + sin x= 4 ∫  (1 − sin x ) 2 + (1 + sin x ) 2 + 1 − sin 2  )  d sin x = 2 cos 2 x + 2 ln 1 − sin x + c x dxi B 2 = ∫ 2n+1 = ∫ d x+π 2 =∫ du ( =∫ ) du cos x sin 2 n +1 x + π 2 ( sin u ) 2 n +1 ( 2 sin u cos u 2 2 ) ( ) 2 n +1 2n =∫ du 1 (1 + tg u ) d ( tg u ) 2 2 2 2 n +1 4n + 2 = 2 2n ∫ 2 n +1 ( ) (cos u ) 2 2 n +1 tg u 2 2 ( tg u ) 2 1  −C2n 2n  0 n− n+1 C 2n 1 2 2n=  2 2n  2n − ... − 2 n + C2n ln tg u C 2n + tg u 2 ( ) + ... + C 2n ( ) tg u 2 +c   ( ) 2n tg u 2 ( ) 2 tg u 2 2 2 2n    dx niB3 = ∫ 2n+ 2 = ∫ (1 + tg 2 x ) d ( tg x ) = cos x = ∫ C n + C n tg 2 x + ... + C n ( tg 2 x ) + ... + C n ( tg 2 x )  d ( tg x ) 0 1 k k n n    0 C1 Cnk 2 k +1 Cnn  = C n ( tg x ) + n tg 3 x + ... + ( tg x ) + ... + ( tg x ) 2 n+1  + c  3 2k + 1 2n + 1  dx3. D NG 3: C= ∫ a ( sinx ) 2 + bsinxcosx + c ( cosx ) 2 dx dx•C =∫ =∫ cos 2 3x ( 5 tg 3x + 2 ) − 21(1 + tg 2 3x )  2 2 ( 5sin3x + 2cos3x ) - 21   1 d ( tg 3x ) 1 d ( tg 3x ) 1 2 tg 3x + 5 = ∫ 4 tg 2 3x + 20 tg 3x − 17 = 12 ∫ 2 = arc tg +c 3 ( tg 3x + 5 2 ) + 42 4 6 42 42 dx4. D NG 4: D= ∫ a sin x + b cos x + c dx dx• D1 = ∫ 2sinx + 5cosx + 3 = ∫ 4 sin x cos x + 5 2 ( cos x − sin x ) + 3 ( cos x + sin x ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d ( tg x − 1) tg x −1 − 5 dx 2 −1 2 = ∫ cos = −∫ = ln +c ( 2) 2 2 5 tg x − 1 + 5 2 x 4 tg x + 8 − 2 tg 2 2 2 x ( tg 2 ) x −1 − ( 5 ) 2 2 175
  8. 8. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương5. D NG 5: TÍCH PHÂN LIÊN K T cosxdx sin x dx ∫ sinx + cosx . Xét tích phân liên k ∫ sin x + cos x *• E1 = t v i E1 là: E1 =  cos x + sin x ∫ ∫ * E1 + E1 = sin x + cos x dx = dx = x + ( c1 ) Ta có:  E − E* = cos x − sin x dx = d ( sin x + cos x ) = ln sin x + cos x + ( c )  1  1 ∫ sin x + cos x ∫ sin x + cos x 2 E = 1 ( x + ln sin x + cos x ) + c  1 2Gi i h phương trình suy ra:  E1 = 1 ( x − ln sin x + cos x ) + c *  2 sin3xdx cos 3 x dx• E2 = ∫ 2cos3x − 5sin3x . Xét tích phân liên k t là: E* = 2 ∫ 2 cos 3x − 5 sin 3xTa có: * 2cos3x − 5sin3x2E2 − 5E2 = ∫ 2cos3x − 5sin3x dx = ∫dx = x + ( c )1 * 5cos3x + 2sin3x 1 d( 2cos3x − 5sin3x) ln 2cos3x − 5sin3x5E2 + 2E2 = ∫ 2cos3x − 5sin3x dx = − 3 ∫ 2cos3x − 5sin3x =− 3 + ( c2 )Gi i h phương trình suy ra: 2 xE = 1 ⋅ −1  2 ln 2 cos 3x − 5sin 3x  2 29 5 − ln 2 cos 3x − 5 sin 3x + c = 29   3 + 5x  + c  3 x −5 1  5 ln 2 cos 3x − 5sin 3x  E* = 1 ⋅ ln 2 cos 3x − 5sin 3x 2 +c=  2x − +c 29 − 2 29  3  3 ( sin x)4 ( cos x)4• E3 = ∫ ( sin x)4 + ( cos x)4 dx . Xét tích phân liên k t là: E* = ∫ 3 dx ( sinx)4 + ( cos x)4 ( sin x ) 4 + ( cos x )4Ta có: E* + E 3 = 3 ∫ ( sin x )4 + ( cos x )4 dx = ∫ dx = x + ( c1 ) (1). M t khác: ( cosx )4 − ( sin x )4 ( cos 2 x + sin 2 x )( cos 2 x − sin 2 x )E* − E 3 = 3 ∫ ( sin x )4 + ( cos x )4 dx = ∫ ( cos 2 x + sin 2 x )2 − 2 cos 2 x sin 2 x dx176
  9. 9. Bài 5. Các phép i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác cos 2x d ( sin 2x ) 1 2 + sin 2x= ∫ 1 2 dx = ∫ ( 2) 2 2 − sin 2x = 2 2 ln 2 − sin 2x + c ( 2) 1 − sin 2x 2T (1) và (2) suy ra: 1 1 2 + sin 2x  * 1 1 2 + sin 2x  E3 = x −  ln  + c ; E3 =  x +   ln +c 2 2 2 2 − sin 2x  2 2 2 2 − sin 2x   π 2 π 2 ( cosx )99 ( sin x )99• E4 = ∫ ( sinx ) 0 99 + ( cosx ) 99 dx . Xét tích phân: E* = 4 ∫ ( sin x ) 0 99 + ( cos x ) 99 dx π π π t x= − u ⇒ dx = −du. V i x = thì u = 0 và x = 0 thì u = . Ta có: 2 2 2 99 π2 ( sinx ) dx 99 sin π − u  ( −du)   2 0   ( ) π2 ( cosu )99 du ∫ ∫ ∫ *E4 = = = = E4 ( sinx)99 + ( cosx )99 π 2  π 99 99 ( )99 + ( sinu )99 0   sin − u 2  + cos π − u      2   ( ) ( ) 0 cosu π2 π2 π2 ( sin x )99 + ( cos x )99 π π ∫ dx = ∫ dx = x * *Ta có: E 4 + E 4 = 99 99 = ⇒ E4 = E4 = 0 ( sin x ) + ( cos x ) 0 0 2 4 π 2 π 2 ∫ ( cos3x ) 2 ( cos6x ) 2 dx . Xét tích phân: E5 = ∫ ( sin 3x ) 2• E5 = ∗ ( cos 6 x )2 dx 0 0 π2 π2 ( cos 3x )2 + ( sin 3x )2  ( cos 6x )2 dx = ∫ ∫ ( cos 6x ) 2Ta có: E 5 + E∗ 5 =   dx 0 0 π2 π2 1 (1 + cos12x ) dx = 1  x + sin12x   π = 2 ∫ 0  2 12 0 = 4 . M t khác: π2 π2 ( cos 3x )2 − ( sin 3x )2  ( cos 6x )2 dx = ∫ ∫ cos 6x ( cos 6x ) 2E 5 − E∗ = 5   dx 0 0 π2 1 π2  ( )3  π 1 − ( sin 6x )2  d ( sin 6x ) = 1 sin 6x − sin 6x  = 6 ∫ 0   6 3 0 = 0 ⇒ E 6 = E* = 6 8 π 2 π 2 sinx dx cos x dx ∫ ( sinx + cosx ) ∫ ( sin x + cos x ) *• E6 = 3 . Xét tích phân: E6 = 3 0 0 177
  10. 10. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương π2 π2 ( cos x + sin x ) dx dxTa có: E∗ 6 + E6 = ∫0 ( sin x + cos x ) 3 = ∫ ( sin x + cos x ) 0 2 π2 π2 π2= ∫ dx = 1 ∫ sin dx = −1 ( cotg x + π ) = 1 1 + =1 0 (  2 sin x + π    4   ) 2 2 0 2 ( x+ π 4 ) 2 4 0 2 2 π2 π2 ( cos x − sin x ) dx d ( sin x + cos x )M t khác: E∗ − E 6 = 6 ∫ 0 ( sin x + cos x ) 3 = ∫ 0 ( sin x + cos x )3 π2 −1 1 = 2 = 0 ⇒ E 6 = E* = 6 2 ( sin x + cos x ) 0 2 a sin x + b cos x6. D NG 6: F= ∫ m sin x + n cos x dxa. Phương pháp:Gi s : a sin x + b cos x = α ( m sin x + n cos x ) + β ( m cos x − n sin x ) , ∀x⇔ a sin x + b cos x = ( mα − n β ) sin x + ( nα + mβ ) cos x , ∀x  am + bn  mα − n β = a α = m 2 + n 2  ⇔  ⇔ . Khi ó ta có:  nα + m β = b   bm − an  β = m2 + n2  am + bn m sin x + n cos x bm − an m cos x − n sin xF= 2 2 ∫ m + n m sin x + n cos x dx + 2 m + n 2 m sin x + n cos x dx ∫ am + bn bm − an d ( m sin x + n cos x ) = 2 m +n 2 ∫ dx + 2 m + n2 ∫ m sin x + n cos x am + bn bm − an = 2 2 x+ 2 ln m sin x + n cos x + c m +n m + n2b. Các bài t p m u minh h a: 4sin2x − 7cos2x 1 4sin 2x − 7 cos 2x 1 4sin u − 7 cos u• F1 = ∫ 5sin2x + 3cos2x dx = 2 ∫ 5sin 2x + 3cos 2x d ( 2x ) = 2 ∫ 5sin u + 3cos u duGi s 4 sin u − 7 cos u = α ( 5 sin u + 3 cos u ) + β ( 5 cos u − 3 sin u ) , ∀u⇔ 4 sin u − 7 cos u = ( 5α − 3β ) sin u + ( 3α + 5β ) cos u , ∀u178
  11. 11. Bài 5. Các phép i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác 5α − 3β = 4  α = −1 34 ⇔ ⇔ . Khi ó ta có: 3α + 5β = −7  β = −47 34  1 4 sin u − 7 cos u −1 5sin u + 3 cos u 47 5 cos u − 3sin uF1 = ∫ 2 5 sin u + 3cos u du = ∫ 68 5sin u + 3 cos u du − ∫ 68 5 sin u + 3cos u du −1 47 d ( 5 sin u + 3cos u ) −1 = 68 du − ∫ 68 ∫ 5 sin u + 3 cos u = ( u + 47 ln 5 sin u + 3cos u ) + c 68 −1 = ( 2x + 47 ln 5 sin 2x + 3 cos 2x ) + c 68c. Các bài t p dành cho b n c t gi i: 4sin 3x + 5cos 3x 2sin 5x − 7 cos 5x 4sin 9x + 5cos 9xF1 = ∫ 7 cos 3x − 8sin 3x dx ; F = ∫ 3sin 5x − 4 cos 5x dx ; F = ∫ 7 cos 9x − 3sin 9x dx 2 3 a sin x + b cos x + c7. D NG 7: G= ∫ m sin x + n cos x + p dxa. Phương pháp:Gi s a sin x + b cos x + c = α ( m sin x + n cos x + p ) + β ( m cos x − n sin x ) + γ , ∀x⇔ a sin x + b cos x + c = ( mα − n β ) sin x + ( nα + mβ ) cos x + pα + γ , ∀x  mα − n β = a α = ( am + bn ) ( m 2 + n 2 )   ⇔  nα + mβ = b ⇔  β = ( bm − an ) ( m2 + n 2 ) . Khi ó ta có:   γ = c − am + bn p  pα + γ = c    m2 + n2 am + bn msin x + ncos x + p bm − an mcos x − nsin xG= 2 2 ∫ m + n msin x + n cos x + p dx + 2 2 ∫ m + n msin x + n cos x + p dx +  am + bn  dx + c − 2 2 p  ∫  m + n  msin x + n cos x + p am + bn bm − an d ( m sin x + n cos x + p )  am + bn  dx= 2 m +n 2 ∫ dx + m 2 +n 2 ∫m sin x + n cos x + p + c − 2  m +n 2 p ∫  m sin x + n cos x + p am + bn bm − an  am + bn  dx= 2 m +n 2 x+ 2 m +n ln m sin x + n cos x + p +  c − 2 2  m +n 2 p ∫  m sin x + n cos x + pb. Các bài t p m u minh h a: sinx + 2cosx − 3• G1 = ∫ sinx − 2cosx + 3 dx . 179
  12. 12. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n PhươngGi s sin x + 2 cos x − 3 = α ( sin x − 2 cos x + 3) + β ( cos x + 2 sin x ) + γ , ∀x⇔ sin x + 2 cos x − 3 = (α + 2 β ) sin x + ( −2α + β ) cos x + ( 3α + γ ) , ∀x α + 2β = 1 α = −3 5    ⇔ −2α + β = 2 ⇔  β = 4 5 . Khi ó ta có:   3α + γ = −3  γ = −6 5  −3 sin x − 2 cos x + 3 4 sin x − 2 cos x 6 dxG1 = ∫ 5 sin x − 2 cos x + 3 dx + ∫ 5 sin x − 2 cos x + 3 dx − ∫ 5 sin x − 2 cos x + 3 −3 4 d ( sin x − 2 cos x + 3) 6 dx = 5 dx + ∫ 5 ∫ sin x − 2 cos x + 3 dx − ∫ 5 sin x − 2 cos x + 3 −3 4 6 = x + ln sin x − 2 cos x + 3 − J 5 5 5 dx dxJ= ∫ sin x − 2 cos x + 3 = ∫ 2sin x cos x − 2 cos = 2 2 ( 2 2 ) ( x − sin 2 x + 3 cos2 x + sin 2 x 2 2 2 ) dx 2 ( ) d tg x 2 ∫ ) ∫( ) ( ) = = cos 2 x 2 2 ( 2 tg x + 1 + 5 tg 2 x 2 5 2 2 tg x + 2 tg x + 1 5 2 5 2 d tg x 2 ( ) 2 5 1 + 5 tg x 2 + c = arctg 1 + 5 tg x 2 +c = ∫ 2 2 = ⋅ arctg 5 ( tg x + 1 + 2 2 5 5 ) () 5 2 2 2 −3 4 6 5 tg x + 1⇒ G1 = x + ln sin x − 2 cos x + 3 − arctg 2 +c 5 5 5 2 π 2 sinx − cosx + 1• G2 = ∫ 0 sinx + 2cosx + 3 dx .Gi s sin x − cos x + 1 = α ( sin x + 2 cos x + 3) + β ( cos x − 2 sin x ) + γ , ∀x⇔ sin x − cos x + 1 = (α − 2 β ) sin x + ( 2α + β ) cos x + ( 3α + γ ) , ∀x α − 2 β = 1 α = −1 5  ⇔ 2α + β = −1 ⇔  β = −3 5 . Khi ó ta có: 3α + γ = 1 γ = 8 5  180
  13. 13. Bài 5. Các phép i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác π2 π2 π2 1 sin x + 2 cos x + 3 3 cos x − 2 sin x 8 dxG2 = − 5 0 ∫ sin x + 2 cos x + 3 dx − 5 ∫ 0 sin x + 2 cos x + 3 dx + 5 ∫ sin x + 2 cos x + 3 0 π2 π2 π2 1 3 d ( sin x + 2 cos x + 3) 8 dx =− 5 ∫ dx − 5 ∫ 0 0 sin x + 2 cos x + 3 + 5 ∫ sin x + 2 cos x + 3 0 π2  −1 3  8 −π 3 5 8 =  x − ln sin x + 2 cos x + 3  + J = + ln + J  5 5 0 5 10 5 4 5 π2 π2 dx dxJ= ∫ = ∫ 2sin x cos x + 2 cos 0 sin x + 2 cos x + 3 0 22 22 2 ( x − sin 2 x + 3 cos2 x + sin 2 x 2 2 ) ( ) π2 dx π2 d tg x 2 ( )= ∫ =2 ∫ 0 cos 2 x 2 2 ( 2 tg x + 2 − 2 tg x + 3 + 3 tg x 2 2 π2 2 2 0 tg 2 x 2 + 2 tg x + 5 2 ) π2 d 1 + tg x 2 ( ) 1 + tg x 2 π 1 3π 3 5 8 1=2 ∫ 2 = arctg = − arctg ⇒ G 2 = + ln − arctg ( 0 1 + tg x 2 +2 2 ) 2 0 4 2 10 5 4 5 2 a sin x + b cos x8. D NG 8: H= ∫ ( m sin x + n cos x ) 2 dxa. Phương pháp:Gi s a sin x + b cos x = α ( m sin x + n cos x ) + β ( m cos x − n sin x ) , ∀x⇔ a sin x + b cos x = ( mα − n β ) sin x + ( nα + m β ) cos x , ∀x  am + bn mα − n β = a α = m 2 + n 2  ⇔  ⇔ . Khi ó ta có: nα + m β = b   bm − an  β = m2 + n2  am + bn m sin x + n cos x bm − an m cos x − n sin xH= 2 2 ∫ m + n ( m sin x + n cos x ) 2 dx + 2 m + n ( m sin x + n cos x )2 2 dx ∫ am + bn dx bm − an d ( m sin x + n cos x ) = ∫ + 2 m + n m sin x + n cos x m + n 2 2 2 ∫ ( m sin x + n cos x ) 2 am + bn dx bm − an 1 = 2 2 ∫ − 2 2 ⋅ m + n m sin x + n cos x m + n m sin x + n cos x +c 181
  14. 14. Chương II: Nguyên hàm và tích phân − Tr n Phương2. Các bài t p m u minh h a: 7 sin x − 5 cos x• H1 = ∫ ( 3 sin x + 4 cos x ) 2 dx .Gi s 7 sin x − 5 cos x = α ( 3 sin x + 4 cos x ) + β ( 3 cos x − 4 sin x ) ; ∀x⇔ 7 sin x − 5 cos x = ( 3α − 4 β ) sin x + ( 4α + 3β ) cos x; ∀x α = 1 3α − 4β = 7  ⇔ ⇔ 5 . Khi ó ta có: 4α + 3β = −5  β = −43   5 7 sin x − 5cos x 1 3sin x + 4 cos x 43 3cos x − 4sin xH1 = ∫ (3sin x + 4 cos x ) 2 dx = ∫ 5 ( 3sin x + 4 cos x ) 2 dx − ∫ 5 ( 3sin x + 4 cos x )2 dx 1 dx 43 d ( 3sin x + 4 cos x ) 1 43 = ∫ − ∫ 5 3sin x + 4 cos x 5 ( 3sin x + 4 cos x ) 2 = J+ 5 5 ( 3sin x + 4 cos x ) dx dx d tg x 2 ( )J= ∫ = ∫ =2 ∫ 3 sin x + 4 cos x cos 2 x 2 6 tg 2 ( x + 4 − 4 tg 2 x 2 6 tg 2 ) x + 4 − 4 tg 2 x 2 x x −2 2 tg 2 − 4 −2 2 tg 2 − 4 43= ln + c ⇒ H1 = ln + +c 5 2 tg x + 1 25 2 tg x + 1 5 ( 3sin x + 4 cos x ) 2 23. Các bài t p dành cho b n c t gi i: 2 sin 5x − 3cos 5x 5 sin 7x + 4 cos 7xH1 = ∫ ( 4 cos 5x + 9 cos 5x ) 2 dx ; H 2 = ∫ ( 2 sin 7x − 3cos 7x ) 2 dx 2 2 a ( sin x ) + b sin x cos x + c ( cos x )9. D NG 9: I= ∫ m sin x + n cos x dxa. Phương pháp: 2 2Gi s : a ( sin x ) + b sin x cos x + c ( cos x ) = = ( p sin x + q cos x ) ( m sin x + n cos x ) + r ( sin 2 x + cos 2 x ) , ∀x 2 2⇔ a ( sin x ) + b sin x cos x + c ( cos x ) = 2 2 = ( mp + r ) ( sin x ) + ( np + mq ) sin x cos x + ( nq + r ) ( cos x ) ; ∀x182
  15. 15. Bài 5. Các phép i bi n s cơ b n và nâng cao tích phân hàm lư ng giác  ( a − c ) m + bn p =  m2 + n2  mp + r = a  mp + r = a    ( a − c ) n − bm   ⇔ np + mq = b ⇔  np + mq = b ⇔ q = . Khi ó ta có:    m2 + n2  nq + r = c   mp − nq = a − c   2 2  r = an + cm − bmn   m2 + n2 2 2  ( a − c) m + bn ( a − c) n − bm  an + cm − bmn dxI=  ∫  m +n 2 2 sin x + 2 m +n 2 cos x  dx +  2 m +n 2 msin x + n cos x ∫ 2 2 ( a − c) n − bm ( a − c) m + bn an + cm − bmn dx= m +n2 2 sin x − 2 m +n 2 cos x + 2 m +n 2 ∫ msin x + n cos xb. Các bài t p m u minh h a: π 3 ( cos x ) 2 dx• I1 = ∫ 0 sin x + 3cos x .Gi s ( cos x )2 = ( a sin x + b cos x ) ( sin x + 3 cos x ) + c ( sin 2 x + cos 2 x ) ; ∀x⇔ ( cos x ) = ( a + c ) ( sin x ) + ( a 3 + b ) sin x cos x + ( b 3 + c ) ( cos x ) ; ∀x 2 2 2 a + c = 0 a = −1 4   π3 π3   1  3 1  1 dx⇔ a 3 + b = 0 ⇔ b = 3 4 ⇒ I =    cos x − sin x  dx + 2 0 2 2  ∫ 4 0 sin x + 3 cos x ∫ b 3 + c = 1  c = 1 4  π3 π3 1  π π  1 dx = 2 ∫  cos cos x − sin sin x  dx +  6 6  8 ∫ π π 0 0 cos sin x + sin cos x 3 3 π3 π3 π3 1  π 1 dx 1  π 1 x π = ∫ cos  x +  dx +  6 ∫  π =  sin  x +  + ln tg  +    6 8 2 6 sin  x +   2 0 8 0 2 0  3 1 1  1 1  1 1 1 =  + ln 3  −  − ln 3  = + ln 3 = (1 + ln 3 ) 2 8  4 8  4 4 4 183

×